rachunek prawdopodobieństwa

Zestaw zadań powtórzeniowych do egzaminu maturalnego z matematyki
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
Zad.1. Doświadczenie polega na jednokrotnym rzucie kostką do gry, a następnie na
jednokrotnym rzucie monetą. Opisać .
Zad.2. Rozważmy dwukrotny rzut kostką do gry (rzut dwiema kostkami). Opisz  i
zdarzenia losowe :
A – wyrzucono jednakową ilość oczek na obu kostkach
B – suma wyrzuconych oczek wynosi 7
C – iloczyn wyrzuconych oczek jest nie większy niż 10
D – iloczyn wyrzuconych oczek jest liczbą nieparzystą
E – na pierwszej kostce wyrzucono co najmniej 3 oczka
F – za drugim razem wyrzucono liczbę podzielną przez 3.
Zad.3. Rozważmy trzykrotny rzut monetą. Opisz  i zdarzenia losowe:
A – wyrzucono dokładnie jednego orła
B – wyrzucono co najmniej jednego orła
C – wyrzucono co najwyżej jedna reszkę
D – wyrzucono dwa orły
E – wyrzucono co najmniej dwie reszki.
Zad.4. Rzucamy kostką do gry. Opisz  i zdarzenia losowe:
A – wypadła parzysta liczba oczek
B – wypadła liczba oczek większa od 4
C – wypadła liczba oczek podzielna przez 3
D – wypadło 5 oczek
E – wypadło co najmniej 2 oczka
F – wypadło co najwyżej 3 oczka
G – wypadło nie więcej niż 4 oczka.
Zad.5. W urnie jest pięć kul ponumerowanych od 1 do 5. Losujemy dwie kule bez zwracania
i zapisujemy ich numery w kolejności losowania. Opisać  i zdarzenia losowe:
A – wylosowane kule utworzą liczbę podzielną przez 5
B - wylosowane kule utworzą liczbę pierwszą
C – wylosowane kule utworzą liczbę 14 lub 32 lub 35.
Zad.6. Rzucamy dwa razy monetą, a w przypadku, gdy otrzymamy dwa razy ten sam wynik,
rzucamy po raz trzeci. Opisz .
Zad. 7. Rzucamy kostką do gry, a następnie monetą. Opisz .
Zad.8. Z cyfr 1,2,3,5,7 układamy liczbę dwucyfrową o różnych cyfrach. Zdarzenie A polega
na tym, że otrzymana liczba jest nieparzysta, zaś zdarzenie B na tym, że otrzymana liczba jest
podzielna przez 3. Oblicz P(A), P(B), P(AB) oraz sprawdź niezależność zdarzeń A i B.
Zad.9. Ze zbioru {-1, 3, 4, 6, 8, 9} losujemy kolejno bez zwracania liczby x i y. Niech A i B
będą następującymi zdarzeniami:
A – suma wylosowanych liczb jest liczbą nieparzystą
B – wylosowane liczby spełniają warunek: 25 < (x – 1)2 + y2  100.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń A, B oraz AB.
Zad.10. Ze zbioru {-3, -2, 1, 3, 4} losujemy kolejno ze zwracaniem liczby x i y. Niech A i B
będą następującymi zdarzeniami:
A – iloczyn wylosowanych liczb jest liczbą ujemną
B – wylosowane liczby spełniają warunek: 2x + y > 2
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń A, B oraz AB.
1
Zad.11. Rzucamy sześcienną kostką do gry i metalowym krążkiem, na którego jednej stronie
są trzy oczka, a na drugiej pięć oczek. Sprawdź, czy zdarzenia
A – suma wyrzuconych oczek jest równa co najmniej 6
B – iloczyn wyrzuconych oczek jest liczba podzielną przez 3
są niezależne? Oblicz prawdopodobieństwo sumy zdarzeń A i B.
Zad.12. Rzucamy sześcienną kostką do gry i metalowym krążkiem, na którego jednej stronie
jest jedno oczko, a na drugiej dwa oczka.
a) Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń: A – suma wyrzuconych oczek jest liczbą parzystą,
B – wartość bezwzględna różnicy wyrzuconych oczek jest liczba nie większą niż 2.
b) Sprawdź, czy zdarzenia A i B są niezależne.
Zad.13. Ze zbioru {-1, 2, 4, 5, 7} losujemy kolejno ze zwracaniem parę liczb (x,y). Niech A i
B będą następującymi zdarzeniami:
A – suma wylosowanych liczb jest liczba parzystą większą od 3
B - wylosowana para liczb (x,y) spełnia warunek: x . y  x – 1
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń A, B oraz AB.
Zad.14. Ze zbioru {-2, -1, 2, 4, 5} losujemy kolejno ze zwracaniem parę liczb (x,y). Niech A
i B będą następującymi zdarzeniami:
A – suma wylosowanych liczb jest mniejsza od ich iloczynu
B – liczba 7x + y jest liczbą pierwszą
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń A, B oraz AB.
Zad.15. Ze zbioru {-4, -1, 2, 3, 5, 6} losujemy kolejno bez zwracania liczby x i y. Niech A, B
i C będą następującymi zdarzeniami:
x
A – wylosowane liczby spełniają warunek
>1
y
B – punkt o współrzędnych (x,y) nie należy do prostej o równaniu y = 5
C - x + y jest liczbą parzystą
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń A, B, C, AC.
Zad.16. Ze zbioru {-2, -1, 0, 1, 2, 3} losujemy kolejno ze zwracaniem dwie liczby
wyznaczając parę (x,y). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń:
a) Wylosowane współrzędne spełniają warunek: x < 0 i y > 0
b) Wylosowano współrzędne punktu, który należy do wykresu funkcji y = x + 1
c) Wylosowano współrzędne punktu, który nie należy do wykresu funkcji
y = x - 1.
Zad.17. Ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} losujemy jednocześnie dwie liczby x i y. Niech dane
będą zdarzenia:
A – wylosowano dwie liczby, których suma jest parzysta
B – wylosowana para liczb (x,y) spełnia warunek: x . y  17
C - wylosowana para liczb (x,y) spełnia warunek: x - y < 3
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń A, B, C, AB.
Zad.18. Ze zbioru {- 2 , -1, 0, 2 , 5} losujemy kolejno bez zwracania liczby x i y. Niech A
i B będą następującymi zdarzeniami:
A – suma wylosowanych liczb jest nieujemna
B – punkt o współrzędnych (x,y) należy do koła o środku w początku układu współrzędnych
i promieniu r = 2
Oblicz prawdopodobieństwa zdarzeń A, B oraz AB.
Zad.19. Ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6} losujemy kolejno bez zwracania liczby x i y. Niech A, B i
C będą następującymi zdarzeniami:
A – x . y jest liczbą podzielną przez 6
B – wylosowane liczby spełniają warunek: x - y + x  5
2
C – punkt o współrzędnych (x,y) nie należy do koła o środku w punkcie S=(0,0) i promieniu
r = 20
Oblicz prawdopodobieństwa zdarzeń A, B, AB, C, A’C’.
Zad.20. Ze zbioru {-2,-1,0,1,2} losujemy kolejno ze zwracaniem liczby x i y. Niech A, B, C
będą następującymi zdarzeniami:
A – suma wylosowanych liczb jest liczbą nieujemną,
B – wylosowane liczby spełniają warunek: 2 x > y,
C – punkt o współrzędnych (x, y) nie należy do koła o środku w punkcie S=(1,0) i promieniu
r = 1.
Oblicz prawdopodobieństwa zdarzeń: A, B, AB, C.
1
Zad.21. Ze zbioru K = {x1, , 1 , x2, 2 , 3 } gdzie x1, x2 to pierwiastki równania log2 (x2 +
2
x 2 ) = 2 losujemy kolejno dwie liczby. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że iloczyn
wylosowanych liczb jest liczbą niewymierną?
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
(KOMBINATORYJKA LUB DRZEWKO)
Zad.1. Z klasy, w której jest 3 dziewczynki i 7 chłopców wybieramy trzyosobową delegację.
Na ile sposobów możemy to zrobić, aby w skład delegacji wchodziło:
a) 3 dziewczynki
b) dziewczynka i dwóch chłopców
c) chłopiec
d) co najmniej dwóch chłopców.
Zad.2. Na ile sposobów można określić trasę zdobycia szczytu, jeżeli na mapie określono 6
szlaków, a trasa wejścia i zejścia musi być różna?
Zad.3. Ile
istnieje różnych liczb 4-cyfrowych o nie powtarzających się cyfrach,
zaczynających się od cyfry 1, 3 lub 5 ?
Zad.4. Ile różnych liczb 5-cyfrowych można utworzyć z cyfr: 0, 1, 2, 3, 4 takich, aby żadne
cyfry w liczbie się nie powtarzały?
Zad.5. Na egzamin przygotowano zestaw 30 pytań. Uczeń umie odpowiedzieć tylko na 20
pytań. Losuje z zestawu 3 pytania i otrzymuje ocenę pozytywną, jeżeli odpowie na co
najmniej dwa z nich. Oblicz prawdopodobieństwo zdania egzaminu.
Zad.6. W urnie jest 9 kul: cztery kule białe i pięć czarnych. Losujemy kolejno dwie kule bez
zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania za drugim razem kuli białej jeśli
wiadomo, że za pierwszym razem wyciągnięto kulę czarną.
Zad.7. W pudełku jest 25 tranzystorów, z których 20 jest I gatunku, 5 zaś jest II gatunku.
Wybieramy losowo 4 tranzystory. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród nich
a) wszystkie są I gatunku
b) dokładnie dwa są II gatunku
c) co najmniej jeden jest I gatunku.
Zad.8. Mamy dwie urny: w jednej są 2 kule białe i 6 czarnych, w drugiej 6 białych i 3 czarne.
Rzucamy kostką sześcienną. Jeżeli wyrzucimy mniej niż trzy oczka, to losujemy jedną kulę z
pierwszej urny, w przeciwnym wypadku losujemy jedną kulę z drugiej urny. Oblicz
prawdopodobieństwo, że wylosujemy kulę białą.
Zad.9. Z urny zawierającej dziewięć kul ponumerowanych od 1 do 9 losujemy kolejno trzy
kule bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że numery wszystkich wylosowanych
kul będą parzyste.
3
Zad.10. Pierwsza loteria zawiera 20 losów, z których trzy wygrywają. Druga loteria zawiera
10 losów, z których dwa wygrywają. W której z tych loterii kupujący dwa losy ma większą
szansę wygrania?
Zad.11. W urnie jest 8 kul: 5 czarnych, 2 białe i 1 zielona. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
losując trzy razy po jednej kuli bez zwracania, wylosujemy kule różnokolorowe?
Zad.12. Liczbę uczniów klas pierwszych liceum przedstawia poniższa tabela:
KLASA
LICZBA DZIEWCZĄT
IA
IB
IC
13
21
9
LICZBA
CHŁOPCÓW
13
7
15
Z losowo wybranej klasy wybieramy losowo jednego ucznia. Oblicz prawdopodobieństwo, że
będzie to dziewczynka.
Zad.13. W urnie znajduje się 10 kul białych i 15 czarnych. Losujemy 3 kule. Obliczyć
prawdopodobieństwo, że wylosowano:
a) przynajmniej jedną kulę białą
b) dokładnie dwie kule czarne.
Zad.14. W urnie jest 10 kul: 6 białych i 4 czerwone. Losujemy trzy kule. Oblicz
prawdopodobieństwo wylosowania:
a) trzech kul białych
b) jednej kuli białej i dwóch czerwonych
c) co najmniej jednej kuli białej.
Zad.15. Z cyfr 1, 2, 3,...9 losujemy kolejno bez zwracania trzy. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że wszystkie liczby trzycyfrowe otrzymane z tych cyfr będą:
a) większe od 555
b) mniejsze od 444 ?
Zad.16. Ze zbioru liczb {1, 2, 3, ....30} losujemy pięć. Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród
wylosowanych liczb:
a) jedna jest podzielna przez 3
b) co najmniej jedna jest podzielna przez 3
c) co najwyżej jedna jest podzielna przez 3.
Zad.17. Dane są dwa pojemniki. W pierwszym jest 6 kul białych i 5 czarnych, w drugim są 4
białe i 5 czarnych. Z losowo wybranego pojemnika losujemy jedną kulę. Oblicz
prawdopodobieństwo otrzymania kuli czarnej.
Zad.18. Dane są dwa pojemniki. Z pierwszego, w którym znajdują się 4 kule białe i 7
czarnych losujemy jedną kulę i wrzucamy ją do drugiego pojemnika zawierającego
początkowo 3 kule białe i 5 czarnych. Następnie losujemy jedną kulę z drugiego pojemnika.
Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z drugiego pojemnika.
Zad.19. W urnie pierwszej znajduje się 6 kul białych i 4 kule czarne. W urnie drugiej
znajdują się 3 kule białe i 7 kul czarnych. Marek rzuca kostka do gry i jeśli wyrzucona liczba
oczek jest podzielna przez trzy, to losuje dwie kule z urny pierwszej, w przeciwnym wypadku
losuje dwie kule z urny drugiej. Wojtek umieszcza wszystkie kule z urny pierwszej i drugiej
w początkowo pustym pudełku, z którego następnie losuje dwie kule. Który z chłopców z
większym prawdopodobieństwem wylosuje dwie kule białe?
Zad.20. W kopercie K1 znajdują się cztery pytania z matematyki, trzy z historii i pięć z
literatury, natomiast w kopercie K2 są dwa pytania z geografii, cztery z matematyki i sześć z
literatury. Uczestnik konkursu „OMNIBUS” losuje jedną literę z wyrazu OMNIBUS. Jeśli
wylosował spółgłoskę, to wybiera jedno pytanie z koperty K1, w przeciwnym przypadku
4
losuje jedno pytanie z koperty K2. Uczestnikowi marzy się wylosowanie pytania z historii lub
z matematyki. Porównaj prawdopodobieństwo zdarzenia: „spełniło się marzenie uczestnika” z
prawdopodobieństwem zdarzenia: „uczestnik konkursu wylosował pytanie z literatury”.
Zad.21. Z liczb 1, 4, 5, 6, 7 losujemy kolejno dwie (bez zwracania). Oblicz
prawdopodobieństwo, że suma liczb jest mniejsza od 7 pod warunkiem, że za pierwszym
razem wylosowano liczbę nieparzystą.
Zad.22. W dwóch koszykach jest po 10 białych piłek tenisowych. Jak dodatkowo rozmieścić
w tych koszykach 20 żółtych piłek tenisowych tak, aby prawdopodobieństwo wylosowania
7
żółtej piłki z losowo wybranego koszyka było równe
15
Zad.23. Urna zawiera 1 kulę czarną i pewną ilość białych. Losujemy z urny jedną kulę,
zatrzymujemy ją, a następnie losujemy drugą kulę. Ile powinno być kul białych w urnie, aby
2
prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul białych było równe .
3
Zad.24. Z urny, w której znajduje się 10 białych i 5 czarnych kul, dwukrotnie losujemy po
jednej kuli. Niech A oznacza zdarzenie polegające na wylosowaniu kul o różnych kolorach, a
zdarzenie B oznacza wylosowanie kul w tym samym kolorze.
a) Oblicz P(A) i P(B) wiedząc, że losowanie kul odbywa się ze zwracaniem.
b) Ile kul czarnych należy dodać do urny, aby P(A) = P(B), gdy losujemy kule bez
zwracania?
5