1 Definicja przestrzeni metrycznej. Kule i sfery. Średnica i odstęp

Przyjmujemy następujące oznaczenia:
N - zbiór liczb naturalnych
Z - zbiór liczb całkowitych
Q - zbiór liczb wymiernych
IQ - zbiór liczb niewymiernych
R - zbiór liczb rzeczywistych
R = R ∪ {−∞, +∞} - rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych
C - zbiór liczb zespolonych
1
Definicja przestrzeni metrycznej. Kule i sfery. Średnica i odstęp
zbiorów.
1.1
Definicje i podstawowe własności
Definicja 1 (przestrzeni metrycznej) Dowolny niepusty zbiór X wraz z funkcją ρ : X × X → R, spełniającą dla dowolnych x, y, z ∈ X następujące warunki:
(a) ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y,
(b) ρ(x, y) = ρ(y, x),
(c) ρ(x, y) ¬ ρ(x, z) + ρ(z, y),
nazywamy przestrzenią metryczną i oznaczamy (X, ρ) . Funkcję ρ nazywamy metryką w zbiorze X, elemety
x zbioru X - punktami, a wartość ρ(x, y) - odległością między punktami x i y w przestrzeni metrycznej
(X, ρ) .
Niech (X, ρ) oznacza dowolną przestrzeń metryczną.
Twierdzenie 1 (podprzestrzeni metrycznej) Dla dowolnego niepustego zbioru M ⊂ X para (M, ρM ),
gdzie ρM = ρ|M ×M , jest przestrzenią metryczną.
Definicja 2 (podprzestrzeni metrycznej) Parę (M, ρM ), gdzie M ⊂ X i M 6= ∅, nazywamy podprzestrzenią metryczną przestrzeni (X, ρ) . Dla uproszczenia będziemy ją oznaczali symbolem (M, ρ).
Definicja 3 (kuli otwartej) Kulą otwartą o środku x0 ∈ X i promieniu r > 0 nazywamy zbiór {x ∈ X :
ρ(x, x0 ) < r}, który oznaczamy K(x0 , r), tj.
K(x0 , r) = {x ∈ X : ρ(x, x0 ) < r}.
Definicja 4 (kuli domkniętej) Kulą domkniętą o środku x0 ∈ X i promieniu r > 0 nazywamy zbiór
{x ∈ X : ρ(x, x0 ) ¬ r}, który oznaczamy K(x0 , r), tj.
K(x0 , r) = {x ∈ X : ρ(x, x0 ) ¬ r}.
Definicja 5 (sfery) Sferą o środku x0 ∈ X i promieniu r > 0 nazywamy zbiór {x ∈ X : ρ(x, x0 ) = r},
który oznaczamy S(x0 , r), tj.
S(x0 , r) = {x ∈ X : ρ(x, x0 ) = r}.
Definicja 6 (średnicy zbioru) Średnicą zbioru A ⊂ X nazywamy liczbę sup{ρ(x, y) : x, y ∈ A}, gdy
A 6= ∅ i 0, gdy A = ∅ i oznaczamy ją diam(A), tj.
sup{ρ(x, y) : x, y ∈ A} gdy A 6= ∅
diam(A) =
.
0
gdy A = ∅
Definicja 7 (zbioru ograniczonego i nieograniczonego) Powiemy, że zbiór A ⊂ X jest ograniczony
jeśli diam(A) < +∞, a nieograniczony jeśli diam(A) = +∞.
Definicja 8 (odstępu pomiędzy zbiorami) Odstępem dwóch niepustych zbiorów A, B ⊂ X nazywamy
liczbę inf{ρ(x, y) : x ∈ A ∧ y ∈ B} i oznaczamy ją dist(A, B), tj.
dist(A, B) = inf{ρ(x, y) : x ∈ A, y ∈ B}.
Jeśli A = {a} jest zbiorem jednoelementowym, to stosujemy zapis dist(a, B) zamiast dist({a}, B). Liczbę
dist(a, B) nazywamy też odległością punktu a od zbioru B.
1
1.2
Zadania
Zadanie 1 Sprawdź, czy (X, ρ) jest przestrzenią metryczną, gdzie:
(a) ρ(x, y) = |x − y|, x, y ∈ X = R (metrykę ρ = | · | nazywamy metryką euklidesową, a samą przestrzeń
(R, | · |) przetrzenią euklidesową),
p
(b) ρ(x, y) = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 , x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) ∈ X = R2 (metrykę ρ często oznaczamy
ρe i nazywamy metryką euklidesową, a samą przestrzeń (R2 , ρe ) przestrzenią euklidesową),
(c) ρ(x, y) = max{|x1 − y1 |, |x2 − y2 |}, x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) ∈ X = R2 (metrykę ρ często oznaczamy
ρm i nazywamy metryką maksimum),
(d) ρ(x, y) = |x1 − y1 | + |x2 − y2 |, x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) ∈ X = R2 (metrykę ρ często oznaczamy ρt i
nazywamy metryką taksówkową),
0 dla x = y
(e) ρ(x, y) =
, x, y ∈ X 6= ∅ (jest to przestrzeń metryczna dyskretna X, z metryką ρ
1 dla x 6= y
często oznaczaną ρ01 ),
(f) ρ(f, g) = max{|f (x) − g(x)| : x ∈ [0, 1]}, f, g ∈ X = {h : [0, 1] → R : h − ciągła},
1
− n1 |, m, n ∈ X = N,
(g) ρ(m, n) = | m
(h) ρ(x, y) = |x2 − y 2 |, x, y ∈ X = R,
(i) ρ(x, y) = |2x+1 − 2y+1 |, x, y ∈ X = R,
(j) (*) ρ(x, y) = min{1, |x − y|}, x, y ∈ X = R,
(k) ρ(x, y) = ln(1 + |x − y|), x, y ∈ X = R,
(l) (*) ρ(x, y) =
|x−y|
1+|x−y| ,
x, y ∈ X = R,
(m) ρ(x, y) = |x − 2y|, x, y ∈ R,
P∞
n|
(n) (*) ρ({xn }, {yn }) = n=1 |xn2−y
, {xn }, {yn } ∈ X = {{zn } ⊂ C : ciąg {zn } − ograniczony},
n
(o) (*) ρ(z1 , z2 ) = min{|z1 − z2 |, 2 − |z1 | − |z2 |}, z1 , z2 ∈ X = {z ∈ C : |z| < 1},
|x − y| dla x − y ∈ Q
(p) (*) ρ(x, y) =
, x, y ∈ X = [0, 1],
2
dla x − y ∈
/Q
|x − y| gdy
x, y ∈ Q
lub
x, y ∈ IQ
(q) (*) ρ(x, y) =
, x, y ∈ X = [0, 1].
|x| + |y| gdy x ∈ Q i y ∈ IQ lub x ∈ IQ i y ∈ Q
Zadanie 2 Wyznacz:
(a) K((0, 0), 2), K((0, 0), 2) i S((0, 0), 2) w przestrzeni R2 z metrykami euklidesową, maksimum i taksówkową, odpowiednio (zob. Zad. 1(b)),(c)) i (d)).
(b) K(x0 , r), K(x0 , r)), S(x0 , r) w przestrzeni X =
6 ∅ z metryką dyskretną ρ01 (zob. Zad. 1(e)), gdzie x0 jest
dowolnie ustalonym punktem przestrzeni X, a r dowolnie ustaloną liczbą dodatnią.
(c) K(0, 2), K(0, 2), S(0, 2) w przestrzeni wszystkich funkcji rzeczywistych i ciągłych na przedziale [0, 1] z
metryką ρ z Zad. 1(f), gdzie 0 jest funkcją tożsamościowo równą zero na przedziale [0, 1].
(d) K(2, 31 ), K(2, 13 ), S(1, 3) w przestrzeni N z metryką ρ z Zad. 1(g).
√
(e) K(0, 2), K(1, 12 ), K( √12 , 1) w przestrzeni [0, 1] z metrykami ρ z Zad. 1(p) i (q) odpowiednio.
Zadanie 3 (*) Czy jest możliwe, aby w przestrzeni metrycznej kula otwarta o większym promieniu była
zawarta w kuli otwartej o mniejszym promieniu? Inaczej mówiąc, czy prawdziwe jest zdanie
∃
∃
∃
(X,ρ) x,y∈X 0<r1 <r2
K(x, r2 ) ⊂ K(y, r2 ).
2
Zadanie 4 (*) Czy jest możliwe, aby w przestrzeni metrycznej kula otwarta, domknietą i sfera o tych
samych środkach i promieniach były identyczne? Inaczej mówiąc, czy jest prawdziwe zdanie
∃
∃
∃ K(x, r) = K(x, r) = S(x, r).
(X,ρ) x∈X r>0
Zadanie 5 W przestrzeni euklidesowej (R, | · |) wyznacz średnicę, oraz zbadaj ograniczoność zbiorów:
(a) A = (0, 5),
(e) A = (−1)n 1 + n1 : n ∈ N ,
o
n
2n
(b) A = (−1, +∞),
: n∈N ,
(f) A = 1 + n1
√
(g) A = { n n : n ∈ N},
(c) A = N,
(d) A = x > 0 : sin x1 = 0 ,
(h) A = {−3, 0, 3}.
Zadanie 6 W przestrzeni euklidesowej (R2 , ρe ) wyznacz średnicę, oraz zbadaj ograniczoność zbiorów:
(e) A = (x, y) ∈ R2 : x4 + y 4 < 2 ,
(a) A = (x, y) ∈ R2 : 4 < x2 + y 2 ¬ 9 ,
(f) A = Q × IQ,
(b) A = (x, y) ∈ R2 : |x| ¬ 3 i |y| ­ 1 ,
(g) A = (x, y) ∈ R2 : 1 ¬ min{|x|, |y|} ¬ 2 ,
(c) A = (x, x1 ) ∈ R2 : x > 0 ,
(d) A = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ­ 4 ,
(h) A = Z × Z ∩ (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ¬ 11 .
Zadanie 7 (*) W przestrzeni R2 wyznacz diam(A), gdzie A = [0, 1] × [0, 1], kolejno w metryce euklidesowej,
maksimum i taksówkowej.
Zadanie 8 Niech (X, ρ) będzie dowolną przestrzenią metryczną.
(a) Wykaż, że dla dowolnych x ∈ X i r > 0 zachodzi: diam(K(x, r)) ¬ 2r .
(b) (*) Czy może się zdarzyć, że diam(K(x, r)) < 2r?
Zadanie 9 W przestrzeni euklidesowej (R, | · |) wyznacz odstęp pomiędzy zbiorami Q i IQ.
Zadanie 10 W przestrzeni euklidesowej (R2 , ρe ) wyznacz odstęp pomiędzy zbiorami A i B, gdzie:
(a) A = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ¬ 1 i B = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ­ 4 ,
(b) A = (x, y) ∈ R2 : (x ­ 3 i y ­ 3) i B = (x, y) ∈ R2 : (x ¬ −3 i y ¬ −3) ,
(c) A = (x, x1 ) ∈ R2 : x > 0 i B = (x, x1 ) ∈ R2 : x < 0 ,
o
n
1
i B = (x, y) ∈ R2 : y = 0 .
(d) A = (x, y) ∈ R2 : y = 1+x
2
Zadanie 11 (*) W przestrzeni R2 wyznacz dist((1, 1), A), gdzie A = (x, y) ∈ R : x2 + y 2 ¬ 1 , kolejno w
metryce euklidesowej, maksimum i taksówkowej.
1
Zadanie 12 Niech zbiór N będzie wyposażony w metrykę ρ(m, n) = m
− n1 , m, n ∈ N. Pokaż, że zbiór N
jest ograniczony oraz wyznacz diam(N).
Zadanie 13 (*) Wykaż, że w dowolnej przestrzeni metrycznej (X, ρ) dla jej dowolnych niepustych podzbiorów A i B zachodzi
diam(A ∪ B) ¬ diam(A) + diam(B) + dist(A, B).
Zadanie 14 Weźmy funkcję f : R → [−1, 1] określoną w następujący sposób
 x
 1+|x| dla x ∈ R
f (x) =
1
dla x = +∞ .

−1 dla x = −∞
(a) (*) Pokaż, że funkcja ρ : R × R → R określona wzorem ρ(x, y) = |f (x) − f (y)| jest metryką w zbiorze R
(zbiór R z powyżej okresloną metryką nazywa się rozszerzoną prostą rzeczywistą).
(b) (*) Wyznacz diam([−1, 1]), diam(R), dist((−∞, −1), (1, +∞)) oraz dist({−∞}, {+∞}).
3