ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ, LISTA ZADAŃ NR 8 1. Niech V

ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ, LISTA ZADAŃ NR 8
1. Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K oraz niech v, w ∈ V , a, b ∈ K. Pokazać, że
(a) 0K · v = 0V
(b) a · 0V = 0V
(c) a · v = 0V wtedy i tylko wtedy, gdy a = 0K lub v = 0V .
2. Sprawdzić, czy następujące podzbiory są podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni Rn (dla odpowiednich n):
(a) {[u, v, 2u, 4v] ; u, v ∈ R} ⊆ R4 ,
(b) {[u, v, uv] ; u, v ∈ R} ⊆ R3 ,
(c) {[u, v] ; u, v ∈ R, u ¬ v} ⊆ R2 ,
(d) {[u, v, w, 2u + 3v + 4w] ; u, v, w ∈ R} ⊆ R4 .
(e) {[x, y, z] ∈ R3 : x + y − z = 2y + z = 0},
(f) {[x, y, z] ∈ R3 : x + 2y = z + 5},
(g) {[x, y, z] ∈ R3 : xy = z 2 }.
3. Czy zbiór {[z, t] ∈ C2 : z = t} jest podprzestrzenią liniową przestrzeni C2 traktowanej jako przestrzeń
liniowa nad ciałem liczb zespolonych? Jak brzmi odpowiedź, jeśli C2 potraktujemy jako przestrzeń
liniową nad ciałem liczb rzeczywistych?
4. Czy następujące zbiory są podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni K[T ] (n jest ustaloną liczbą naturalną)?
(a) zbiór wielomianów, dla których ustalony element a ∈ K jest pierwiastkiem,
(b) zbiór wielomianów K[T ]n stopnia równego co najwyżej n,
(c) zbiór wielomianów stopnia n,
(d) zbiór wielomianów parzystego stopnia.
5. Niech V bedzie przestrzenią wszystkich ciągów (xn ) o wyrazach rzeczywistych (traktujemy ja jako
przestrzeń nad ciałem R). Czy następujące zbiory są podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni V ?
(a) zbiór wszystkich ciagów niemalejących,
(b) zbiór wszystkich ciągów zbieżnych,
(c) zbiór ciągów okresowych o ustalonym okresie T (tj. ciągów (xn ) takich, że xn+T = xn dla każdego
n ∈ N),
(d) zbiór ciagów okresowych (tj. ciągów (xn ) takich, że istnieje T ∈ N takie, że xn+T = xn dla każdego
n ∈ N).
6. Opisać wszystkie podprzestrzenie liniowe przestrzeni R2 i R3 .
7. W poniższych przykładach opisać podprzestrzeń hXi przestrzeni V nad ciałem K:
(a) K = R, V = R4 , X = {[1, 2, 3, 4], [0, 1, 2, 3], [0, 0, 1, 2], [0, 0, 0, 1]},
(b) K = R, V = R3 , X = {[1, 0, −1], [1, −2, 1], [3, −2, −1], [−2, 1, 1]},
(c) K - dowolne, V = K[T ], X = {1, T 2 , T 4 , ..., T 2n , ...},
(d) K - dowolne, V = K[T ], X = {1, 1 + T, 1 + T + T 2 , 1 + T + T 2 + T 3 },
1
(e) K = C, V = C2 , X = {[1, i], [1, −i]},
(f) K = R, V = C2 , X = {[1, i], [1, −i]}.
8. Znaleźć bazy wszystkich przestrzeni liniowych występujących w zadaniu 7.
9. Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K. W każdym z poniższych przypadków podać co
najmniej dwie różne bazy.
(a) V = R3 , K = R,
(b) V = {[x, y, z] ∈ R3 : x + y +
z = 0}, K = R,
(c) V = K n , n > 0,
(d) V = K[T ],
(g) V = C, K = C,
(e) V = K[S, T ],
(h) V = C2 , K = R,
(f) V = C, K = R,
(i) V = Z32 , K = Z2 .
10. Poniższy układ liniowo niezależnych wektorów uzupełnić do bazy odpowiedniej przestrzeni liniowej V .
(a) [2, 1, 0], [0, 0, 1] dla V = R3 ,
(b) [1, 1, 0, 1], [1, 1, 1, 1] dla V = R4 ,
(c) 1, 1 − T, 1 − T − T 2 dla V = K[T ]n , n > 0.
11. Wyznaczyć bazę podprzestrzeni przestrzeni liniowej V generowanej przez poniższy układ wektorów.
(a) [1, 1, 0], [0, 1, 1], [1, 2, 1], [2, 3, 1] dla V = R3 ,
(b) [1, 0, 0, −1], [2, 1, 1, 0], [1, 1, 1, 1], [1, 2, 3, 4], [0, 1, 2, 3] dla V = R4 ,
(c) 1, T, T 2 + 1, 1 + T, T + T 2 , T + T 4 dla V = K[T ]4 .
12. Rozważmy przestrzeń liniową R4 nad ciałem R oraz jej dwie podprzestrzenie liniowe
(a) W1 = h[1, 1, 1, 1], [1, 1, 1, 0]i, W2 = h[1, 1, 0, 0], [0, 0, 1, 0]i,
(b) W1 = h[1, 0, 1, 0], [0, 1, 0, 1]i, W2 = h[0, 1, 1, 1], [0, 0, 1, 0]i,
(c) W1 = h[1, 0, 1, 0], [0, 1, 0, 1]i, W2 = h[0, 1, 1, 0], [0, 0, 1, 0]i.
Znaleźć bazy podprzestrzeni W1 ∩ W2 oraz W1 + W2 .
Zadania uzupełniające
1. Niech V będzie przestrzenią liniową wszystkich funkcji f : R → R (traktujemy ja jako przestrzeń nad
ciałem R). Czy następujące zbiory są podprzestrzeniami liniowymi V ?
(a) zbiór funkcji ciągłych,
(b) zbiór funkcji nieparzystych,
(c) zbiór funkcji okresowych o ustalonym okresie T ,
(d) ∗ zbiór funkcji okresowych (o dowolnych okresach),
(e) ∗ zbiór funkcji okresowych o okresach będących liczbami wymiernymi.
2. Niech a1 , . . . , an będą liczbami rzeczywistymi, z których przynajmniej jedna jest różna od zera. Wykazać, że podprzestrzeń liniowa
V = {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn ; a1 x1 + . . . + an xn = 0}
przestrzeni Rn ma wymiar równy n − 1.
3. Jaki jest najmniejszy wymiar przestrzeni liniowej, w której istnieją dwie płaszczyzny (tj. podprzestrzenie liniowe) mające dokładnie jeden punkt wspólny?
2