Macierze - teoria - Nisko Met_Num_Macierze - Amanar

Macierze - teoria.doc
(167 KB) Pobierz
1. PODSTA
WY RACHUNKU MACIERZOWEGO.
Niech dane będą liczby: a, b, c, d.
Liczbę
ad–bc
zapisujemy w postaci:
i nazywamy wyznacznikiem liczbowym stopnia II, czyli:
np.
Wyznacznikiem stopnia
nazywamy liczbę:
Dla wyznaczników stopnia III stosuje się wzór:
Transpozycją wyznacznika D nazywamy wyznacznik DT :
gdzie:
i, k = 1, 2, 3, ….. n
bik = aki
np. dla :
Def.1.
Transpozycja
wyznacznika
nie
zmienia
jego
wartości tzn. D = DT.
Def. 2.
Zamiana miejscami dwóch dowolnych wierszy
(kolumn) wyznacznika D powoduje
zmianę znaku tego wyznacznika.
Def. 3. Jeżeli wyznacznik ma dwa jednakowe wiersze
(kolumny) to jest on równy 0.
Def. 4. Aby pomnożyć wyznacznik przez liczbę, należy przez
tę liczbę pomnożyć dowolny
jeden jego wiersz albo jedną jego kolumnę.
Def. 5. Wyznacznik mający pod (nad) główną przekątną same
zera jest równy iloczynowi
elementów głównej przekątnej.
Def. 6. Wyznacznik jest równy 0, jeżeli wiersze (kolumny) są
liniowo zależne.
np.
Def. 7. Wyznacznik o dwóch proporcjonalnych wierszach
(kolumnach) = 0.
Def. 8. Wyznacznik mający wiersz (kolumnę) zerową = 0.
2. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH.
Weźmy pod uwagę układ równań:
gdzie
aik i bi są liczbami rzeczywistymi (zespolone),
x1 x2 … x n
- szukane niewiadome
Def. 1. Rozwiązaniem układu nazywamy każdy
uporządkowany układ liczb: 
które wstawione w miejsce niewiadomych do lewych stron
układu równań zamieniają wszystkie te równania w
prawdziwe równości liczbowe.
Def. 2. Jeżeli układ ten posiada przynajmniej 1 rozwiązanie
to nazywamy go układem zgodnym.
Jeżeli rozwiązań tych jest nieskończenie wiele to układ
nazywamy nieoznaczonym
( jeśli posiada dokładnie 1 to nazywamy go układem
oznaczonym ).
Jeżeli układ nie posiada ani jednego rozwiązania to układ jest
sprzecznym.
Tw. Cramera.
Układ Cramera posiada dokładnie 1 rozwiązanie dane
wzorami:
…..
Przykład.
Rozwiązać układ równań:
x – 2y + z = 1
2x + y – z = 0
x – y + 3z = 2
3. MACIERZE.
Macierzą A nazywamy układ m
x
n
liczb rzeczywistych lub zespolonych zgrupowanych
w tablicę:
gdzie:
m - ilość wierszy;
n – ilość kolumn
Jeżeli n = 1 to macierz składa się tylko z jednej kolumny i
nazywa się wektorem kolumnowyn.
Dla m = n macierz A nazywamy macierzą kwadratową.
Jeżeli det A = 0 to macierz kwadratowa A nazywa
się osobliwą.
Jednym z rodzajów macierzy kwadratowych są macierze
przekątniowe (diagonalne), które mają wartości różne od
zera tylko na głównej przekątnej, np.:
Natomiast szczególnym przypadkiem macierzy A jest
macierz jednostkowa An stopnia n określona wzorem:
Macierze A i B są sobie równe (A = B), jeśli ich wszystkie
wyrazy są równe: aij = bij .
Iloczyn macierzy A i liczby
jest macierzą
.
Suma dwóch macierzy o takich samych wymiarach C = A +
B jest macierzą o elementach:
cij = aij + bij .
Iloczyn dwóch macierzy A (m x p) i B (p x n) jest
macierzą C (m x n) o elementach obliczonych ze wzoru:
cij = aik + bkj .
Uwaga:
Transpozycją AT macierzy A nazywamy macierz, której
wiersze są kolumnami macierzy A.
Macierz trójkątna ma postać:
(dolna)
(górna odwrotnie)
Wyznacznik macierzy kwadratowej A stopnia n
symbol:
det A = det
ma
Tw. o istnieniu macierzy odwrotnej.
Jeżeli macierz kwadratowa A jest nieosobliwa,
tzn.
to macierz do niej
odwrotna istnieje i wyraża się wzorem:
gdzie:
AD - macierz minorów.
Weźmy pod uwagę układ równań:
czyli:
A=
otrzymamy:
i wyznaczając macierz odwrotną A1
otrzymamy wektor rozwiązań:
Przykład.
Rozwiązać metodą macierzową:
x+y+z=1
x – y + 2z = 0
2x + y – z = -1
x = -4 / 7 ;
Praca domowa:
czyli:
y=6/7;
zrobić w Excelu:
-
obl.
z=5/7
detA;
A-1.
(5x5)
METODY ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW RÓWNAŃ
LINIOWYCH.
Rozpatrujemy układ równań liniowych postaci:
gdzie:
jest n x n wymiarową macierzą,
-
danym
wektorem,
-
szukanym
rozwiązaniem.
Przykład.
Rozwiązać obwód prądu stałego pokazany na rysunku
metodą oczkową:
Dane:
E1=20V; E2=40V; E3=10V; E5=20V;
R1=1R2=2R3=4; R4=R5=10
Równania oczkowe obwodu elektrycznego dla prądu stałego
mają postać:
-
macierz
rezystancji oczkowych
- wektor
prądów oczkowych
- wektor sum
napięć źródłowych
W metodzie oczkowej przy znanej macierzy rezystancji
oczkowej i wektorze wymuszeń, celem analizy jest
znalezienie wartości prądów oczkowych.
Układ równań algebraicznych liniowych rozwiązuje się
jedną z metod numerycznych.
Przy wprowadzaniu danych wejściowych stosuje się
regułę metody oczkowej:
- rezystancje własne oczek R11; R22; ... Rnn...
Plik z chomika:
Amanar
Inne pliki z tego folderu:



Cramer_1.xls (28 KB)
Cramer_2.xls (29 KB)
 Macierze - teoria.doc (167 KB)
 Cramer_3.xls (29 KB)
Example Formuła Macierz odwrotna.xls (20 KB)
Inne foldery tego chomika:
Zgłoś jeśli naruszono regulamin







Strona główna
Aktualności
Kontakt
Dla Mediów
Dział Pomocy
Opinie
Program partnerski




Regulamin serwisu
Polityka prywatności
Ochrona praw autorskich
Platforma wydawców
Copyright © 2012 Chomikuj.pl