Homomorfizmy struktur algebraicznych (Z,+)

Lista zadań nr 1: Homomorfizmy struktur algebraicznych
(Z, +) - grupę liczb całkowitych, (Z, +, ·) - pierścień liczb całkowitych.
Zadanie 1. Niech (G, ∗) i (H, ·) będą grupami z elementami neutralnymi odpowiednio eG i
eH , a f : G → H niech będzie homomorfizmem. Pokazać, że (i) f (eG ) = eH ; (ii) f (g −1 ) =
f (g)−1 .
Zadanie 2. Sprawdzić, czy odwzorowanie h : (Z, +) → ({1, −1} , · ) dane wzorem
f (k) =
|cos k|
cos k
jest homomorfizmem grup.
Zadanie 3. Niech
G := {g : R → R; g(x) = ax + b, a 6= 0} .
Pokazać, że
(a) (G , ◦ ) (superpozycja odwzorowań) jest grupą;
(b) odwzorowanie f : G → R dane wzorem f (g) := a jest homomorfizmem grupy (G , ◦ )
w grupę (R \ {0} , ·). Znaleźć jądro tego homomorfizmu.
Zadanie 4. Niech (G, ∗) będzie grupą i ustalmy a ∈ G. Niech
H := {fa : G → G; fa (g) := a ∗ g} .
Pokazać, że
(a) (H , ◦ ) (superpozycja odwzorowań) jest grupą;
(b) odwzorowanie ` : G → H dane wzorem `(a) := fa jest izomorfizmem grupy (G, ∗) na
grupę (H , ◦ ).
Zadanie 5. W przedziale X = (1, ∞) określone jest działanie x ∗ y := xy − x − y + 2;
(a) Wykazać, że (X, ∗) jest grupą;
(b) Czy grupa (X, ∗) jest izomorficzna z grupą (R+ , ·) (liczby rzeczywiste dodatnie z mnożeniem)?
Zadanie 6. Sprawdzić, które z przekształceń jest homomorfizmem pierścienia (Z, +, ·) w
siebie:
(a) k 7→ −k
(c) k →
7 0
(b) k 7→ k + 1
(d) k →
7 k2
Zadanie 7. Niech (G, ∗) będzie grupą i h ∈ G będzie ustalonym elementem. Wykazać,
że odwzorowanie i(g) := h−1 ∗ g ∗ h jest izomorfizmem G na siebie (tzw. automorfizm
wewnętrzny).
Zadanie 8. Wykazać, że homomorfizm f : G → H jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy,
gdy ker f = {eG }.
1
Zadanie 9. Wykazać, że grupa
liczb zespolonych jest
S = {z ∈ C; T|z| = 1} z mnożeniem
izomorficzna z grupą SO(2) = A ∈ M2×2 ; AA = I, det A = 1 z mnożeniem macierzy.
Zadanie 10. Wykazać, że grupa symetrii trójkąta równobocznego z dzałaniem składania odwzorowań jest izomorficzna z grupą symetryczną S3 (grupa permutacji zbioru 3elementowego).