Teoria grup

1
Zadania
1.1
Definicja i elementarne własności grup
Zadanie 1. Które z następujących zbiorów są grupami względem mnożenia
liczb:
a) zbiór liczb rzeczywistych większych od zera;
b) zbiór liczb zespolonych różnych od zera;
c) {1, −1};
d) zbiór liczb zespolonych z, dla których |z| = 1.
Rozwiązanie. Działanie jest zwykłe, więc wiadomo, że jest łączne i elementem neutralnym jest 1. Każdy z powyższych zbiorów zawiera 1. Należy sprawdzić, czy ∀(x, y) ∈ G , xy −1 ∈ G, tj, czy zbiory te są zamknięte ze względu
na mnożenie i obliczanie elementu odwrotnego. Jak widać, wszystkie te zbiory
mają tę własność, zatem są grupami.
Zadanie 2. Które z następujących zbiorów przekształceń płaszczyzny są grupami względem składania przekształceń:
a) zbiór izometrii;
b) zbiór podobieństw;
c) zbiór podobieństw o skali ­ 1;
d) zbiór przesunięć;
e) zbiór obrotów dokoła ustalonego punktu;
f) zbiór wszystkich obrotów.
Rozwiązanie. Rozumujemy jak poprzednio, pamiętając, że elementem neutralnym składania jest przekształcenie tożsamościowe.
a) Złożenie izometrii jest izometrią, tożsamość jest izometrią i odwrotność
izometrii jest izometrią. Zatem ten zbiór jest grupą.
b) Złożenie podobieństw jest podobieństwem, tożsamość jest podobieństwem
i odwrotność podobieństwa jest podobieństwem. Zatem ten zbiór jest grupą.
c) Dwa pierwsze aksjomaty grupy są spełnione,ale trzeci nie, bo odwrotność
podobieństwa o skali 2 jest podobieństwem o skali 1/2.
d) Złożenie przesunięć jest przesunięciem (o wektor będący sumą danych
wektorów), tożsamość jest przesunięciem (o wektor zerowy) i odwrotność przesunięcia jest przesunięciem (o wektor przeciwny). Zatem ten zbiór jest grupą.
e) Złożenie obrotów dokoła ustalonego punktu jest obrotem dokoła tego
punktu, tożsamość jest obrotem o kąt zerowy i odwrotność obrotu jest obrotem
o kąt przeciwny. Zatem ten zbiór jest grupą.
1
f) Złożenie dwóch obrotów dokoła różnych punktów nie musi być obrotem
(narysować!).
Zadanie 3. Które z następujących zbiorów macierzy kwadratowych stopnia
n o elementach z R lub C tworzą grupę względem mnożenia macierzy:
a) zbiór wszystkich macierzy;
b) zbiór macierzy nieosobliwych;
c) zbiór macierzy o wyznaczniku 1;
d) zbiór macierzy ortogonalnych;
e) zbiór macierzy nieosobliwych górnotrójkątnych .
Rozwiązanie. Tym razem elementem neutralnym jest macierz jednostkowa.
a) Nie, bo macierze o wyznaczniku 0 nie mają odwrotności.
b) Tak — przypomnieć sobie definicję macierzy nieosobliwej i twierdzenie
Cauchy’ego.
c) Tak — twierdzenie Cauchy’ego.
d) Macierz ortogonalna spełnia warunek A−1 = AT . Niech A i B będą
ortogonalne, tj. A−1 = AT , B−1 = BT . Wtedy (AB)−1 = B−1 A−1 = BT AT =
(AB)T , więc AB jest ortogonalna. Również (A−1 )−1 = A = (AT )T , zatem A−1
jest ortogonalna.
e) Macierz górnotrójkątna spełnia warunek aij = 0 dla i > j. Niech A i B
będą górnotrójkątne, tj. aij = 0 dla i > j, bjk = 0 dla j > k. Wtedy dla i > k
cik
=
n
X
aij bjk =
j=1
=
k
X
j=1
k
X
aij bjk +
j=1
0 · bjk +
n
X
n
X
aij bjk
j=k+1
aij · 0 = 0,
j=k+1
zatem C = AB jest górnotrójkątna. Ponadto (A−1 )ij = Aji /det A oraz Aji = 0
dla i > j (sprawdzić!), więc A−1 jest górnotrójkątna.
Zadanie 4. W zbiorze Z określamy działanie:
a ◦ b = a + b + 2.
Czy (Z, ◦) jest grupą?
Rozwiązanie. G1. (a ◦ b) ◦ c = (a + b + 2) ◦ c = (a + b + 2) + c + 2 =
a + (b + c + 2) + 2 = a ◦ (b ◦ c);
G2. a ◦ e = a dla każdego a, gdy a + e + 2 = a, czyli e = −2 jest elementem
neutralnym.
G3. Ustalmy a. By a ◦ b = −2, czyli a + b + 2 = −2, musi być b = −a − 4, i
to jest element odwrotny.
2
Zadanie 5. Rozpatrzmy zbiór przekształceń :
G = {fa,b : R → R|fa,b (x) = ax + b, a, b ∈ R, a 6= 0}.
Udowodnić, że jest to grupa przekształceń. Wykazać, że zbiory :
a) H = {f1,b |b ∈ R},
b) K = {fa,0 |a ∈ R \ 0}
tworzą podgrupy.
Rozwiązanie. Ponieważ (fa,b ◦ fc,d )(x) = fa,b (cx + d) = a(cx + d) + b =
(ac)x + (ad + b) = fac,ad+b (x), więc złożenie dwóch przekształceń z G należy do
G. Przekształcenie tożsamościowe to f1,0 . Kiedy fa,b ◦ fc,d = f1,0 ? Wtedy, gdy
ac = 1, ad + b = 0, czyli c = 1/a, d = −b/a,a zatem f1/a,−b/a jest odwrotne
do fa,b . A więc G jest grupą. Mamy także f1,b ◦ f1,d = f1,b+d , (f1,b )−1 = f1,−b ,
więc H jest grupą (jest to grupa translacji prostej). Podobnie fa,0 ◦ fc,0 = fac,0 ,
(fa,0 )−1 = f1/a,0 , więc K jest grupą (jest to grupa przekształceń liniowych
prostej).
Zadanie 6. W grupie (Z7 , +7 ) rozwiązać równanie 6x = 5 .
Rozwiązanie. Działanie to dodawanie modulo 7. Kiedy 6 +7 i = 5 dla i =
0, 1, . . . , 6? Sprawdzając po kolei znajdujemy 6 +7 6 = 5. Zatem x = 6.
Zadanie 7. W geometrii rozważa się tzw. grupy izometrii własnych figur.
Izometrią własną figury płaskiej nazywamy taką izometrię płaszczyzny, która
daną figurę przekształca na tę samą figurę.
Znaleźć elementy i sporządzić tabelki działania dla:
a) grupy izometrii kwadratu D4 ;
b) grupy izometrii trójkąta S3 .
Zadanie 8. Centrum grupy G nazywamy zbiór tych elementów G, które są
przemienne z dowolnym elementem G:
Z(G) = {a ∈ G | ∀g ∈ G ag = ga}.
Wykazać, że Z(G) jest podgrupą grupy G.
Zadanie 9. Wyznaczyć centrum:
a) grupy izometrii własnych trójkąta równobocznego,
b) grupy izometrii własnych kwadratu,


1 a b
c) grupy macierzy postaci  0 1 c , gdzie a, b, c ∈ R.
0 0 1
3
Zadanie 10. Niech H1 i H2 będą podgrupami grupy G. Wykazać, że iloczyn
kompleksowy:
H1 H2 = {h1 h2 |h1 ∈ H1 , h2 ∈ H2 }
jest podgrupą grupy G wtedy i tylko wtedy, gdy H1 H2 = H2 H1 .
Zadanie 11. Udowodnić, że jeśli dla każdego elementu a grupy G jest a2 = e,
gdzie e jest jedynką grupy G, to G jest grupą przemienną.
1.2
Podgrupa cykliczna, rząd grupy, rząd elementu
Zadanie 1. Wyznaczyć rząd każdego elementu grup (Z3 , +3 ), (Z6 , +6 ).
Rozwiązanie. Należy obliczyć kolejne potęgi elementów danej grupy, pamiętając, że działaniem jest, odpowiednio, dodawanie modulo 3 i 6 i zobaczyć, kiedy
te potęgi wynoszą 0. W (Z3 , +3 ) mamy 01 = 0, 13 = 0, 23 = 0; w (Z6 , +6 ) mamy 01 = 0, 16 = 0, 23 = 0, 32 = 0, 43 = 0, 56 = 0. Te wykładniki są właśnie
rzędami.
Zadanie 2. Grupa M22 (Z) macierzy kwadratowych stopnia 2 zawiera elementy
0 1
0
1
A=
,B =
.
−1 0
−1 −1
Obliczyć rzędy elementów A, B, AB, BA.
Rozwiązanie. Obliczając kolejne potęgi znajdziemy: A4 = I, B3 = I, (AB)2 =
I, (BA)2 = I. Te wykładniki są właśnie rzędami.
Zadanie 3. Jakiego rzędu podgrupy mogą istnieć w grupach addytywnych
Z5 , Z6 , Z12 ? Znaleźć wszystkie podgrupy tych grup.
Rozwiązanie. Zawsze istnieją podgrupy trywialne. Z tw. Lagrange’a rząd
podgrupy musi być dzielnikiem rzędu grupy, więc w Z5 nie ma innych podgrup, w Z6 mogą być podgrupy rzędu 2 i 3 , w Z12 mogą być podgrupy rzędu
2,3,4,6. Są to: w Z6 — {0, 3}, {0, 2, 4} ; w Z12 — {0, 6}, {0, 4, 8}, {0, 3, 6, 9},
{0, 2, 4, 6, 8, 10}.
Zadanie 4. Wyznaczyć rząd każdego elementu grupy izometrii własnych trójkąta równobocznego.
Zadanie 5. Udowodnić, że jeżeli grupa cykliczna G jest generowana przez
element a rzędu m, to ak generuje G wtedy i tylko wtedy, gdy (k, m) = 1, tj. k i
m są liczbami względnie pierwszymi. Uwaga : (a, b) oznacza największy wspólny
dzielnik liczb a i b. Twierdzenie : Dla dowolnych a, b ∈ Z istnieją takie s, t ∈ Z,
że (a, b) = sa + tb.
Zadanie 6. Załóżmy, że grupa cykliczna G jest generowana przez element a
rzędu m. Znaleźć rząd dowolnego elementu ak grupy G.
Rozwiązanie. Niech (k, m) = r. Oznaczmy s = |ak |. Twierdzimy, że s = m/r.
Dowód. (ak )m/r = (am )k/r = e, bo k/r jest liczbą całkowitą. Stąd wynika, że
4
s dzieli m/r. Z drugiej strony, ponieważ (ak )s = e, więc m dzieli ks, czyli m/r
dzieli (k/r) · s. Ponieważ m/r nie dzieli k/r, więc m/r dzieli s, zatem m/r = s.
Zadanie 7. Niech G i H będą grupami cyklicznymi rzędów, odpowiednio, m
i n. Udowodnić, że ich suma prosta jest grupą cykliczną wtedy i tylko wtedy,
gdy (m, n) = 1, tj. m i n są liczbami względnie pierwszymi.
1.3
Homomorfizmy grup
Zadanie 1. Które z podanych odwzorowań:
f : x → 2x, g : x → x2 , h : x → 1/x, k : x → −x
są homomorfizmami grupy multyplikatywnej R∗ na jej podgrupę? Podać jądra
i obrazy tych homomorfizmów.
Rozwiązanie. f (xy) = 2xy 6= 2x · 2y = f (x)f (y), więc f nie jest homomorfizmem. g(xy) = (xy)2 = x2 y 2 = g(x)g(y), więc g jest homomorfizmem.
ker g = {1, −1}, obraz jest zbiorem {x ∈ R|x > 0}. h(xy) = 1/xy = 1/x · 1/y =
h(x)h(y), więc h jest homomorfizmem. ker h = {1}, obraz jest całym zbiorem
R. k(xy) = −xy 6= (−x)(−y) = k(x)k(y), więc k nie jest homomorfizmem.
Zadanie 2. Wyznaczyć wszystkie automorfizmy grupy cyklicznej rzędu n oraz
grupy cyklicznej nieskończonej. Wskazówka: automorfizm musi przeprowadzać
generator w generator.
Zadanie 3. Przekształcenie f : G −→ G jest określone wzorem f (a) = a−1 .
Wykazać, że f jest automorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy grupa G jest abelowa.
Zadanie 4. a) Wykazać, że dla dowolnej grupy G i dla dowolnego a ∈ G
przekształcenie:
ha : G −→ G , ha (g) = aga−1
jest automorfizmem (automorfizm tej postaci nazywamy wewnętrznym).
b) Sprawdzić, że zbiór automorfizmów wewnętrznych IG z działaniem składania jest grupą.
Zadanie 5. Niech G będzie grupą, IG jej grupą automorfizmów wewnętrznych. Wykazać, że przekształcenie f : G −→ G, f (a) = ha , gdzie ha (g) =
aga−1 , jest homomorfizmem. Wyznaczyć jego jądro.
Zadanie 6. Czy przekształcenie: R −→ C∗ , f (x) = e2πix jest homomorfizmem grupy addytywnej R w grupę multyplikatywną C∗ ? Jeżeli tak, to czym
jest jądro i obraz ?
5
1.4
Permutacje
Zadanie 1. Dane są permutacje:
1 2 3 4 5 6
1 2 3
π=
,σ =
2 6 4 1 3 5
3 2 6
1 2 3 4 5 6
τ=
.
6 5 3 4 1 2
4
5
5
1
6
4
,
Wyznaczyć permutacje πσ, στ , πστ , π −1 στ −1 , a następnie każdą z nich rozłożyć
na cykle rozłączne.
Zadanie 2. Następujące permutacje przedstawić w postaci iloczynu transpozycji: 1 2 3 4 5 6 7 8
a)
,
2 8 5 6 7 4 3 1
b) (1 2 3)(2 5 4)(1 3 6)(2 3).
1 2 3 4 5 6 7 8
Zadanie 3. Rozłożyć permutację α =
na cy3 5 8 6 4 2 7 1
kle. Obliczyć rząd. Znaleźć permutację odwrotną.
Zadanie 4. Znaleźć wszystkie podgrupy grupy S3 .
Zadanie 5. Przedstawić elementy grupy S4 jako iloczyny transpozycji (1 2),
(1 3), (1 4). Wskazówka : korzystać ze wzorów
(a1 a2 . . . ak ) = (a1 ak )(a1 ak−1 ) · · · (a1 a2 ),
(i j) = (1 i)(1 j)(1 i).
Zadanie 6. Wykazać, że grupa D4 izometrii kwadratu o wierzchołkach {1, 2, 3, 4}
jest generowana przez (1 3) i (2 3)(1 4). Znaleźć wskaźnik cyklowy Z(D4 ) i
wyznaczyć wszystkie podgrupy grupy D4 . Wskazówka: chyba najprościej jest
obliczyć wszystkie możliwe iloczyny tych permutacji — nie ma ich dużo, bo są
inwolucjami (permutację f nazywamy inwolucją, gdy f f = e) — i zobaczyć,
jakie izometrie określają.
Zadanie 7. Wykazać twierdzenie Cauchy’ego: liczba permutacji f ∈ Sn typu
xj11 xj22 . . . xjnn równa jest
n!
.
1j1 2j2 . . . njn j1 !j2 ! . . . jn !
Wskazówka: każdą permutację można zapisać w postaci znormalizowanej: najpierw cykle długości 1, potem 2 itd. Ile z takich zapisów określa tę samą permutację ?
Zadanie 8. Dla jakich l potęga (a1 a2 . . . ak )l jest cyklem ? Jaki jest rozkład
na cykle tej potęgi w przykładach, w których nie jest ona cyklem? Wskazówka:
jak się należy spodziewać, istotne jest, czy k i l są względnie pierwsze; jeśli nie
są, to ważny jest ich wspólny czynnik.
6
1.5
Warstwy, grupa ilorazowa
Zadanie 1. W grupie GL(n, K) macierzy nieosobliwych stopnia n o elementach z ciała K opisać warstwę lewostronną względem podgrupy H wyznaczoną
przez macierz A, a następnie warstwę prawostronną względem podgrupy H
wyznaczoną przez macierz A, jeśli H jest podgrupą:
a) macierzy o postaci dI, gdzie d ∈ K? , I – macierz jednostkowa;
b) macierzy diagonalnych;
c) macierzy o wyznaczniku 1;
Rozwiązanie (dla warstw lewostronnych). Warstwa składa się z macierzy,
które są iloczynami macierzy A przez elementy danej podgrupy.
a) {dA|d ∈ R}.
b) Jeżeli


a11 a12 · · · a1n
 a21 a22 · · · a2n 


A=
..
.. . .
..  ,

.
.
.
. 
an1
an2
· · · ann
to warstwa wyznaczona przez A składa się z

d1 a11 d2 a12 · · ·
 d1 a21 d2 a22 · · ·


..
.. . .

.
.
.
d1 an1 d2 an2 · · ·
macierzy postaci

dn a1n
dn a2n 

..  ,
. 
dn ann
gdzie d1 , d2 , . . . dn są dowolnymi liczbami.
Zadanie 2. Jakimi zbiorami są warstwy grupy addytywnej R względem podgrupy Q?
Rozwiązanie. Zbiory postaci {x+w|w ∈ Q}, gdzie x jest liczbą niewymierną.
Zadanie 3. Zbiór G = {z ∈ C : |z| = 1} jest grupą ze względu na mnożenie.
a) Sprawdzić , że H = zbiór pierwiastków stopnia 5 z jedności jest podgrupą
G. Czy ta podgrupa jest dzielnikiem normalnym? Opisać warstwy lewostronne
G/H i podać interpretację geometryczną.
b) Czy odwzorowanie h : G −→ G,
h(cos φ + i sin φ) = cos 5φ + i sin 5φ
jest homomorfizmem? Obliczyć ker h.
2πk
Rozwiązanie. a) Elementami zbioru H są liczby εk = cos 2πk
5 + i sin 5 ,
k = 0, 1, 2, 3, 4. Łatwo sprawdzić, że εi εj = εi+j (dodawanie modulo 5!). Najlepiej zresztą sporządzić tabelkę działania, z której będzie można odczytać również elementy odwrotne. Zatem H jest podgrupą, i to przemienną, a więc musi być dzielnikiem normalnym. Warstwa wyznaczona przez liczbę z to zbiór
7
{εk z|k = 0, 1, . . . , 4}, czyli wierzchołki pięciokąta foremnego wpisanego w okrąg
jednostkowy, którego jednym z wierzchołków jest z.
b) Widać, że h(z) = z 5 . Obliczamy h(z1 z2 ) = (z1 z2 )5 = z15 z25 = h(z1 )h(z2 ).
Jądro tego homomorfizmu to zbiór pierwiastków stopnia 5 z jedności, czyli H.
Zadanie 4. Komutatorem dwóch elementów a, b grupy G nazywamy element
a−1 b−1 ab. Komutantem lub grupą pochodną grupy G nazywamy podgrupę G0
grupy G generowaną przez wszystkie komutatory.
a) Wykazać, że jeśli G jest abelowa, to G0 = {e}.
b) Wykazać, że G0 / G.
c) Wykazać, że G/G0 jest abelowa.
d) Wykazać, że dla dowolnego dzielnika normalnego N grupy G : G/N jest
abelowa ⇔ N ⊃ G0 .
Rozwiązanie. a) Oczywiste.
b) Niech x ∈ G0 , a ∈ G. Wtedy axa−1 = (axa−1 x−1 )x ∈ G0 .
c) Ponieważ yx = (xyy −1 x−1 )yx = xy(y −1 x−1 yx) ∈ xyG0 , więc warstwa
(yx)G0 jest równa warstwie (xy)G0 , tj. yG0 · xG0 = xG0 · yG0 .
d) (⇒) Jeśli G/N jest abelowa, to xyx−1 y −1 ∈ xN yN x−1 N y −1 N = N , czyli
dowolny komutator należy do N , a stąd G0 ⊂ N . (⇐) Niech G0 ⊂ N . Mamy
xN yN x−1 N y −1 N = (xyx−1 y −1 )N = N , bo każdy komutator należy do N . To
oznacza, że xN yN = yN xN .
Zadanie 5. Wykazać, że element grupy ilorazowej R/Z ma rząd skończony
wtedy i tylko wtedy, gdy należy do grupy Q/Z .
Zadanie 6. Grupa G nazywa się rozwiązalna , jeśli istnieje ciąg podgrup
G = G0 ⊇ G1 ⊇ G2 ⊇ . . . ⊇ Gk = {e} takich, że
a) Gi+1 jest dzielnikiem normalnym grupy Gi ,
b) Gi /Gi+1 jest grupą przemienną.
Wykazać, że są rozwiązalne :
a) dowolna grupa przemienna;
b) S3 ;
c) S4 ;
d) grupa izometrii własnych kwadratu D4 .
Wskazówka: wykazać, że wymogi definicji spełniają, odpowiednio, ciągi podgrup: a) G ⊇ {e}; b) S3 ⊇ A3 ⊇ {e}; c) S4 ⊇ A4 ⊇ V4 ⊇ W ⊇ {e}; d) D4 ⊇
O4 ⊇ {e}. A3 i A4 oznaczają grupy alternujące, V4 = {e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)},
W = {e, (12), (34)}, O4 jest grupą obrotów.
1.6
Suma prosta grup
Zadanie 1. Określić wszystkie osiem elementów grupy Z2 × Z4 i obliczyć
rząd każdego z tych elementów. Czy grupa ta jest cykliczna ?
Zadanie 2. Określić wszystkie podgrupy grupy Z2 × Z2 × Z2 i narysować
odpowiedni diagram Hassego. Uwaga : grupy wymienione w tym i w poprzednim
8
zadaniu są nieizomorficznymi grupami rzędu 8. Inne grupy rzędu 8 to grupa
cykliczna Z8 , grupa kwadratu D4 i grupa kwaternionów Q.
1.7
Działanie grupy na zbiorze
Zadanie 1. Niech X będzie zbiorem 13-elementowym.
a) Wykazać, że każde działanie grupy 9-elementowej na zbiorze X ma co
najmniej jeden punkt stały.
b) Wskazać działanie grupy cyklicznej 12-elementowej na X bez punktów
stałych.
Wskazówka: liczność orbity Gx jest taka sama jak liczność zbioru ilorazowego
G/Gx , a więc musi być dzielnikiem rzędu grupy. W b) zauważyć także, że 13 =
3 + 4 + 6 i określić tak działanie generatora α grupy, by były orbity o takiej
długości.
Zadanie 2. Niech grupa G działa na zbiorze X. Można określić działanie
indukowane na zbiorze X k wzorem
g(x1 , x2 , . . . , xk ) = (gx1 , gx2 , . . . , gxk )
(orbity tego działania nazywamy czasem k-orbitami działania G na X). Wykazać, że jeśli Φ jest k-orbitą G-zbioru X, to |Φ| = (G : Ga1 ···ak ), gdzie Ga1 ···ak =
Ga1 ∩ · · · ∩ Gak , czyli że liczność orbity równa jest indeksowi stabilizatora
Ga1 ···ak punktu (a1 , . . . , ak ) w grupie G. Wskazówka : dla dowolnego G-zbioru
X, |G| = |Ga| · |Ga |, czyli |Ga| = (G : Ga ).
Zadanie 3. Niech X = {1, 2, 3, 4}, G = {e, (1 2), (3 4), (1 2)(3 4)}, αi = α(i)
dla α ∈ G, i ∈ X. Obliczyć liczbę orbit tego działania.
Zadanie 4. Układamy słowa trzyliterowe z liter a i b. Słowa uważamy za
równoważne, jeśli jedno można otrzymać z drugiego przez zamianę miejsc skrajnych liter, np. abb ∼ bba. Posługując się lematem Burnside’a określić liczbę klas
równoważności.
Zadanie 5. Naszyjniki składają się z paciorków w k kolorach. W każdym
naszyjniku jest n paciorków. Za jednakowe uważamy takie naszyjniki, które
można otrzymać jeden z drugiego przez obrót na płaszczyźnie (odbicie lustrzane jest wykluczone). Określić liczbę różnych naszyjników. Wskazówka: grupa
działająca to grupa {oi |i = 1, 2, . . . n}, gdzie oi jest obrotem o kąt (2πi)/n;
liczba punktów stałych obrotu oi ma coś wspólnego z największym wspólnym
dzielnikiem (n, i).
Zadanie 6. Szachownicę 2 × 2 malujemy za pomocą n kolorów. Dwa pomalowania uznajemy za identyczne, jeśli istnieje obrót przeprowadzający jedno w
drugie. Udowodnić, że liczba istotnie różnych pomalowań wynosi Z(C4 )(n, n, n, n),
gdzie Z(C4 )(x1 , x2 , x3 , x4 ) jest indeksem cyklowym grupy cyklicznej C4 . Wskazówka : rozpatrzyć zbiór wszystkich kolorowań z działaniem grupy C4 . Liczba
punktów stałych permutacji π zależy od liczby jej cykli. Skorzystać z lematu
Burnside’a.
9
Zadanie 7. Wyznaczyć liczbę wszystkich n-kolorowych szachownic 2×2, jeśli
za równe uważamy takie szachownice, dla których istnieje obrót lub symetria
osiowa przeprowadzająca jedno w drugie. Wskazówka : grupą działającą jest
tym razem grupa kwadratu D4 .
Zadanie 8. Sprawdzić, że grupa Φ(8) działa na zbiorze Z8 za pomocą wzoru
(k, a) 7→ ka(mod 8)
dla k ∈ Φ(8), a ∈ Z8 . Wyznaczyć orbity oraz stabilizatory punktów przy tym
działaniu. Zobaczyć, że ilustruje to twierdzenie o orbitach i stabilizatorach.
10