zestaw z dnia 2017-05-26, plik z dnia 2017-05-26

Topologia, grupa zaawansowana
26 maja 2017
Def‌inicje
Przestrzeń topologiczna jest
• ośrodkowa, jeśli zawiera przeliczalny zbiór gęsty (zbiór gęsty to taki, którego domknięcie jest całą przestrzenią);
• niespójna, jeśli można ją przedstawić jako sumę mnogościową dwóch zbiorów niepustych otwartych i rozłącznych;
• spójna, gdy nie jest niespójna;
• lokalnie spójna, jeśli każde otoczenie dowolnego punktu zawiera spójne otoczenie tegoż punktu;
• łukowo spójna, jeśli dla dowolnych dwóch różnych punktów a i b przestrzeni istnieje włożenie γ odcinka [0, 1] w tę
przestrzeń, takie że γ(0) = a i γ(1) = b (włożenie to homeomorf‌izm na obraz);
• metryzowalna (odpowiednio metryzowalna w sposób zupełny), gdy jej topologia jest indukowana przez pewną metrykę (odpowiednio metrykę zupełną);
• polska gdy jest metryzowalna w sposób zupełny i ośrodkowa;
• słabo zerowymiarowa, gdy podzbiory otwarto-domknięte tworzą bazę jej topologii;
• absolutnie borelowska, jeśli jest homeomorf‌iczna ze zbiorem borelowskim pewnej przestrzeni polskiej (lub, równoważnie, jeśli jest homeomorf‌iczna ze zbiorem borelowskim kostki Hilberta);
• zbiorem Suslina lub analitycznym (w sensie Suslina), gdy jest metryzowalna i jest ciągłym obrazem przestrzeni
polskiej;
• przestrzenią (lub zbiorem) Łuzina, gdy jest metryzowalna i jest ciągłym i różnowartościowym obrazem przestrzeni
polskiej słabo zerowymiarowej.
N oznacza przestrzeń Baire’a, czyli NN (N ∼
= R \ Q).
Informacje
Zadania, które zostały już rozwiązane, mają kółka obok swych numerów zamalowane na czarno.
Jeśli w zadaniu występują podpunkty (a), (b), itd. (a nie (i), (ii), itd.), każdy podpunkt tego zadania to osobne zadanie.
Zadania
0.• (3)
Wykazać, że dmax to metryka na Rn .
1.◦ (5)
Niech f : Q → R będzie funkcją ciągłą.
(a)• Wykazać, że istnieje liczba niewymierna t, dla której granica
lim f (q)
q→t
q∈Q
istnieje i jest liczbowa.
(b*)◦ Wykazać, że zbiór liczb t ∈ R \ Q, dla których zachodzi warunek z punktu (a), jest mocy 2ℵ0 .
2*.• (5)
Czy istnieje ciąg I1 , I2 , . . ., taki że:
(i) dla dowolnej liczby n > 0, In to ograniczony przedział domknięty albo singleton,
(ii) dla wszelkich n 6= m, In ∩ Im = ∅,
S∞
(iii) n=1 In = R?
3.• (4)
Niech X = [0, 1) oraz d : X × X → R+ będzie funkcją daną wzorem d(x, y) = min(|x − y|, 1 − |x − y|). Wykazać, że
d to metryka na zbiorze X.
1
Topologia, grupa zaawansowana
26 maja 2017
4.◦ (3)
Niech {(X
Q s , ds )}s∈S będzie niepustą rodziną (niepustych) przestrzeni metrycznych oraz dla s ∈ S, as ∈ Xs . Określamy s∈S (Xs , ds ; as ) jako parę (X, d), taką że
X = {(xs )s∈S ∈
Y
Xs : sup ds (xs , as ) < ∞},
s∈S
s∈S
a d : X × X → [0, ∞] jest funkcją określoną wzorem d((xs )s∈S , (ys )s∈S ) = sups∈S ds (xs , ys ). Udowodnić, że d to
metryka na zbiorze X.
5.• (4)
Niech ω : R+ → R+ będzie funkcją, taką że:
(ω1) ω(t) = 0 ⇐⇒ t = 0;
(ω2) funkcja ω jest słabo rosnąca;
(ω3) funkcja ω jest wklęsła;
(ω4) limt→0+ ω(t) = 0.
Wykazać, że wtedy
(i) ∀x, y ∈ R+ : |ω(x) − ω(y)| 6 ω(|x − y|);
(ii) dla dowolnej metryki d funkcja ω ◦ d też jest metryką.
6.• (5)
Niech ω : R+ → R+ będzie funkcją o własnościach (ω1)–(ω4), (X, d) będzie przestrzenią metryczną, A niepustym
podzbiorem przestrzeni X, a f : A → R funkcją, taką że |f (a) − f (b)| 6 ω(d(a, b)) dla wszelkich a, b ∈ A. Niech
F : X → [−∞, +∞) będzie funkcją zadaną wzorem F (x) = inf{f (a) + ω(d(a, x)) : a ∈ A}. Wykazać, że F : X → R,
F A = f oraz |F (x) − F (y)| 6 ω(d(x, y)) dla wszelkich x, y ∈ X.
7.• (5)
Czy można odcinek [0, 1] przedstawić jako sumę przeliczalnej rodziny niepustych zbiorów domkniętych parami
rozłącznych?
8.◦ (3)
Podać przykład zbioru A ⊂ R, takiego że zbiory A, Ā, int(A), int(A), int(Ā) są różne.
9.• (4)
Niech u : X → X będzie odwzorowaniem izometrycznym na zwartej przestrzeni metrycznej (X, d). Wykazać, że u
jest suriekcją.
10.• (5)
Niech u : A → X będzie odwzorowaniem nieoddalającym określonym na podzbiorze A zwartej przestrzeni metrycznej (X, d). Udowodnić, że jeśli A ⊂ u(A), to u jest odwzorowaniem izometrycznym oraz u(A) = Ā.
11.• (4)
Podać jawny wzór na izometrię u : (R2 , d1 ) → (R2 , dmax ).
12.• (4)
Wykazać, że odcinek [0, 1] (z topologią naturalną) jest przestrzenią spójną.
13.• (4)
Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną. Wykazać, że przestrzeń (X, d) jest zwarta wtedy i tylko
S wtedy, gdy
metryka d jest zupełna oraz dla dowolnej liczby ε > 0 istnieje zbiór skończony A ⊂ X, taki że X = a∈A Bd (a, ε).
(Bd (a, r) to kula otwarta).
14.• (5)
Niech (X, d) będzie ośrodkową zupełną przestrzenią metryczną. Wykazać, że istnieje dokładnie jeden zbiór domknięty A ⊂ X, taki że A jest przestrzenią bez punktów izolowanych oraz card(X \ A) 6 ℵ0 .
15.• (5)
Udowodnić, że wszystkie niepuste przestrzenie topologiczne, które są (jednocześnie) metryzowalne, zwarte, słabo
zerowymiarowe i zarazem nie mają punktów izolowanych, są wzajemnie homeomorf‌iczne.
2
Topologia, grupa zaawansowana
26 maja 2017
16.• (5)
Niech (X, d) będzie niepustą przestrzenią metryczną zupełną bez punktów izolowanych. Wykazać, że X zawiera
podprzestrzeń homeomorf‌iczną ze zbiorem Cantora. Wywnioskować stąd, że każda ośrodkowa przestrzeń metryczna
zupełna jest albo (co najwyżej) przeliczalna, albo ma moc 2ℵ0 .
17.◦ (4)
Wykazać, że każda niepusta zwarta przestrzeń metryczna jest obrazem zbioru Cantora poprzez funkcję ciągłą.
18.• (5)
Wykazać, że w każde pokrycie otwarte ośrodkowej przestrzeni metryzowalnej można wpisać przeliczalne pokrycie
otwarte {U1 , U2 , U3 , . . .}, takie że dla dowolnego indeksu n > 0 zbiór {m > 0 : Un ∩ Um 6= ∅} jest skończony.
19.◦ (3)
Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną, A jej dowolnym podzbiorem niepustym, a u : A → R funkcją nieoddalającą (tzn. |u(x) − u(y)| 6 d(x, y) dla dowolnych punktów x, y ∈ A). Niech funkcje u∗ , u∗ : X → R będą dane
wzorami:
u∗ (x) = sup (u(a) − d(x, a)),
a∈A
u∗ (x) = inf (u(a) + d(x, a)).
a∈A
Wykazać, że:
• funkcje u∗ oraz u∗ są nieoddalające;
• u∗ = u∗ = u;
A
A
• jeśli v : X → R jest funkcją nieoddalającą, to v A = u wtedy i tylko wtedy, gdy u∗ (x) 6 v(x) 6 u∗ (x) dla
wszelkich x ∈ X.
20*.◦ (5)
Rozważamy przestrzenie Rn z metrykami euklidesowymi. Wykazać, że każda nieoddalająca funkcja u : A → Rm ,
gdzie A ⊂ Rk , jest przedłużalna do funkcji nieoddalającej v : Rk → Rm .
21.◦ (3)
Uzasadnić, że dla dowolnej przestrzeni metrycznej (X, d) istnieje przestrzeń metryczna zupełna (Y, %), taka że
X ⊂ Y , % przedłuża metrykę d oraz zbiór X jest gęsty w przestrzeni metrycznej (Y, %). Wykazać ponadto, że jeśli
(Y 0 , %0 ) jest przestrzenią metryczną zupełną o analogicznych własnościach, to istnieje dokładnie jedna (bijektywna)
izometria F : (Y, %) → (Y 0 , %0 ), taka że F (x) = x dla x ∈ X.
Komentarz. Każdą przestrzeń metryczną zupełną, która zawiera zbiór gęsty izometryczny z przestrzenią metryczną
(X, d) nazywa się uzupełnieniem przestrzeni (X, d). Powyższa własność orzeka, że każda przestrzeń metryczna
zupełna ma dokładnie jedno (z dokładnością do izometrii) uzupełnienie.
22.◦ (4)
Niech (G, ·) będzie grupą, a p : G → R+ taką funkcją, że dla dowolnych elementów x, y ∈ G zachodzą warunki:
• p(x) = 0 ⇐⇒ x = eG (eG to element neutralny grupy G);
• p(x−1 ) = p(x);
• p(x · y) 6 p(x) + p(y) [nierówność trójkąta];
• p(xy) = p(yx).
Niech % będzie metryką na G daną wzorem %(x, y) = p(xy −1 ) (krótko uzasadnić, że rzeczywiście jest to metryka) i niech (Ḡ, %̄) oznacza uzupełnienie przestrzeni metrycznej (G, %). Wykazać, że wtedy na zbiorze Ḡ można
(jednoznacznie) określić działanie wewnętrzne ∗ o własnościach:
(i) (Ḡ, ∗) to grupa z elementem neutralnym e = eG ;
(ii) x ∗ y = x · y dla x, y ∈ G;
(iii) dla q : Ḡ 3 g 7→ %̄(x, e) ∈ R+ oraz dowolnych x, y ∈ Ḡ,
•
•
•
•
q(x−1 ) = q(x);
q(x ∗ y) 6 q(x) + q(y);
q(x ∗ y) = q(y ∗ x);
%̄(x, y) = q(x ∗ y −1 ) = q(x−1 ∗ y).
3
Topologia, grupa zaawansowana
26 maja 2017
23*.◦ (5)
Niech (G, +) będzie grupą abelową, a d taką metryką na X, że
d(x + z, y + z) = d(x, y)
dla wszelkich x, y, z ∈ G. Udowodnić, że jeśli na zbiorze G istnieje metryka zupełna równoważna metryce d, to
sama metryka d jest zupełna.
24.◦ (4)
Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną, a A i B jej dowolnymi niepustymi podzbiorami. Określamy odstęp
Hausdorf‌fa dH (A, B) zbiorów A i B jako
dH (A, B) = max(sup distd (a, B), sup distd (b, A)) ∈ [0, ∞],
a∈A
b∈B
gdzie dla x ∈ X oraz niepustego zbioru C ⊂ X,
distd (x, C) = inf d(x, y).
y∈C
Wykazać, że dla dowolnych niepustych zbiorów A, B, C ⊂ X oraz punktów x, y ∈ X,
• dH (A, B) = 0 ⇐⇒ Ā = B̄;
• dH (A, B) = dH (B, A);
• dH (A, C) 6 dH (A, B) + dH (B, C);
• dH ({x}, {y}) = d(x, y);
• jeśli zbiory A i B są ograniczone w metryce d, wtedy dH (A, B) < ∞.
25.◦ (5)
(Twierdzenie Hahna) Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną zupełną i niech Dd (X) oznacza rodzinę wszystkich
podzbiorów domkniętych, niepustych i ograniczonych w metryce d. Wykazać, że przestrzeń metryczna (Dd (X), dH )
jest zupełna.
26.◦ (4)
Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną zupełną. Niech K(X) będzie rodziną wszystkich niepustych i zwartych
podzbiorów przestrzeni X. Wykazać, że K(X) jest zbiorem domkniętym w przestrzeni (Dd (X), dH ).
27.◦ (3)
Wykazać, że jeśli (X, d) jest przestrzenią metryczną zwartą, to K(X) z metryką Hausdorf‌fa dH jest również zwarta.
28.◦ (4)
Wykazać, że dla dowolnej ośrodkowej przestrzeni metrycznej (X, d) przestrzeń (K(X), dH ) jest również ośrodkowa. Podać przykład świadczący o tym, że przestrzeń (Dd (X), dH ) może być nieośrodkowa (mimo ośrodkowości
przestrzeni X).
29.◦ (4)
Wykazać, że jeśli (X, d) jest przestrzenią metryczną zwartą, to rodzina C(X) wszystkich niepustych spójnych
i zwartych podzbiorów przestrzeni X jest zbiorem domkniętym w przestrzeni (K(X), dH ).
30.◦ (4)
Wykazać, że jeśli X jest zwartą przestrzenią metryzowalną, to topologia przestrzeni K(X) indukowana przez metrykę
dH nie zależy od wyboru metryki d zgodnej z topologią przestrzeni X.
31.◦ (4)
Niech X i Y będą zwartymi przestrzeniami metryzowalnymi, a u : X → Y funkcją ciągłą. Wykazać, że funkcja
K(X) 3 K 7→ u(K) ∈ K(Y ) jest ciągła.
32.◦ (3)
Podać przykład suriekcji ciągłej u : X → Y między zwartymi przestrzeniami metryzowalnymi, takiej że funkcja
K(Y ) 3 L 7→ u−1 (L) ∈ K(X) jest nieciągła.
33.◦ (4)
Niech d będzie metryką na [0, 1] zgodną z topologią naturalną. Wykazać, że przestrzeń metryczna ([0, 1], d) ma co
najwyżej jedną izometrię inną niż identycznościowa.
4
Topologia, grupa zaawansowana
26 maja 2017
34.◦ (4)
Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną. Wykazać, że przestrzeń Cb (X, R) wszystkich funkcji ciągłych i ograniczonych na X, rozważana z metryką supremum, jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń X jest
zwarta.
35.◦ (5)
Wykazać, że jeśli niepusty zbiór A ⊂ R jest zwarty, ma puste wnętrze (w R) i nie ma punktów izolowanych, to
istnieje homeomorf‌izm h : R → R, taki że h(A) = C, gdzie C to klasyczny zbiór Cantora.
36.• (5)
Czy istnieje zbiór otwarty U ⊂ R, taki że int(cl(U )) = U , U ⊂ [0, 1] i ∂(U ) = C (C to klasyczny zbiór Cantora)?
37.• (5)
Niech X będzie ośrodkową przestrzenią metryczną. Wykazać, że dla dowolnego zbioru nigdziegęstego A ⊂ X (tzn.
takiego że int(cl(A)) = ∅) istnieje zbiór otwarty U w X, taki że int(cl(U )) = U oraz A ⊂ ∂(U ).
38**.• (5)
Czy teza Zadania 37 pozostanie prawdziwa, jeśli pominiemy założenie o ośrodkowości przestrzeni X?
39.◦ (4)
Podać przykład regularnej przestrzeni topologicznej, w której teza Zadania 37 jest fałszywa.
40.• (5)
Niech X będzie przestrzenią metryczną zupełną, spójną i lokalnie spójną. Czy można przedstawić przestrzeń X
jako sumę przeliczalnej rodziny niepustych zbiorów domkniętych parami rozłącznych?
41.◦ (5)
Niech X będzie przestrzenią metryczną zwartą. Wykazać, że X ma jedynie przeliczalną liczbę podzbiorów, które
są jednocześnie otwarte i domknięte.
42.◦ (3)
Niech (X, %) będzie niepustą przestrzenią metryczną zupełną, a jej ustalonym punktem, a ω punktem nienależącym
b = X ∪ {ω}, a %b metryką na X
b rozszerzającą metrykę % i taką że %b(x, ω) = 1 + %(x, a) dla
do zbioru X. Niech X
b → R,
x ∈ X (krótko uzasadnić, że rzeczywiście jest to metryka). Niech Ω będzie zbiorem wszystkich funkcji u : X
które są nieoddalające względem %b i znikają w punkcie ω, i niech `∞ (Ω) oznacza przestrzeń Banacha wszystkich
funkcji ograniczonych na zbiorze Ω. Dla x ∈ X niech ex ∈ `∞ (Ω) będzie funkcją daną wzorem ex (f ) = f (x) (f ∈ Ω).
Wykazać, że:
• odwzorowanie J : (X, d) 3 x 7→ ex ∈ (`∞ (Ω), k · k∞ ) jest izometryczne;
• zbiór J(X) jest domknięty w `∞ (Ω);
• zbiór J(X) jest liniowo niezależny.
43.◦ (3)
(Twierdzenie Arensa-Eellsa) Wykazać, że każda przestrzeń metryczna jest izometryczna ze zbiorem domkniętym
i liniowo niezależnym w pewnej przestrzeni unormowanej.
44.◦ (4)
Niech X i (Y, d) będą przestrzeniami metrycznymi, f1 , f2 , . . . : X → Y funkcjami ciągłymi, a f : X → Y dowolną
funkcją. Wykazać równoważność następujących dwóch warunków:
(i) dla dowolnego zbioru zwartego K ⊂ X funkcje fn zbiegają na zbiorze K jednostajnie (względem metryki d)
do funkcji f ;
(ii) funkcja f jest ciągła oraz spełniony jest następujący warunek:
lim xn = x =⇒ lim fn (xn ) = f (x).
n→∞
n→∞
45.◦ (4)
Niech X będzie przestrzenią metryczną, a A jej podzbiorem gęstym, który jako przestrzeń metryczna jest przestrzenią lokalnie zwartą (tzn. każdy punkt zbioru A ma otoczenie otwarte w A, którego domknięcie w A jest zwarte).
Wykazać, że wtedy zbiór A jest otwarty w przestrzeni X.
46.• (5)
Niech (X, d) będzie ośrodkową lokalnie zwartą przestrzenią metryczną. Wykazać, że istnieje metryka % na X,
równoważna metryce d, taka że każda %-kula domknięta jest zwarta.
5
Topologia, grupa zaawansowana
26 maja 2017
47.◦ (5)
Podać przykład skończonej grupy nieabelowej (G, ·), która ma więcej niż 16 elementów i spełnia następujący
warunek: jeśli d jest metryką na G, taką że d(ax, ay) = d(x, y) dla wszelkich a, x, y ∈ G (czyli d jest lewostronnie
niezmiennicza), to także d(xa, ya) = d(x, y) dla wszelkich a, x, y ∈ G (czyli d jest prawostronnie niezmiennicza).
48*.◦ (5)
Wykazać, że każda grupa spełniająca wszystkie warunki Zadania 47 jest wyznaczona jednoznacznie (z dokładnością
do izomorf‌izmu grup) przez liczbę swoich elementów.
49.• (4)
Wykazać, że jeśli skończona grupa nieabelowa ma element rzędu 3, to istnieje na niej metryka, która jest lewostronnie
niezmiennicza, ale nie jest prawostronnie niezmiennicza.
50.◦ (3)
Niech ω : R+ → R będzie dowolną funkcją słabo rosnącą. Wykazać równoważność następujących warunków:
(i) dla dowolnej metryki d (na jakimkolwiek zbiorze) funkcja ω ◦ d jest metryką, równoważną metryce d;
(ii) funkcja ω spełnia następujące warunki:
• ω(t) > 0 dla t > 0;
• ω(x + y) 6 ω(x) + ω(y);
• limt→0+ ω(t) = ω(0) = 0.
Wykazać ponadto, że każda słabo rosnąca funkcja ω spełniająca wszystkie warunki z (ii) jest jednostajnie ciągła.
Komentarz. Każdą słabo rosnącą funkcję ω spełniającą warunki punktu (ii) nazywamy modułem ciągłości.
51.◦ (3)
Podać przykład funkcji jednostajnie ciągłej f : (X, d) → (Y, %), dla której nie istnieje moduł ciągłości ω : R+ → R+ ,
taki że
(•)
∀x, y ∈ X : %(f (x), f (y)) 6 ω(d(x, y)).
52.◦ (5)
Wykazać, że jeśli f : (X, d) → (Y, %) jest funkcją jednostajnie ciągłą, której obraz jest zbiorem ograniczonym
w metryce %, to istnieje moduł ciągłości ω, taki że zachodzi nierówność (•) z Zadania 51.
53.• (4)
Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną, a A i B jej domkniętymi rozłącznymi podzbiorami. Podać (jawny)
wzór funkcji ciągłej u : X → [0, 1], dla której u−1 ({0}) = A i u−1 ({1}) = B.
54.◦ (3)
Wykazać, że przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy spełniaTnastępujący warunek: ilekroć
∞
F1 , F2 , F3 , . . . jest zstępującym ciągiem zbiorów domkniętych i niepustych, tylekroć n=1 Fn 6= ∅.
55*.◦ (5)
Udowodnić, że jeśli X i Y to niezwarte łukowo spójne przestrzenie metryczne, to przestrzeń X × Y zawiera zbiór
domknięty homeomorf‌czny z R.
56.◦ (3)
Podać przykład rzeczywistej macierzy kwadratowej A stopnia n, gdzie n ∈ {2, 3}, takiej że kAx − Ayk 6 kx − yk
dla x, y ∈ {0, e1 , . . . , en } (e1 , . . . , en to baza kanoniczna przestrzeni Rn ; k · k to norma euklidesowa), ale kAzk > kzk
dla pewnego wektora z.
57.◦ (3)
(k)
Wykazać, że jeśli (X, d) jest przestrzenią metryczną, (xn )∞
n=1 jest ciągiem elementów z X zbieżnym do pewnego
∞
punktu gk ∈ X (k > 1), przy czym ciąg (gk )k=1 jest zbieżny do punktu g ∈ X, to istnieje ściśle rosnący ciąg liczb
(n) ∞
naturalnych (mn )∞
n=1 , taki że ciąg (xmn )n=1 jest zbieżny do g. Podać przykład przestrzeni normalnej, w której
powyższa własność nie zachodzi.
58*.◦ (5)
Podać przykład topologii τ na zbiorze Z, takiej że (Z, τ ) jest przestrzenią normalną niespełniającą pierwszego
aksjomatu przeliczalności w żadnym punkcie.
59.◦ (5)
Wykazać, że każda przestrzeń regularna mająca własność Lindelöfa jest normalna. Wywnioskować stąd, że przestrzenie regularne spełniające drugi aksjomat przeliczalności są normalne.
6
Topologia, grupa zaawansowana
26 maja 2017
60.◦ (5)
Niech (X, τ ) będzie przestrzenią topologiczną. Udowodnić równoważność następujących warunków:
(i) istnieje metryka d na X, taka że przestrzeń metryczna (X, d) jest ośrodkowa oraz
τ = {U ⊂ X : zbiór U jest otwarty w (X, d)};
(ii) (X, τ ) jest przestrzenią regularną spełniającą drugi aksjomat przeliczalności.
61.◦ (5)
Niech X i Y będą przestrzeniami Hausdorf‌fa, a f : X → Y suriekcją ciągłą. Wykazać, że jeśli przestrzeń X jest
zwarta i spełnia drugi aksjomat przeliczalności, to również przestrzeń Y ma obie te własności.
62.◦ (3)
Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną, a {fs : X → R| s ∈ S} rodziną odwzorowań nieoddalających (przy
czym S 6= ∅). Niech funkcja f : X → [−∞, +∞] będzie dana wzorem f (x) = sups∈S fs (x). Wykazać, że albo
f ≡ +∞, albo f (X) ⊂ R i funkcja f : X → R jest nieoddalająca. Sformułować analogiczne twierdzenie dla inf‌imów
rodzin funkcji nieoddalających i wywnioskować, że dla dowolnego zbioru niepustego A ⊂ X funkcja distd (·, A)
(odległość od zbioru A) jest nieoddalająca.
63.◦ (5)
Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną zupełną, Y przestrzenią Hausdorf‌fa, a u : X → Y włożeniem (czyli
homeomorf‌izmem na obraz). Wykazać, że u(X) jest zbiorem typu Gδ w swoim domknięciu w Y . Wywnioskować
stąd, że jeśli ponadto przestrzeń Y jest metryczna, to zbiór u(X) jest zbiorem typu Gδ w Y .
64.◦ (5)
Wykazać, że jeśli A jest zbiorem typu Gδ w przestrzeni metrycznej X, to jest on homeomorf‌iczny z podzbiorem
domkniętym przestrzeni X × Rω , gdzie Rω to przestrzeń wszystkich ciągów a : N → R wyposażona w metrykę
d(a, b) =
X
n∈N
|a(n) − b(n)|
.
2n (1 + |a(n) − b(n)|)
65.◦ (3)
Wykazać, że przestrzeń topologiczna X posiada metrykę d wyznaczającą jej topologię i taką że (X, d) to ośrodkowa przestrzeń metryczna zupełna, wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń X jest homeomorf‌iczna z podzbiorem
domkniętym przestrzeni Rω (z metryką z Zadania 64).
66.◦ (4)
Dla przestrzeni metrycznej (X, d) niech Iso(X, d) oznacza zbiór wszystkich (bijektywnych) izometrii z X w X.
Sprawdzić, że (Iso(X, d), ◦) jest grupą. Wykazać, że jeśli przestrzeń X jest ośrodkowa, wtedy istnieje metryka % na
Iso(X, d), taka że
(†)
lim %(hn , h) = 0 ⇐⇒ ∀x ∈ X :
n→∞
lim d(hn (x), h(x)) = 0.
n→∞
Pokazać, że jeśli (pewna) metryka % na Iso(X, d) spełnia warunek (†), wtedy funkcje
(Iso(X, d), %) 3 h 7→ h−1 ∈ (Iso(X, d), %)
oraz
(Iso(X, d) × Iso(X, d), % ⊕ %) 3 (h1 , h2 ) 7→ h1 ◦ h2 ∈ (Iso(X, d), %)
są ciągłe (gdzie (% ⊕ %)((g, h), (g 0 , h0 )) = %(g, g 0 ) + %(h, h0 )), a przestrzeń metryczna (Iso(X, d), %) jest ośrodkowa.
Komentarz. Gdy (X, d) jest przestrzenią metryczną ośrodkową, grupę Iso(X, d) zawsze będziemy rozważać z topologią wyznaczoną przez (którąkolwiek) metrykę % spełniającą warunek (†).
67.◦ (4)
Wykazać, że jeśli (X, d) jest ośrodkową przestrzenią metryczną zupełną, grupa Iso(X, d) jest metryzowalna w sposób
zupełny.
68.◦ (4)
Wykazać, że jeśli przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, grupa Iso(X, d) też jest zwarta.
69*.◦ (5)
Wykazać, że jeśli przestrzeń metryczna (X, d) jest lokalnie zwarta i spójna, wtedy grupa Iso(X, d) jest lokalnie
zwarta.
7
Topologia, grupa zaawansowana
26 maja 2017
70.◦ (4)
Udowodnić, że jeśli w przestrzeni metrycznej (X, d) wszystkie kule domknięte są zwarte, to grupa Iso(X, d) jest
lokalnie zwarta.
71.◦ (3)
Podać przykład lokalnie zwartej ośrodkowej przestrzeni metrycznej zupełnej (X, d), dla której grupa Iso(X, d) nie
jest lokalnie zwarta.
72.◦ (3)
Czy istnieje metryka % (zgodna z topologią) na T = {z ∈ C : |z| = 1}, taka że Iso(T, %) składa się (dokładnie)
z wszystkich funkcji postaci w 7→ zw (z ∈ T)?
73**.◦ (5)
Niech X będzie zwartą przestrzenią metryzowalną mającą więcej niż 2 punkty. Wykazać, że istnieje metryka d na
X, zgodna z topologią, dla której card(Iso(X, d)) = 1.
74.◦ (4)
Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną, w której wszystkie kule domknięte są zwarte i taką że dla dowolnych
dwóch punktów x, y ∈ X istnieje taka funkcja u ∈ Iso(X, d), że u(x) = y. Wykazać, że wtedy każde odwzorowanie
izometryczne u : X → X jest bijekcją.
75.◦ (3)
Podać przykład przestrzeni metrycznej (X, d), w której wszystkie kule domknięte są zwarte oraz istnieje niesuriektywne odwzorowanie izometryczne z X w X.
76.◦ (3)
Niech X będzie ośrodkową przestrzenią metryzowalną, a L rodziną jej podzbiorów otwartych, która jest dobrze
uporządkowana przez relację inkluzji. Wykazać, że rodzina L jest (co najwyżej) przeliczalna.
77**.◦ (5)
ℵ0
Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną, taką że card(X) > 22 . Wykazać, że wtedy istnieje zbiór nieskończony
A ⊂ X oraz liczba r > 0, taka że d(a, b) = r dla dowolnych różnych punktów a, b ∈ A.
Uwaga. W powyższej sytuacji można wskazać (takiż) zbiór A mocy większej niż 2ℵ0 .
78.◦ (4)
Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną, a A i B jej dowolnymi podzbiorami domkniętymi. Wykazać równoważność następujących warunków:
(i) istnieje funkcja jednostajnie ciągła f : (X, d) → [0, 1], taka że f (A) ∩ f (B) = ∅;
(ii) istnieje funkcja lipschitzowska u : (X, d) → [0, 1], taka że u−1 ({0}) = A i u−1 ({1}) = B;
(iii) A = ∅ lub B = ∅, lub oba zbiory są niepuste i inf{d(a, b) : a ∈ A, b ∈ B} > 0.
79.◦ (4)
Odwzorowanie f : X → Y między przestrzeniami metrycznymi (X, d) i (Y, %) jest lokalnie lipschitzowskie, jeśli
każdy punkt zbioru X ma otoczenie, na którym funkcja f jest lipschitzowska. Wykazać, że jeśli (X, d) jest przestrzenią metryczną zwartą, to każda funkcja lokalnie lipschitzowska z (X, d) w przestrzeń metryczną (Y, %) jest
lipschitzowska.
80.◦ (4)
Niech X i Y będą przestrzeniami Hausdorf‌fa, f : X → Y funkcją ciągłą, a K niepustą rodzina podzbiorów zwartych
przestrzeni X, która spełnia następujący warunek:
∀K, L ∈ K ∃M ∈ K : M ⊂ K ∩ L.
Wykazać, że wtedy f (
T
K∈K
K) =
T
K∈K
f (K).
81.◦ (3)
Wykazać, że przeliczalny iloczyn kartezjański przestrzeni polskich słabo zerowymiarowych jest przestrzenią polską słabo zerowymiarową oraz że podzbiór domknięty lub otwarty przestrzeni polskiej słabo zerowymiarowej jest
przestrzenią polską słabo zerowymiarową.
82.◦ (4)
Wykazać, że każda niepusta przestrzeń polska jest ciągłym obrazem N. Wywnioskować, że każdy niepusty zbiór
Suslina jest ciągłym obrazem N.
8
Topologia, grupa zaawansowana
26 maja 2017
83.◦ (3)
Wykazać, że jeśli {An }n∈N i {A0n }n∈N są podzbiorami przestrzeni metryzowalnej X, takimi że dla wszelkich n, m ∈ N
0
istnieje
zbiór borelowski
S
S B ⊂0 X, taki że An ⊂ B i B ∩ Am = ∅, to istnieje zbiór borelowski D ⊂ X, taki że
n∈N An ⊂ D i D ∩ ( n∈N An ) = ∅.
84.◦ (4)
(Twierdzenie Łuzina o oddzielaniu zbiorów Suslina) Udowodnić, że jeśli A1 , A2 , . . . to parami rozłączne zbiory
Suslina leżące w przestrzeni metryzowalnej X, to istnieją parami rozłączne zbiory borelowskie B1 , B2 , . . ., takie że
Aj ⊂ Bj . Wywnioskować stąd, że jeśli A i X \ A są zbiorami Suslina, to A jest zbiorem borelowskim.
Wskazówka: Rozważyć najpierw przypadek dwóch niepustych rozłącznych zbiorów Suslina A1 i A2 . Dowodzić nie
wprost. Wziąć suriekcje ciągłe fj : N Aj i do rodzin zbiorów
{fj (Λ(m1 , . . . , mk , n))}n∈N
(j = 1, 2)
zastosować Zadanie 83, gdzie Λ(p1 , . . . , ps ) to zbiór wszystkich ciągów (xn )n∈N ∈ N, takich że xj = pj dla j =
1, . . . , s. Na koniec skorzystać z ciągłości obu funkcji i dojść do sprzeczności.
85.◦ (4)
Uzasadnić, że przeliczalna suma i iloczyn (położonych we wspólnej przestrzeni metryzowalnej) oraz przeliczalny
iloczyn kartezjański zbiorów Suslina jest zbiorem Suslina.
86.◦ (4)
Udowodnić, że przeliczalny produkt kartezjański zbiorów Łuzina jest zbiorem Łuzina; przeliczalne przecięcie zbiorów
Łuzina (położonych we wspólnej przestrzeni metryzowalnej) jest zbiorem Łuzina; przeliczalna suma parami rozłącznych zbiorów Łuzina (położonych we wspólnej przestrzeni metryzowalnej) jest zbiorem Łuzina oraz podzbiór
otwarty lub domknięty przestrzeni Łuzina jest zbiorem Łuzina.
87.◦ (4)
Wykazać, że kostka Hilberta jest zbiorem Łuzina. Wywnioskować stąd, że każda przestrzeń polska jest zbiorem
Łuzina.
88.◦ (5)
Wykazać, że każda słabo zerowymiarowa przestrzeń polska bez punktów izolowanych jest ciągłym i różnowartościowym obrazem przestrzeni N.
Wskazówka: Pokazać przede wszystkim, że zbiór Cantora można przedstawić jako sumę przeliczalnej rodziny
zbiorów domkniętych parami rozłącznych bez punktów izolowanych.
89.◦ (4)
Pokazać, że każdy zbiór Łuzina jest sumą zbioru co najwyżej przeliczalnego i ciągłego różnowartościowego obrazu
N.
90.◦ (4)
Wykazać, że podzbiór borelowski przestrzeni Łuzina jest zbiorem Łuzina. Wywnioskować stąd, że każdy nieprzeliczalny zbiór absolutnie borelowski zawiera podzbiór homeomorf‌iczny ze zbiorem Cantora (więc ma moc 2ℵ0 ).
Wskazówka: Rozważyć rodzinę wszystkich podzbiorów A zbioru Łuzina X, takich że A i X \ A są Łuzina.
91.◦ (4)
Wykazać, że zbiór Łuzina położony w przestrzeni metryzowalnej jest w niej borelowski. Wywnioskować stąd, że
przestrzeń metryzowalna jest zbiorem Łuzina wtedy i tylko wtedy, gdy jest absolutnie borelowska i ośrodkowa.
Wskazówka: Niech A ⊂ X i funkcja f : N , A będzie ciągła. Niech Y (n1 , . . . , nk ) = f (Λ(n1 , . . . , nk )). Korzystając z Zadania 84, indukcyjnie skonstruować rodziny zbiorów borelowskich {B(n1 , . . . , nk )} parami rozłącznych (przy
ustalonym
k), takie że Y (n1 , . . . , nk ) ⊂ B(n1 , . . . , nk ) ⊂ B(n1 , . . . , nk−1 ) ∩ cl Y (n1 , . . . , nk ). OkreS∞
T
ślić B = k=1 ( B(n1 , . . . , nk )) i pokazać, że A = B, korzystając z ciągłości f , postaci B i własności zbiorów
B(n1 , . . . , nk ).
92.◦ (3)
Uzasadnić, że wykres funkcji borelowskiej między ośrodkowymi przestrzeniami metryzowalnymi jest podzbiorem
borelowskim iloczynu kartezjańskiego.
93.◦ (3)
Wykazać, że obraz funkcji borelowskiej położony w ośrodkowej przestrzeni metryzowalnej zbioru Suslina jest zbiorem
Suslina.
Wskazówka: Można założyć, że dziedzina jest przestrzenią polską, a obraz leży w przestrzeni polskiej. Skorzystać
z Zadań 91 i 92.
9
Topologia, grupa zaawansowana
26 maja 2017
94.◦ (5)
(Twierdzenie Suslina) Udowodnić, że jeśli przestrzeń X jest absolutnie borelowska, Y jest metryzowalna i ośrodkowa,
a f : X ,→ Y jest iniekcją borelowską, to zbiór f (X) jest borelowski w Y i f jest izomorf‌izmem borelowskim między
X i f (X).
95.◦ (5)
Wykazać, że jeśli X jest zbiorem Suslina i f : X ,→ Y jest iniekcją borelowską w ośrodkową przestrzeń metryzowalną
Y , to f (X) jest zbiorem Suslina i f jest izomorf‌izmem borelowskim między X i f (X).
96.◦ (3)
Udowodnić, że jeśli X jest zbiorem Suslina, Y ośrodkową przestrzenią metryzowalną, A ⊂ Y jest zbiorem Suslina,
a f : X → Y funkcją borelowską, to f −1 (A) jest zbiorem Suslina.
Wskazówka: Uzasadnić, że można założyć, że X jest przestrzenią polską, a następnie skorzystać z Zadania 92.
Uwaga: Założenie ośrodkowości przestrzeni Y w Zadaniach 94, 95 oraz 96 można pominąć.
97.◦ (3)
Uzasadnić, że istnieje iniekcja borelowska z kostki Hilberta w zbiór Cantora.
98.◦ (5)
(Twierdzenie Kuratowskiego) Udowodnić, że zbiory absolutnie borelowskie tej samej mocy są borelowsko izomorf‌iczne; oraz że każdy nieprzeliczalny zbiór borelowski w przestrzeni polskiej jest borelowsko izomorf‌iczny z [0, 1].
99.◦ (5)
Wykazać, że każdy nieprzeliczalny zbiór Suslina ma moc 2ℵ0 .
100.◦ (4)
Uzasadnić, że dla dowolnej liczby kardynalnej α, takiej że ℵ0 < α 6 2ℵ0 istnieje podzbiór odcinka [0, 1] mocy α,
który nie jest zbiorem Suslina.
101.◦ (3)
Udowodnić, że jeśli X jest zbiorem Suslina, Y jest przestrzenią metryzowalną, a f : X → Y jest funkcją borelowską,
to f (X) jest przestrzenią ośrodkową i w konsekwencji zbiorem Suslina.
Wskazówka: Gdyby przestrzeń f (X) nie była ośrodkowa, istniałby w nim nieprzeliczalny podzbiór domknięty A,
którego topologia byłaby dyskretna. Przekształcić A w sposób ciągły w odcinek [0, 1] z zastosowaniem Zadania 100
i otrzymać sprzeczność z Zadaniem 93.
102.◦ (4)
(Twierdzenie Stone’a-Weierstrassa) Niech X będzie zwartą przestrzenią Hausdorf‌fa, a A podprzestrzenią wektorową
przestrzeni C(X, R), taką że f · g ∈ A dla dowolnych funkcji f, g ∈ A. Niech N(A) będzie zbiorem wszystkich
punktów x ∈ X, w których znika algebra A, tj.
N(A) = {x ∈ X|
∀f ∈ A : f (x) = 0}.
Niech ponadto R(A) ⊂ X × X będzie relacją równoważności zdef‌iniowaną następująco:
(x, y) ∈ R(A) ⇐⇒ ∀f ∈ A : f (x) = f (y).
Wykazać, że domknięcie algebry A w przestrzeni C(X, R) (w normie supremum) pokrywa się ze zbiorem wszystkich
funkcji g ∈ C(X, R), takich że g N(A) ≡ 0 oraz g(x) = g(y) ilekroć (x, y) ∈ R(A).
103.◦ (3)
Niech X będzie zwartą przestrzenią T2 , a f1 , f2 , f3 , . . . : X → R ciągiem funkcji ciągłych, takich że fn (x) >
fn+1 (x) > 0 oraz limn→∞ fn (x) = 0 dla dowolnego punktu x ∈ X. Wykazać, że wtedy funkcje f1 , f2 , f3 , . . .
zbiegają jednostajnie do funkcji zerowej.
104.◦ (5)
Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną zwartą, (Y, %) przestrzenią metryczną, a K ⊂ C(X, Y ) dowolnym
zbiorem. Wykazać, że zbiór K ma domknięcie zwarte w przestrzeni C(X, Y ) wyposażonej w metrykę supremum
indukowaną przez metrykę % wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego punktu x ∈ X spełnione są następujące dwa
warunki:
• zbiór K(x) := {f (x) : f ∈ K} ma zwarte domknięcie w Y ;
• dla dowolnej liczby rzeczywistej ε > 0 istnieje liczba rzeczywista δ > 0, taka że dla dowolnego punktu y ∈ X
nierówność d(x, y) 6 δ implikuje, że %(f (x), f (y)) 6 ε dla dowolnej funkcji f ∈ K.
10
Topologia, grupa zaawansowana
26 maja 2017
105.◦ (4)
ℵ0
Podać przykład zbioru X mocy 22 oraz metryki d na X, takiej że każdy trójkąt w przestrzeni metrycznej (X, d)
jest równoramienny, ale żaden nie jest równoboczny.
106.◦ (5)
Dla nieujemnej funkcji ciągłej f : A → R określonej na niepustym domkniętym podzbiorze A ograniczonej przestrzeni metrycznej (X, d) określamy funkcję F : X → R wzorem:
(
f (x)
gdy x ∈ A,
F (x) =
d(x,a)
inf a∈A (f (a) + dist
−
1)
gdy x ∈ X \ A.
d (x,A)
Wykazać, że F jest nieujemną funkcją ciągłą.
107*.◦ (5)
Niech f : X → X będzie funkcją określoną na zwartej przestrzeni metrycznej (X, d) i spełniającą warunek:
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x, y ∈ X : (d(x, y) 6 δ =⇒ ∀n > 0 : d(f n (x), f n (y)) 6 ε)
def
(gdzie f n = f ◦ . . . ◦ f ). Wykazać, że dla K =
| {z }
T∞
n=1
f n (X) istnieje funkcja ciągła r : X → K, taka że rK = idK
n
oraz f ◦ r = r ◦ f .
108.◦ (4)
Wykazać, że każda ograniczona jednostajnie ciągła funkcja f : A → R określona na podzbiorze A przestrzeni
metrycznej (X, d) jest przedłużalna do jednostajnie ciągłej funkcji F : X → R.
109.◦ (4)
Wykazać, że każda jednostajnie ciągła funkcja f : W → (X, d) określona na ograniczonym zbiorze wypukłym W
w przestrzeni unormowanej jest funkcją ograniczoną (tzn. jej obraz jest zawarty w pewnej d-kuli).
110.◦ (3)
Podać przykład jednostajnie ciągłej funkcji f : A → R określonej na (pewnym) zbiorze A ⊂ R, która nie przedłuża
się do jednostajnie ciągłej funkcji F : R → R.
111**.◦ (5)
Niech f : A → R będzie jednostajnie ciągłą funkcją określoną na niepustym podzbiorze A przestrzeni metrycznej
(X, d). Wykazać, że wtedy istnieją liczba ε > 0 oraz funkcja jednostajnie ciągła F : B̄d (A, ε) → R, która przedłuża
def
f , gdzie B̄d (A, ε) = {x ∈ X : distd (x, A) 6 ε}.
112*.◦ (5)
Niech G będzie grupą wyposażoną w metrykę lewostronnie niezmienniczą d, taką że przestrzeń metryczna (G, d)
jest lokalnie zwarta i słabo zerowymiarowa oraz jest grupą topologiczną, tzn. zachodzi warunek:
(grTop)
−1
lim gn = g, lim hn = h =⇒ lim gn h−1
.
n = gh
n→∞
n→∞
n→∞
Wykazać, że każde otoczenie elementu neutralnego w (G, d) zawiera otwartą podgrupę.
113*.◦ (5)
Udowodnić, że każda słabo zerowymiarowa ośrodkowa przestrzeń metryzowalna X jest mocno zerowymiarowa, tzn.
dla dowolnych dwóch domkniętych i rozłącznych jej podzbiorów A i B istnieje zbiór otwarto-domknięty U (tzn.
jednocześnie otwarty i domknięty), taki że A ⊂ U oraz B ∩ U = ∅.
114*.◦ (5)
Niech G będzie grupą wyposażoną w topologię T0 spełniającą I aksjomat przeliczalności oraz warunek (grTop).
Wykazać, że wtedy istnieje metryka lewostronnie niezmiennicza d na G zgodna z topologią tej grupy.
115.◦ (4)
Podać przykład metryki lewostronnie niezmienniczej d na pewnej grupie G, dla której nie zachodzi warunek (grTop).
116.◦ (3)
Mapą Katětova na przestrzeni metrycznej (X, d) nazywamy dowolną funkcję f : X → R, taką że |f (x) − f (y)| 6
d(x, y) 6 f (x) + f (y) dla wszelkich x, y ∈ X. Zbiór wszystkich map Katětova na (X, d) oznaczamy przez E(X).
Wykazać, że:
def
(i) dla f, g ∈ E(X), D(f, g) = supx∈X |f (x)−g(x)| < ∞ (w tym zadaniu przyjmujemy konwencję, że sup(∅) = 0);
11
Topologia, grupa zaawansowana
26 maja 2017
def
(ii) dla y ∈ X, funkcja ey : X → R dana wzorem ey (x) = d(x, y) jest mapą Katětova oraz sup ey (X) 6 diam(X, d);
(iii) odwzorowanie (X, d) 3 x 7→ ex ∈ (E(X), D) jest izometryczne (oraz niesuriektywne gdy X 6= ∅);
(iv) dla dowolnej mapy Katětova f ∈ E(X) oraz punktu x ∈ X, D(f, ex ) = f (x);
def
(v) dla f ∈ E(X) oraz r = diam(X, d), funkcja f ∧ r : X 3 x 7→ min(f (x), r) ∈ R jest także mapą Katětova na
(X, d);
(vi) metryka D jest zupełna na E(X).
Komentarz. Zbiór E(X) rozważa się z metryką D zdef‌iniowaną powyżej. E i (X) to zbiór wszystkich funkcji
f ∈ E(X), dla których sup f (X) 6 diam(X, d). (Tak więc E i (X) = E(X) gdy metryka d jest nieograniczona).
117.◦ (4)
Niech A będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej (X, d). Dla u ∈ E(A) niech funkcja û : X → R będzie
def
dana wzorem û(x) = inf a∈A (u(a) + d(x, a)). Udowodnić, że:
(i) ûA = u dla dowolnej funkcji u ∈ E(A);
(ii) odwzorowanie (E(A), D) 3 u 7→ û ∈ (E(X), D) jest poprawnie określone i izometryczne;
(iii) odwzorowanie (E i (A), D) 3 u 7→ û ∧ diam(X, d) ∈ (E i (X), D) jest izometryczne.
118.◦ (5)
Udowodnić, że jeśli (X, d) jest przestrzenią metryczną zwartą, to przestrzeń E i (X) jest zwarta, a w przestrzeni
E(X) wszystkie kule domknięte są zwarte.
119.◦ (5)
(a)◦ Wykazać, że przestrzeń E(R) nie jest lokalnie zwarta.
(b**)◦ Wykazać, że przestrzeń E(R) jest ośrodkowa.
120.◦ (3)
Niech A będzie gęstym podzbiorem przestrzeni metrycznej (X, d). Uzasadnić, że funkcja Φ : E(X) 3 f 7→ f A ∈
E(A) jest bijektywną izometrią oraz Φ(E i (A)) = E i (X).
121.◦ (5)
Wykazać, że dla ograniczonej niezwartej przestrzeni metrycznej zupełnej (X, d) przestrzeń E i (X) jest nieośrodkowa.
122.◦ (4)
Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną oraz (Y, %) = (E(X), D). Udowodnić, że istnieje funkcja nieoddalająca
R : E(Y ) → Y , taka że R(ey ) = y dla wszelkich y ∈ Y .
123.◦ (5)
Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną oraz (Y, %) = (E(X), D). Udowodnić,
że jeśli {ys }s∈S ⊂ Y , {rs }s∈S ⊂
T
R+ oraz %(ys , yt ) 6 rs + rt dla wszelkich s, t ∈ S, przy czym S 6= ∅, to s∈S B̄% (ys , rs ) 6= ∅.
124.◦ (3)
Podać przykład 4-punktowej przestrzeni metrycznej niezanurzalnej izometrycznie w R, której każdy podzbiór 3elementowy jest zanurzalny izometrycznie w R.
125.◦ (5)
Wykazać, że przestrzeń metryczna mająca więcej niż 3 punkty zanurza się izometrycznie w R wtedy i tylko wtedy,
gdy każdy jej podzbiór 4-elementowy jest zanurzalny izometrycznie w R.
126*.◦ (5)
Niech n > 1. Wykazać, że przestrzeń metryczna mająca więcej niż n + 2 punkty zanurza się izometrycznie w Rn
(z metryką euklidesową) wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jej podzbiór (n + 3)-elementowy jest zanurzalny izometrycznie w Rn .
12