Sprawdzian całoroczny klasa pierwsza - matematyka rozszerzona

Sprawdzian całoroczny
klasa pierwsza - matematyka rozszerzona - A
(wersja dla nauczyciela)
Zad.01. (3p)
Dana jest liczba = (9 − 5√3)(9 + 5√3). Liczbę √15 można przedstawić w postaci =
, gdzie ,
są liczbami całkowitymi. Podaj wartości liczb i . Oblicz wartość liczby z dokładnością do części setnych.
• znajomość wzorów skróconego mnożenia (mnożenie wyrażeń w nawiasach) (0p – 1p)
• rozkład liczb na czynniki i wyciąganie przed pierwiastek
(0p – 1p)
• zaokrąglanie z zadaną dokładnością, zastosowanie kalkulatora.
(0p – 1p)
Rozwiązanie:
= 9 − 5√3 9 + 5√3 = 81 − 75 = 6.
√15 = √15 ∙ 6 = √2 ∙ 5 ∙ 3 = 3√10 .
Zatem
= 3 , = 10. 3√10 ≈ 9,49
Odpowiedź: = 3
= 10 oraz 3√10 ≈ 9,49
Zad.02. (2p)
Oblicz iloczyn liczb
•
•
!
"
#
i 7
# #
.
Potęga liczby w zależności od znaku
Działania na potęgach o tej samej podstawie.
(0p – 1p)
(0p – 1p)
Rozwiązanie:
"
!
#
# #
∙ (7)
Odpowiedź:
Zad.03. (3p)
!
"
#
= (−1)
∙ (7)
#
# #
∙ !%&'' ∙ 7
# #
= −7
#
∙7
# #
= −7
#
( # #
= −7
= − !.
= −!
(+( )%
Dane są wyrażenia: = % i =
. Zrób odpowiednie założenia i wynik mnożenia podanych wyrażeń
) *
,+(, przedstaw w jak najprostszej postaci.
• ustalanie dziedziny wyrażenia
(0p – 1p)
• rozkład na czynniki
(0p – 1p)
• skracanie wyrażeń podobnych.
(0p – 1p)
Rozwiązanie:
= )%
. = / ∈ ℛ ∧ − 4 ≠ 04 = / ∈ ℛ ∧ ≠ −2 ∧ ≠ 24 = ℛ\/−2,24.
*
( + 2)
=
3 +6
. = / ∈ ℛ ∧ 3 + 6 ≠ 04 = / ∈ ℛ ∧ 3 ≠ −64 = ℛ\/−24
( + 2) 2
12
12 ∙ ( + 2)2
4
∙ =
∙
=
=
−4 3 +6
3( − 2)( + 2)( + 2) ( − 2)
*
Odpowiedź: ∙ = )
Zad.04. (2p)
Ile liczb pierwszych jest zawartych w zbiorze 7−118, 837) ∩ 70,19:.
• część wspólna przedziałów liczbowych
• znajomość definicji liczby pierwszej.
Rozwiązanie:
7−118, 837) ∩ 70,19: = 70,19:.
Wypiszmy liczby pierwsze nie mniejsze od 0 i nie większe od 19: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19
(liczba 1 nie jest liczbą pierwszą)
Odpowiedź: W przedziale 70,19: jest 8 liczb pierwszych.
(0p – 1p)
(0p – 1p)
Zad.05. (2p)
Ile najwięcej, a ile najmniej elementów jest w zbiorze ; gdy zbiór < ma 10 elementów, a w ; ∪ < jest ich 20.
Odpowiedź uzasadnij.
• znajomość definicji sumy zbiorów
(0p – 1p)
• umiejętność argumentacji.
(0p – 1p)
Rozwiązanie:
Możliwe są dwa skrajne układy zbiorów: a) zbiory ; i < są rozłączne lub b) zbiór < jest zawarty w ;.
a)
b)
>>>>>>>
a) >>>>>>>
; ∪ < = 20 i <> = 10 i ; ∩ < = ∅ wtedy ;@ = 10 b) ;
∪ < = 20 i <> = 10 i < ⊂ ; wtedy ;@ = 20
Odpowiedź: W zbiorze A najmniej elementów to 10, a najwięcej to 20.
Zad.06. (2p)
Zapisz przy pomocy nierówności z wartością bezwzględną zbiór liczb opisany poniższym zdaniem.
„Zbiór wszystkich liczb B, których odległość od liczby (−C) na osi liczbowej jest nie mniejsza niż D”.
• znajomość definicji wartości bezwzględnej
(0p – 1p)
• umiejętność stosowania nierówności.
(0p – 1p)
Rozwiązanie:
Odległość liczby x od liczby b zapisujemy E = | − |. Czyli E = | + 2|.
Odległość ma być nie mniejsza od 7 (E ≥ 7) zatem: | + 2| ≥ 7
Odpowiedź: | + 2| ≥ 7.
Zad.07. (2p)
Wykaż, że zdanie logiczne (H ∧ I) ⇒ ~(~H ∨ ~I) jest tautologią.
• zastosowanie praw de Morgana
• zastosowanie prawa podwójnego przeczenia
lub
• tabelka wartości logicznych.
Rozwiązanie:
H ∧ I ⇒ ~ ~(H ∧ I) ⇒ ~(~H ∨ ~I)
lub
p
q
H∧I
~H
~I
~H ∨ ~I ~(~H ∨ ~I)
0
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
1
0
0
0
1
Odpowiedź: To zdanie jest tautologią.
(0p – 1p)
(0p – 1p)
(0p – 2p)
H ∧ I ⇒ ~(~H ∨ ~I)
1
1
1
1
Zad.08. (3p)
Podaj wartości parametrów i dla których wektory M
NO = P2 − 4 , 5 − 2Q i RO = 2 ∙ P5,
• znajomość działań na wektorach
• znajomość definicji wektora przeciwnego
• porównywanie wektorów.
Rozwiązanie:
RO = 2 ∙ P5, Q = P10, 2 Q a wektor do niego przeciwny to −RO = P−10, −2 Q
M
NO = −RO czyli P2 − 4 , 5 − 21Q = P−10, −2 Q
2 − 4 = −10 ∧ 5 − 21 = −2
4 = 12 ∧ 7 = 21
=3∧ =3
Odpowiedź: = 3 ∧ = 3.
Q są przeciwne.
(0p – 1p)
(0p – 1p)
(0p – 1p)
Zad.9. (13p)
Dany jest wykres funkcji S( ). Podaj dla S( ) dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, najmniejszą
i największą wartość w dziedzinie, przedziały monotoniczności. Zbadaj parzystość i okresowość tej funkcji.
Narysuj wykres funkcji T( ) = |S( + 1)|.
• dziedzina
• zbiór wartości
• miejsca zerowe
• najmniejsza i największa wartość
• monotoniczność: rosnąca, malejąca, stała
• parzystość
• okresowość
• wykres S( + 1)
• wykres |S( + 1)|
Rozwiązanie i odpowiedź:
. = 7−9,9:
UV = 7−3,5:
S( ) = 0 ⇔ = −2 ∨ = 2
SXYZ = −3 ∧ SX[) = 5
S ↗ ⇔ ∈ 7−9, −3: ∨ ∈ 7−1,0: ∨ ∈ 71,3:
S ↘ ⇔ ∈ 7−3, −1: ∨ ∈ 70,1: ∨ ∈ 73,9:
S ⟶⇔ ∈∅
S jest funkcją parzystą (wykres symetryczny względem osi OY)
S nie jest funkcją okresową.
S( + 1)
(0p – 1p)
(0p – 1p)
(0p – 2p)
(0p – 2p)
(0p – 3p)
(0p – 1p)
(0p – 1p)
(0p – 1p)
(0p – 1p)
|S( + 1)|
Zad.10. (1p)
Podaj miarę łukową kata 75°.
• umiejętność przeliczania miar kątów
Rozwiązanie:
!`°
`
= a#° ∙ b. Czyli = b.
Odpowiedź:
=
`
(0p – 1p)
b.
Zad.11. (2p)
,`
Podaj wartość cdT , b.
• umiejętność stosowania wzorów redukcyjnych
• znajomość wartości funkcji dla kątów charakterystycznych
Rozwiązanie:
cdT
,`
,
e
e
e
b = cdT 12b − , " = cdT − , " = −cdT , = −
Odpowiedź: cdT
,`
,
b=−
√,
.
,
(0p – 1p)
(0p – 1p)
√,
.
,
Zad.12. (3p)
W trójkącie prostokątnym o kątach ostrych f, g zachodzi równość h if + cjhg =
Oblicz wartość h if ∙ cjhg.
• analiza zadania (zastosowanie cjhg = h if)
• obliczenie h if
• wykonanie przekształceń
Rozwiązanie:
[
h if = k ,
[
cjhg = k czyli
h if + h if =
h if ∙ cjhg =
Odpowiedź: h if ∙ cjhg =
√!
, h if =
7
√7 √7
∙
=
4 4
16
√!
h if = cjhg
√!
,
*
cjhg =
√!
*
!
.
-
Za oryginalne, prawidłowe rozwiązania dodatkowe punkty według oceny nauczyciela.
Ocena:
0p – 15p
1 (ndst)
16p – 20p
2 (dop)
21p – 28p
3 (dst)
29p – 34p
4 (db)
35p – 38p
5 (bdb)
38p
6 (cel)
.
(0p – 1p)
(0p – 1p)
(0p – 1p)