1. Przestrzenie unormowane

ANALIZA FUNKCJONALNA
WMAT
1. Przestrzenie unormowane
1. Sprawdzić, że zbiory:
l∞ - ciągów ograniczonych,
l1 - ciągów bezwzględnie sumowalnych,
c00 - ciągów, dla których tylko skończenie wiele wyrazów jest różnych od zera,
c0 - ciągów zbieżnych do zera,
c - ciągów zbieżnych,
są podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni s (przestrzeń wszystkich ciągów z naturalnymi dzałaniami). Jakie inkluzje zachodzą pomiędzy powyższymi zbiorami?
∞
p
p
2. Dla 0 < p < ∞ definiujemy lp := {(xn )∞
n=1 |xn | < ∞}. Pokazać, że l jest
n=1 :
przestrzenią liniową. Dowieść ponadto, że lp ⊂ lq gdy p < q.
3. W każdej przestrzeni liniowej można określić normę.
4. W przestrzeni unormowanej działania dodawania wektorów i mnożenia wektora
przez liczbę są ciągłe.
P
5. Wykazać, że każda nieskończenie wymiarowa przestrzeń liniowa X zawiera ciąg
{Xn }∞
n=1 takich podprzestrzeni liniowych, że X ⊃ X1 ⊃ X2 ⊃ . . . i każda z inkluzji
jest istotna. Czy podprzestrzenie Xn można dobrać tak, aby dim X > dim X1 >
dim X2 > . . . ?
6. Na przestrzeni liniowej C n ([a, b]) zdefiniować normę tak aby dla ciągu funkcyjnego
zbieżność w niej oznaczała jednostajną zbieżność tego ciągu i jego wszystkich
pochodnych do rzędu n włącznie.
7. Dana jest półnorma p na przestrzeni liniowej X. Udowodnić, że funkcja [x] 7→ p(x)
jest normą na przestrzeni ilorazowej X/p−1 ({0}). Podać konkretny przykład wykorzystania tego przejścia od przestrzeni z półnormą do przestrzeni unormowanej.
8. Niech A będzie zbiorem domkniętym w przestrzeni unormowanej X. Pokazać, że
A jest wypukły wtedy i tylko wtedy, gdy x+y
∈ A dla wszystkich x, y ∈ A.
2
9. Niech Wn = {(z1 , . . . , zn ) ∈ C n : z1 + . . . + zn = 1}. Znaleźć z ∈ Wn o najmniejszej
normie euklidesowej. Czy jest on jedyny? Czy Wn jest ograniczony?
10. Niech A będzie podprzestrzenią liniową właściwą przestrzeni unormowanej X. Pokazać, że Int A = ∅ (tzn. że A jest zbiorem brzegowym w X).
11. Przestrzeń unormowana X jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera przeliczalny podzbiór P liniowo gęsty (tzn. lin P jest gęsty w X).
12. Pokazać, że Cb (R) - przestrzeń funkcji ciągłych i ograniczonych na R, nie jest
ośrodkowa. Czy C 1 ([a, b]) z normą kf k = kf ku + kf 0 ku jest ośrodkowa?
13 ∗ . Niech µ, ν będą miarami σ-skończonymi na przestrzeniach X i Y , odpowiednio.
Pokazać całkową nierówność Minkowskiego: dla 1 ¬ p < ∞ oraz funkcji f (x, y)
mierzalnej na produkcie (X × Y, µ × ν),
Z Z
Y
X
|f (x, y)| dµ(x)
p
1/p
dν(y)
¬
Z
X
Z
p
1/p
|f (x, y)| dν(y)
dµ(x).
Y
Autorzy: A. Nowak, K. Stempak