Wstep matematyczny

Wstęp matematyczny
Marcin Orchel
Spis treści
1 Wstęp
1.1 Struktury na przestrzeniach wektorowych
1.2 Przestrzeń z iloczynem skalarnym . . . . .
1.3 Przestrzeń unormowana . . . . . . . . . .
1.4 Przestrzenie metryczne . . . . . . . . . . .
1.5 Przestrzeń topologiczna . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
2
3
4
8
2 Zadania
10
2.1 Zadania na 3.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Zadania na 4.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Zadania na 5.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1
Wstęp
1.1
Struktury na przestrzeniach wektorowych
Przestrzeń wektorowa nad R to zbiór V na którym zdefiniowane są dwa operatory:
dodawania, który definiuje dla każdego x i y z V element x + y w V , oraz mnożenie
skalarne, które dla danego a ∈ R i x ∈ V definiuje element ax w V . Operatory te muszą
spełniać następujące warunki: jeśli x, y, z ∈ V oraz a, b ∈ R to: operator dodawania
spełnia następujące aksjomaty:
• przemienność: x + y = y + x
• łączność: x + (y + z) = (x + y) + z
• istnienie zera: istnieje element 0 w V taki, że x + 0 = x
• istnienie elementu przeciwnego: dla każdego x ∈ V istnieje (−x) ∈ V , zdefiniowany
jako: x + (−x) = 0
Operator mnożenia skalarnego spełnia następujące aksjomaty:
• łączność: (ab) x = a (bx)
• rozdzielność a (x + y) = ax + ay i (a + b) x = ax + bx
1
Przykład 1: Niech V = Rn . Definiujemy dodawanie i mnożenie przez skalar na V w
standardowy sposób: dla x = (x1 , . . . , xn ) i y = (y1 , . . . , yn ) w V i a ∈ R:
x + y = (x1 + y1 , . . . , xn + yn )
ax = (ax1 , . . . , axn )
Przykład 2: Niech V będzie przestrzenią wszystkich ciągów ograniczonych w R.
Elementem V jest ciąg x = (x1 , x2 , . . . , ), który posiada następującą własność:
sup |xi | < ∞
i∈N
Definiujemy dodawanie i mnożenie skalarne na V następująco, dla x = (x1 , x2 , . . .) i
y = (y1 , y2 , . . .) z V i a ∈ R niech:
x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . .)
ax = (ax1 , ax2 , . . .)
Można sprawdzić, że tak zdefiniowana przestrzeń jest przestrzenią wektorową.
Przykład 3: Niech C ([0, 1]) będzie przestrzenią wszystkich funkcji ciągłych [0, 1] →
R:
C ([0, 1]) = {f : [0, 1] → R | f jest ciagla na [0, 1]}
Niech V = C ([0, 1]). Definiujemy dodawanie i mnożenie skalarne dla f, g ∈ V i a ∈ R,
niech (f + g) i af będą funkcjami w V które dla ξ ∈ [0, 1] są dane wzorami:
(f + g) (ξ) = f (ξ) + g (ξ)
(af ) (ξ) = af (ξ)
Będziemy rozważać następujące przestrzenie: przestrzeń unitarna (z iloczynem skalarnym), przestrzeń unormowana, przestrzeń metryczna, przestrzeń topologiczna. Każda
przestrzeń unitarna generuje przestrzeń unormowaną, każda przestrzeń unormowana
przestrzeń metryczną, każda przestrzeń metryczna przestrzeń topologiczną. Odwrotne
wnioskowanie nie zawsze jest prawdziwe.
1.2
Przestrzeń z iloczynem skalarnym
Najbardziej restrykcyjna struktura z omawianych to iloczyn skalarny. Iloczyn skalarny
na V to funkcja z V × V do R, która spełnia następujące warunki dla x, y ∈ V :
• Symetria: x · y = y · x
• Dwuliniowość: (ax + by) · z = a (x · z) + b (y · z) i x · (ay + bz) = a (x · y) + b (x · z)
• Nieujemność: x · x ≥ 0, x · x = 0 wtw x = 0
2
Przestrzeń z iloczynem skalarnym to para (V, · · ·), gdzie V to przestrzeń wektorowa na
R, i · · · to iloczyn skalarny na V .
Przykład 1: Niech V = Rn z dodawaniem i mnożeniem skalarnym zdefiniowanym we
wcześniejszym przykładzie. Iloczyn skalarny zdefiniujmy jako:
x·y =
n
X
xi yi
i=1
Warunki na iloczyn skalarny w V są spełnione, ten iloczyn skalarny nazywa się euklidesowym iloczynem skalarnym.
Przykład 2: Niech C ([0, 1]) i przestrzeń wektorowa zdefiniowana jak w jednym z
poprzednich przykładów, dla f, g ∈ V zdefiniujmy:
f ·g =
Z 1
f (ξ) g (ξ) dξ
0
Więcej niż jeden iloczyn skalarny może być zdefiniowany na tej samej przestrzeni
wektorowej V . Dla przykładu V = R2 i niech a1 i a2 będą dodatnimi liczbami, wtedy
x · y = a1 x1 y1 + a2 x2 y2
jest iloczynem skalarnym na V , w szczególności euklidesowym iloczynem skalarnym dla
a1 = 1 i a2 = 1.
Twierdzenie 1.1 (Nierówność Cauchy-Schwartza).
x · y ≤ (x · x)1/2 (y · y)1/2
dla każdego x, y ∈ V .
1.3
Przestrzeń unormowana
Norma to funkcja k·k : V → R, która spełnia następujące wymagania dla x, y ∈ V :
• Nieujemność: kxk ≥ 0, kxk = 0 wtw x = 0.
• Jednorodność: kaxk = |a| kxk.
• Nierówność trójkąta: kx + yk ≤ kxk + kyk.
Przestrzeń unormowana to para (V, k·k), gdzie V to przestrzeń wektorowa, k·k to norma
na V .
Przykład 1: Niech V = Rn i p ≥ 1 będzie dowolną liczbą. Zdefiniujmy k·kp : V → R
jako:
kxkp =
n
X
i=1
3
!1/p
|xi |
p
gdzie |xi | to wartość bezwzględna. Warunek na nierówność trójkąta sprawdza się bezpośrednio korzystając z nierówności Minkowskiego, która dla Rn wygląda następująco:
kx + ykp ≤ kxkp + kykp
Ponieważ wszystkie warunki na normę są spełnione dla p ≥ 1, k·kp definiuje normę na
Rn , tak zwaną p-normę. Wybierając różne p możemy zdefiniować wiele norm na tej
samej przestrzeni V . Dla p = 2 p-norma na Rn jest nazywana normą euklidesową. Gdy
p → ∞ otrzymujemy normę supremum:
kxk∞ = kxksup = sup |xi |
i=1,...,n
Przykład 2: Niech V = C ([0, 1]). Dla f ∈ V niech
kf k = sup |f (ξ)|
ξ∈[0,1]
Aby sprawdzić nierówność trójkąta zauważmy, że
|f (ξ) + g (ξ)| ≤ |f (ξ)| + |g (ξ)|
Każdy iloczyn skalarny na V generuje normę na V .
Twierdzenie 1.2. Niech · będzie iloczynem skalarnym na V , oraz kxk = (x · x)1/2 ,
wtedy k·k jest normą na V .
Twierdzenie 1.3 (Tożsamość równoległoboku). Jeśli k·k jest normą generowaną przez
iloczyn skalarny, wtedy spełnia ona następujące równanie dla każdego x, y ∈ V :
kx + yk2 + kx − yk2 = 2 kxk2 + kyk2
Jeśli norma spełnia tożsamość równoległoboku, wtedy zachodzi następująca tożsamość polaryzacyjna:
1
x·y =
kx + yk2 − kx − yk2
4
i otrzymujemy normę wyjściową.
1.4
Przestrzenie metryczne
Metryka na V to funkcja d : V × V → R, która spełnia następujące założenia dla
x, y, z ∈ V :
• nieujemność: d (x, y) ≥ 0 oraz d (x, y) = 0, wtw x = y
• symetria: d (x, y) = d (y, x)
• nierówność trójkąta: d (x, z) ≤ d (x, y) + d (y, z)
4
Przestrzeń metryczna to przestrzeń wektorowa V z metryką d na V , zapisywana jako
(V, d).
Przykład 1: Niech V = Rn . Zdefiniujmy metrykę dp na V taką, że:
dp (x, y) = kx − ykp
gdzie k·kp jest p-normą. Metryka ta zwana jest p-metryką, ponieważ jest generowana
przez p-normę. Dla p = 2 metryka dp na Rn jest nazywana metryką euklidesową. Gdy
p → ∞ otrzymujemy metrykę na normie supremum d∞ :
d∞ (x, y) =
sup
|xi − yi |
i∈{1,...,n}
Przykład 2: Niech V = C ([0, 1]). Zdefiniujmy metrykę dp na V następująco:
Z 1
dp (f, g) =
|f (x) − g (x)|p dx
1/p
0
Wtedy dp jest generowana przez p-normę na C ([0, 1]) i jest metryką na C ([0, 1]). Podobnie jak każdy iloczyn skalarny generuje normę, tak samo każda norma generuje metrykę:
Twierdzenie 1.4. Niech k·k będzie normą na V . Zdefiniujmy d jako d (x, y) = kx − yk,
x, y ∈ V . Wtedy d jest metryką na V .
Istnieją jednak metryki nawet w Rn , które nie są generowane przez żadną normę, np
metryka dyskretna:
(
1, x 6= y
p (x, y) =
0, x = y
Dlatego koncepcja przestrzeni metrycznej jest mniej restrykcyjna, niż przestrzeni unormowanej.
Niech będzie dana przestrzeń metryczna (V, d). Dla ciągu {xn } w V mówimy, że
{xn } w V jest zbieżny do granicy x ∈ V (zapisywane jako xn → x) w metryce d, jeśli
jest spełnione:
d (xn , x) → 0, gdy n → ∞
Zbieżność zależy od metryki, przykładowo {xn } = {1/n} jest zbieżny w metryce Euklidesowej do punktu 0, ale nie jest zbieżny w metryce dyskretnej (w metryce dyskretnej
jedynymi zbieżnymi ciągami są ciągi stałe.)
n
o
Punkt x ∈ V jest punktem skupienia ciągu {xn }, jeśli istnieje podciąg xk(n) z
{xn } taki, że xk(n) → x. Zauważmy, że x jest punktem skupienia {xn } wtw dla każdego
r > 0 istnieje nieskończenie wiele indeksów n dla których d (xn , x) < r. Ciąg {xn }
jest ciągiem Cauchy’ego, jeśli dla każdego > 0 istnieje n () takie, że dla każdego m,
n > n () zachodzi d (xm , xn ) < . Każdy ciąg zbieżny w przestrzeni metrycznej (V, d)
jest ciągiem Cauchy’ego, ale nie odwrotnie. Dla przykładu niech V = (0, 1) i metryka d
na V będzie zdefiniowana jako d (x, y) = |x − y| dla x, y ∈ V . Wtedy {xn } = {1/n} jest
5
ciągiem Cauchy’ego w V , ale nie jest zbieżny (nie istnieje x ∈ V , że xn → x). Przestrzeń
metryczna (V, d) w której każdy ciąg Cauchy’ego jest zbieżny jest nazywana zupełną.
Kula otwarta z promieniem r i środkiem x w (V, d), zapisywana jako B (x, r) jest
zdefiniowana jako:
B (x, r) = {y ∈ V |d (x, y) < r}
Zbiór X ⊂ V jest nazywany otwartym w V , jeśli jest spełnione, że dla każdego x ∈ X
istnieje r > 0 takie, że B (x, r) ⊂ X. Należy zwrócić uwagę na to, że to czy dany zbiór X
jest otwarty czy nie zależy od metryki. Przykładowo nie każdy podzbiór R jest otwarty
w metryce euklidesowej, ale każdy podzbiór X z R jest otwarty dla metryki dyskretnej
na R. Zbiór X ⊂ V jest domknięty w V , jeśli jego dopełnienie X c jest zbiorem otwartym,
X c = {y ∈ V |y ∈
/ X}.
Twierdzenie 1.5. Zbiór X ⊂ V jest domknięty, wtw dla każdego ciągu {xk } w X
takiego, że {xk } jest zbieżny do pewnego x ∈ V zachodzi x ∈ X.
Zbiór X ⊂ V jest zwarty kiedy każdy ciąg punktów z X zawiera
zbieżny,
n podciąg
o
czyli X jest zwarty jeśli dla każdego ciągu {xn } w X istnieje podciąg xn(k) ciągu {xn }
oraz istnieje punkt x ∈ X spełniający:
lim xn(k) = x
k→∞
Dalej, zbiór X ⊂ V jest ograniczony, kiedy jest całkowicie zawarty w pewnej kuli otwartej
dookoła 0, to jest jeśli istnieje r > 0 takie, że X ⊂ B (0, r). Podobnie jak w Rn zachodzą
następujące twierdzenia:
Twierdzenie 1.6. Niech A będzie dowolnym zbiorem indeksowym. Jeśli Xa jest zbiorem
otwartym w V dla każdego a ∈ A, to ∪a∈A Xa jest zbiorem otwartym.
Twierdzenie 1.7. Niech A będzie dowolnym zbiorem indeksowym. Jeśli Ya jest zbiorem
domkniętym w V dla każdego a ∈ A, to ∩a∈A Ya jest zbiorem domkniętym.
Twierdzenie 1.8. Niech A będzie skończonym zbiorem indeksowym. Jeśli Xa jest zbiorem otwartym w V dla każdego a ∈ A, to ∩a∈A Xa jest zbiorem otwartym.
Twierdzenie 1.9. Niech A będzie skończonym zbiorem indeksowym. Jeśli Ya jest zbiorem domkniętym w V dla każdego a ∈ A, to ∪a∈A Ya jest zbiorem domkniętym.
Twierdzenie 1.10. Zbiór Z ⊂ V jest zbiorem zwartym wtw każde otwarte pokrycie Z
ma skończone podpokrycie. To znaczy Z jest zwarty wtw dla dowolnej rodziny zbiorów
otwartych (Xa )a∈A takiej, że Z ⊂ ∪a∈A Xa zachodzi, że istnieje skończona podrodzina
(Xφ )φ∈F taka, że Z ⊂ ∪φ∈F Xφ .
W Rn zachodziło twierdzenie, że zbiór jest zwarty wtw gdy jest domknięty i ograniczony, ale w przestrzeni metrycznej istnieją zbiory, które są domknięte i ograniczone,
ale nie są zwarte. Przykładowo: niech V będzie przestrzenią ciągów ograniczonych w
6
R, niech k·k oznacza normę supremum na V , to znaczy x = (x1 , x2 , . . . , ) ∈ V , to
kxk = supi∈N |xi |, niech d oznacza generowaną metrykę:
d (x, y) = kx − yk = sup |xi − yi |
i∈N
Niech ei będzie elementem V , który ma 1 na i-tym miejscu, a na pozostałych 0. Dla
każdego i i j, takich, że i 6= j mamy d (ei , ej ) = 1. Niech X = {ei |i = 1, 2, . . .}. Zbiór X
jest ograniczony, ponieważ kei k = 1 dla każdego i. Ponieważ d (ei , ej ) = 1 dla każdego
i 6= j, to X nie zawiera żadnych ciągów zbieżnych, dlatego jest domknięty. Jednakże,
ciąg {ei } jest ciągiem w X, który nie posiada zbieżnego podciągu, dlatego X nie jest
zwarty.
Dla przestrzeni metrycznych (V1 , d1 ) i (V2 , d2 ) funkcja f : V1 → V2 jest ciągła w
punkcie v ∈ V1 , jeśli dla każdego ciągu {vn } z V1 gdzie vn → v, zachodzi f (vn ) → f (v).
Równoważnie, f jest ciągła w v, jeśli dla każdego ciągu {vn } w V1 zachodzi:
d1 (vn , v) → 0 implikuje d2 (f (vn ) , f (v)) → 0
Funkcja f jest ciągła na V1 , jeśli jest ciągła dla każdego v ∈ V1 .
Twierdzenie 1.11. Niech f : V1 → V2 , gdzie (V1 , d1 ) i (V2 , d2 ) są przestrzeniami metrycznymi. Wtedy f jest ciągła w v ∈ V1 wtw dla każdego zbioru otwartego U2 ⊂ V2
takiego, że f (v) ⊂ U2 , istnieje zbiór otwarty U1 ⊂ V1 , taki, że v ∈ U1 i f (x) ∈ U2 dla
każdego x ∈ U1 .
Twierdzenie 1.12. Funkcja f : V1 → V2 jest ciągła na V1 wtw dla każdego zbioru
otwartego U2 ⊂ V2 , f −1 (U2 ) = {x ∈ U1 |f (x) ∈ U2 } jest zbiorem otwartym w V1 .
Punkt x ∈ V jest punktem skupienia zbioru X ⊂ V , jeśli dla każdego r > 0, istnieje
z ∈ V , z 6= x,
z ∈ B (x, r) ∩ X
to znaczy, kula otwarta B (x, r) zawiera punkt X różny od x. Domknięcie w V zbioru
X ⊂ V to zbiór X łącznie ze wszystkimi punktami skupienia X. Zapisujemy domknięcie
X jako cl (X). Zachodzi cl (X) = X wtw X jest domknięty. Zbiór W ⊂ V jest zbiorem
gęstym w V jeśli domknięcie W zawiera V to znaczy cl (W ) ⊃ V . Każdy zbiór jest
gęsty w sobie. Jakkolwiek każda liczba rzeczywista jest granicą pewnego ciągu Cauchy’ego liczb wymiernych, dlatego domknięcie zbioru liczb wymiernych Q jest zbiorem
R. Dlatego podzbiór gęsty zbioru X może być mały w relacji do X.
Przestrzeń metryczna (V, d) jest ośrodkowa, jeśli posiada przeliczalny zbiór gęsty, to
znaczy jeśli istnieje przeliczalny podzbiór W z V taki, że cl (W ) = V . Na przykład zbiór
liczb wymiernych Q jest przeliczalny i gęsty w R, dlatego R jest przestrzenią ośrodkową.
Twierdzenie 1.13. Przestrzeń metryczna (V, d) jest ośrodkowa, wtw istnieje przeliczalna rodzina zbiorów otwartych {Zn } taka, że dla każdego zbioru otwartego Z ⊂ V
zachodzi Z = ∪n∈N (Z) Zn , gdzie N (Z) = {n|Zn ⊂ Z}.
7
Niech (V, d) będzie przestrzenią metryczną i W ⊂ V . Zdefiniujmy metrykę dW na W
jako dW (x, y) = d (x, y) dla każdego x, y ∈ W . To znaczy dw jest metryką d ograniczoną
do W . Przestrzeń (W, dw ) jest zwana podprzestrzenią metryczną z (V, d). Niech (W, dW )
będzie podprzestrzenią (V, d). Zbiór X ⊂ W jest zbiorem otwartym w W , jeśli istnieje
zbiór otwarty Y ⊂ V taki, że X = Y ∩ W . Jeśli W jest otwarty w V , to podzbiór X
z V jest otwarty w W wtw jest otwarty w V . Na przykład niech W = [0, 1] z metryką
dW (x, y) = |x − y| dla x, y ∈ W . Wtedy (W, dW ) jest podprzestrzenią R z metryką
euklidesową. Zbiór (1/2, 1] jest otwarty w W ponieważ (1/2, 1] = (1/2, 3/2) ∩ W i
(1/2, 3/2) jest zbiorem otwartym w R.
Twierdzenie 1.14. Każda podprzestrzeń przestrzeni ośrodkowej jest ośrodkowa.
Twierdzenie 1.15. Jeśli (W, dW ) jest zupełna, to jest domknięta. Z drugiej strony jeśli
W jest domkniętym podzbiorem V i V jest zupełna, to (W, dw ) też jest zupełna.
1.5
Przestrzeń topologiczna
W przestrzeni metrycznej to metryka służyła do rozpoznawania, które zbiory są otwarte,
domknięte, zwarte, w przestrzeni topologicznej definiujemy bezpośrednio zbiory otwarte.
Formalnie, przestrzeń topologiczna (V, τ ) jest przestrzenią wektorową V z kolekcją τ
podzbiorów V spełniających:
• ∅, V ∈ τ
• O1 , O2 ∈ τ implikuje O1 ∩ O2 ∈ τ
• Dla każdego zbioru indeksowego A, Oa ∈ τ dla każdego a ∈ A implikuje ∪a∈A Oa ∈
τ.
Zbiory w τ są nazywane zbiorami otwartymi V , τ jest nazywane topologią na V . Jeśli
zbiory otwarte w V są identyfikowane za pomocą metryki d na V , to kolekcja zbiorów
otwartych generowanych przez d będzie spełniała trzy powyższe warunki. Dlatego też,
każda przestrzeń metryczna (V, d) generuje przestrzeń topologiczną (V, τ ). Taką przestrzeń topologiczną nazywa się przestrzenią metryzowalną. Jest możliwe, że dwie różne
przestrzenie metryczne (V, d1 ) i (V, d2 ) generują tą samą przestrzeń topologiczną (V, τ ),
ponieważ dwie różne metryki mogą generować tą samą klasę zbiorów otwartych. Dlatego
też, nawet gdy przestrzeń topologiczna jest metryzowalna, to może nie istnieć unikalna
metryka, która jest z nią związana. Jest możliwe również, że przestrzeń topologiczna
nie jest metryzowalna. Na przykład: Niech V będzie przestrzenią wektorową składającą
się co najmniej z dwóch punktów. Zdefiniujmy τ , która jest zbiorem dwuelementowym:
τ = {∅, V }. Taka topologia jest nazywana topologią trywialną.
Nawet gdy przestrzeń topologiczna jest metryzowalna, topologia może być względnie
duża. Na przykład dla topologii generowanej na V przez metrykę dyskretną (dyskretna
topologia), każdy punkt z V , i tym samym każdy podzbiór V jest otwarty.
Ciąg {xn } w przestrzeni topologicznej (V, τ ) jest zbieżny to granicy x ∈ V , jeśli dla
każdego zbioru otwartego O ∈ τ takiego, że x ∈ O, istnieje N takie, że dla każdego
n ≥ N xn ∈ O. Zbiór A ⊂ V jest domknięty, kiedy Ac jest otwarty (to znaczy Ac ∈ τ ).
8
Twierdzenie 1.16. Niech (V, τ ) będzie przestrzenią topologiczną. Wtedy ∅ i V są oba
domknięte.
Twierdzenie 1.17. Niech (V, τ ) będzie przestrzenią topologiczną. Niech (Xφ )φ∈F będzie kolekcją zbiorów zamkniętych w V , gdzie F jest skończonym zbiorem indeksowym.
Wtedy, ∪φ∈F Xφ jest również zbiorem zamkniętym.
Twierdzenie 1.18. Niech (V, τ ) będzie przestrzenią topologiczną. Niech (Xa )a∈A będzie
kolekcją zbiorów zamkniętych w V , gdzie A jest dowolnym zbiorem indeksowym. Wtedy,
∩a∈A Xa jest również zbiorem zamkniętym.
Podzbiór W przestrzeni topologicznej (V, τ ) jest zwarty, kiedy każde otwarte pokrycie W ma skończone podpokrycie. Można zauważyć, że jeśli (V, τ ) jest przestrzenią
metryzowalną, to zbiór W jest zwarty w sensie ciągu (każdy ciąg w W zawiera podciąg zbieżny) wtw kiedy jest topologicznie zwarty. Kiedy przestrzeń topologiczna jest
niemetryzowalna, to nie jest prawdą.
Niech (V, τ ) i (V 0 , τ 0 ) będą przestrzeniami topologicznymi i niech f : V → V 0 . Funkcja f jest ciągła w x ∈ V jeśli dla każdego O0 ∈ τ 0 takiego, że f (x) ∈ O0 zachodzi f −1 (O0 ) ∈ τ . Dodatkowo, f jest ciągła na V jeśli dla każdego O0 ∈ τ 0 zachodzi
f −1 (O0 ) ∈ τ . Można zauważyć, że jeśli (V, τ ) i (V 0 , τ 0 ) są przestrzeniami metryzowalnymi, to funkcja jest ciągła w x w sensie topologicznym, wtw f jest ciągła w x
sekwencyjnie, to znaczy dla każdego ciągu xn → x mamy f (xn ) → f (x).
Baza w x dla przestrzeni topologicznej (V, τ ) to kolekcja zbiorów otwartych Bx ⊂ τ
taka, że: O ∈ τ , x ∈ O implikuje istnieje B ∈ Bx takie, że x ∈ B ⊂ O. Innymi słowy Bx
jest bazą dla (V, τ ) w x jeśli każdy zbiór otwarty zawierający x jest nadzbiorem pewnego
zbioru z bazy, który również zawiera x. Na przykład: niech (V, τ ) będzie przestrzenią
metryzowalną z metryką d. Wybierzmy dowolne x ∈ V i zdefiniujmy Bx :
Bx = {B|B = B (x, r) dla pewnego r > 0}
gdzie B (x, r) to kula otwarta ze środkiem x i promieniem r w metryce d. Ponieważ
metryka d generuje topologię τ z definicji zbioru otwartego w przestrzeni metrycznej
wynika, że Bx jest bazą w x. Koncepcja bazy w x jest analogią topologiczną kuli
otwartej wokół x w przestrzeni metrycznej. Baza dla (V, τ ) jest kolekcją B ⊂ τ zbiorów
otwartych takich, że B jest bazą w x dla każdego x ∈ V . Można zauważyć, że:
Twierdzenie 1.19. Niech B1 będzie bazą w (V, τ ). Wtedy O ∈ τ wtw dla każdego x ∈ O,
istnieje B ∈ B1 takie, że x ∈ B ⊂ O.
Baza B jest przeliczalna jeśli zawiera przeliczalną liczbę zbiorów. Przestrzeń topologiczna (V, τ ) spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności, jeśli dla każdego punktu x
istnieje przeliczalna baza Bx w x. Natomiast spełnia drugi aksjomat przeliczalności jeśli
ma przeliczalną bazę B.
Twierdzenie 1.20. Niech (V, τ ) będzie przestrzenią metryzowalną z metryką d. Wtedy:
(V, τ ) spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności, (V, τ ) spełnia drugi aksjomat przeliczalności wtw przestrzeń metryczna (V, d) jest ośrodkowa.
9
2
Zadania
2.1
Zadania na 3.0
1. Pokaż, że jeśli norma k·k na przestrzeni wektorowej V jest generowana przez iloczyn
skalarny ···, to zachodzi tożsamość polaryzacyjna, to znaczy: pokaż, że dla każdego
x, y ∈ V zachodzi:
1
x·y =
kx + yk2 − kx − yk2
4
2. Używając tożsamości polaryzacyjnej udowodnij tożsamość równoległoboku.
3. Ze wszystkich p-norm w Rn tylko jedna jest generowana przez iloczyn skalarny
- norma euklidesowa. Pokaż, że rzeczywiście tak jest, np pokazując, że nie jest
spełniona tożsamość równoległoboku dla pewnych par x i y.
4. Skonstruuj normę na Rn , która nie jest generowana przez iloczyn skalarny.
5. Udowodnić, że metryka dyskretna na R rzeczywiście spełnia założenia metryki.
6. Które podprzestrzenie R są zbiorami domkniętymi w metryce dyskretnej? Które
są zwarte?
2.2
Zadania na 4.0
1. Niech d1 i d2 będą metrykami na przestrzeni wektorowej V . Metryki d1 i d2 są
równoważne, jeśli istnieją stałe c1 i c2 w R takie, że dla każdego x, y ∈ V zachodzi:
d1 (x, y) ≤ c2 d2 (x, y)
d2 (x, y) ≤ c1 d1 (x, y)
Pokaż, że jeśli d1 i d2 są metrykami równoważnymi na V to zachodzi:
(a) Ciąg {xn } w V jest zbieżny do granicy x w (V, d1 ) wtw {xn } jest zbieżny do
x w (V, d2 ).
(b) Zbiór X ⊂ V jest otwarty z d1 wtw jest otwarty z d2 .
2. Podaj przykład dwóch metryk d1 i d2 na V , które generują te same zbiory otwarte,
ale nie są równoważne.
3. Które metryki generowane przez p-normę k·kp na R2 są równoważne?
4. Czy równoważność metryk jest relacją przechodnią. To znaczy, czy jest prawdziwe,
że jeśli d jest równoważne d2 i d2 jest równoważne d3 , to d1 jest równoważne d3 ?
5. Niech V będzie przestrzenią wektorową z topologią dyskretną. Które podzbiory V
są zwarte?
10
2.3
Zadania na 5.0
1. Niech (V1 , d1 ) będzie R z metryką dyskretną i (V2 , d2 ) będzie R z metryką Euklidesową. Niech F będzie klasą funkcji ciągłych z V1 do V2 , G będzie klasą funkcji
ciągłych z V1 do V1 , H będzie klasą funkcji ciągłych z V2 do V2 . Porównaj F, G, H.
Który jest zbiorem najliczniejszym, a który drugi w kolejności?
2. W jaki sposób klasa funkcji ciągłych na Rn z metryką supremum jest porównywalna z klasą funkcji ciągłych na Rn z metryką Euklidesową. Załóżmy w obu
przypadkach, że funkcje mapują Rn w R.
3. Metryka p − adyczna. Niech będzie dana liczba pierwsza p. Dowolna liczba wymierna r może być zapisana jako r = p−n a/b, gdzie n, a, b są liczbami całkowitymi
i p nie dzieli a ani b. Niech |r|p = pn będzie rozwinięciem p-adycznym. To nie
jest ono normą. Dla r, q wymiernych, niech metryka p-adyczna będzie zdefiniowana jako: d (r, q) = |r − q|p . Pokaż, że dla rozwinięcia p-adycznego zachodzi:
n
o
|q|p + |r|p ≤ max |q|p , |r|p . Na podstawie tego, pokaż, że metryka p-adyczna
rzeczywiście spełnia nierówność trójkąta. Pokaż, że są spełnione pozostałe warunki na metrykę. Pokaż, że jeśli r ∈ B (q, e) to B (q, e) ⊂ B (r, e). Dalej, że
B (q, e) = B (r, e), co oznacza, że każdy punkt w kuli otwartej dookoła r w metryce p-adycznej jest również punktem centralnym tej kuli.
4. Udowodnij, że w metryce dyskretnej, (V, d) jest ośrodkowa, wtw V jest przeliczalna.
5. Dowód nierówności Minkowskiego.
6. Niech V będzie przestrzenią wektorową z topologią dyskretną. Które funkcje f :
V → R są ciągłe w V , jeśli R jest topologią euklidesową.
7. Niech (V, τ ) i (V 0 , τ 0 ) będą przestrzeniami topologicznymi i W = V ×V 0 . Topologia
produktowa τw na W jest zdefiniowana jako topologia oparta na:
O × O0 , O ∈ τ, O0 ∈ τ 0
oraz zawierająca skończone przecięcia i sumy tych zbiorów. Pokaż, że jeśli (V, τ )
i (V 0 , τ 0 ) są przestrzeniami metryzowalnymi, to metryka produktowa generuje topologie produktową.
8. Zbiór X ⊂ V w przestrzeni topologicznej (V, τ ) jest ciągle zwarty, jeśli każdy ciąg
punktów z X zawiera podciąg zbieżny do punktu z X.
(a) Pokaż, że jeśli (V, τ ) jest przestrzenią metryzowalną, to X jest ciągle zwarty
wtw jest zwarty, to jest wtw każde otwarte pokrycie X zawiera skończone
pokrycie.
(b) Podaj przykład przestrzeni topologicznej niemetryzowalnej (V, τ ) w której
istnieje zbiór ciągle zwarty, który nie jest zwarty.
11
9. Pokaż, że jeśli (V, τ ) i (V 0 , τ 0 ) są przestrzeniami metryzowalnymi to funkcja f :
V → V 0 jest ciągła w punkcie x w sensie topologicznym wtw jest sekwencyjnie
ciągła w x to znaczy wtw dla kązdego ciągu xn → x mamy f (xn ) → f (x). Czy
to jest prawda jeśli (V, τ ) i/lub (V 0 , τ 0 ) są niemetryzowalne?
10. Niech V = [0, 1]. Niech τ będzie kolekcją zbiorów złożonych z ∅, V , i wszystkich
podzbiorów V , których dopełnienia są zbiorami skończonymi. Pokaż, że τ jest
topologią dla V . Pokaż, że (V, τ ) nie spełnia pierwszego aksjomatu przeliczalności.
12