Tytuł - Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej

Modelowanie Matematyczne w Fizyce i Technice
EFFECT OF THE MASS MATRIX FORMS ON THE NUMERICAL
SIMULATIONS RESULTS IN HEAT CONDUCTION MODELING
Maria Zych 1,
1Instytut
Informatyki Teoretycznej i Stosowanej, Politechnika Częstochowska,
Częstochowa, Polska
[email protected],
Abstract. W pracy przedstawiono analizę wpływu macierzy masowej na
miarowość zmian temperaturowych
podczas symulacji komputerowych (z
użyciem metody elementów skończonych) procesu przewodzenia ciepła.
Uwzględnienie miarowości zmian temperaturowych tego zjawiska jest wymagane
podczas symulacji krzepnięcia stopów dwuskładnikowych. Wykazano, że w fazie
początkowej występują najmniejsze oscylacje dla macierzy Lumped. Również
wyniki dla macierzy Lumped oraz macierzy diagonalnej w największym stopniu
się pokrywają.
Słowa kluczowe: przewodzenie ciepła, zmiany temperaturowe, macierz
1. Wprowadzenie
Strumień ciepła opisany jest pierwszym prawem Fouriera :
q  T
(1)
Natomiast przepływ ciepła opisany jest za pomocą równani Fouriera:
      c 

t
(2)
Przy użyciu metody elementów skończonych równanie (2) przekształca się w
układ równań algebraicznych. W rezultacie niezbędnych przekształceń otrzymuje
się równanie różniczkowe zwyczajne zawierające pochodną względem czasu :

     b (3)
Gdzie K jest macierzą przewodności, M jest macierzą masową, zwaną również
macierzą pojemności, T jest wektorem temperatur oraz b jest wektorem źródeł
węzłowych (tzw. wektorem warunków brzegowych).
Modelowanie Matematyczne w Fizyce i Technice
2. Warunki brzegowe
Zagadnienie przewodzenia ciepła należy do zagadnień początkowobrzegowych. Warunki początkowe służą do nadania pewnych wartości w chwili
początkowej. Rozróżniamy cztery rodzaje warunków brzegowych, które związane
są ze złożoną wymianą ciepła.
Warunek brzegowy pierwszego rodzaju (Dirichleta), na brzegach Γ obszaru Ω
zadana jest temperatura (Tz)
 :   z
(4)
Warunek brzegowy drugiego rodzaju (Neumanna), na brzegu obszaru
zadany jest strumień ciepła (qz)
(5)
 : q  qz
Warunek brzegowy trzeciego rodzaju (Newtona), na brzegu Γ obszaru Ω
następuje wymiana ciepła z otoczeniem :
 : q   (  ot )
(6)
gdzie α jest współczynnikiem wymiany ciepła z otoczeniem, T jest
temperaturą ciała na brzegu Γ i Tot jest temperaturą otoczenia, q oznacza
strumień ciepła wpływającego (T <Tot ) do obszaru Ω lub wypływającego (T
>Tot ) z obszaru Ω .
warunek brzegowy czwartego rodzaju (warunek ciągłości), na brzegu Γ
rozdzielającym obszary Ω 1 oraz Ω 2 następuje przepływ ciepła; możliwe są
tutaj dwa przypadki
 idealny kontakt
(n  T )(1)  (n  T )(2) 
:

T (1)  T (2)


gdzie n jest wektorem normalnym do brzegu Γ,

brak idealnego kontaktu (kontakt poprzez dodatkową warstwę)
Modelowanie Matematyczne w Fizyce i Technice
 p (1)


(1)
(2)
T  T (2)  
  ( n   T )   ( n   T ) 
:


(1)
(2)


T T



3 Rozwiązanie analityczne
Do analizy dokładności przeprowadzonych symulacji numerycznych zostało
wykorzystane rozwiązanie analityczne w celu porównania krzywych
krzepnięcia. Analityczne rozwiązanie równania przewodzenia ciepła
opisującego zmiany temperatur w obszarze kontrolnym w przedziale [0, L] ma
postać:

 2  x 
  x 
  x 
 c
 c
Vx ( x)  0 , x  0, L
2
( x )
t
x
Na potrzeby zadania w rozwiązaniu przyjęto warunek początkowy
( x, t  0)  0 oraz warunki brzegowe:
Na jednym brzegu ( x  0, t)   z , na przeciwległym brzegu q( x  L, t )  0
Przy założeniach, że wielkości termofizyczne  (gęstość),  (ciepło
właściwe ), c (współczynnik przewodności cieplnej) są jednakowe w
każdym punkcie rozważanego obszaru i stałe w całym cyklu obliczeń,
rozwiązanie analityczne ma postać:
T ( x, t )  T0 1
x
x
  erfc (
))  erfc(
)
Tz  To
2
4at
4at
Po uwzględnieniu warunków początkowych i brzegowych otrzymuje się:
x
T ( x, ti )  erfc(
)(Tz  T0 )  T0
4ati
4.Results
W symulacjach komputerowych wykorzystano trzy postacie macierzy
masowej (pełna, diagonalna, lumped), w celu sprawdzenia ich wpływu na
obliczenia numeryczne .
Zbadano i porównano zmiany temperatur w wybranych węzłach siatki
dwuwymiarowej pokazanej na rysunku nr 1.
Modelowanie Matematyczne w Fizyce i Technice
Rys 1 podpis :rozważana siatka trójkątnych elementów skończonych:
Na brzegu 3 został wprowadzony warunek brzegowy pierwszego rodzaju z
temperaturą Tz=0[K]. Na brzegu 1 został wprowadzony warunek drugiego rodzaju
ze strumieniem ciepła równym qz=0[jednostka ]. Temperatura początkowa wynosi
T0 = 400 [K],
Wykorzystano następujące własności materiałowe oraz parametry obliczeń:
ρ=7500[kg/m3], c=620[J/(kg*K)], λ=40[W/(m*K)]
Δt= 0,05 [s], liczba kroków obliczeń = 1000
długość kontrolna L = 10 [cm].
Z uwagi na szczególny charakter obszaru 2D można porównywać wyniki
numeryczne z wynikami analitycznymi otrzymane dla funkcji jednej zmiennej.
W obliczeniach numerycznych wykorzystano następujące postaci macierzy
masowych:
a) pełnej:
2 1 1
a/12 1 2 1 


1 1 2 
(3)
b) diagonalnej:
1 0 0 
a/6 0 4 0 


0 0 1 
(4)
c) skondensowanej (ang. Lumped):
1 0 0 
a/3 0 1 0 


0 0 1 
(5)
gdzie a jest polem rozważanego elementu skończonego.
W przeprowadzonych badaniach można zaobserwować różnice w wykresach
zmian temperatur do kroku czasowego w zależności od zastosowanej macierzy. Na
Modelowanie Matematyczne w Fizyce i Technice
wykresach przedstawione są wyniki uzyskane z rozwiązania analitycznego oraz
autorskiego programu, w którym rozpatrywane były następujące macierze: pełna,
diagonalna oraz lumped.
Każdy z prezentowanych wykresów przedstawia cztery różne przypadki krzywych
stygnięcia dla wybranych węzłów w siatce elementów skończonych.
Zależność temperatury od czasu dla węzła 3
Krzywa stygnięcia dla węzła 3 w fazie początkowej daje drobne oscylacje dla
macierzy pełnej. Macierz lumped, diagonalna oraz rozwiązanie analityczne nie
powoduje oscylacji w początkowej fazie. Macierz lumped, diagonalna ma zbliżone
wyniki do rozwiązania analitycznego. Od około 400-setnego numeru kroku
czasowego macierze oraz rozwiązanie analityczne są zbieżne.
Zależność temperatury od czasu dla węzła 6
Modelowanie Matematyczne w Fizyce i Technice
Krzywa stygnięcia dla węzła 6 macierzy pełnej daje większe oscylacje niż w
przypadku węzła 3 oraz drobne skoki temperatur. W obliczeniach numerycznych
dla macierzy diagonalnej można zaobserwować, w początkowej fazie
kilkustopniowy wzrost temperatury. Macierz lumped w początkowej fazie kroków
czasowych daje wyniki zbliżone z rozwiązaniem analitycznym. Obliczenia dla
późniejszych kroków czasowych macierzy oraz rozwiązania analitycznego dają
wyniki zbieżne.
Zależność temperatury od czasu dla węzła 9
Krzywa stygnięcia w węźle 9 dla macierzy pełnej daje jeszcze większe
oscylacje niż w przypadku węzła 6 oraz skoki temperatur w fazie początkowej.
Macierz diagonalna daje skok temperatury. Macierz lumped w fazie początkowej
jest zbierzna z rozwiązaniem analitycznym. Macierz lumped daje najmniej
oscylujące wyniki. Rozwiązanie analityczne od kroku czasowego = 632 pokrywa
się z macierzą pełną, diagonalną.
Zależność temperatury od czasu dla węzła 12
Modelowanie Matematyczne w Fizyce i Technice
Krzywa stygnięcia dla węzła 12 w macierzy pełnej powoduje oscylacje. W fazie
początkowej macierz diagonalna, lumped jest zbierzna z rozwiązaniem
analitycznym. Od około 300 kroku czasowego można zaobserwować różnice
kilkustopniowe(1,2 stopnie) temperatur między macierzami a rozwiązaniem
analityczny.
Zależność temperatury od czasu dla węzła 15
Krzywa stygnięcia w węźle 15 dla macierzy pełnej daje oscylacje oraz skoki w
prawie wszystkich krokach czasowych. Macierz lumped, diagonalna oraz
rozwiązanie analityczne do około 500 kroku czasowego są zbierzne.W dalszych
krokach czasowych macierze są rozbieżne do siebie nawzajem oraz do rozwiązania
analitycznego.
Modelowanie Matematyczne w Fizyce i Technice
Na
podstawie
przeprowadzonych
obliczeń
można
stwierdzić
że
najodpowiedniejszą do obliczeń numerycznych jest macierz Lumped, ponieważ
powoduje najmniejsze oscylacje oraz daje wyniki najbardziej zbliżone do
rozwiązania analitycznego. Z przeprowadzonych obliczeń wynika że macierzą
dającą największe oscylacje podczas obliczeń numerycznych oraz skoki temperatur
jest macierz pełna. Macierz diagonalna daje wyniki pośrednie miedzy macierzą
pełną a macierzą lumped. W związku z tym macierzą która jest najbardziej
odpowiednia do obliczeń numerycznych jest macierz Lumped.
Analiza ta będzie pomagała w doborze odpowiedniej postaci macierzy w
modelowaniu numerycznym bardziej skomplikowanych zagadnień takich jak
krzepnięcie, pękanie, tworzenie się szczeliny skurczowej.
Literatura
[1] Sczygiol N., Modelowanie numeryczne zjawisk termomechanicznych w krzepnącym odlewie
i formie odlewniczej, Wydawnictwo Politechniki Częstochowskiej, Częstochowa 2000.
[2] Sczygiol N., and Szwarc G. Application of enthalpy formulations from numerical simulation of
castings solidification. Computer Assisted Mechanics and Engineering Sciences 2011, 8:99-120.
[3] Shen R. Wu, Lumped mass matrix in explicit finite element method for transient dynamics of
elasticity, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 2006, 195, 5983–5994.
[4] Gawrońska E., Sczygiol N., Stability of the mixed time partitioning methods in relation to the
size of time step, Special Issue: 82nd Annual Meeting of the International Association of Applied
Mathematics and Mechanics (Gesellschaft für Angewandte Mathematik und Mechanik),
GAMM'2011, 18-21 April 2011, Graz, Austria, 467-468
[5] Gawrońska E., Sczygiol N., Application of mixed time partitioning methods to raise the efficiency of solidification modeling, 12th International Symposium on Symbolic and Numeric Algorithms for Scientific Computing, SYNASC'2010, 23-26 September 2010, Timisoara, Romania,
99-103
[6] Wood W.L., Partical Time-setepping Schemes, Clarendon Press, Oxford 1990.