Paweł Domański

Paweł Domański
Analiza dla informatyków DANI LI1
1. Liczby, wektory, funkcje
Wykład 1
 Cele nauczania analizy dla informatyków.
 Modele matematyczne i pojęcie funkcji.
 Liczby naturalne, całkowite i wymierne – potrzeba liczb
niewymiernych.
 Aksjomaty liczb rzeczywistych i gęstość liczb wymiernych.
Wykład 2
Wykład 3
 Istnienie pierwiastków rzeczywistych i funkcja potęgowa.
 Funkcje elementarne (wykładnicza, logarytmiczna, wymierna,
trygonometryczne, kołowe, hiperboliczne).
 Geometryczna interpretacja zbioru liczb rzeczywistych.
 Symbole plus i minus nieskończoność.
 Porównanie liczb rzeczywistych i ich arytmetyki z arytmetyką
komputerową
 Definicja liczby zespolonej, działąń arytmetycznych, częśći
rzeczywistej i urojonej, jednostki urojonej i liczby sprzężonej.
 Interpretacja geometryczna liczb zespolonych.
 Postać trygonometryczna i wzór Moivre’a.
 Struktura liniowa przestrzeni euklidesowej.
 Standardowy iloczyn skalarny i norma.
 Nierówność Schwarza i odległość w przestrzeni euklidesowej.
 Definicja przestrzeni metrycznej i przykłady.
2. Punkty skupienia, granice ciągów, szeregi
Wykład 4
 Kula, punkt skupienia zbioru, zbiór otwarty i domknięty.
 Pojęcie zbioru zwartego i definicja za pomocą punktów skupienia.
 Zwartość kostki i wnioski: charakteryzacja zbiorów zwartych
w przestrzeni euklidesowej – tw. Heinego-Borela, tw. Bolzano-Weierstrassa.
 Lemat Ascoliego i jego znaczenie dla aproksymacji.
 Pojęcie ciągu.
 Pojęcie ciągu zbieżnego i podstawowe własności granic (własności
arytmetyczne i porządkowe granic.
 Przykład: m.in. granica ciągu
1
.
n
 Twierdzenie o trzech ciągach i zbieżność ciągów monotonicznych.
Wykład 5








Granice niewłaściwe.
Podciągi i ich zbieżność.
Ciągi w zbiorach zwartych.
Granica górna i dolna oraz ich własności.
Ciąg Cauchy’ego i jego podstawowe własności.
Zupełność przestrzeni euklidesowej.
Naturalne przykłady szeregów i pojęcie szeregu (szereg
geometryczny, reprezentacja dziesiętna liczby rzeczywistej).
Pojęcie szeregu.
Warunek Cauchy’ego zbieżności i zbieganie do zera wyrazu
ogólnego szeregu.
Własności arytmetyczne zbieżności szeregów.
Kryteria zbieżności szeregów: porównawcze, Cauchy’ego o zagęszczeniu, Dirichleta i Leibniza.
Szereg harmoniczny i anharmoniczny.





Szeregi o wyrazach nieujemnych.
Szeregi bezwzględnie zbieżne i przestawianie ich wyrazów.
Kryteria ilorazowe Cauchy’ego i pierwiastkowe d’Alemberta
zbieżności bezwzględnej szeregów.
Liczba e jako suma szeregu i jako granica ciągu.




Wykład 6
3. Granica i ciągłość funkcji:
Wykład 7
 Pojęcie granicy funkcji – definicja Cauchy’ego (otoczeniowa) i
Heinego (ciągowa).
 Własności arytmetyczne granic.
 Granice niewłaściwe i w nieskończoności.
 Liczba e jako granica funkcji.
 Pojęcie funkcji ciągłej.
 Ciągłość funkcji elementarnych.
 Ciągłość funkcji złożonej i własności arytmetyczne.
Wykład 8
 Funkcje ciągłe na zbiorach zwartych: osiąganie kresów i ciągłość
funkcji odwrotnej.
 Własność Darboux na przedziałach i ścisła monotoniczność bijekcji
rzeczywistej.
 Jednostajna ciągłość i tw. Cantora.
 Funkcje ciągłe na przedziałach otwartych i domkniętych.
4. Różniczkowanie:
Wykład 9
Wykład 10








Pojęcie prędkości.
Pochodna i przyrost funkcji, ilorazy różnicowe.
Sieczna i styczna, przybliżanie lokalne funkcją liniową/afiniczną.
Ciągłość funkcji różniczkowalnej.
Różniczkowanie funkcji elementarnych.
Przykłady funkcji nieróżniczkowalnych .
Własności arytmetyczne pochodnych.
Twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej i funkcji odwrotnej.




Przykłady obliczania pochodnej
Styczna do krzywej zadanej parametrycznie.
Twierdzenie Fermata.
Twierdzenie Lagrange’a o wartości średniej i jego wnioski (funkcje
o pochodnej zerowej, funkcje o pochodnej niezmieniającej znaku,
warunki konieczne i dostateczne istnienia ekstremum lokalnego,
oszacowanie wzrostu funkcji przy pomocy pochodnej).
Wykład 11
Wykład 12
 Reguła de l’Hôpitala.
 Pochodne wyższych rzędów i pojęcie przyspieszenia.
 Przybliżanie lokalne funkcji wielomianami i wzór Taylora z resztą
Peano, Cauchy’ego i Lagrange’a.
 Zastosowania wzoru Taylora do lokalnego przybliżania funkcji
(oszacowanie błędu) i do wyznaczania ekstremów.
 Funkcje analityczne, szereg Taylora i analityczność funkcji
wykładniczej, sinus i cosinus oraz dwumianu.
 Badanie przebiegu funkcji, asymptoty i wypukłość.
 Przybliżone rozwiązywanie równań: metoda stycznych i metoda
siecznych.
5. Całka Riemanna:
Wykład 13




Co to jest pole
Sumy górne i dolne oraz całki górna i dolna.
Definicja funkcji całkowalnej i całki, własności całek.
Całkowalność funkcji ciągłej, monotonicznej, mającej skończoną
liczbę punktów nieciągłości.
 Wzór Newtona-Leibniza i funkcja górnej granicy całkowania.
 Funkcje pierwotne funkcji elementarnych
Wykład 14
 Funkcja pierwotna i dowód wzoru Newtona-Leibniza.
 Podstawowe metody całkowania (przez części, podstawienie) .
 Metody całkowania całek oznaczonych (przez części,
podstawienie) – przykłady na ćwiczeniach.
 Uwagi o algorytmie całkowania funkcji wymiernych.
 Własności całek jako funkcjonałów i jako funkcji zbioru.
Wykład 15
 Zastosowania całek oznaczonych (długość łuku, pole figury,
objętość bryły obrotowej, praca).
 Uwagi o całce niewłaściwej i elementarne przykłady.
Literatura
Podręczniki podstawowe:
[1] A. Sołtysiak, Analiza matematyczna, cz. 1, Wydawnictwo Naukowe UAM,
Poznań, 1995.
[2] H. i J. Musielakowie, Analiza matematyczna, t.1, cz. 1, Wydawnictwo
Naukowe UAM, Poznań, 1993.
[3] W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, Wydawnictwo Naukowe
PWN, Warszawa, 1998.
[4] D. Estep, Practical analysis in one variable, Springer, New York 2002.
[5] H.Heuser, Lehrbuch der Analysis, B.G. Teubner, Stuttgart 1986.
[6] R. Plato, Concise Numerical Mathematics, AMS, Providence 2003
[7] E.W. Swokowski, Calculus with analytic geometry, Prindle, Weber,
Schmidt, Boston 1979.
Zbiory zadań:
[8] M. Bryński, N. Dróbka, K. Szymański, Matematyka dla roku zerowego,
WNT, Warszawa 2007.
[9] J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej,
WNT, Warszawa 1994.
[10] B.P. Demidowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, t.1, 2 i 3,
Naukowa Książka, Lublin 1992 (t.1) i 1993 (t.2 i 3).
[11] G.N. Berman, Zbiór zadań z analizy matematycznej, PWN,
Warszawa 1975.
[12] W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach,
t.1 i 2, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1975.