2. Przestrzenie sygnałów

Przestrzenie sygnałów
Przestrzenie
Przestrzeń metryczna
Rozważmy dowolny zbiór P oraz dowolne elementy p1 , p2 , p3 ∈P
Jeżeli na parach elementów zbioru P można zdefiniować funkcję
(funkcjonał) ρ, taki, że
•
ρ ( p1 , p2 ) ≥ 0,
•
ρ ( p1 , p2 ) = ρ ( p2 , p1 )
•
ρ ( p1 , p2 ) + ρ ( p2 , p3 ) ≥ ρ ( p1 , p3 )
czyli
ρ ( p1 , p2 ) = 0 ⇔ p1 = p2
ρ : P × P ֏ R + ∪ {0}
to funkcjonał ρ nazywa się metryką zbioru P,
a zbiór P — przestrzenią metryczną P
ρ ( p1 , p2 ) ≥ 0,
ρ ( p1 , p2 ) = 0 ⇔ p1 = p2
ρ ( p1 , p2 ) = ρ ( p2 , p1 )
ρ ( p1 , p2 ) + ρ ( p2 , p3 ) ≥ ρ ( p1 , p3 )
P=R
x1 , x2 , x3 ∈ R
ρ ( x1 , x2 ) = x1 − x2
x1
x2
ρ ( x1 , x2 )
x3
ρ ( x2 , x3 )
x1
x3
ρ ( x1 , x3 )
ρ ( x1 , x3 )
ρ ( x2 , x3 )
ρ ( x1 , x2 )
ρ ( x1 , x2 ) + ρ ( x2 , x3 ) = ρ ( x1 , x3 )
ρ ( x1 , x2 ) + ρ ( x2 , x3 ) > ρ ( x1 , x3 )
Zbiór R jest przestrzenią metryczną R1
co zapiszemy
x2
1
R
,
ρ
=
R
( )
ρ ( p1 , p2 ) ≥ 0,
ρ ( p1 , p2 ) = 0 ⇔ p1 = p2
ρ ( p1 , p2 ) = ρ ( p2 , p1 )
ρ ( p1 , p2 ) + ρ ( p2 , p3 ) ≥ ρ ( p1 , p3 )
„nierówność trójkąta”
P = R × R — zbiór par liczb rzeczywistych (x, y)
y
p1 = ( x1 , y1 )
y1
ρ2( p1 , p2 )
ρ2( p1 , p3 )
p2 = ( x2 , y2 )
y2
x2
ρ2 ( p1 , p2 ) =
ρ2( p2 , p3 )
x
x3
x1
y3
p3 = ( x3 , y3 )
( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 )
2
2
— metryka euklidesowa
y
p1 = ( x1 , y1 )
y1
ρ1( p1 , p2 )
x
Odległość
euklidesowa
x2
y2
ρ1( p1 , p2 ) = x1 − x2 + y1 − y2
x1
p2 = ( x2 , y2 )
metryka taksówkowa (miejska, Manhattan)
ρ∞ ( p1 , p2 ) = max ( x1 − x2 , y1 − y2
)
metryka szachowa
ρ1( p1 , p2 ) = x1 − x2 + y1 − y2
ρ2 ( p1 , p2 ) =
( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 )
2
ρ∞( p1 , p2 ) = max ( x1 − x2 , y1 − y2
2
)







Kula otwarta o środku p0 i promieniu r:
(
ρm ( p1 , p2 ) = x1 − x2 + y1 − y2
m
)
1
m m
m∈N
{ p} :
ρ ( p, p0 ) < r
p0 = ( 0,0 ) , r = 1
ρ2
ρ1
ρ∞
y
y
y
1
1
1
1
x
1
x
1
Zbiór R × R jest przestrzenią metryczną R 2 = ( R × R, ρ )
x
P = R × R × R = R3
p1 = ( x1 , y1 , z1 ) ∈ P
p2 = ( x2 , y2 , z2 ) ∈ P
ρ1( p1 , p2 ) = x1 − x2 + y1 − y2 + z1 − z2
ρ2 ( p1 , p2 ) =
( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) + ( z1 − z2 )
2
2
ρ∞( p1 , p2 ) = max ( x1 − x2 , y1 − y2 , z1 − z2
)
2







(
ρm ( p1 , p2 ) = x1 − x2 + y1 − y2 + z1 − z2
m
m
m∈N
Zbiór R × R × R jest przestrzenią metryczną R 3 = ( R 3 , ρ )
)
1
m
Ogólnie
Zbiór P = R × R × ⋯ × R = R n
n razy
z określoną metryką ρ jest przestrzenią metryczną
x = ( x1 , x2 ,⋯, xn ) ∈ P
y = ( y1 , y2 ,⋯, yn ) ∈ P
P jest zbiorem n-elementowych ciągów liczbowych
n
Możliwe metryki:
ρ1 ( x, y ) = ∑ xk − yk ,
k =1
ρ2 ( x, y ) =
n
∑ ( xk − yk )
2
,
k =1
ρ∞ ( x, y ) = max { xk − yk }
1≤ k ≤ n

ρm ( x, y ) =  ∑ xk − yk
 k =1
n
lub ogólnie
Rn = ( Rn , ρ )
m



1
m
Niech X = ( X , ρ ) oznacza dowolną przestrzeń metryczną z metryką ρ
{ xn }
— dowolny nieskończony ciąg elementów tej przestrzeni
xɶ ∈ X — wyróżniony punkt przestrzeni X
Definicja 1.
Jeżeli
ρ ( x , xɶ ) < ε
∧∨
∧
ε >0 N n > N
n
to ciąg { xn } jest zbieżny w sensie metryki ρ do xɶ
xɶ nazywa się granicą ciągu { xn } co zapisujemy
lim xn = xɶ
n →∞
Przykład 1.
Przestrzeń R1 z metryką ρ ( x1 , x2 ) = x1 − x2
{ xn } :
xn =
2n + 3
n +1
xɶ = 2
ρ ( xn , xɶ ) =
2n + 3
1
−2 =
n +1
n +1
1
1
< ε dla n > N > 1 +
n +1
ε
Wniosek:
Ciąg { xn } jest zbieżny w sensie metryki ρ, a jego granicą jest xɶ = 2, czyli
2n + 3
=2
n →∞ n + 1
lim
Definicja 2.
Ciąg { xn } elementów przestrzeni metrycznej X = ( X , ρ ) nazywamy
ciągiem Cauchy’ego, jeżeli
ρ( x
∧∨
∧
ε >0 N m , n > N
m
, xn ) < ε
Oznacza to, że odległość między elementami ciągu o dostatecznie dużych numerach
może być dowolnie mała.
Rozważmy ciąg { xn } zbieżny do xɶ ∈ X w sensie definicji 1.
Wówczas
ρ ( xn , xɶ ) < ε1
dla
n > N1
dla
m > N2
ρ ( xm , xɶ ) < ε2
Z nierówności trójkąta
ρ ( xm , xn ) ≤ ρ( xm , xɶ ) + ρ ( xn , xɶ )
Dla m, n > N = max { N1 , N 2 } :
ρ ( xm , xn ) < ε1 + ε2 = ε
Wniosek:
Każdy ciąg elementów przestrzeni metrycznej X, zbieżny w sensie definicji 1,
jest ciągiem Cauchy’ego.
Przykład 2.
1
Rozważmy przestrzeń metryczną Q = ( Q, ρ )
z metryką ρ ( q1 , q2 ) = q1 − q2 i ciąg
{qn } :
qn =
q1 = 1, 4
q2 = 1, 41
q3 = 1, 414
q4 = 1, 4142
10n 2
10
x
n
Jeżeli
Q — zbiór liczb wymiernych
oznacza część całkowitą
liczby x
m > n to
qn − qm ≤ 10− n < ε
q5 = 1, 41421
q6 = 1, 414213
czyli ciąg {qn} jest ciągiem Cauchy’ego
q7 = 1, 4142136
Granicą tego ciągu jest liczba 2 ∉ Q, czyli ciąg nie jest zbieżny w przestrzeni Q1
Definicja 3.
Jeżeli w przestrzeni metrycznej X = ( X , ρ ) każdy ciąg Cauchy’ego jest
zbieżny w sensie metryki ρ, tzn. jego granica jest elementem przestrzeni X,
to przestrzeń X = ( X , ρ ) jest nazywana przestrzenią zupełną.
Wniosek: przestrzeń Q1 z przykładu 2 nie jest przestrzenią zupełną.
Jeżeli zbiór X „rozszerzymy”, w tym sensie, że dołączymy do niego granice
wszystkich ciągów Cauchy’ego nie należące do X, wówczas tak powstały
zbiór
X = X∪
{
Granice wszystkich
ciągów Cauchy’ego
}
nazywa się uzupełnieniem zbioru X i z metryką ρ tworzy zupełną przestrzeń
metryczną
(
X = X, ρ
)
nazywaną uzupełnieniem przestrzeni X.
Metrykę ρ ( x, y ) , x, y ∈ X definiuje się jako:
1. x, y ∈ X
ρ ( x, y ) = ρ ( x, y )
2. x ∈ X , y ∉ X ,
( czyli
y∈X \ X
)
{ yn } , yn ∈ X ,
ρ ( x, y ) = lim ρ ( x, yn )
n →∞
Wówczas istnieje ciąg
taki, że y = lim yn . Wtedy
n →∞
3. x ∉ X , y ∉ X
x = lim xn , xn ∈ X ,
n →∞
y = lim yn ,
ρ ( x, y ) = lim ρ ( xn , yn )
n→∞
Zagadka:
Q1 = ?
n→∞
yn ∈ X ,
Q1 = ( Q, ρ )
Q = Q∪
{
ρ = a −b
ρ
( )
1 2
,
3 7
=
2,ln 4, 7 3,
(
2
3
−
7
5
)
}
, π,⋯,e ,2 2 ,e 2 3 ,⋯⋯
gdy a, b ∈ Q
1
3
−
2
7
=
1
21
ρ ( a, r ) = ? gdy a ∈ Q ale r ∈ R \ Q
r ∈ R \ Q ⇒ r = lim rn ,
n →∞
∧ r ∈Q
n
n
ρ ( a, r ) = lim a − rn
n →∞
(
)
ρ 2, 2 = lim 2 − qn
qn =
n →∞
Q1 = R1
10n 2
10n
=R
Przykłady przestrzeni metrycznych
1. Przestrzeń ciągów skończonych Rn
x = ( x1 , x2 ,⋯ , xn ) 
n
 x, y ∈ R
y = ( y1 , y2 ,⋯ , yn ) 
∧ xk , yk ∈ R
k
n
ρ1 ( x, y ) = ∑ xk − yk
k =1
ρ2 ( x, y ) =
n
∑ ( xk − yk )
k =1
ρ∞ ( x, y ) = max { xk − yk
1≤ k ≤ n
2
}









Często wygodnie jest utożsamiać elementy
przestrzeni Rn z macierzami kolumnowymi
 x1 
x 
x =  2
⋮
 
 xn 
 n
ρm ( x, y ) =  ∑ xk − yk
 k =1
Przestrzeń Rn jest przestrzenią zupełną
m
 y1 
y 
y =  2
⋮
 
 yn 



1
m
2. Przestrzeń zespolonych ciągów skończonych Cn
C n = ( Cn , ρ )
x = ( x1 , x2 ,⋯ , xn ) 
n
 x, y ∈ C
y = ( y1 , y2 ,⋯ , yn ) 
n
ρ1 ( x, y ) = ∑ xk − yk
k =1
ρ2 ( x, y ) =
n
∑x
k =1
k
− yk
2
ρ∞ ( x, y ) = max { xk − yk
1≤ k ≤ n
}









∧ x ,y
k
k

ρm ( x, y ) =  ∑ xk − yk
 k =1
n
Przestrzeń Cn jest przestrzenią zupełną
k
∈C
m
1
m



3. Zbiór sygnałów analogowych (rzeczywistych lub zespolonych) o skończonej energii
Ex =
∞
∫ x (t )
2
dt < ∞
−∞
z metryką
∞
ρ ( x1 , x2 ) =
∫ x (t ) − x (t )
1
2
2
dt
−∞
jest przestrzenią metryczną zupełną, oznaczaną L2
lub L2( −∞, ∞ )
Podobnie, zbiór sygnałów przyczynowych x ( t ) ≡ 0 dla t < 0, takich, że
∞
E x = ∫ x ( t ) dt < ∞
2
0
z metryką
ρ ( x1 , x2 ) =
∞
∫ x (t ) − x (t )
1
2
2
dt
0
jest przestrzenią metryczną zupełną, oznaczaną L2( 0, ∞ )
4. Zbiór sygnałów okresowych (rzeczywistych lub zespolonych) o skończonej mocy
x ( t ) = x ( t − kT ) , k ∈ Z
1
Px =
T
t0 +T
∫
x ( t ) dt < ∞
2
t0
z metryką
1
ρ ( x1 , x2 ) =
T
t0 +T
∫
x1 ( t ) − x2 ( t ) dt
2
t0
jest przestrzenią metryczną zupełną, oznaczaną L2T
5. Zbiór nieskończonych ciągów (rzeczywistych lub zespolonych) o skończonej
energii
Ex =
∞
∑
x[k ] < ∞
2
k =−∞
z metryką
ρ ( x1 , x2 ) =
∞
∑
k =−∞
x1 [ k ] − x2 [ k ]
jest przestrzenią metryczną zupełną, oznaczaną
2
l 2 lub l 2( −∞, ∞ )
Podobnie, zbiór nieskończonych ciągów przyczynowych x [ n ] = 0 dla n < 0
∞
Ex = ∑ x [ k ] < ∞
2
k =0
z metryką
ρ ( x1 , x2 ) =
∞
∑
k =0
x1 [ k ] − x2 [ k ]
2
jest przestrzenią metryczną zupełną, oznaczaną l 2( 0, ∞ )
Przestrzeń liniowa (wektorowa)
Rozważmy zbiór V o elementach u, v, w, … itd.
Zbiór ten nazywamy przestrzenią liniową V, jeżeli na elementach zbioru V
A. można określić operację dodawania, nie wyprowadzającą poza zbiór V
u, v ∈ V ⇒ u + v = s ∈ V
o własnościach:
1. Przemienność:
2. Łączność:
u+ v = v+u
u + ( v + w ) = (u + v ) + w
3. Istnieje element neutralny dodawania 0 ∈ V
taki, że dla dowolnego v ∈ V
v+ 0 = 0 +v = v
4. Dla każdego v ∈ V istnieje element przeciwny − v ∈ V
taki, że
v + (−v ) = ( −v) + v = 0
grupa abelowa
addytywna
B. można zdefiniować mnożenie przez skalar, nie wyprowadzające poza zbiór V
α v ∈ V, α ∈ R
o własnościach
1. rozdzielność względem dodawania elementów
α (u + v ) = α u + α v
2. rozdzielność względem dodawania skalarów
(α + β ) v = α v + β v
3. mnożenie skalarów
α ( β v) = (α β ) v
4. elementem neutralnym mnożenia przez skalar jest liczba 1, czyli
1v = v
W przypadku przestrzeni zespolonych powyższe warunki obowiązują dla α, β ∈ C
Przestrzenią liniową jest więc zbiór, którego elementy można, według
określonych reguł, dodawać i mnożyć przez liczbę, a wyniki tych operacji są
również elementami tego zbioru.
Przykłady:
1. Nie jest przestrzenią liniową np. zbiór figur na szachownicy
2. Zbiór wektorów na płaszczyźnie jest przestrzenią liniową
u+v
v
u
u
−u
u
v
u
αu
αu
αu
α >1
0 < α <1
−1 < α < 0
3. Zbiór wektorów w przestrzeni trójwymiarowej jest przestrzenią liniową
Reguły dodawania i mnożenia przez skalar są prostym uogólnieniem reguł
na płaszczyźnie
4. Zbiór ciągów n-elementowych Rn jest przestrzenią liniową
 u1 
u 
u =  2
⋮
 
u n 
 v1 
v 
v =  2
⋮
 
vn 
 u1   −u1 
 u   −u 
−u = −  2  =  2 
⋮  ⋮ 
  

u
−
u
 n  n
⇒
 u1   v1   u1 + v1 
u   v  u + v 
u+ v =  2+  2 =  2 2
⋮  ⋮  ⋮ 
    

u
v
u
+
v
 n  n  n n
0
0
0 = 
⋮ 
 
0
 u1   α u1 
u   α u 
αu = α  2  =  2 
⋮  ⋮ 
  

u
α
u
 n  n
Analogicznie dla zespolonych ciągów w przestrzeni liniowej Cn
5. Zbiory sygnałów o ograniczonej energii
x (t ) :
∞
∫
x ( t ) dt < ∞ lub
2
−∞
∞
∫
x ( t ) dt < ∞
2
0
uzupełnione sygnałem zerowym x ( t ) ≡ 0
są przestrzeniami liniowymi L2 ( −∞, ∞ ) i L2 ( 0, ∞ )
6. Zbiór sygnałów okresowych o skończonej mocy
1
x ( t ) = x ( t − kT ) :
T
t0 +T
∫ x (t )
2
dt < ∞
t0
uzupełniony sygnałem zerowym x ( t ) ≡ 0
jest przestrzenią liniową L2T
7. Zbiory sygnałów dyskretnych o skończonej energii
x [ n] :
∞
∑
k =−∞
x [ n ] < ∞ lub
2
∞
∑
k =0
x [ n] < ∞
2
uzupełnione sygnałem zerowym x [ n ] ≡ 0
są przestrzeniami liniowymi l 2 ( −∞, ∞ ) i l 2 ( 0, ∞ )
Definicja 1.
Zbiór elementów przestrzeni liniowej V
{v1 , v 2 ,⋯, v n } , ∧ v k ∈V
k
nazywamy liniowo niezależnym jeżeli jedynym rozwiązaniem równania
α1 v1 + α2 v 2 + ⋯ + αn v n = 0
jest
α1 = α2 = ⋯ = αn = 0
Wnioski:
1. Liniowa niezależność elementów v1 , v 2 ,⋯ , v n oznacza, że żaden z tych elementów
nie może być przedstawiony jako kombinacja liniowa pozostałych.
2. Element v = 0 nie należy do żadnego zbioru elementów liniowo niezależnych.
Definicja 2.
Jeżeli każdy zbiór elementów liniowo niezależnych w przestrzeni V
zawiera nie więcej niż n elementów, to przestrzeń V nazywa się
przestrzenią n-wymiarową.
Przykład 1.
Zbiór wektorów na płaszczyźnie
v2
v1
α2 v 2
α1 v1
u = α1 v1 + α2 v 2
Wniosek:
Zbiór wektorów na płaszczyźnie jest przestrzenią liniową dwuwymiarową
Przykład 2.
Przestrzeń Rn i zbiór elementów z tej przestrzeni
 v1(1) 
 v2(1) 
 (2) 
 ( 2) 
v 
v 
v1 =  1  , v 2 =  2  ,
 ⋮ 
 ⋮ 
v( n ) 
v( n ) 
 1 
 2 
⋯
 vm(1) 
 (2) 
v 
, vm =  m 
⋮
 
v( n ) 
 m 
Utwórzmy macierz
V = [ v1
v2
 v1(1)
 ( 2)
v1
⋯ vm ] = 
 ⋮
v( n)
 1
o wymiarach n × m
v2( )
1
v2( )
⋮
2
v2(
n)
⋯ vm( ) 

( 2)
⋯ vm 
⋱ ⋮ 
n
⋯ vm( ) 
1
Przypomnienie z algebry
Rozważmy macierz A o w wierszach i k kolumnach
Rzędem macierzy A nazywamy liczbę liniowo niezależnych wierszy tej macierzy,
która jest równa liczbie liniowo niezależnych kolumn.
Musi więc zachodzić:
rząd A ≤ min ( w, k )
Macierz nazywa się macierzą maksymalnego rzędu, gdy
rząd A = min ( w, k )
Jeżeli w < k i macierz A jest macierzą maksymalnego rzędu, to wiersze tej macierzy
są liniowo niezależne i w macierzy tej można wybrać dokładnie w kolumn liniowo
niezależnych.
Jeżeli w = k i macierz A jest kwadratową macierzą maksymalnego rzędu, to zarówno
wiersze jak i kolumny tej macierzy są liniowo niezależne i macierz ta jest macierzą
nieosobliwą, czyli det A ≠ 0.
V = [ v1
v2
 v1(1)
 ( 2)
v
⋯ vm ] =  1
 ⋮
v( n)
 1
v2( )
1
v2( )
⋮
2
v2(
n)
⋯ vm( ) 

( 2)
⋯ vm 
⋱ ⋮ 
n
⋯ vm( ) 
1
Jeżeli m > n i macierz V jest macierzą maksymalnego rzędu, to jej wiersze są
liniowo niezależne, a spośród jej m kolumn można wybrać dokładnie n kolumn
liniowo niezależnych.
Wnioski:
1. Przestrzeń Rn jest przestrzenią n wymiarową.
2. Jeżeli { v1 , v 2 ,⋯, v n } jest zbiorem liniowo niezależnych elementów przestrzeni Rn,
to
 v1(1) v2(1) ⋯ vn(1) 
 ( 2)

( 2)
( 2)
v2 ⋯ vn 
 v1
det [ v1 v 2 ⋯ v n ] = det 
≠0

⋮
⋮ ⋱ ⋮


v ( n ) v( n ) ⋯ v( n ) 
2
n 
1
Przykład 3.
Przestrzeń L2T
x ( t ) ∈ LT2
 x ( t ) = x ( t − kT ) , k ∈ Z

t +T
⇒ 
1 0 2
 Px = T ∫ x ( t ) dt < ∞
t0

Zbiór elementów tej przestrzeni
xn( t ) = sin
{ x ( t )}
n
2nπ
t, n ∈ N
T
jest liniowo niezależny.
Zbiór { xn( t )} składa się z nieskończonej liczby elementów, czyli przestrzeń L2T
jest przestrzenią nieskończenie wymiarową.
Przestrzeń unormowana
Rozważmy przestrzeń liniową V o elementach v1, v2, v3, … itd.
Przestrzeń tę nazywamy przestrzenią unormowaną V, jeżeli na jej elementach
można zdefiniować odwzorowanie
i : V ֏ R+ ∪ 0
przyporządkowujące każdemu elementowi v k , v l ∈ V rzeczywistą nieujemną liczbę,
oznaczaną v k , v l
o własnościach:
1.
v k ≥ 0,
vk = 0 ⇔ vk = 0
2.
α v k = α v k , α ∈ R lub C
3.
v k + vl ≤ v k + vl
to przestrzeń V nazywa się przestrzenią unormowaną , a liczbę
się normą elementu vk .
vk
nazywa
Przykład 1.
Przestrzeń wektorów na płaszczyźnie
v
Normą wektora może być jego długość
v
v+u
v+u
v
u
v
v + u > v+u
— nierówność trójkąta
u
Przykład 2.
Przestrzenie Rn i Cn
Jeżeli v = ( v1 , v2 ,⋯ , vn ) ∈ R n lub C n
to możliwe są normy:
n
v 1 = ∑ vk
k =1
v2=
v
∞
n
∑v
k =1

m
=  ∑ vk 
 k =1

n
2
k
v
m
1
m
= max {vk }
k
Jeżeli v interpretujemy jako punkt w przestrzeni n wymiarowej, to norma jest
odległością, mierzoną według określonej metryki, tego punktu od początku
układu współrzędnych
Przykład 3.
Przestrzeń L2 (przestrzeń sygnałów o skończonej energii)
x ( t ) ∈ L2
⇔
Ex =
∞
x ( t ) dt < ∞
2
∫
−∞
Można zdefiniować normę:
∞
∫
x =
x ( t ) dt
2
−∞
Przykład 4.
Przestrzeń l2 (przestrzeń ciągów o skończonej energii)
x [ n] ∈ l
2
⇔
Można zdefiniować normę:
Ex =
∞
∑
k =−∞
x =
x [k ] < ∞
2
∞
∑
k =−∞
x[k ]
2
Normą przestrzeni L2 i l2 może być pierwiastek kwadratowy z energii
Przykład 5.
Przestrzeń L2T (przestrzeń sygnałów okresowych o skończonej mocy)
x ( t ) = x ( t − kT ) , k ∈ Z
x (t ) ∈ L
2
T
⇔
1
Px =
T
t0 + T
∫ x (t )
2
dt < ∞
t0
Normą tej przestrzeni może być
1
x =
T
t0 +T
∫ x (t )
2
dt
t0
czyli pierwiastek kwadratowy z mocy sygnału.
W elektrotechnice pierwiastek kwadratowy z mocy sygnału nazywa się
wartością skuteczną
W przestrzeni liniowej unormowanej V z normą
v1 , v 2 ∈ V
⇒
i
można zdefiniować metrykę
ρ ( v1 , v 2 ) = v1 − v 2
Metrykę taką nazywa się metryką indukowaną przez normę
Każda przestrzeń liniowa unormowana jest przestrzenią metryczną
Definicja
Przestrzeń liniową unormowaną normą i , z metryką indukowaną przez tę normę
i zupełną w tej metryce, nazywa się przestrzenią Banacha
Przestrzenie R n , C n , L2 , LT2 , l 2 są przestrzeniami Banacha
Stefan Banach
1892 — 1945
Stefan Banach, prawdziwy geniusz matematyczny, światowej sławy matematyk. Zaczynał
jako samouk, a w krótkim czasie został twórcą analizy funkcjonalnej, nowego działu
matematyki. Urodził się w 1892 roku w Krakowie, gdzie spędził młodość. Przełomowym
wydarzeniem na drodze jego błyskotliwej kariery stało się spotkanie na krakowskich
Plantach w 1916 roku z profesorem matematyki, Hugonem Steinhausem, który — uznając
później Banacha za swoje największe naukowe odkrycie — pomógł mu otrzymać
asystenturę w Katedrze Matematyki na Wydziale Mechanicznym Politechniki Lwowskiej.
W 1920 roku, nie mając ukończonych studiów matematycznych, Stefan Banach otrzymał
doktorat na Uniwersytecie im. Jana Kazimierza we Lwowie, gdzie po czterech latach został
profesorem. W 1935 roku został zaproszony do wygłoszenia plenarnego wykładu na
Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Oslo. Wkrótce przed wybuchem II wojny
światowej Stefana Banacha wybrano na prezesa Polskiego Towarzystwa Matematycznego.
Zmarł latem 1945 roku we Lwowie.
Iloczyn skalarny
Wektory na płaszczyźnie
Iloczyn skalarny wektorów
u
u
u i v = u ⋅ v ⋅ cos α
α
v
v
u = u x i + u y j,
v = vx i + v y j
y
u = u x2 + u y2 ,
u
uy
cos ( αu − αv ) = cos αu cos αv + sin αu sin αv =
v
vy
1
αu
=
αv
j
x
i
1
ux
v = vx2 + u y2
vx
u x vx u y v y
⋅
+
⋅
u v
u v
u i v = u ⋅ v ⋅ cos ( αu − αv ) = u x vx + u y v y
u
u
v
v
u ⊥ v ⇔ ui v = 0
u v ⇔ ui v = u ⋅ v
uiu = u
2
⇒
u = uiu
y
1
j
vx
i
i, j — wektory bazowe na płaszczyźnie
x
i i j = 0 — baza ortogonalna
1
v
vy
i ii = ji j = 1
— baza ortonormalna
Dowolny wektor v można przedstawić jako v = vx i + v y j
v ii = ( vx i + v y j)ii = vx i ii + v y jii = vx
— rzut ortogonalny wektora v na oś x
v i j = ( vx i + v y j)i j = vx i i j + v y ji j = v y
— rzut ortogonalny wektora v na oś y
Wektory w przestrzeni 3D
Baza
z
vz
( i, j, k )
i i j = i ik = jik = 0
i ii = ji j = k ik = 1
i
v = vx i + v y j + vz k
v
k
j
vy
vx
x
w = wx i + wy j + wz k
v iw = v ⋅ w ⋅ cos ∡ ( v, w )
v iw = vx wx + v y wy + vz wz
Baza ortonormalna
y
v x = v ii
v y = vi j
v = ( vx , v y , vz )
vz = v ik
reprezentacja wektora v
w bazie (i, j, k)
Przestrzeń unitarna
P — przestrzeń liniowa
x, y , z ∈ P ,
α, β ∈ C
Iloczynem skalarnym, określonym w przestrzeni P nazywamy odwzorowanie
•, • : P × P ֏ C
przyporządkowujące parze uporządkowanej elementów x, y ∈ P liczbę
x, y ∈ C
spełniające warunki:
∗
1.
x, y = y, x
2.
α x + βy , z = α x , z + β y , z
3.
x, x ≥ 0, przy czym
* — sprzężenie zespolone
x, x = 0 ⇔ x = 0
Przestrzeń z tak zdefiniowanym iloczynem skalarnym
nazywa się przestrzenią unitarną
Uwaga: spotyka się również oznaczenie
( x, y ) ≡ x, y
Jeżeli przestrzeń P jest przestrzenią rzeczywistą, iloczyn skalarny definiuje się jako:
•, • : P × P ֏ R
1.
x, y = y , x
2.
α x + β y , z = α x, z + β y , z ,
3.
x, x ≥ 0, przy czym
α, β ∈ R
x, x = 0 ⇔ x = 0
czyli każdej parze elementów x, y ∈ P przyporządkowujemy rzeczywistą liczbę x, y
Własności iloczynu skalarnego:
•
•
∧
x∈P
0,x = 0
x, x
spełnia warunki normy, czyli można zdefiniować normę przestrzeni
x =
•
x, y ≤
x, x ⋅ y , y = x ⋅ y
x, x
(nierówność Schwarza-Buniakowskiego)
Definicja
Przestrzenią Hilberta nazywamy przestrzeń liniową:
— unitarną, z iloczynem skalarnym x, y
— unormowaną, z normą
x =
x, x
— metryczną, z metryką indukowaną przez normę, tzn. ρ ( x, y ) = x − y
— zupełną w sensie tej metryki
Przestrzenią Hilberta jest przestrzeń Banacha, w której określony został iloczyn
skalarny x, y , a norma została zdefiniowana jako x =
x, x
David Hilbert
Ur. 23 stycznia 1862 w Królewcu, zm. 14 lutego
1943 w Getyndze — matematyk niemiecki. Był
profesorem uniwersytetu w Getyndze, jednego z najważniejszych wówczas ośrodków myśli matematycznej w świecie. W pierwszym okresie swej
działalności naukowej pracował nad teorią
niezmienników algebraicznych. Udowodnił ważne
twierdzenie o istnieniu skończonej bazy dla układu
niezmienników. Badania Hilberta w zakresie
rachunku wariacyjnego oraz teorii równań całkowych
doprowadziły do powstania ważnego pojęcia
przestrzeni, nazwanej później przestrzenią Hilberta,
David Hilbert
oraz innych pojęć analizy funkcjonalnej, w szczegól1862 — 1943
ności aparatu matematycznego mechaniki kwantowej.
Na początku lat dwudziestych Hilbert podjął badania w zakresie podstaw matematyki.
Jego prace wywarły duży wpływ na rozwój matematyki.
W 1900 r., na Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Paryżu, Hilbert
przedstawił 23 zagadnienia dotyczące podstawowych, według niego, kierunków badań
matematycznych, które do dzisiaj przyciągają uwagę matematyków całego świata.
Przykłady przestrzeni Hilberta
1. Przestrzeń Cn
x = ( x1 , x2 ,⋯, xn ) ,
y = ( y1 , y2 ,⋯ , yn )
n
x, y = ∑ xk yk∗
k =1
Inaczej
 x1 
x 
x =  2 ,
⋮
 
 xn 
 y1 
y 
y =  2
⋮
 
 yn 
⇒
x, y = y ∗ t x
Przestrzeń Rn — można pominąć *
2. Przestrzeń L2
{ x ( t )} : Ex =
x, y =
∞
∞
x ( t ) dt < ∞
2
∫
−∞
x ( t ) y ∗( t ) dt
∫
−∞
3. Przestrzeń L2T
T
2
1
x
t
:
P
=
x
t
{ ( )} x T ∫ ( ) dt < ∞
0
T
1
x, y = ∫ x ( t ) y ∗( t ) dt
T0
4. Przestrzeń l 2
{ x [ n]} :
x, y =
Ex =
∞
∑
k =−∞
∞
∑ x [k ]
k =−∞
x [ k ] y ∗[ k ]
2
<∞
u
u⊥v ⇒
u, v = ui v = u ⋅ v ⋅ cos
v
π
=0
2
u + v = u + v , u + v = u, u + u, v + v , u + v , v
2
u
u
u+v
u, v = 0 to
jeżeli
v
u+v = u + v
2
v
Udowodniliśmy twierdzenie Pitagorasa
u+v
X — przestrzeń unitarna
x1 , x2 ∈ X
Definicja
Elementy x1 , x2 nazywa się ortogonalnymi, jeżeli x1 , x2 = 0
x1 , x2 = 0 ⇒
Jeżeli
x1 ⊥ x2
x1 , x2 = 0 to x1 + x2
2
2
= x1 + x2
2
2
2
Baza przestrzeni
Przestrzeń C n
Przestrzeń jest n wymiarowa, więc dowolny liniowo niezależny zbiór elementów
tej przestrzeni nie może zawierać więcej niż n elementów.
Definicja
Dowolny zbiór n liniowo niezależnych elementów przestrzeni C n nazywa się bazą
tej przestrzeni, a przestrzeń C n nazywa się przestrzenią rozpiętą na tej bazie.
Niech zbiór {xk}, k = 1, 2, … n będzie bazą przestrzeni C n
Wówczas dowolny element y ∈ C n może być przedstawiony jako kombinacja
liniowa elementów bazy, czyli
n
y = ∑ αk xk
k =1
X n — n wymiarowa przestrzeń unitarna
{ xk },
y∈ X
k = 1,⋯, n — baza tej przestrzeni
n
⇒
n
y = ∑ αk xk
k =1
Oznaczmy
 α1 
α 
α =  2
⋮
 
 αn 
α ∈ R n ( lub C n ) jest reprezentantem elementu y ∈ X n w bazie
α1 , α2 ,⋯, αn — składowe (współrzędne) elementu y ∈ X n w bazie
Jak wyznaczyć αk ?
{ xk }
{ xk }
n
y ∈ X : y = ∑ αk xk
n
k =1
n
y, x1 = ∑ αk xk , x1
k =1
n
y, x2 = ∑ αk xk , x2
k =1
⋮
 y, x1   x1 , x1

 
y
,
x
x1 , x2
2 


=
 ⋮   ⋮

 
y
,
x
n 

 x1 , xn
x2 , x1
⋯
x2 , x2
⋯
⋮
x2 , xn
⋱
⋯
n
y, xn = ∑ αk xk , xn
k =1
 α1   x1 , x1
α   x , x
 2 =  1 2
⋮  ⋮
  
αn   x1 , xn
x2 , x1
x2 , x2
⋮
x2 , xn
⋯
⋯
⋱
⋯
xn , x1
xn , x2
⋮
xn , xn






−1
 y, x1 


y
,
x
2 

 ⋮ 


y
,
x
n 

xn , x1   α1 

xn , x2   α2 
 
⋮  ⋮ 
 
xn , xn   αn 
Baza ortogonalna
Niech { xk } , k = 1,⋯, n będzie bazą n wymiarowej przestrzeni unitarnej X n,
Definicja 1.
Bazę
{ xk }
nazywa się bazą ortogonalną gdy
gdy l ≠ k
 0
xk , xl = 
ck ≠ 0 gdy l = k
Definicja 2.
Bazę
{ xk }
nazywa się bazą ortonormalną gdy
0 gdy l ≠ k
xk , xl = 
1 gdy l = k
Baza ortogonalna wyznacza w przestrzeni X n prostokątny układ współrzędnych,
zaś baza ortonormalna zakłada dodatkowo
xk = 1, k = 1,⋯, n.
n
y ∈ X : y = ∑ αk xk
n
k =1
 α1   x1 , x1
α   x , x
 2 =  1 2
⋮  ⋮
  
αn   x1 , xn
Jeżeli
{ xk }
⋯
x2 , x2
⋯
⋮
x2 , xn
⋱
⋯
xn , x1 

xn , x2 
⋮ 

xn , xn 
−1
 y, x1 


y
,
x
2 

 ⋮ 


y
,
x
n 

jest bazą ortonormalną, to
 α1  1
α  0
 2 = 
 ⋮  ⋮
  
 αn   0
czyli
x2 , x1
0 ⋯ 0
1 ⋯ 0

⋮ ⋱ ⋮

0 ⋯ 1
α k = y, xk ,
−1
 y , x1   y, x1

 
y
,
x
y, x2
2 


=
 ⋮   ⋮

 
y
,
x
n 

 y, xn
k = 1, 2,… , n
Nie potrzeba odwracać macierzy!






y, z ∈ X :
n
y, z =
n
∑α x ,∑ β x
k =1
k
l =1
n
k =1
k =1
y = ∑ αk xk , z = ∑ βk xk
n
k
n
l l
n
n
n
= ∑∑ αk β xk , xl = ∑ αk βk∗ = α, β
k =1 l =1
∗
l
k =1
y , z = α, β
Jeżeli baza jest ortonormalna, to iloczyn skalarny elementów przestrzeni X n jest
równy iloczynowi skalarnemu ich reprezentantów w przestrzeni R n lub C n
Niech { xk } , k = 1,⋯, n będzie dowolną (nieortogonalną) bazą n wymiarowej
przestrzeni unitarnej X n
Bazę ortogonalną (ortonormalną) można otrzymać stosując algorytm nazywany
procedurą ortonormalizacji Grama-Schmidta.
Generujemy zbiory
{ yk }
i
{ zk } ,
k = 1,⋯, n zgodnie z procedurą rekurencyjną:
y1 = x1
z1 =
y2 = x2 − x2 , z1 z1
z2 =
y3 = x3 − x3 , z1 z1 − x3 , z2 z2
y1
y1
y2
y2
y
z3 = 3
y3
⋮ ..............................................................................................
⋮
k −1
y
yk = xk − ∑ xk , z j z j
zk = k
yk
j =1
⋮ ..............................................................................................
⋮
n −1
y
yn = xn − ∑ xn , z j z j
zn = n
yn
j =1
Zbiór { yk } jest bazą ortogonalną przestrzeni X n, a zbiór { zk } — bazą ortonormalną
Zbiory nieskończone
Zbiory A i B nazywamy równolicznymi, gdy istnieje wzajemnie jednoznaczne
przyporządkowanie (bijekcja) elementów tych zbiorów
B
A
•
•
•
•
•
Zbiory nieskończone też można porównywać
1
2
3
4
5
Zbiór liczb parzystych:
2
4
6
8
10 12 14 16 18 ⋯
Zbiory są równoliczne!
6
7
8
9
⋯
Zbiór liczb naturalnych:
Mocą zbioru A (liczbą kardynalną), oznaczaną A nazywamy:
— zbiory skończone
A=n
gdzie n jest liczbą elementów zbioru
— zbiory nieskończone — liczby kardynalne są tzw. liczbami pozaskończonymi
N ≜ ℵ0
ℵ litera „alef”
Jeżeli A jest równoliczny ze zbiorem N to A = ℵ0
Definicja
Zbiór o mocy ℵ0 nazywa się zbiorem przeliczalnym
Zbiorami przeliczalnymi są:
Zbiór liczb całkowitych
1
2
3
4
5
6
7
8
9
⋯
0
−1
1
−2
2
−3
3
−4
4
⋯
Jeżeli A = ℵ0 i
A ∪ B = ℵ0
B = ℵ0
A × B = ℵ0
A × A = ℵ0
Liczby wymierne — klasy abstrakcji na zbiorze Z × Z \ 0
Z = ℵ0
⇒ Q = ℵ0
Nie jest przeliczalny zbiór R
R = c > ℵ0
Zbiór R jest mocy continuum
A n = ℵ0
Przestrzenie nieskończenie wymiarowe
Niech P będzie nieskończenie wymiarową przestrzenią Hilberta
Definicja 1.
Przestrzeń P nazywa się przestrzenią ośrodkową, jeżeli istnieje w niej przeliczalny
zbiór gęsty, nazywany ośrodkiem.
Q ⊆ P nazywa się zbiorem gęstym, gdy
ρ ( p, q ) < ε
∧
∧
∨
p∈P ε >0 q∈Q
Przykład
W przestrzeni R2 ośrodkiem jest zbiór Q × Q
W przestrzeni R n ośrodkiem jest zbiór Q n
Q — zbiór liczb wymiernych
Q = ℵ0
⇒ Qn = ℵ0
Definicja 2.
Zbiór {u k : k ∈ N } liniowo niezależnych elementów przestrzeni Hilberta P nazywa
się zbiorem domkniętym (zupełnym) jeżeli w przestrzeni P nie istnieje element
liniowo niezależny od {uk}.
Zbiór taki może stanowić bazę przestrzeni P, tzn. dowolny element tej przestrzeni
można przedstawić jako kombinację liniową elementów bazy.
Elementy bazy można numerować na różne sposoby. Ogólnie zbiór indeksów
elementów stanowiących bazę jest pewnym przeliczalnym zbiorem B
Przykładowo:
1, 2,3,⋯
N
N ∪ 0 0,1, 2,⋯
{}

B=
⋯, −2, −1,0,1, 2,⋯
Z
N × N
(1,1) , (1, 2 ) , ( 2,1) , ( 2, 2 ) ,⋯
liczby naturalne
liczby naturalne i zero
liczby całkowite
pary liczb całkowitych (podwójne indeksy)
B = ℵ0
Definicja 3.
Nieskończony przeliczalny zbiór {uk : k ∈ B} elementów przestrzeni Hilberta P
nazywa się bazą ortogonalną tej przestrzeni, jeżeli:
elementy uk są parami ortogonalne,
w przestrzeni P nie istnieje element ortogonalny do wszystkich elementów
zbioru {uk} (zbiór jest domknięty).
Przykład
Przestrzeń L2T :
a) zbiór
2kπ
{ xk } : xk = cos t , k ∈N jest zbiorem ortogonalnym, ale nie jest
T
bazą tej przestrzeni, bo istnieją w niej elementy ortogonalne do każdego xk ,
np. sin
b) zbiór
2π
t
T
{uk :
k ∈ Z} : uk = e
j
2 kπ
t
T
jest bazą ortogonalną przestrzeni L2T
Definicja 4.
Nieskończony przeliczalny zbiór {uk : k ∈ B} elementów przestrzeni Hilberta P
nazywa się bazą ortonormalną tej przestrzeni, jeżeli:
zbiór {uk} jest bazą ortogonalną,
uk = 1 dla każdego k.
Twierdzenie
W ośrodkowej przestrzeni Hilberta istnieje co najmniej jedna baza.
Na podstawie dowolnego domkniętego zbioru liniowo niezależnego {uk} (dowolnej
bazy przestrzeni) można wygenerować bazę ortogonalną (ortonormalną) stosując
iteracyjną procedurę Grama-Schmidta
Uogólniony szereg Fouriera
P — ośrodkowa przestrzeń Hilberta sygnałów x
{uk :
k ∈ B} — baza ortonormalna tej przestrzeni
x = x ( t ) , uk = uk ( t )
(argument t na razie pomijamy)
Każdy sygnał x ∈ P można przedstawić jako kombinację liniową sygnałów
bazowych, czyli w postaci szeregu:
x = ∑ αk u k
k∈B
Równość oznacza, że
x − ∑ αk u k = 0
k∈B
czyli
x − ∑ αk u k = 0
k∈B
x = ∑ αk u k
k∈B
x, u k =
Szereg
∑ α u ,u
l∈B
l l
k
= ∑ αl ul , uk = αk
l∈B
x = ∑ αk u k
k∈B
αk = x , u k
nazywa się uogólnionym szeregiem Fouriera elementu (sygnału) x,
określonym względem bazy ortonormalnej {uk : k ∈ B}.
Zbiór {αk : k ∈ B} nazywa się rzutem sygnału x w przestrzeni P na sygnały
bazowe uk
Współczynniki αk nazywają się składowymi (współrzędnymi) sygnału x
Jean Baptiste Joseph Fourier
ur: 21 marca 1768 w Auxerre – Francja
zm: 16 maja 1830 w Paryżu – Francja
Matematyk fracuski
Kierownik katedry analizy w École Polytechnique
w Paryżu (od 1826 r.), a od 1827 r. — rektor
Ogromnej wagi prace i badania zapewniły mu sławę światową. Jego metody są zupełnie
oryginalne, a teoria równań zawdzięcza mu wiele istotnych ulepszeń. Fourier pracował nad
teorią ciepła i analizą — szczególnie nad teorią funkcji, rachunkiem całkowym i nad
równaniami różniczkowymi. Zasadniczą jednak dziedziną jego zainteresowań była fizyka
matematyczna. Już w 1807 i 1811 roku przedstawił Académie des Sciences (paryskiej
Akademii Nauk) swoje pierwsze odkrycie, a w 1822 roku opublikował pracę „Analityczna
teoria ciepła”. Praca ta była punktem wyjścia do stworzenia teorii szeregów trygonometrycznych i opracowania niektórych zagadnień analizy matematycznej. Szeregi te
nazwane jego imieniem (szeregi Fouriera) odegrały wielką rolę i są często stosowane.
Wynikiem prac Fouriera nad liczbowymi metodami rozwiązywania równań algebraicznych
jest wydana już pośmiertnie (w 1831r.) „Analiza określonych równań”.
Przykład
Przestrzeń 3-wymiarowa wektorów z bazą ortonormalną
v = vx i + v y j + vz k
{i, j, k}
— dowolny wektor
Poszukujemy wektora
vɶ = vɶx i + vɶ y j ,
który będzie najlepszym przybliżeniem wektora v, w sensie minimalizacji normy
wektora
ε = v − vɶ
ε = ( vx − vɶx ) i + ( v y − vɶ y ) j + vz k
ε =
( vx − vɶx ) + ( v y − vɶy )
2
2
+ vz2
Minimum będzie osiągnięte gdy vɶx = vx i vɶ y = v y
czyli
vɶ = vx i + v y j oraz ε = vz k
z
vz
v
k
ε̂
j
i
vx
ε
y
vy
vɶ
v̂
x
vɶ rzut ortogonalny wektora v na płaszczyznę (x, y)
Własności:
dla każdego vˆ ≠ vɶ, vˆ ∈ ( x, y ) zachodzi
v − vˆ > v − vɶ
wektor ε = v − vɶ jest ortogonalny do każdego wektora na płaszczyźnie (x, y)
z
v2
k
i
v1
j
vɶ
y
vy
vx
x
Znacząco różne wektory mogą mieć taki sam rzut ortogonalny
Aproksymacja sygnałów szeregami skończonymi
P — ośrodkowa przestrzeń Hilberta sygnałów x
{uk :
k ∈ B = N} — baza ortonormalna tej przestrzeni
P n ⊆ P — n wymiarowa podprzestrzeń, rozpięta na bazie {uk : k = 1, 2,… , n}
n
n
Dla zadanego x ∈ P \ P należy znaleźć xɶn ∈ P , takie, aby norma błędu aproksymacji
εn = x − xɶn osiągała wartość minimalną:
εn = x − xɶn → min
∞
n
x = ∑ αk u k , αk = x , u k ,
xɶn = ∑ βk uk
k =1
∞
k =1
n
n
εn = x − xɶn = ∑ αk uk − ∑ βk uk = ∑ ( αk − βk ) uk +
k =1
εn
2
= x − xɶn
=
n
2
=
∞
k =1
2
n
∑α u − ∑ β u
k =1
∑ ( α k − βk ) u k
k =1
k =1
k
k
2
+
k =1
k
k = n +1
αk u k
∑ (α
k =1
2
∞
∑
=
k
n
n
k
∑αu
k = n +1
− βk ) u k +
= ∑ α k − βk +
k =1
∞
2
k
2
∞
∑αu
k
k = n +1
∞
∑
k
k = n +1
αk
2
k
=
εn =
εn → min
n
∑ αk − βk +
k =1
∞
2
∑
k = n +1
αk
2
gdy βk = αk = x, uk , k = 1, 2,…, n
Twierdzenie o rzucie ortogonalnym
Jeżeli P jest nieskończenie wymiarową przestrzenią Hilberta, a P n jej n wymiarową
podprzestrzenią, rozpiętą na ortonormalnej bazie {uk : k = 1, 2,… , n} , to dla każdego
x ∈ P istnieje jedyny element xɶn ∈ P n
n
xɶn = ∑ x, uk uk
k =1
taki, że
dla każdego xˆ ≠ xɶn , xˆ ∈ P n zachodzi
x − xˆ > x − xɶn
element x − xɶn jest ortogonalny do każdego elementu z podprzestrzeni P n
α3
x
u3
εɶ
u2
u1
α2
ε̂
i
α1
x̂
εˆ = x − xˆ > εɶ = x − xɶ
xɶ
α3( 2 )
α3(1)
x2
ε2
x3
u3
u1
α1
x1
u2
ε1
α2
xɶ
różne sygnały x1 i x2 są aproksymowane takim samym sygnałem xɶ
błędy aproksymacji są znacząco różne
każdy sygnał x3, taki, że x3 ⊥ u1 i x3 ⊥ u2 jest aproksymowany sygnałem zerowym
Zwiększenie dokładności aproksymacji można uzyskać dodając do skończonej
bazy ortonormalnej kolejne elementy, czyli zwiększając n.
Powstaje ciąg sygnałów aproksymujących { xɶ1 , xɶ2 ,…, xɶn ,…} , gdzie n-ty sygnał
n
xɶn = ∑ αk uk ,
k =1
εn = x − xɶn
Dla każdego n:
εn
xɶn
2
εn
=
2
+ xɶn
2
2
n
∑ αk u k
2
⇒
n
= ∑ αk u k
k =1
2
= x
2
k =1
n
= x − ∑ αk ≥ 0
2
εn
= x − xɶn
n
= ∑ αk
2
k =1
⇒
2
2
uk
n
2
2
n
= ∑ αk
2
2
k =1
∑ αk ≤ x
2
= x − xɶn
2
2
k =1
k =1
n 
→∞
∞
∑α
k =1
2
k
≤ x
2
— nierówność Bessela
∞
∑ αk ≤ x < ∞
2
2
k =1
Wniosek:
Ciąg
{α1 , α2 ,…, αn ,…}
jest elementem przestrzeni l 2
Nierówność Bessela staje się równością, gdy zbiór sygnałów ortonormalnych
{u1 , u2 ,…, un ,…}
rozpina całą przestrzeń P, tzn. jest zbiorem domkniętym
(stanowi bazę tej przestrzeni).
Wówczas
∞
x = ∑ αk
2
2
k =1
Równość Parsevala
Uogólniony szereg Fouriera względem wyróżnionej bazy ortonormalnej
w przestrzeni Hilberta P jest wzajemnie jednoznacznym odwzorowaniem
przestrzeni P w przestrzeń Hilberta l 2 ciągów liczbowych (rzeczywistych lub
zespolonych) sumowalnych z kwadratem.
χ : P ֏ l2
x ∈ P → α = ( α1 , α2 ,…) ∈ l 2
⇒
χ ( x) = α
y ∈ P → β = ( β1 , β2 ,…) ∈ l 2
⇒
χ ( y) = β
x, y ∈ P :
∞
x = ∑ αk u k ,
k =1
x, y
P
=
∞
∞
∞
∞
∞
y = ∑ βr ur
r =1
∞
∗
α
u
,
β
u
=
α
β
u
,
u
=
α
β
∑ k k ∑ r r ∑∑ k k r ∑ k k = α, β
k =1
r =1
∗
r
k =1 r =1
x. y
P
= α, β
l2
k =1
l2
χ ( x + y) = α + β
χ ( ax ) = aα, a ∈ R
x, y
x
P
P
= α, β
= α
odwzorowanie liniowe
l2
l2
Odwzorowanie o takich własnościach nazywa się odwzorowaniem izometrycznym
Każda ośrodkowa przestrzeń Hilberta jest izometryczna z przestrzenią l 2