Zaliczenie z matematyki będzie obejmować następujące tematy: 1. Działania na zbiorach oraz znak sumy. 2. Macierze – dodawanie i mnożenie macierzy oraz iloczyn macierzy przez liczbę, rząd macierzy, macierz transponowana, macierz odwrotna, operacje elementarne na macierzy. 3. Wyznaczniki, rozwinięcie Laplace’a wyznacznika według elementów i-tego wiersza (j-tej kolumny) 4. Układy równań liniowych – układ oznaczony, układ nieoznaczony, układ sprzeczny. Rozwiązywanie układów równań liniowych (wzory Cramera, operacje elementarne), rozwiązanie ogólne i rozwiązania szczególne, rozwiązanie bazowe. Postać bazowa macierzy. Układ równań jednorodnych. 5. Liniowa kombinacja, zależność i niezależność wektorów. Przykładowe zadania do tematów: 1.1 Dane są zbiory: A={1,3,4,6} oraz B={0,2,4}. a) Podać: A B, A B, A B . b) Podać wszystkie podzbiory zbioru A. c) Ile wynosi liczba podzbiorów zbioru B? 1.2 Posługując się znakiem sumy zapisać sumę dodatnich liczb parzystych, 10 oraz 50 . 1.3 Obliczyć: 25 10 a) (3 p m) ……. p 6 m 0 16 d) 25 10 b) (3 p m) ….. 35 10 c) p 6 m0 20 9 7 (1 g m) ……. e) 4 2k ….. f) 2m 5 ……. k 0 g 4 m0 (3 f h) ….. f 16h 0 m 3 2.1 Dane są następujące macierze: 2 1 . 2 1 1 oraz A 1 0 0 B 0 3 1 1 a) Obliczyć iloczyny: A B , AT B T , B A , B T AT . b) Obliczyć A 3 B T . 2.2 Dana jest macierz: 0 3 1 . Wyznaczyć macierz odwrotną dowolną metodą. A 0 1 1 2 0 1 2.3 Wyznaczyć macierz odwrotną metodą operacji elementarnych jeśli dana jest macierz: 1 1 a) A 2 b) 1 B 0 2 1 2 1 1 3 . 2 1 2.4 Jaki jest rząd następujących macierzy: 2 1 A 2 0 0 2 0 0 1 1 1 0 1 0 4 3 6 1 B 0 0 0 4 9 3 0 1 0 0 1 6 0 0 0 0 C 0 0 3.1 Niech dane będą dwie macierze kwadratowe: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 2 0 D 1 0 1 0 2 A 0 1 1 2 . 2 3 4 9 4 3 2 3 0 1 0 0 3 1 1 2 2 3 oraz 3 B 1 2 1 0 Obliczyć det ( A B ), detA oraz detB. 3.2 Dana są macierze: 2 1 A 2 0 1 2 0 1 B 0 1 0 1 0 0 0 2 0 0 23 5 12 8 Obliczyć wyznaczniki detA oraz detB. 3.3 Rozwiązać względem x równanie: 0 1 1 0 1 x 0 1 x 1 4.1 Rozwiązać następujące układy równań: a) y z t 1 x z t 2 (dowolną x y t 1 x yz 0 metodą) b) x y z 1 xz 2 y x z 0 (wzory Cramera) c) x1 2 x2 x3 0 x1 x2 x3 0 x x 0 2 3 d) 3x 1 x 2 x3 0 x 2 x3 0 4x 4x 0 2 3 Uwaga: Układ równań jednorodnych zawsze posiada rozwiązanie zerowe (czyli nigdy nie jest sprzeczny). Wystarczającym warunkiem aby układ jednorodny był oznaczony (miał jedno jedyne rozwiązanie – rozwiązanie zerowe) jest: detA 0 4.2 Dany jest układ: x1 x2 2 x4 1 4 x2 x3 x4 2 Znaleźć rozwiązanie bazowe układu, względem: a) x1 i x 2 (zmienne bazowe) b) x3 i x 4 (zmienne bazowe) c) x1 i x3 (zmienne bazowe) Dla wszystkich podpunktów podać jedno rozwiązanie szczególne oraz rozwiązanie bazowe. 4.3 Dla jakich wartości parametru k układ równań jest niesprzeczny. x1 kx2 1 Wyznaczyć jego rozwiązania. kx 4 x 0 2 1 4.4. Rozwiązać równanie macierzowe względem X. 3 5 2 4 5 2 1 0 1 0 a) b) c) X X X 1 2 1 6 9 0 1 2 1 3 5.1. Sprawdzić czy wektor b jest kombinacją liniową wektorów a. a) b=(-1,3,2,6), a1=(3,1,-2,0), a2=(1,2,0,3). b) b=(1,1,2), a1=(2,2,-1), a2=(0,4,8), a3=(-1,-1,3). 5.2. Sprawdzić czy układy wektorów są liniowo niezależne: a) a=(1,1,1) b=(1,2,3) c=(1,3,3) b) a=(1,-1,0,1) b=(0,2,-1,1) c=(1,3,2,0) Uwaga: Układ n+1 wektorów z przestrzeni Vn jest zawsze liniowo zależny.