15 1 = − dx e x

PRZYKŁADOWE PROBLEMY NA KOLOKWIUM I & CZĘŚĆ I EGZAMINU
ZADANIA
1. Otrzymać rozkład Plancka w funkcji długości fali promieniowania elektromagnetycznego.
Wyprowadzić z otrzymanego rozkładu prawo przesunięć Wiena. Jaka jest temperatura
powierzchni Słońca, jeśli wiadomo, Ŝe maksimum natęŜenia w widmie promieniowania
słonecznego występuje dla długości fali λmax = 550 nm?
Wskazówka:
∞
π4
x3
dx
=
∫0 e x − 1 15
2. Włókno Ŝarówki rozgrzewa się do temperatury T1 = 3000 K. Po jakim czasie po
wyłączeniu napięcia temperatura włókna spadnie do T2 = 600 K, jeŜeli załoŜyć, Ŝe traci
ono energię jedynie w drodze promieniowania i zaniedbać energię pobieraną od
otoczenia? Promień włókna r = 0.0002 m, gęstość ρ = 19 000 kg/m3, ciepło właściwe cw =
154.8 J/(kg K)
3. Kulkę miedzianą oświetlono światłem monochromatycznym o długości fali λ = 0.2 µm.
Do jakiego maksymalnego potencjału naładuje się kulka?
4. Ocenić, jakiego napięcia przyśpieszającego naleŜy uŜyć w mikroskopie elektronowym,
aby jego zdolność rozdzielcza była równa 0.01 nm. Obliczyć energię kinetyczną
elektronów w tym procesie i porównać z energią fotonów, jaką naleŜałoby zastosować,
aby otrzymać tę samą zdolność rozdzielczą.
Wskazówka: Zdolność rozdzielcza mikroskopów elektronowego i optycznego jest rzędu
długości fali de Broglia elektronu i długości fali świetlnej, odpowiednio. Przed obliczeniem
energii kinetycznej elektronu sprawdzić, czy problem moŜna potraktowac
nierelatywistycznie.
5. Wiązka elektronów o energii kinetycznej Ek = 180 eV pada prostopadle na powierzchnię
monokryształu niklu. W kierunku tworzącym kąt φ = 55o z normalną do powierzchni
obserwuje się maksimum odbicia n = 4 rzędu. Znaleźć odległość międzypłaszczyznową,
odpowiadającą temu odbiciu.
6. Oszacować energię minimalną elektronu w atomie wodoru oraz jego odległość od jądra,
opierając się na relacji nieoznaczoności Heisenberga.
Wskazówka: Przyjąć oszacowanie nieoznaczoności połoŜenia elektronu rzędu średnicy orbity
elektronu w stanie podstawowym, ∆x = 2r, oraz oszacowanie nieoznaczoności kaŜdej ze
składowych pędu elektronu rzędu wartości tej składowej, ∆ pi = pi, i = x,y,z.
7. Znaleźć współczynnik odbicia dla cząstki o energii E > 0, padającej z lewej strony na
schodek potencjału o kształcie: V(x) = 0 dla x < 0, V(x) = -V0 < 0 dla x > 0.
8. Na próg potencjału o wysokości V0 > 0 pada cząstka o energii E < V0. Znaleźć głębokość
wnikania cząstki w obszar progu potencjału, przyjmując, Ŝe jest ona równa odległości, w
jakiej amplituda funkcji falowej maleje e razy.
9. Cząstka znajduje się w nieskończonej jamie potencjału o szerokości a. Obliczyć
prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w przedziale (0,a/3) i porównać z
prawdopodobieństwem klasycznym dla (a) n = 1, (b) n >> 1.
10. Sprawdzić, Ŝe funkcja falowa postaci ψ (x) = A exp (-α2 x2) jest funkcją falową oscylatora
harmonicznego o zadanej masie m i częstości drgań własnych ω. Wyznaczyć stałe A i α.
Obliczyć prawdopodobieństwo, Ŝe cząstka w stanie podstawowym oscylatora
harmonicznego znajduje się poza obszarem klasycznie dostępnym. Obliczyć wartość
średnią energii kinetycznej i potencjalnej cząstki w tym stanie.
Wskazówka: skorzystać ze stablicowanych całek prawdopodobieństwa.
11. Obliczyć średnią i najbardziej prawdopodobną odległość od jądra oraz wartość średnią
energii potencjalnej w polu jądra elektronu w stanie 1s (podstawowym) w atomie wodoru.
Funkcja falowa w tym stanie ma postać ψ (r) = A exp(-r/r1), gdzie r1 jest promieniem 1.
orbity Bohra, a A jest (nieznaną) stałą normującą. Znaleźć równieŜ prawdopodobieństwo,
Ŝe elektron znajduje się wewnątrz obszaru o promieniu równym najbardziej
prawdopodobnej odległości od jądra.
12. Pokazać, Ŝe funkcja ψ (x) = A exp (ikx) jest funkcją własną operatora pędu i energii
cząstki swobodnej, poruszającej się wzdłuŜ osi Ox.
13. Obliczyć komutatory [x, px]; [x, py]; [px, py]; [H, px]; [H, px2] (przyjmując Ŝe w operatorze
energii H energia potencjalna nie zaleŜy od czasu, V = V(x)).
14. Znaleźć średnie wartości połoŜenia, pędu i energii kinetycznej cząstki o masie m w stanie
podstawowym w jednowymiarowej, nieskończenie głębokiej studni potencjału, połoŜonej
w obszarze 0<x<a.
PYTANIA
1. Omówić zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne.
2. Na czym polega hipoteza de Broglie'a? Omówić jej pierwszą doświadczalną weryfikację.
3. Wyprowadzić równanie Schrödingera niezaleŜne od czasu z równania zaleŜnego od czasu.
Podać fizyczną interpretację funkcji falowej.
4. Obliczyć współczynnik odbicia dla cząstki o energii E > V0, padającej z lewej strony na
schodek potencjału o kształcie: V(x) = 0 dla x < 0, V(x) = V0 > 0 dla x > 0.
5. Na czym polega zjawisko tunelowe? Podać przykłady zjawisk fizycznych i urządzeń
technicznych, w których odgrywa ono duŜą rolę.
6. Znaleźć funkcje własne i wartości własne energii dla cząstki swobodnej, poruszającej się
w jednowymiarowej, nieskończenie głębokiej studni potencjału, połoŜonej w obszarze
0<x<a.
7. Co to jest kwantowy oscylator harmoniczny i jakie są energie jego stanów związanych?
8. Jaka jest ogólna postać funkcji falowych elektronu w stanach stacjonarnych w atomie
wodoru? Jakim wielkościom, uzyskiwanym z rozwiązania niezaleŜnego od czasu
równania Schrödingera w tym przypadku odpowiadają energie elektronu i promienie orbit
elektronowych w modelu Bohra atomu wodoru?
9. Co to jest komutator? Jak obliczyć wartość średnią wielkości fizycznej o zadanym
operatorze, znając stan kwantowy cząstki ψ ? Napisać zasadę nieoznaczoności dla
operatorów pędu i połoŜenia. Czy moŜna jednocześnie, z nieskończoną dokładnością,
zmierzyć składowe y i pz połoŜenia i pędu cząstki? Odpowiedź uzasadnić.
10. Podać postulaty mechaniki kwantowej.