Stan stacjonarny cząstki Stan stacjonarny cząstki - Stan, w którym ( r , t ) ( r ) , gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w danym obszarze przestrzeni nie zależy od czasu. Stan stacjonarny jest charakterystyczny dla stacjonarnego pola sił U ( r , t ) U ( r ) . Dla stanu stacjonarnego funkcja falowa może być zapisana jako iloczyn funkcji zależnej tylko od współrzędnych i funkcji zależnej tylko od czasu. (r , t ) (r ) e E i t (r , t ) (r ) gdzie E jest energią całkowitą cząstki. Postać równania Schrödingera dla stanu stacjonarnego Wprowadźmy do lewej i prawej strony równania Schrödingera 2 i U t 2m funkcję (r , t ) (r ) e E i t charakterystyczną dla stanu stacjonarnego. Podstawy mechaniki kwantowej 10 Postać równania Schrödingera dla stanu stacjonarnego, cd. 2 i U t 2m (r , t ) (r ) e L: E E i t i t i i (r ) e E (r ) e t t P: 2 i E t U (r ) U (r ) e 2m 2 m E i t 2 Przyrównując prawe strony tych wyrażeń otrzymujemy tzw. stacjonarne równanie Schrödingera (równanie Schrödingera bez czasu). 2 2m U E Często wygodna jest postać stacjonarnego równania Schrödingera po uporządkowaniu 2m(U E ) 2 0 Podstawy mechaniki kwantowej 11 Równanie Schrödingera w zapisie operatorowym Hˆ 2 2m Operator energii całkowitej, operator Hamiltona, hamil- U tonian. Postać równania Schrödingera z użyciem operatora Ĥ 2 i U t 2m i ˆ H t 2 2m U E Ĥ E Z czasem Bez czasu Rozwiązanie równania Schrödingera dla przypadku nieograniczonego ruchu cząstki wzdłuż osi x W tym przypadku U ( x) const . Przyjmijmy U ( x) 0 . Hˆ 2 d2 U 2m 2m dx 2 Ĥ E 2 d 2 E 2m dx 2 2 d 2 2mE 2 0 dx 2 Podstawy mechaniki kwantowej 12 Rozwiązanie równania Schrödingera dla przypadku nieograniczonego ruchu cząstki wzdłuż osi x , cd. d 2 2mE 2 0 2 dx Podstawmy 2mE 2 k2 k 2mE d 2 k 2 0 2 dx Powyższe równanie różniczkowe rozwiążemy przez podstawienie e rx dochodząc do tzw. równania charakterystycznego r 2 k 2 r2 k2 0 r1 ik , r2 ik Rozwiązaniem ogólnym jest kombinacja liniowa dwóch rozwiązań szczególnych ( x) A1 eikx A2 e ikx A1 , A2 - stałe. Pełna (zależna od położenia i czasu) funkcja falowa ma postać ( x, t ) ( x) e it A1e i (t kx ) A2e i (t kx ) , gdzie E . A1e i (t kx ) - fala poruszająca się w dodatnim kierunku osi x , A2e i (t kx ) - fala poruszająca się w ujemnym kierunku osi x . Podstawy mechaniki kwantowej 13 Rozwiązanie równania Schrödingera dla przypadku nieograniczonego ruchu cząstki wzdłuż osi x , cd. Otrzymaliśmy: ( x, t ) ( x) e it A1e i (t kx ) A2e i (t kx ) a) przypadek cząstki poruszającej się w dodatnim kierunku osi x ( x, t ) A1e i (t kx ) (przyjmujemy A2 0 ) ( x, t ) * A1 A1* const b) przypadek cząstki poruszającej się w ujemnym kierunku osi x ( x, t ) A2e i (t kx ) (przyjmujemy A1 0 ) ( x, t ) * A2 A2* const Funkcje falowe w przypadku a) i b) przedstawiają monochromatyczne ( const , k const ) fale płaskie. Kwadrat modułu monochromatycznej fali płaskiej nie jest jednak całkowalny, co oznacza, że powyższe rozwiązania nie opisują właściwie cząstki swobodnej. Ponieważ ( x, t ) nie zależy od x , położenie cząstki nie jest tu określone. Właściwą funkcją falową opisującą cząstkę swobodną jest kombinacja liniowa fal monochromatycznych, czyli paczka falowa. Podstawy mechaniki kwantowej 14 Ograniczony ruch cząstki wzdłuż osi x . Nieskończenie głęboka jednowymiarowa studnia potencjału U ( x ) 0 x0 0 x L xL Ze względu na nieskończoną wartość energii potencjalnej, cząstka nie może znajdować się w obszarach I lub III. Stąd I ( x) 0 , III ( x) 0 W obszarze II stan cząstki określony jest przez równanie Schrödingera d 2 II 2 k II 0 2 dx II ( x) A1eikx A2e ikx Stałe A1 i A2 określimy korzystając z warunków brzegowych dla funkcji II ( x) . Warunek brzegowy dla x 0 (ciągłość dla x 0 ) II (0) I (0) 0 A1 A2 0 czyli II ( x) A1 eikx e ikx C sin(kx) A2 A1 , C - stała. sin ei ei 2i Podstawy mechaniki kwantowej 15 Ograniczony ruch cząstki wzdłuż osi x . Nieskończenie głęboka jednowymiarowa studnia potencjału, cd. Otrzymaliśmy: II ( x) C sin(kx) Warunek brzegowy dla x L (ciągłość dla x L ) II ( L) C sin(kL) 0 (C 0) ( k L n , n 0, 1, 2, ...) Przypadki C 0 i n 0 odrzucamy, bo wtedy II ( x) 0 dla wszystkich x , czyli cząstki nie ma w studni. Ujemne wartości n także pomijamy, gdyż one jedynie zmieniają znak . Z warunku k L n otrzymujemy k n / L , czyli n L II ( x) C sin x Uprzednio przyjęliśmy k 2mE . Stąd na podstawie k L n dochodzimy do wniosku, że energia cząstki w studni potencjału jest skwantowana 2 2 h2 2 En n n , 2 2 2mL 8mL 2 n 1, 2, ... liczba kwantowa. Podstawy mechaniki kwantowej 16 Nieskończenie głęboka jednowymiarowa studnia potencjału, cd. Energia cząstki w jamie nie może przyjmować wartości zero. Ma to związek z zasadą nieokreśloności Heisenberga. Ze względu na ograniczoną szerokość studni nieokreśloność położenia cząstki jest ograniczona z góry. Stąd nieokreśloność jej pędu jest zawsze różna od zera, a to wiąże się z tym, że cząstka zawsze musi posiadać pewną ilość enegii nie mniejszą niż Emin (p) 2 / (2m) Funkcja falowa cząstki w nieskończenie głębokiej jednowymiarowej jamie potencjału n n ( x, t ) C sin L x ei n t n En Wartość stałej C można określić korzystając z warunku unormowania funkcji falowej dV 1 * V 2 n sin 0 L L CC * x dx 1 Podstawy mechaniki kwantowej 17 Funkcja falowa cząstki w nieskończenie głębokiej jednowymiarowej jamie potencjału. cd. n CC sin L 0 L * CC * 2 2 L 1 n x dx CC * 1 cos 2 20 L L C L x dx CC * 2 2 i e L Czynnik e i można pominąć, gdyż stanowi on nieistotny z punktu widzenia ( x) * czynnik fazowy. 2 n n ( x) sin L L x 2 n n ( x, t ) sin L L i x e En t Podstawy mechaniki kwantowej 18