Ćwiczenia do wykładu Fizyka Statystyczna i Termodynamika

Ćwiczenia do wykładu Fizyka Statystyczna i Termodynamika
Prowadzący dr Agata Fronczak
Zestaw 6. Pojęcie mikrostanu. Objętość przestrzeni fazowej.
Rozkład mikrokanoniczny;
4.1 Rozważ jednowymiarowy łańcuch przedstawiony na rysunku 1.
Oblicz entropię tego łańcucha przy założeniu, że składa się on
z N elementów o długości a. Przyjmij, że odległość pomiędzy
początkowym i końcowym punktem tego łańcucha wynosi x.
x
Odpowiedź: S = N k(2 ln 2 − A ln A − B ln B)/2, gdzie A = 1 +
oraz
Na
x
B =1−
.
Na
4.2 Rozważ układ o stałej energii E oraz o stałej liczbie cząstek N .
Oblicz liczbę możliwych mikrostanów ∆Γ tego układu. Załóż, że
energia układu E ≥ 0 jest skwantowana ∆E = 1. Nie nakładaj
żadnych ograniczeń na energię pojedynczej cząstki oraz potraktuj cząstki jako rozróżnialne.
Uwaga: Układ analizowany w tym zadaniu jest prototypem modelu Einsteina dla sieci krystalicznej.
Odpowiedź: ∆Γ =
¡N −1+E ¢
.
E
4.3 Ile wynosi liczba mikrostanów układu rozważanego w poprzednim zadaniu jeśli żadna cząstka tego układu nie ma energii równej
zero?
Odpowiedź: ∆Γ =
¡ E−1 ¢
N −1
.
4.4 Rozważ układy N niezależnych cząstek
i. klasycznych,
ii. kwantowych o spinie całkowitym (tj. bozonów),
iii. kwantowych o spinie połówkowym (tj. fermionów).
Zakładając, że pojedyncza cząstka może przebywać w R stanach
jednocząstkowych, oblicz, ile wynosi liczba mikrostanów każdego
z wymienionych układów.
Wskazówka: Zadanie to można sprowadzić do kombinatorycznego problemu rozmieszczania kul w pudełkach. Cząstki klasyczne należy traktować
jako rozróżnialne, natomiast kwantowe jako nierozróżnialne.
1
a
x
Rysunek 1: Do zadania 4.1.
Odpowiedź: i. ∆Γ = RN ; ii. ∆Γ =
¡R−1+N ¢
¡R¢
; iii. ∆Γ = N
.
N
4.5 Prosty model wymiany ciepła. Rozważ układ składający się z
dwóch odizolowanych od siebie części: A oraz B, z których każda
zawiera dwie rozróżnialne cząstki. Niech energie podukładów
wynoszą odpowiednio EA = 5, zaś EB = 1.
i. Oblicz, ile wynosi objętość przestrzeni fazowej opisanego
układu ∆Γ(A + B)?
ii. Jak zmieni się liczba mikrostanów tego układu, jeśli rozważymy
swobodny przepływ energii między A i B?
iii. Jakie jest prawdopodobieństwo, że po usunięciu izolacji adiabatycznej energia podukładu A wzrośnie?
iv. Jaki podział energii między podukładami A i B odpowiada
stanowi równowagi układu A + B?
Odpowiedź: i. ∆Γ(A + B) = 12; ii. ∆Γ(A + B) = 84; iii. P (EA > 5) =
7/84; iv. EA = EB = 3.
4.6 Cząstka w jednowymiarowym pudełku. Rozważ cząstkę o masie
m zamkniętą w jednowymiarowym pudełku o długości L. Narysuj trajektorię fazową tej cząstki oraz wyznacz liczbę stanów Γ(E)
o energii ≤ E. Zbadaj przypadek cząstki klasycznej i kwantowej.
√
2L 2mE
Odpowiedź: W przypadku cząstki klasycznej Γ (E) =
, gdzie
∆x∆p
∆x oraz ∆p oznaczają niepewności pomiaru
położenia i pędu, zaś w przy√
2L
2mE
.
padku cząstki kwantowej Γq (E) =
h
c
4.7 Kwantowa cząstka w dwuwymiarowym pudełku. Wyznacz liczbę
stanów o energii ≤ E odpowiadających cząstce kwantowej zamkniętej
w dwuwymiarowej nieskończonej studni potencjału o wymiarach
L × L.
Odpowiedź: Γq (E) =
2πmL2
E.
h2
2
4.10 Jednowymiarowy oscylator harmoniczny. Energia klasycznego
oscylatora harmonicznego jest równa
mω 2 2
1 2
x +
p ,
(1)
2
2m
zaś w przypadku kwantowego oscylatora jest opisana wyrażeniem
¶
µ
1
q
h̄ω dla n = 0, 1, 2, . . . .
(2)
E (n) = n +
2
Wyznacz liczby stanów o energii ≤ E dla oscylatorów klasycznego
i kwantowego. Porównując otrzymane funkcje Γc (E) oraz Γq (E)
pokaż, że objętość elementarnej komórki w klasycznej przestrzeni
fazowej ∆x∆p, dla której opis klasyczny jest zgodny z opisem
kwantowym, jest równa h.
E c (x, p) =
Odpowiedź: Γc (E) =
E
1
2πE
, Γq (E) =
− .
ω∆x∆p
h̄ω 2
4.11 Ciepło właściwe sieci krystalicznej - model Einsteina. Energia
pojedynczego kwantowego oscylatora harmonicznego jest opisana
wzorem
µ
¶
1
ε(n) = n +
h̄ω,
(3)
2
gdzie n = 0, 1, 2, . . . . Rozważ układ N niezależnych oscylatorów
harmonicznych o energii E. Wyznacz temperaturę oraz pojemność cieplną CV tego układu.
¶
N +M
,
M
PN
E N
N (h̄ω)2
eh̄ω/(kT )
.
gdzie M = i=1 ni =
− , natomiast ciepło właściwe CV =
h̄ω 2
kT 2 (eh̄ω/(kT ) − 1)2
Odpowiedź: Temperatura układu jest równa
1
∂S
k
=
=
ln
T
∂E
h̄ω
µ
4.12 Model Isinga. Rozważ izolowany układ N niezależnych i rozróżnialnych spinów o energii E umieszczony w zewnętrznym polu
magnetycznym H. Każdy spin w badanym układzie może być
skierowany w kierunku zewnętrznego pola lub przeciwnie do
niego tj. si = ±1. Energia pojedynczego spinu w zewnętrznym
polu magnetycznym H jest równa
εi = −si µH,
(4)
gdzie µ = const. Oblicz objętość przestrzeni fazowej badanego
układu oraz jego entropię.
Odpowiedź: Objętość przestrzeni fazowej rozważanego
modelu Isinga jest
¶
µ
¡N ¢
N−
N+
+ N− ln
,
równa ∆Γ = N+ , zaś jego entropia S = −k N+ ln
N
N
µ
¶
1
E
gdzie N+ =
+ N oraz N− = N − N+ .
2 µH
3
4.13 Paramagnetyk w rozkładzie mikrokanonicznym. Wyznacz pojemność cieplną CM modelu Isinga rozważanego w poprzednim
zadaniu.
Wskazówka: tanh x =
Odpowiedź: CM =
ex − e−x
ex + e−x
, cosh x =
.
x
−x
e +e
2
dE
N k(µHβ)2
1
=
, gdzie β =
.
dT
kT
cosh2 (µHβ)
4