3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe. Bóg stworzył liczby naturalne, wszystko inne jest dziełem człowieka. Leopold Kronecker Oznaczenia: zbiór liczb naturalnych: N = {1, 2, . . .} zbiór liczb całkowitych nieujemnych: N0 = {0, 1, 2, . . .} zbiór liczb całkowitych: Z = {−n, n ∈ N} ∪ {0} ∪ {n ∈ N} = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} zbiór liczb wymiernych: Q = { pq , p ∈ Z, q ∈ N} ułamek zwykły: 5 2 13 78 128 10 ułamek zwykły skrócony: 5 2 1 6 64 5 ułamek dziesiętny: 2, 5 12, 8 0, 166 . . . ułamek dziesiętny skończony - gdy mianownik jest postaci 2p · 5q , p, q ∈ N ułamek dziesiętny nieskończony - gdy mianownik w rozkładzie iloczynowym posiada inne czynniki Liczby niewymierne pojawiają się jako granice pewnych równań lub jako granice pewnych ciągów. Każda liczba niewymierna rozdziela zbiór Q na dwie części: klasę dolną, tj. zbiór wszystkich liczb wymiernych mniejszych od niej, oraz klasę górną, tj. zbiór wszystkich liczb wymiernych większych od niej. Mówimy więc, że każda liczba niewymierna jest przekrojem liczb wymiernych. Dzięki temu liczby niewymierne można przybliżać liczbami wymiernymi. Przykład. Liczba π może być definiowana jako granica ciągu obwodów n-kątów foremnych wpisanych w koło o średnicy 1. Wykonać stosowne obliczenia. liczby wymierne należące do klasy dolnej 3 3, 1 3, 14 3, 141 < < < < π π π π itd. < < < < 4 3, 2 3, 15 3, 142 liczby wymierne należące do klasy górnej zbiór liczb niewymiernych: IQ zbiór liczb rzeczywistych: R = Q ∪ IQ Przykład. √ Wykazać, że 2 nie jest liczbą wymierną. Dowód. Można wykazać, że Twierdzenie 3 Pierwiastek m-tego stopnia z liczby naturalnej niebędącej m-tą potęgą liczby naturalnej, jest liczbą niewymierną. Oznacza że liczby √ √postaci: √ √ √ √to, √ 2, 3, 5, 6, 7, √8, √10,√ ... √ √ √ √ √ 3 3 3 3 3 3 3 3 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, . . . √ 4 2, . . . są niewymierne. Wprowadza się też inny podział zbioru R na dwa podzbiory: liczb algebraicznych i liczb przestępnych. Mówimy, że liczba jest algebraiczna, jeśli jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach całkowitych. Liczba, która nie jest algebraiczna, nazywana jest liczbą przestępną. Wszystkie liczby wymierne oraz pierwiastki z liczb wymiernych dodatnich są algebraiczne gdyż dla m, n ∈ N m n W1 (x) = nx − m ma pierwiastek p W2 (x) = nx − m ma pierwiastek r p m n oraz , m, n > 0 . Twierdzenie 4 Liczba π jest liczbą niewymierną. Uwaga. Niewymierność liczby π udowodnił w 1767 Johan Lambert. Wykazał on twierdzenie mówiące, że jeśli liczba x jest wymierna i różna od zera, to przynajmniej jedna z liczb cos x, sin x jest niewymierna. Skoro cos π = −1 oraz sin π = 0, zatem π nie może być wymierna. W 1882 Ferdynand Lindemann udowodnił podobnym sposobem, że π jest liczbą przestępną. Narzędziem do tego celu było twierdzenie mówiące, że jeśli liczba x jest algebraiczna i różna od zera, to przynajmniej jedna z liczb cos x, sin x jest niewymierna. Stosując powyższe rozumowanie otrzymujemy przestępność liczby π. Twierdzenie 5 Liczba e jest liczbą niewymierną. Dowód. Zadanie. Wyrazić liczbę 78, (1016) jako ułamek zwykły. 3.2 Kresy zbiorów. Niech A będzie pewnym niepustym zbiorem liczbowym. Definicja 1 Liczbę należącą do zbioru A, która jest większa od wszystkich pozostałych liczb tego zbioru, nazywamy elementem największym zbioru A i oznaczamy max A. Definicja 2 Liczbę należącą do zbioru A, która jest mniejsza od wszystkich pozostałych liczb tego zbioru, nazywamy elementem najmniejszym zbioru A i oznaczamy min A. W każdym skończonym zbiorze liczbowym istnieje element największy i element najmniejszy. W zbiorze nieskończonym takie elementy mogą nie istnieć. Przykłady. min{x ∈ R : x2 − 2x − 3 ¬ 0} = , min{x ∈ R : x2 − 2x − 3 < 0} = , , min{x + x1 : x > 0} = max{x ∈ R : x2 − 2x − 3 ¬ 0} = max{x ∈ R : x2 − 2x − 3 < 0} = max{x + x1 : x > 0} = Definicja 3 Liczbę taką, że wszystkie liczby zbioru A są niewiększe od niej, nazywamy ograniczeniem górnym zbioru A. Definicja 4 Liczbę taką, że wszystkie liczby zbioru A są niemniejsze od niej, nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru A. Definicja 5 Zbiór A nazywamy ograniczonym od góry, jeśli istnieje ograniczenie górne zbioru A. Definicja 6 Zbiór A nazywamy ograniczonym od dołu, jeśli istnieje ograniczenie dolne zbioru A. Definicja 7 Zbiór A nazywamy ograniczonym, jeśli jest ograniczony zarówno z dołu, jak i z góry. Przykłady. Zbiory {x ∈ R : x2 − 2x − 3 ¬ 0} = [−1, 3], {x ∈ R : x2 − 2x − 3 < 0} = (−1, 3) mają ograniczenia zarówno dolne jak i górne. Zbiór {x + x1 : x > 0} = [2, ∞) posiada tylko ograniczenie dolne. Definicja 8 Najmniejszą liczbę spośród wszystkich ograniczeń górnych zbioru A nazywamy kresem górnym zbioru A i oznaczamy sup A. Definicja 9 Największą liczbę spośród wszystkich ograniczeń dolnych zbioru A nazywamy kresem dolnym zbioru A i oznaczamy inf A. Powyższe definicje elementów największego i najmniejszego oraz kresów górnego i dolnego w zadanym zbiorze A można wyrazić za pomocą kwantyfikatorów: ! ? ? x = max A ⇔ x ∈ A ∧ ^ x¬x ? x∈A ! x? = min A ⇔ x? ∈ A ∧ ^ x­x ? x∈A x = sup A ⇔ ^ x¬x∧ ^ _ x∈A ε>0 x0 ∈A ^ ^ _ x = inf A ⇔ x0 > x − ε x­x∧ x∈A Przykłady. min(−1, 3) = , max(−1, 3) = inf(−1, 3) = , sup(−1, 3) = inf{2−n , n ∈ N} = , min{2−n , n ∈ N} = sup{2−n , n ∈ N} = , max{2−n , n ∈ N} = ε>0 x0 ∈A x0 < x + ε 3.3 Wartość bezwzględna. a |a| = , a­0 −a , a < 0 Własności wartości bezwzględnej. 1. |a| ¬ b ⇔ −b ¬ a ¬ b, 2. |a| = | − a|, 3. −|a| ¬ a ¬ |a|, 4. |a + b| ¬ |a| + |b|, nierówność trójkąta 5. ||a| − |b|| ¬ |a − b| ¬ |a| + |b|, 6. |ab| = |a| · |b|, 7. jeśli |a| ¬ c i |b| ¬ d, to |a + b| ¬ c + d Dowód własności 1. Dowód własności 4. Dowód własności 5. 3.4 O liczbach naturalnych i całkowitych. Definicja 10 Liczba naturalna m dzieli n (n jest podzielne przez m) jeśli iloraz liczbą całkowitą. Piszemy wtedy m|n. n m jest Zatem m|n ⇔ _ n=m·k . k∈Z Definicja 11 Największą liczbę całkowitą, która dzieli dwie dane liczby całkowite m i n nazywamy największym wspólnym dzielnikiem tych liczb i oznaczamy ją N W D(m, n) lub (m, n). Definicja 12 Najmniejszą liczbę naturalną, której dzielnikami są dwie dane liczby naturalne m i n nazywamy najmniejszą wspólną wielokrotnością tych liczb i oznaczamy ją N W W (m, n) lub [m, n]. Zatem dla m, n ∈ Z : N W D(m, n) = max{k ∈ Z : k|m i k|n} , dla m, n ∈ N : N W W (m, n) = min{l ∈ N : m|l i n|l} . Przykład. N W W (16, 12) = 48 N W D(16, 12) = 4 stąd np. 1 16 + 1 12 = 4 48 + 3 48 = 7 48 Metoda obliczania NWD → algorytm Euklidesa. 1. Weź dwie liczby naturalne m, n. 2. A := max{m, n} , a := min{m, n}. 3. Oblicz resztę r z dzielenia A przez a. 4. Jeśli r 6= 0, to (A := a , 5. N W D(m, n) = a. a := r , przejdź do kroku 3.) Przykład. N W D(735, 126). Twierdzenie 6 Dla m, n ∈ N mamy N W D(m, n) · N W W (m, n) = m · n. 3.5 Liczby pierwsze i złożone. Definicja 13 Liczba naturalna p nazywa się liczbą pierwszą jeśli ma dokładnie dwa dzielniki: 1 oraz p. Definicja 14 Liczba naturalna, która nie jest liczbą pierwszą nazywa się liczbą złożoną. Uwaga. Przyjmuje się, że 1 nie jest liczbą pierwszą. Kolejne liczby pierwsze: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, . . . Podstawowe twierdzenie arytmetyki. Każda liczba naturalna n może być jednoznacznie przedstawiona w postaci n= m Y pj nj , nj ­ 0 , j=1 gdzie pj są liczbami pierwszymi. Na przykład 1452 = 22 · 31 · 50 · 70 · 112 = 22 · 31 · 112 11111 = . . . = 411 · 2711 Twierdzenie 7 (Euklides) Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Dowód. Nie znany jest żaden wzór generujący dowolnie duże liczby pierwsze. Metoda elementarna wyznaczania liczb pierwszych → sito Eratostenesa Twierdzenie 8 (Wilson) Liczba p jest pierwsza wtedy i tylko wtedy gdy (p − 1)! + 1 jest podzielna przez p. Największe znane na przestrzeni ostatnich 2 wieków liczby pierwsze zawsze były tzw. liczbami Mersenne’a postaci 2p − 1, gdzie p jest liczbą pierwszą. Jednak nie każda liczba tej postaci musi być pierwsza! k 1 2 3 4 5 6 pk Mk pierwsza/złożona uwagi 2 3 p 3 7 p 5 31 p 7 127 p 11 2047 z 2047 = 23 · 89 13 8191 p Największa znana obecnie (I 2013) liczba pierwsza M48 = 257885161 − 1 ma 17,5 miliona cyfr. Dziesięć największych znanych dziś liczb pierwszych to liczby Mersenne’a. Instytucja Electronic Frontier Foundation ustanowiła nagrodę 100 tysięcy dolarów dla odkrywcy liczby pierwszej o więcej niż 10 milionach cyfr oraz nagrodę 150 tysięcy dolarów dla odkrywcy liczby pierwszej o więcej niż 100 milionach cyfr. π(x) - funkcja Eulera, ilość liczb pierwszych mniejszych od x π(x) gęstość rozmieszczenia liczb pierwszych π(100) = 25 1/4 π(1000) = 168 ∼ 1/6 π(10000) = 1229 ∼ 1/8 Znane są przybliżenia funkcji π(x) np. π(x) ∼ lub ln x − 3/2 < x ln x x < ln x − 1/2 dla x ­ 67 . π(x) Pierwszy ze wzorów oznacza, że biorąc duże x, np. x = 1016 i wybierając losowo liczby bliskie x średnio po ln 1016 = 16 ln 10 = 36, 8 . . . próbach trafimy na liczbę pierwszą. Zastosowanie dużych liczb pierwszych 3.6 → algorytmy szyfrujące (np. RSA) Dwumian Newtona. Dla n, k ∈ N0 mamy ( n! = ! 1, n=0 1 · 2 · . . . · n, n ­ 1 oraz n n! = . k (n − k)!k! Uwaga. n Dla n ∈ N0 mamy n0 = 1 = nn oraz n1 = n = n−1 . Twierdzenie 9 ! ! n n n+1 + = k k+1 k+1 ! , n, k ∈ N0 , n > k . Dowód. Zadania. Wykazać, że 1. 2. n k = n m n+1 k+1 k+1 n+1 m k = n k , n−k m−k n, m, k ∈ N0 , n ­ m ­ k . , Z ww. twierdzenia wynika konstrukcja trójkąta Pascala 0 0 1 0 2 0 4 0 4 2 ⇔ 1 3 2 4 1 2 2 3 1 1 2 1 3 0 1 1 1 1 3 3 4 3 4 4 1 1 2 3 4 1 3 6 1 4 1 Twierdzenie 10 Dla dowolnego n ∈ N i dowolnych a, b ∈ R mamy n (a + b) = n X k=0 ! ! ! ! n k n−k n 0 n n 1 n−1 n n 0 a b = ab + ab + ... + a b . k 0 1 n wzór dwumienny Newtona W szczególności (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 , (a ± b)3 = a3 ± 3a2 b + 3ab2 ± b3 . Dowód. Ze wzoru dwumiennego Newtona można uzyskać wiele wzorów. 1. Pn 2. Pn k=0 n k = 2n , k k=0 (−1) n k = 0, 3. Pp 4. Pn/2 n 5. Pn/2−1 n 6. P(n−1)/2 n 7. P(n−1)/2 n k=0 k=0 k=0 k=0 k=0 n k 2k n−k p−k = 2p n p , n ­ p ­ 0, = 2n−1 dla n ∈ P ar, 2k+1 2k = 2n−1 dla n ∈ P ar, = 2n−1 dla n ∈ N P ar, 2k+1 = 2n−1 dla n ∈ N P ar.