Wykład 11

Wykład 11
1. Podstawowe definicje
Definicja 1. Rodzinę τ nazywamy topologią w zbiorze X, gdy
1. φ ∈ τ i X ∈ τ
2. Suma dowolnej liczby elementów τ należy do τ
3. Przekrój skończonej elementów τ należy do τ .
Elementy τ nazywamy zbiorami otwartymi.
Definicja 2. Parę (X, τ ) nazywamy przestrzenią topologiczną.
Przykłady
1. Każda przestrzeń metryczna jest topologiczna. (Topologię charakteryzują w wiadomy
sposób kule.)
2. Topologia dyskretna: każdy zbiór jest otwarty.
3. Topologia najsłabsza: τ = {φ, X}
4. Topologia zbiorów ko-skończonych: τ = {φ} ∪ {U : U c jest skończony}
5. Zbieżność punktowa - jaką ma topologię?
Definicja 3. Zbiór F nazywamy domkniętym, jeśli jego dopełnienie jest zbiorem otwartym
Stwierdzenie 1. Rodzina wszystkich zbiorów domkniętych ma następujące własności:
1. φ i X są domknięte
2. Przekrój dowolnej liczby zbiorów domkniętych jest domknięty
3. Suma skończonej liczby zbiorów domkniętych jest domknięta.
Definicja 4. Topologia τ1 jest słabsza niż τ2 , gdy τ1 ⊂ τ2 . Inaczej, τ2 jest mocniejsza niż
τ1 .
Definicja 5. Otoczeniem punktu x nazywamy każdy zbiór otwarty U zawierający x.
Stwierdzenie 2. Skończony przekrój otoczeń x jest otoczeniem x.
Stwierdzenie 3. U jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy wraz z każdym punktem zawiera
jego otoczenie.
Dowód. Jeśli x ∈ U i U otwarty, to U jest odpowiednim otoczeniem. Na odwrót, jeśli dla
S
każdego x ∈ U istnieje Vx otoczenie x zawarte w U , to U = x∈U Vx jest otwarty.
Zastępując kule przez otoczenia możemy przełożyć wiele definicji metrycznych.
Definicja 6.
1. Punkt x jest punktem skupienia zbioru A, gdy dla każdego otoczenia
U 3 x mamy (U \ {x}) ∩ A 6= φ.
1
2. Ciąg (xn ) jest zbieżny do x, gdy każde otoczenie U punktu x zawiera prawie wszystkie
elementy ciągu xn .
Charakteryzacje ciągowe znane z przestrzeni metrycznych zazwyczaj nie wystarczają.
Stwierdzenie 4. Zbiór A jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera wszystkie swoje
punkty skupienia.
Dowód. Jeśli A domknięty i x jest punktem skupienia A, to x ∈ A, bo inaczej Ac jest otoczeniem x o pustym przekroju z A. Na odwrót, jeśli A zawiera wszystkie punkty skupieniai
x ∈ Ac , to istnieje otoczenie Vx 3 x o pustym przekroju z A. Zatem Vx ⊂ Ac , więc Ac jest
otwarty.
Przykład Istnieje przestrzeń topologiczna, w której x jest punktem skupienia A mimo, że
żaden ciąg elementów A nie zbiega do x. Będzie później.
Tak jak poprzednio można zdefiniować wnętrze i domknięcie A, odpowiednio jako sumę
wszystkich otwartych zbiorów zawartych w A, bądź przekrój wszystkich domknietych zawierających A, oraz brzeg jako A \ int (A) (oraz odpowiednio punkty wewnętrzne i brzegowe).
Wszystkie definicje oparte na tych pojęciach działają: zbiór gęsty, brzegowy, nigdziegęsty,
przestrzeń ośrodkowa. Zwartość definiujemy przez warunek Borela-Lebesgue’a. Mogą nie
działać charakteryzacje ciągowe!
f jest ciągła, gdy przeciwobraz otwartego zbioru jest otwarty.
2. Baza i podbaza topologii.
Definicja 7. Rodzinę B nazywamy bazą topologii τ , gdy każdy element U ∈ τ jest sumą
pewnej rodziny zbiorów z B.
Przykłady
1. Kule są bazą topologii w przestrzeni metrycznej.
2. W R za bazę można przyjąć rodzinę wszystkich odcinków otwartych lub rodzinę
wszystkich odcinków otwartych o końcach wymiernych. Ta druga będzie przeliczalna.
W ośrodkowej przestrzeni metrycznej zawsze można znaleźć bazę przeliczalną.
Stwierdzenie 5. B ⊂ τ jest bazą topologii τ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x i
każdego otoczenia U 3 x istnieje V ∈ B takie, że x ∈ V ⊂ U .
Dowód. Jeśli B jest bazą, to weźmy dowolny x wraz z otoczeniem U . U jest sumą zbiorów
z B i któryś z tych zbiorów zawiera x. Na odwrót, dowolny U można uzyskać jako sumę
S
x∈U Vx , gdzie x ∈ Vx ⊂ U .
Nie każda rodzina zbiorów może być bazą.
Stwierdzenie 6. Niech B będzie taka, że B = X. B jest bazą jakiejś topologii wtedy i
tylko wtedy, gdy dla każdej pary U, V ∈ B i dowolnego x ∈ U ∩ V istnieje W ∈ B takie, że
x∈W ⊂U ∩V.
S
Definicja 8. Podbaza topologii - rodzina z której otrzymujemy bazę przez wzięcie wszystkich skończonych przekrojów.
2
Każda rodzina może być podbazą topologii.
Definicja 9. Przestrzeń spełnia drugi aksjomat przeliczalności, gdy ma przeliczalną bazę.
Twierdzenie 7. Jeśli X ma przeliczalną bazę, to jest ośrodkowa.
3. Specjalne konstrukcje
Topologia na podzbiorze.
Niech (X, τ ) będzie przestrzenią topologiczną. Niech Y ⊂ X. Definiujemy τY = {U ∩
Y : U ∈ τ }. Para (Y, τY ) jest przestrzenią topologiczną. τY nazywamy topologią indukowaną na Y lub topologią odziedziczoną z X. Mówimy tez, że (Y, τY ) jest podprzestrzenią
topologiczną przestrzeni (X, τ ). Każdy zbiór z τY nazywamy otwartym w Y , a zbiory Y \V ,
V ∈ τY są domknięte w Y .
Uwaga: jeśli (Y, τY ) jest podprzestrzenią (X, τ ), a (Z, τZ ) podprzestrzenią (Y, τY ), to
(Z, τZ ) jest podprzestrzenią (X, τ ).
Topologia w produkcie.
(X, τX ), (Y, τY ) – przestrzenie topologiczne. Wtedy U ∩V nazywamy prostokątem otwartym. Rodzina wszystkich prostokątów otwartych tworzy bazę topologii w X × Y . Istotnie,
(U × V ) ∩ (R × S) = (U ∩ R) × (V ∩ S).
Ogólna definicja przez cylindry otwarte:
U (t1 , ..., tn , V1 , ..., Vn ) = {f ∈ X T : f (ti ) ∈ Vi },
gdzie t1 , ..., tn ∈ T , V1 , ..., Vn – zbiory otwarte w X.
3