Wstęp do przestrzeni metrycznych i topologicznych oraz

Wstęp do przestrzeni metrycznych i
topologicznych oraz ich zastosowań w ekonomii
Mirosław Sobolewski
25 maja 2010
Definicja. Przestrzenią metryczną nazywamy zbiór X z funkcją ρ :
X×X → R przyporządkowującą każdej parze elementów (punktów) x, y ∈ X
liczbę rzeczywistą ρ(x, y) nazywaną odległością pomiędzy x i y, tak, by
spełnione były warunki:
1. ρ(x, y) ≥ 0 oraz ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y
2. ρ(x, y) = ρ(y, x) (symetria)
3. ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z) (nierówność trójkąta)
Samą funkcję ρ nazywa się wówczas metryką.
Definicja Niech X będzie przestrzenią metryczną z metryką ρ, niech
x będzie punktem X zaś r dodatnią liczbą rzeczywistą. Kulą otwartą
o środku x i promieniu r nazwiemy zbiór B(x, r) = {y ∈ X : ρ(x, y) <
r}. Kulą domkniętą o środku x promieniu r nazwiemy zbiór B(x, r) =
{y ∈ X : ρ(x, y) ≤ r}. Sferą ośrodku x i promieniu r nazwiemy zbiór
S(x, r) = {y ∈ X : ρ(x, y) = r}
Definicja Podzbiór przestrzeni metrycznej nazywamy zbiorem ograniczonym jeśli zawiera się w pewnej kuli.
Zadanie domowe. Taksonomia Wrocławska. Wybrać populację
X złożoną z ok. 14-17 obiektów ( np. województwa Polski, stare kraje
UE, itp.) określić temat badania ( np. warunki życia, pozycja ekonomiczna lub polityczna kraju). Stosownie do tematu wyróżnić 4-5
cech wyrażających się liczbami rzeczywistymi ( np. oczekiwana długość życia, dochód narodowy p.c., liczebność armii). Zestandaryzować
(unormować) wybrane cechy w populacji. Wyznaczyć odległości pomiędzy obiektami uwzględniające
Pn wybrane zestandaryzowane cechy (
np. według wzoru ρ(x, y) = i=1 |xi − y i |, gdzie x, y to dwa obiekty
1
wybranej populacji, n – liczba cech, zaś xi , y i zestandaryzowane cechy o numerze i odpowiednio obiektu x i y). Na podstawie uzyskanej
tabeli odległości skonstruować graf Taksonomii Wrocławskiej. Zinterpretować uzyskany graf. Opis Taksonomii Wrocławskiej znaleźć można
w [St], str. 122-126.
Niech X będzie przestrzenią metryczną z metryką ρ.
Definicja Powiemy, że ciąg punktów xn ∈ X jest zbieżny i dąży do
granicy x ∈ X jeśli lim ρ(xn , x) = 0.
Definicja Niech A ⊂ X. Liczbę diam(A) = sup{ρ(x, y) : x, y ∈ A}
nazywamy średnicą A.
Definicja Ciąg punktów xn ∈ X nazwiemy ciągiem Cauchy’ego jeśli
diam{xn , xn+1 , xn+2 . . . } → 0 wraz z n → ∞.
Definicja Przestrzeń X nazywamy przestrzenią zupełną jeśli każdy
ciąg Cauchy’ego w X jest ciągiem zbieżnym.
Definicja Przekształcenie f : X → X nazywamy zwężającym (kontrakcją) jeśli istnieje taka dodatnia liczba c < 1, że ρ(f (x), f (y) ≤
cρ(x, y) dla dowolnych dwóch punktów x, y ∈ X (liczbę c nazywamy
stałą zwężenia f ).
Twierdzenie (Zasada Banacha). Niech X będzie przestrzenią zupełną, zaś f : X → X niech będzie przekształceniem zwężającym.
Wówczas istnieje dokładnie jeden punkt x ∈ X spełniający f (x) = x
( punkt taki nazywamypunktem stałym przekształcenia f ).
Przy tym, jeśli x0 jest pewnym punktem X i zdefiniujemy ciąg x1 =
f (x0 ), x2 = f (x1 ), x3 = f (x2 ), . . . , xn = f (xn−1 ), . . . to lim xn = x
cn
oraz (*) ρ(xn , x) ≤ ρ(x0 , x1 ) 1−c
, gdzie c oznacza stałą zwężenia f .
Zadanie domowe Niech X = C([0, 1], R) będzie przestrzenią wszystkich funkcyj ciągłych rzeczywistych określonych na odcinku [0, 1]. W
przestrzeni tej określamy metrykę zupełną wzorem ρ(f, g) = max{e−Lt |f (t)−
g(t)|, gdzie L > 0 jest pewną stałą, której znaczenie dalej objaśnimy.
Niech K : [0, 1] × R → R będzie funkcją ciągłą i lipschitzowską względem drugiej zmiennej ze stałą L, tzn. |K(t, u) − K(t, v)| ≤ L|u − v| dla
t ∈ [0, 1], u, v ∈ R. Można pokazać ( np. [D-G]), że wówczas
R t przekształcenie F : X → X opisane wzorem F (f )(t) = v(t) + 0 K(s, f (s))ds
jest zwężające ze stałą c = 1 − e−L , i na mocy Zasady Banacha ma
punkt stały f . Ten punkt
stały jest rozwiązaniem równania całkoRt
wego f (t) = v(t) + 0 K(s, f (s))ds. Ponadto kolejne przybliżenia
2
można oszacować stosując wzór (*). Korzystając z tego oszacowania określić ile razy należy zastosować przekształcenie
F aby otrzyRt
mać rozwiązanie równania całkowego f (t) = 0 K(s, f (s))ds, gdzie
K(t, u) = at2 + bt + c + d(cos u) z dokładnością 10−6 . Liczby a,b,c,d,
należy uzyskać jako 4 pierwsze cyfry numeru własnego indeksu, przy
czym jeśli cyfrą byłoby 0 należy ją zastąpić cyfrą 1. Przy szacowaniu
można posłużyć się ocenami zgrubnymi.
Definicja Zbiór X z wyróżnioną rodziną jego podzbiorów T ( nazywanych wówczas zbiorami otwartymi) jest przestrzenią topologiczną jeśli
spełnione są następujące warunki:
i) ∅, X ∈ T , tzn. zbiór pusty oraz cała przestrzeń X są zbiorami
otwartymi
ii) jeśli U, V ∈ T to również U ∩ V ∈ T , tzn. iloczyn (czyli przecięcie)
dwu (a więc również skończonej liczby) zbiorów otwartych jest zbiorem
otwartym
S
iii) jeśli S ⊂ T to S ∈ T , tzn. suma dowolnej rodziny zbiorów
otwartych jest zbiorem otwartym.
Rodzinę T nazywamy wtedy topologią na X.
Przykłady. 1. Każda przestrzeń metryczna jest przestrzenią topologiczną jeśli przyjąć za T tzn. rodzinę zbiorów otwartych rodzinę
złożoną ze zbioru pustego, oraz takich podzbiorów U ⊂ X, które
wraz z każdym punktem x ∈ U zawierają pewną kulę B(x, r) (tzn.
B(x, r) ⊂ U dla pewnego r > 0). Rodzinę T nazywamy wówczas
topologią wyznaczoną przez metrykę. Jeśli inaczej nie zaznaczymy, będziemy domyślnie przyjmować, że w przestrzeni metrycznej jest określona właśnie taka topologia.
2. Jeśli X jest przestrzenią topologiczną z topologią T zaś Y ⊂ X
to wówczas rodzina TY = {U ∩ Y : U ∈ T } tworzy topologię w Y
nazywaną topologią odziedziczoną po X. Zatem zbiory otwarte w tej
topologii to przecięcia z Y zbiorów otwartych w X. Samą przestrzeń
Y nazywamy wtedy podprzestrzenią przestrzeni X.
3. Dla dowolnego zbioru X rodzina T = {∅, X} jest topologią – jedynymi zbiorami otwartymi sa więc tu zbiór pusty i cała przestrzeń X.
Taką topologię nazywamy antydyskretną.
Definicja Podzbiór F przestrzeni topologicznej X nazywamy zbiorem
domkniętym jeśli jego dopełnienie X \ F jest zbiorem otwartym (tzn.
X \ F ∈ T , gdzie T oznacza topologię w X)
3
Niech X oraz Y będą przestrzeniami topologicznymi.
Definicja Odwzorowanie (funkcję) f : X → Y . nazwiemy jest przekształceniem ciągłym, jeśli dla dowolnego podzbioru otwartego U ⊂ Y
przeciwobraz f −1 (U ) jest otwartym podzbiorem X.
Definicja Przekształcenie h : X → Y nazwiemy homeomorfizmem
jeśli h jest przekształceniem wzajemnie jednoznacznym (tzn. istnieje
przekształcenie odwrotne h−1 : Y → X) oraz zarówno h jak i h−1 są
przekształceniami ciągłymi.
Przestrzenie X i Y nazywamy wówczas przestrzeniami homeomorficznymi. Np.cała przestrzeń R i jej podprzestrzeń (−π/2, π/2) są homeomorficzne, gdyż h : (−π/2, π/2) → R określone wzorem h(x) = tan x
jest homeomorfizmem.
Własności topologiczne
Przestrzeń topologiczną X nazwiemy niespójną jeśli da się przedstawić
jako suma X = U ∪ V swoich dwóch rozłacznych niepustych otwartych
podzbiorów U i V .
Przestrzeń, która nie jest niespójna nazywamy przestrzenią spójną.
Twierdzenie Jeśli przestrzeń X jest spójna i f : X → Y jest przekształceniem ciągłym X na Y to Y jest również spójna. Krótko: obraz
ciągły przestrzeni spójnej jest spójny.
Definicja Przestrzeń topologiczną X nazwiemy przestrzenią Hausdorffa jeśli dla dowolnych dwu różnych punktów x, y ∈ X można dobrać rozłączne zbiory otwarte U i V , tak, by x ∈ U , y ∈ V . Przestrzenie Hausdorffa nazywa się również T2 przestrzeniami.
Definicja Pokryciem zbioru(przestrzeni) A nazywamy taką rodzinę
zbiorów, której suma zawiera A. Jeśli każdy element pokrycia jest
zbiorem otwartym to mówimy, że pokrycie jest otwarte.
bf Definicja Przestrzeń topologiczną X nazywamy przestrzenią zwartą
jeśli X jest przestrzenią Hausdorffa oraz z każdego pokrycia otwartego
przestrzeni X można wybrać pokrycie skończone.
Twierdzenie. Przestrzeń metryczna jest zwarta⇔ z każdego ciągu w
X można wybrać podciąg zbieżny.
Twierdzenie. Podprzestrzeń przestrzeni Rn jest zwarta ⇔ jest podzbiorem domkniętym i ograniczonym.
Uwaga Nieskończona przestrzeń dyskretna ( tzn. z metryką 0-1) jest
ograniczona i domknięta w sobie. Nie jest jednak zwarta, gdyż zbiory
4
jednopunktowe tworzą jej pokrycie otwarte, z którego nie można wybrać pokrycia skończonego.
Twierdzenie Obraz ciągły przestrzeni zwartej jest przestrzenią zwartą.
Twierdzenie Brouwera o punkcie stałym Niech S ⊂ Rn będzie
sympleksem. Wówczas każde przekształcenie ciągłe f : S → S ma
punkt stały, tzn. istnieje taki punkt p ∈ S, że f (p) = p
Własności, szczególnie własnosci przestrzeni metrycznych , które zachowują homeomorfizmy, nazywamy własnościami topologicznymi. Np.
zwartość i spójność są własnościami topologicznymi. Ponieważ R jest
zupełna i nieograniczona, zaś (−π/2, π/2) jest ograniczoną i niezupełna przestrzenią zatem zarówno zupełność jak i ograniczoność nie są
własnościami topologicznymi.
Lista pojęć i twierdzeń, które należy znać:
1. Definicja przestrzeni metrycznej.
2. Def. przestrzeni topologicznej.
3. Definicja zbioru domkniętego w przestrzeni topologicznej.
4. Def. Przekształceń ciągłych pomiędzy przestrzeniami topologicznymi.
5. Def. homeomorfizmu.
6. Def. przestrzeni Hausdorffa.
7. Def. Ciągu Cauchy’ego.
8. Definicja ciągu zbieżnego.
9. Def. Przestrzeni zupełnej.
10. Def. przestrzeni zwartej.
11. Zasada Banacha z definicją przekształcenia zwężającego (tj. kontrakcji).
12. Twierdzenie Brouwera o punkcie stałym.
Literatura
[Bol]
Bołtiański,W.G, Jefremowicz, W.A Zarys postawowych pojęć
topologii, PZWS, Warszawa 1965
[St]
Hugon Steinhaus Kalejdoskop matematyczny, PZWS, 1956,
Warszawa
5
[D-G]
Dugunji, Granas Fixed Point Theory
[Kur]
Kazimierz Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii,
PWN, Warszawa 1980
[Eng-Siek]
Engelking, R., Sieklucki, K. Wstęp do topologii, PWN, Warszawa 1986
[BE]
Beno Eckmann Social choice and topology, dokument dostepny
w internecie
Uzupełnienie
6