Dodatek 8 Statystyki kwantowe – uzupełnienie

Dodatek 8
Statystyki kwantowe – uzupełnienie
(1) Pojęcie przestrzeni fazowej
jak wiadomo z zasady nieoznaczoności współrzędne i pędy stanowią zmienne dynamiczne,
które są komplementarne
w przestrzeni 3D zmienne dynamiczne cząstki stanowią 3 współrzędne położenia cząstki i 3
współrzędne pędu
przestrzeń zmiennych dynamicznych cząstek jest zatem 6 wymiarowa – nazywa się ją
przestrzenią fazową
element objętości tej przestrzeni:
dΓ = dx ⋅ dy ⋅ dz ⋅ dp x ⋅ dp y ⋅ dp z
(1)
inaczej można to zapisać jako
dΓ = dV ⋅ dp
(2)
zgodnie z zasadą nieoznaczoności w przestrzeni pędu i współrzędnych spełniona jest relacja
dx ⋅ dp ≥ h
(3)
oznacza to, że w 3 wymiarach cząstka zajmuje w mechanice kwantowej co najmniej objętość
h3, zatem w elemencie objętości przestrzeni fazowej dΓ = dV ⋅ dp jest
dΓ
h3
(4)
1
h3
(5)
miejsc na cząstki
wielkość
można interpretować jako gęstość stanów (miejsc) w przestrzeni fazowej
1
(2) Funkcja gęstości stanów
w praktycznych zastosowaniach mechaniki kwantowej najczęściej rozważa się cząstki o
pędzie zawartym w przedziale p, p+dp, wówczas objętość elementu przestrzeni fazowej jest
równa
dΓ = dV ⋅ 4πp 2 dp
(6)
w tym przypadku gęstość komórek elementarnych przestrzeni fazowej odniesiona do
jednostkowego przedziału pędu jest równa
g ( p) =
dΓ
4πp 2
=
h 3 ⋅ dV ⋅ dp
h3
(7)
w innych sytuacjach może być bardziej przydatna gęstość stanów w funkcji energii, formułę
tą można wyprowadzić korzystając ze związków
i
g ( p ) dp = g ( E ) dE
E=
p2
2m
(8)
na podstawie (7) otrzymujemy
g (E) =
2π ⋅ ( 2m ) 3 / 2 E 1 / 2
h3
(9)
należy jeszcze dodać, że gęstość stanów kwantowych uzyskuje się, jeżeli pomnoży się
gęstość komórek przez faktor zależny od typu cząstek obsadzających komórki:
dla elektronów ( spin ½h) czynnik wynosi 2,
(3) Koncentracja cząstek gazu Fermiego dla T = 0 K w funkcji energii
cząstki spełniają funkcje rozkładu Fermiego-Diraca
1
f (Ei ) =
e
Ei − E F
kT
(10)
+1
wiemy, że dla T= 0 K; f jest równa (patrz D7):
1
dla
0 < E < EF
0
dla
E > EF
(11)
2
zgodnie z (9) zależność koncentracji fermionów od energii jest równa:
g (E) =
2π ⋅ ( 2m ) 3 / 2 E 1 / 2
h3
stąd dla 0 < E < EF
4π ⋅ ( 2m ) 3 / 2 E 1 / 2
n( E ) = 2 g ( E ) =
h3
(12)
jeżeli n(E) zsałkujemy w granicach 0 do EF otrzymamy
n( E ) = 2 g ( E ) =
8π ⋅ ( 2 m ) 3 / 2 E F
3h 3
2/3
(13)
Henryk Jankowski, Andrzej Kułak
3