Iloczyny wektorowe 8.1. Czy bazy B 1
advertisement
Iloczyny wektorowe
8.1. Czy bazy B1 = {[1, 2], [3, 1]} i B2 = {[1, 1], [0, 1]} przestrzeni R2 są zgodnie zorientowane?
8.2. Znaleźć taki wektor [a, b, c], by wektory [1, 1, 0], [0, 1, 0], [a, b, c] tworzyły bazę przestrzeni
R3 zgodnie zorientowaną z bazą {[−1, 0, 0], [1, 0, 1], [−1, −1, 0]}.
8.3. Czy przekształcenie f : R3 → R3 o macierzy
1 2 1
A= 0 1 0
1 0 2
w bazie {e1 , e2 , e3 } zachowuje orientację (tzn. {x1 , x2 , x3 } ∼ {f (x1 ), f (x2 ), f (x3 )} dla każdej
bazy {x1 , x2 , x3 } przestrzeni R3 )?
8.4. Wykazać, że jeśli 0 6= z0 ∈ C, to przekształcenie f : C → C dane wzorem f (z) = z0 z
zachowuje orientację jako automorfizm rzeczywistej przestrzeni CR .
8.5. Niech V = U ⊕ W . Udowodnić, że symetria przestrzeni V względem podprzestrzeni
U wzdłuż podprzestrzeni W zachowuje orientację wtedy i tylko wtedy, gdy dim W jest liczbą
parzystą.
8.6. Niech iloczyn skalarny w przestrzeni R3 dany będzie wzorem (x|y) = x1 y1 − x1 y2 −
x2 y1 + 3x2 y2 + x3 y3 . Niech orientacja przestrzeni R3 dana będzie przez wybór bazy B =
{e1 , e1 + e2 , −e3 }. Obliczyć następujące iloczyny wektorowe:
1. [1, 0, 0] × [0, 1, 0],
2. [0, 0, 1] × [0, 1, 0],
3. [1, 1, 1] × [1, 1, 0].
8.7. Udowodnić, że w euklidesowej przestrzeni liniowej R3 zachodzą związki:
1. kx × yk2 + (x|y)2 = kxk2 kyk2 , dla dowolnych wektorów x, y ∈ R3 ,
2. jeśli x + y + z = 0, to x × y = y × z = z × x,
3. (x × y|z) = (x|y × z),
4. (x + y|(y + z) × (z × x)) = 2(x|y × z),
5. (x × y) × z = y × (x × z) − z × (x × y),
6. (x × y) × z + (y × z) × x + (z × x) × y = 0.
