Ćwiczenia 4

Ćwiczenia 4
1. Doświadczenie polega na jednokrotnym rzucie symetryczną kostką do
gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania parzystej liczby oczek jeżeli
wiadomo, że otrzymano liczbę oczek większą od trzech.
2. Doświadczenie polega na losowym wyborze jednej liczby ze zbioru
{1,2,...,7}. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania liczby parzystej
jeżeli wiadomo, że otrzymano liczbę podzielną przez trzy.
3. Doświadczenie polega na losowym wyborze jednej liczby ze zbioru
{1,2,...,11}. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania liczby parzystej
jeżeli wiadomo, że otrzymano liczbę większą od sześciu.
4. Doświadczenie polega na losowym wyborze jednej karty z talii 52 kart.
Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania pika jeżeli wiadomo, że
wylosowana karta nie jest kierem i nie jest asem.
5. Z pojemnika, w którym znajdują się cztery kule białych i siedem kul czarnych
losujemy kolejno dwa razy po jednej kuli bez zwracania. Oblicz
prawdopodobieństwo otrzymania w drugim losowaniu kuli białej jeżeli
wiadomo, że w pierwszym losowaniu otrzymano kulę:
a) białą,
b) czarną.
6. Doświadczenie polega na dwukrotnym rzucie symetryczną monetą.
Przyjmując oznaczenia dla zdarzeń:
A – otrzymamy dwa orły,
B – w drugim rzucie otrzymamy orła,
C – otrzymamy co najmniej jednego orła,
oblicz P( A | B) i P( A | C ).
7. Rozpatrujemy rodziny z dwojgiem dzieci. Zakładając, że każdy z czterech układów
płci dzieci jest jednakowo prawdopodobny i przyjmując oznaczenia dla zdarzeń:
A – w rodzinie będzie dwóch chłopców,
B – starsze dziecko jest chłopcem,
C – co najmniej jedno dziecko jest chłopcem,
oblicz P( A | B) i P( A | C ).
8. Doświadczenie polega na tym, że z pojemnika, w którym znajdują się trzy kule białe
i cztery kule czarne losujemy kolejno dwa razy po jednej kuli bez zwracania. Oblicz
prawdopodobieństwo otrzymania w drugim losowaniu kuli białej jeżeli wiadomo, że
otrzymano:
a) kule o różnych kolorach,
b) kule tego samego koloru.
9. Doświadczenie polega na tym, że ze zbioru liczb {1,2,...,9} losujemy
kolejno dwa razy po jednej liczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo,
że wśród liczb będzie 2 jeżeli wiadomo, że suma wylosowanych liczb jest nieparzysta.
10. Doświadczenie polega na tym, że rzucamy dwa razy symetryczną sześcienna kostką do
gry. Oblicz prawdopodobieństwo iloczynu liczb oczek większego od 5 jeżeli wiesz,
że suma otrzymanych liczb oczek jest równa 5.
11. Doświadczenie polega na tym, że z talii 52 kart losujemy kolejno dwa razy po jednej
karcie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania asa w drugim losowaniu
jeżeli wiadomo, że pierwsza karta
a) była królem,
b) nie była królem.
12. Doświadczenie polega na tym, że z talii 52 kart losujemy jednocześnie cztery karty.
Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania jednego asa jeżeli wiadomo, że wśród
wylosowanych kart
a) jest dama pik,
b) jest jedna dama,
c) są dwa walety.
13. Wiedząc, że P( B )  0, 25; P( A | B)  0, 4, oblicz P( A  B).
14. Wiedząc, że P( A )  0,3; P( B)  0,6; P( B | A)  0, 2, oblicz P( A  B).
16. Wiedząc, że P( A  B )  0,2; P( A | B)  0,4; P( B | A)  0,8, oblicz P( A  B).
P( B \ A)
.
P( B)
18. Wiedząc, że P( A )  0,5; P( A | B)  0,5; P( B | A)  0,4, oblicz P( B) oraz P( A  B).
17. Wiedząc, że P( A | B)  0,3, oblicz
19. Dane są dwa zbiory liczb: B = {1,2,3}, C = {0,1,2,3,4}. Doświadczenie polega na
losowym wyborze jednej liczby z losowo wybranego zbioru. Oblicz prawdopodobieństwo
zdarzenia A – otrzymamy liczbę parzystą.
20. Dane są dwa pojemniki. W pierwszym są trzy kule białe i jedna kula czarna,
w drugim jedna kula biała i dwie kule czarne. Z losowo wybranego pojemnika
losujemy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania kuli czarnej.
21. Dane są dwa zbiory liczb: C = {0,1,2}, D = {1,2,3,4,5}.
Rzucamy dwiema symetrycznymi monetami i gdy otrzymamy dwie
reszki losujemy jedną liczbę ze zbioru C, w przeciwnym przypadku
losujemy jedną liczbę ze zbioru D. Oblicz:
a) prawdopodobieństwo otrzymania liczby parzystej,
b) prawdopodobieństwo, że otrzymano dwie reszki w rzutach
monetami jeżeli wylosowano liczbę parzystą.
22. Dane są dwa pojemniki. W pierwszym są trzy kule oznaczone liczbami 0,1,2,
w drugim jest pięć kul oznaczonych liczbami 1,2,3,4,5. Losujemy jedną kulę z
pierwszego pojemnika i przekładamy ją do drugiego, a następnie losujemy jedną kulę
z drugiego pojemnika (w drugim pojemniku jest teraz sześć kul). Oblicz:
a) prawdopodobieństwo otrzymania kuli oznaczonej liczbą parzystą w losowaniu
z drugiego pojemnika,
b) prawdopodobieństwo, że z pierwszego pojemnika wylosowano kulę oznaczoną
liczba parzystą jeżeli wiadomo, że z drugiego pojemnika wylosowano kulę
oznaczoną liczbą parzystą.
23. Dane są dwa pojemniki. W pierwszym są trzy kule białe i dwie kule czarne,
w drugim są cztery kule białe i jedna kula czarna. Z losowo wybranego pojemnika
losujemy dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania kul o różnych kolorach.
24. Strzelec X trafia do celu w pojedynczym strzale z prawdopodobieństwem 0,9, a strzelec Y
z prawdopodobieństwem 0,6. Wybieramy losowo jednego strzelca, który strzela do celu. Oblicz:
a) prawdopodobieństwo, że cel zostanie trafiony,
b) prawdopodobieństwo, że strzelał strzelec X jeżeli wiadomo, że
cel został trafiony.
25. Strzelec X trafia do celu w pojedynczym strzale z prawdopodobieństwem 0,7, strzelec Y
z prawdopodobieństwem 0,8, a strzelec Z z prawdopodobieństwem 0,9. Wybieramy losowo
jednego strzelca, który strzela do celu. Oblicz:
a) prawdopodobieństwo, że cel zostanie trafiony,
b) prawdopodobieństwo, że strzelał strzelec X jeżeli wiadomo, że
cel został trafiony.
26. Na egzaminie z matematyki 60% zadań to zadania z algebry, 30% to zadania z geometrii,
natomiast pozostałe zadania są z rachunku prawdopodobieństwa. Wśród tych zadań,
zadania łatwe to odpowiednio 40%, 30% i 20% . Losujemy jedno zadanie, z tego
zbioru zadań. Oblicz:
a) prawdopodobieństwo, że wylosowane zadanie będzie łatwe,
b) prawdopodobieństwo, że wylosowane zadanie było z rachunku
prawdopodobieństwa jeżeli okazało się, że jest łatwe.
27. W salonie gier stoją cztery automaty do gry. W jednym z nich można wygrać
z prawdopodobieństwem 0,4 a w trzech pozostałych z prawdopodobieństwem 0,375
Oblicz prawdopodobieństwo wygrania, jeżeli automat wybieramy losowo.
28. Z pojemnika, w którym jest b kul białych i c kul czarnych losujemy jedną kulę, zwracamy
ją do pojemnika, i dokładamy do pojemnika s kul koloru wylosowanego. Następnie
losujemy jedną kulę z pojemnika, w którym jest teraz b  c  s kul. Oblicz
prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej w drugim losowaniu.
Uwaga. Opisany w treści zadania schemat losowania nazywamy
schematem Polya.
29. Stacja paliw obsługuje tylko samochody osobowe i dostawcze. Stosunek liczby
samochodów osobowych do liczby samochodów dostawczych tankujących paliwo na tej
stacji jest równy 3:2. 70% samochodów osobowych tankuje etylinę, 30% olej napędowy;
90% samochodów dostawczych tankuje olej napędowy, 10% etylinę. Oblicz:
a) prawdopodobieństwo, że samochód który podjedzie, będzie tankował etylinę,
b) prawdopodobieństwo, że podjechał samochód dostawczy, jeżeli wiadomo że
tankował olej napędowy
30. Wybieramy losowo jedną liczbę ze zbioru {1,2,3} i gdy otrzymamy liczbę k, to rzucamy k
razy symetryczną monetą. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej jednego
orła.
31. Ze zbioru liczb {1,2,...,6} wybieramy losowo jedną liczbę. Czy zdarzenia
A – otrzymamy liczbę parzystą,
B – otrzymamy liczbę podzielną przez 3
są niezależne?
32. Ze zbioru liczb {1,2,...,8} wybieramy losowo jedną liczbę. Czy zdarzenia
A – otrzymamy liczbę pierwszą,
B – otrzymamy liczbę podzielną przez 3
są niezależne?
33. Ze zbioru liczb {1,2,...,15} wybieramy losowo jedną liczbę. Czy zdarzenia
A – otrzymamy liczbę podzielną przez 3,
B – otrzymamy liczbę podzielną przez 7
są niezależne?
34. Z pojemnika, w którym znajdują się trzy kule białe i dwie kule czarne losujemy
jednocześnie dwie kule. Czy zdarzenia
A – otrzymamy co najmniej jedną kulę białą,
B – otrzymamy co najmniej jedną kulę czarną
są niezależne?
35. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Czy zdarzenia
a) A – suma oczek na obu kostkach będzie równa siedem,
B – w drugim rzucie otrzymamy liczbę oczek podzielną przez 3,
b) A – suma oczek na obu kostkach będzie równa pięć,
B – w drugim rzucie otrzymamy nieparzystą liczbę oczek,
c) A – suma oczek na obu kostkach będzie równa cztery,
B – iloczyn oczek na obu kostkach będzie równy osiem,
są niezależne?
1
2
4
5
37. Zdarzenia A i B są niezależne, P( A )  0, 3P( A  B)  P( A). Oblicz P ( B  ).
1
1
38. Zdarzenia A i B są niezależne, P( A )  , P( A  B)  . Oblicz P( A  B ).
2
6
1
1
39. Zdarzenia A i B są niezależne, P( B )  , P( A  B)  . Oblicz P( A  B ).
4
12
2
1
40. Zdarzenia A i B są niezależne, P( B )  , P( A  B)  . Oblicz P( A \ B ).
3
2
41. Zdarzenia A i B są niezależne, P( A )  0, P( B)  0, 3P( A \ B)  P( A). Oblicz P ( B  ).
42. Czy zdarzenia A i B są niezależne, gdy P( A)  0,4; P( B )  0,5; P( A  B)  0,7.
43. Czy zdarzenia A i B są niezależne, gdy P( A)  0,5; P( B )  0,4; P( A \ B)  0,3.
36. Zdarzenia A i B są niezależne, P( B )  , P( A  B)  . Oblicz P( A).
44. Mamy dwa pojemniki. W pierwszym są trzy kule białe i jedna kula czarna, w drugim
jedna kula biała i dwie kule czarne. Z każdego pojemnika losujemy po jednej kuli. Oblicz
prawdopodobieństwo otrzymania:
a) dwóch kul białych,
b) kul różnych kolorów,
c) co najmniej jednej kuli białej.
45. Mamy trzy pojemniki. W pierwszym są dwie kule białe i jedna kula czarna, w drugim jedna
kula białe i trzy kule czarne, a w trzecim jedna kula biała i jedna kula czarna. Z każdego
pojemnika losujemy po jednej kuli. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania:
a) trzech kul białych,
b) co najmniej jednej kuli białej,
c) jednej kuli białej.
46. Do zabezpieczenia instalacji elektrycznej użyto dwa niezależnie działające bezpieczniki.
W przypadku awarii pierwszy bezpiecznik działa z prawdopodobieństwem 0,96, a drugi
z prawdopodobieństwem 0,99. Oblicz prawdopodobieństwo, że w przypadku awarii zadziała:
a) co najmniej jeden bezpiecznik,
b) dokładnie jeden bezpiecznik.
47. Strzelec A trafia w cel z prawdopodobieństwem równym 0,4, a strzelec B
z prawdopodobieństwem równym 0,8. Strzelcy oddają po jednym strzale do tego samego celu.
Oblicz prawdopodobieństwa zdarzeń:
a) cel zostanie dwa razy trafiony,
b) cel zostanie co najmniej raz trafiony,
c) cel zostanie dokładnie raz trafiony.
48. Przy danych z poprzedniego zadania oblicz prawdopodobieństwo, że strzelec A trafił,
jeżeli okazało się, że cel został dokładnie raz trafiony.
49. Strzelec A trafia w cel z prawdopodobieństwem równym 0,3, strzelec B
z prawdopodobieństwem równym 0,6, a strzelec C z prawdopodobieństwem równym 0,8.
Strzelcy oddają po jednym strzale do tego samego celu. Oblicz prawdopodobieństwa zdarzeń:
a) cel zostanie trzy razy trafiony,
b) cel zostanie co najmniej raz trafiony,
c) cel zostanie dokładnie raz trafiony.
50. Przy danych z poprzedniego zadania oblicz prawdopodobieństwo, że strzelec A trafił,
jeżeli okazało się, że cel został dokładnie raz trafiony.