Zad.5 - i lo tczew

1
„ Liczby całkowite stworzył dobry Bóg,
resztę wymyślili ludzie”
Leopold Kronecker
ZESTAW ZADAŃ dla uczniów kl.II – ETAP PIERWSZY
Zad.1
Dla jakich wartości parametru m reszta z dzielenia wielomianu
W(x) = x2 + (m + 4)x + 2m + 2 przez dwumian x – m jest większa
od sumy, a mniejsza od iloczynu pierwiastków tego wielomianu?
Zad.2
Dla jakich wartości parametrów m i k parabole
y  x 2  (m  1) x  m
y  x 2  2kx  k 2  1
mają wspólny wierzchołek?
Zad.3
Który z poniższych schematów, będących interpretacją fizyczną zdań,
odpowiada zdaniu  p  q  r ? Podaj zdanie odpowiadające drugiemu
schematowi.
A.
q
P
r
B.
p
q
r
Zad.4
Rozwiąż graficznie układ równań:
3 x  2y  1
2x  y  4
Zad.5
Dla jakich wartości parametrów p i q równanie x3 + px + q = 0 ma trzy
pierwiastki x1 , x2 , x3 takie, że x1= x2= x3 + 6 ?
2
Zad.6
Udowodnij twierdzenia:
a) Suma kwadratów dwóch kolejnych liczb podzielnych przez 5 jest liczba
podzielna przez 25.
b) Jeśli n jest liczbą naturalną, to liczba 6 n 2  6 n jest podzielna przez 37.
c) Jeśli n jest liczbą nieparzystą, to liczba n 3  3n 2  n  3 jest podzielna
przez 48.
d) Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej n , liczba 2n 3  n jest
podzielna przez 3.
Zad.7
Upraszczając pierwiastek kwadratowy z liczby 27  10 2 , zapiszemy ją w
postaci kwadratu sumy dwóch liczb. Postępujemy następująco:
27  10 2  25  10 2  2 
52  2  5 
2
 2
2

5  2 
2
 5 2  5 2 .
Przeanalizuj ten przykład, a następnie stosując analogiczne postępowanie,
uprość 11  6 2 .
Zad.8
Wszystkie pary liczb naturalnych x, y  spełniające równanie xy  4 y  7 można
wyznaczyć stosując następującą metodę:
 Zapisać lewą stronę równania w postaci iloczynu x  4y  7 ;
 Stwierdzić, że zarówno x  4 jak i y muszą być liczbami naturalnymi;
 Zauważyć, że liczbę 7 daje się przedstawić w postaci iloczynu dwóch
liczb naturalnych tylko na jeden sposób, a korzystając z przemienności
mnożenia mamy dwie możliwości 7  1 lub 1 7;
 Rozpatrzyć dwa przypadki
x  4  1
lub

 y7
x  4  7

 y  1;
 Wyznaczyć wszystkie pary liczb spełniające te warunki
x  5

y  7
lub
 x  11

 y  1.
Stosując przedstawioną wyżej metodę wyznacz wszystkie pary liczb
naturalnych x, y  spełniające równanie xy  y  4.
Zad.9
Wiedząc, że wielomian x 3  ax 2 
1
ma dwukrotny pierwiastek.
2
Wyznaczyć parametr a.
Zad.10
Naszkicuj wykresy funkcji: f x  
w przedziale  2 ;2 .
cos x
cos x
,
g x  
sin x
 x , hx   sin x  sin x
sin x
3
Zad.11
Sprawdź tożsamości:
a) tg 6 
sin 2   tg 2
,
cos 2   ctg 2
b)
1  sin 4   cos 4  2
 .
1  sin 2   cos 6  3
Zad.12
W rodzinie jest pięcioro dzieci. Jaś jest dwa razy starszy od Tereni. Ela i Terenia
razem mają dwa razy tyle lat, co Jaś. Sławek i Jaś razem mają dwa razy tyle lat,
co Ela i Terenia razem. Hania, Ela i Terenia razem mają dwa razy tyle lat, co
Sławek i Jaś. Hania właśnie ukończyła lat 21. Ile lat ma każde z pozostałego
rodzeństwa ?
Zad.13
O godzinie 800 Ania wyjechała rowerem ze średnią prędkością 12km/h. Po 2
godzinach jazdy zepsuł się jej rower. Po prawie godzinnej próbie zreperowania
Ania pozostawiła rower w pobliskim domu i o godzinie 11 00 wyruszyła, idąc ze
średnią prędkością 4km/h, dalej pieszo. Na zaplanowane miejsce dotarła o
godzinie 1400.
a)Napisz wzór wyrażający drogę Ani jako funkcję czasu.
b)Narysuj wykres tej funkcji.
c)Jaką drogę przebyła Ania?
Zad.14
W zbiorze liczb naturalnych bez zera określamy działania ,  w następujący
sposób:
nm = największy wspólny dzielnik m , n ,
nm = najmniejsza wspólna wielokrotność liczb m , n.
a) Czy działania ,  są wykonalne w zbiorze N \ 0?
b) Wyznacz: 23 ; 36 ; 68 ; 86 ; 43 ; 1218 ; 1218.
Zad.15
Zbiór G nazywamy grupą ze względu na działanie wewnętrzne  w tym
zbiorze, jeżeli są spełnione następujące warunki:
1  (a  b)  c  a  (b  c)
a ,bG
2   e  a  a  e  a
eG aG
3  
a  a 1  a 1  a  e
1
aG a G
W zbiorze liczb całkowitych C określamy działanie: a  b  a  b  1. Czy zbiór C
tworzy grupę względem tego działania? Odpowiedź uzasadnij.
POWODZENIA !