Funkcja falowa

Funkcja falowa
Zgodnie z hipotezą de Broglie'a, cząstki takie jak elektron czy proton,
mają własności falowe.
Własności falowe cząstki (lub innego obiektu) w mechanice
kwantowej opisuje tzw. funkcja falowa Ψ(x,t) :
zawiera w sobie wszystkie informacje o obiekcie (np. cząstce)
w ogólnym przypadku jest to funkcja zespolona współrzędnych
przestrzennych oraz czasu
musi być funkcją ciągłą , a także musi mieć ciągłą pochodną
Kwadrat modułu funkcji falowej
2
ψ = ψ *ψ
jest gęstością prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w chwili t
w pewnym punkcie przestrzeni
2
p = Ψ ∆V ⇒ ∫ Ψ 2 dV = 1
V
Równanie Schrodingera
Funkcję falową, Ψ dla danej cząstki, lub bardziej złożonego układu
fizycznego, otrzymujemy rozwiązując równanie różniczkowe
nazywane równaniem Schrodingera. Jeżeli energia potencjalna
cząstki U nie zależy od czasu, to równanie Schrodingera jest
równaniem niezależnym od czasu i nazywa się stacjonarnym
równaniem Schrodingera.
h2 d 2Ψ
−
+ U ( x ) Ψ ( x ) = EΨ ( x )
2
2m dx
Cząstka swobodna
Załóżmy, że na cząstkę nie działają żadne siły zewnętrzne,
wtedy energia potencjalna cząstki jest stała i równa zero,
czyli U(x)=0. Niech rozważana cząstka porusza się tylko
wzdłuż osi x i niech ma energię kinetyczną E.
Równanie Schrodingera dla tego przypadku jest następujące:
h2 d 2Ψ
−
= EΨ ( x )
2
2m dx
Szukamy rozwiązania w postaci Ψ(x)=A sin(kx)
lub
Ψ = Ae ± ikx
Cząstka swobodna
Ψ = Asinkx
Ψ = Ae ± ikx
Używając pojęcia liczby falowej:
2π
2π p 2π
k =
=
=
λ
h
h
Podstawiając do równania:
2 mE
h2 d 2Ψ
−
= EΨ ( x )
2
2m dx
h2
−
A(−k 2 sin( kx)) = EA sin(kx)
2m
2 2
h k
E=
2m
Cząstka swobodna
2 2
h k
E=
2m
W przypadku ruchu swobodnej cząstki jej energia E
może przybierać dowolną dodatnią wartość.
Energia nie jest skwantowana.
Wynika to z faktu, że cząstka porusza się w nieograniczonym
obszarze, wzdłuż całej osi x.
Cząstka swobodna
Kwadrat modułu funkcji falowej
ψ
2
= ψ *ψ = A * e ± ikx Ae m ikx = A
2
Jest wielkością stałą,
czyli prawdopodobieństwo spotkania cząstki jest jednakowe
w każdym punkcie osi x.
Położenie cząstki swobodnej jest więc nieokreślone.
Jest to zgodne z zasadą nieoznaczoności (dokładnie znana energia
kinetyczna, a więc i pęd cząstki, czyli niepewność położenia cząstki
jest nieskończenie wielka)
Cząstka w pudle
Przypadek klasyczny.
Znajdująca się w głębokiej studni
piłka może posiadać dowolną energię kinetyczną.
W szczególnym przypadku gdy
znajduje się w spoczynku na dnie
studni posiada energię całkowitą
równą zeru .
Cząstka w pudle
Przypadek kwantowy
Rozpatrujemy cząstkę zamkniętą w jednowymiarowym pudle,
którego doskonale odbijające ściany znajdują się w odległości L
od siebie.
U
U0
Energia potencjalna
U 0 dla x ∈ (−∞, 0) ∪ ( L, ∞)
U ( x) = 
0 dla x ∈ (0, L)
0
L
x
Jama potencjalna o szerokości L
z barierami o wysokości U0.
Cząstka w pudle
Załóżmy, że wysokość bariery potencjału jest nieskończenie duża:
U
0
= ∞
U
Prawdopodobieństwo znalezienia
cząstki na zewnątrz jamy jest równe zeru
2
U0
2
Ψ ( 0) = Ψ ( L ) = 0
0
Więc funkcja falowa musi być
równa zero na końcach przedziału (0,L), czyli:
L
Ψ(0)=0 i Ψ(L)=0
WARUNKI BRZEGOWE
x
Cząstka w pudle
W obszarze studni x ∈ (0, L) cząstka jest cząstką swobodną,
tzn.U(x)=0. Funkcja falowa :
Ψ ( x ) = C 1e
+ C 2e
ikx
− ikx
U
U0
Stałe C1 i C2 wyznacza się
z warunków brzegowych:
Ψ(0)=0 i Ψ(L)=0
C2=-C1
C1 + C 2 = 0
0
L
C1e ikL + C 2 e −ikL = 0
C 1e
ikL
− C 1e
− ikL
x
kL = nπ
= 0
sinkL=0
Cząstka w pudle
sinkL=0
Stąd wynika, że:
U
kL = nπ
n = ±1,±2,...
U0
Obliczamy energię cząstki
znajdującej się w jamie potencjału:
0
2
2
2
2
h k
h n
E =
=
2
8π m
8 mL
L
x
Cząstka w pudle
C2=-C1
Ψ ( x ) = C1e
ikx
− C1e
− ikx
nπx
= 2iC1 sin kx = 2iC1 sin
L
U
U0
Stałą C wyznaczymy z warunków
normalizacji:
L
∫
Ψ Ψ dx = 1
0
0
L
∫
0
L
Ψ Ψ dx =
∫ 4C
0
2
1
sin
2
nπ
xdx = C 12 ⋅ 2 L = 1
L
L
x
C1 =
1
2L
Cząstka w pudle
Funkcja falowa cząstki i gęstość prawdopodobieństwa
w jamie potencjału wynosi:
Ψn =
2
nπx
sin
L
L
2
2 nπx
Ψ = sin
L
L
2
Cząstka w pudle
Wnioski:
Pytanie: czy n może być równe zeru?
Dla n=0 energia, k=0 oraz Ψ(x)=A sin(0 • x)= 0.
Oznacza to, że prawdopodobieństwo znalezienia cząstki
2
w tym obszarze Ψ ( x ) ∆x = 0
Wniosek: najmniejsza wartość n=1. Cząstka musi
mieć energię różną od zera. Najmniejsza energia:
E1 =
π h
2 2
2
1
2mL2
Cząstka w pudle
Wnioski:
Energia cząstki może przyjmować tylko określone wartości,
odpowiadające wartościom n=1,2,3,...
Energia nie może zmieniać się w sposób ciągły,lecz skokowo.
Najmniejsza wartość energii jest większa od zera
2
2
2
2
h k
h n
E =
=
2
8π m
8 mL
Energia cząstki znajdującej się
w jamie potencjalnej jest skwantowana.
Cząstka w pudle
Wnioski:
2
2
2
2
h k
h n
E =
=
2
8π m
8 mL
Wartości energii En i odstępy energii
między nimi:.
∆E n = E n − E n −1
Są tym większe im mniejsza jest masa m
cząstki i szerokość L studni potencjału.
Cząstka w pudle
Dozwolone wartości energii nazywamy poziomami energetycznymi.
Liczbę n wyznaczającą poziomy energetyczne nazywamy
liczbą kwantową.
Każdej wartości liczby kwantowej n odpowiada określony
stan kwantowy scharakteryzowany funkcją falową.
Cząstka w pudle
Przykład 1
Elektron o masie 9.11x10-31 kg w studni o szerokości 0.2 nm.
a) minimalna energia
h2
(6.63 ⋅ 10 −34 J ⋅ s ) 2
−18
E1 =
=
=
1
.
51
⋅
10
J = 9.42 eV
2
−31
−10
2
8mL
8 ⋅ (9.11 ⋅ 10 kg ) ⋅ (2 ⋅ 10 m)
b) poziomy drugi i trzeci
E2 = 4 ⋅ E1 = 37.7 eV
E3 = 9 E1 = 84.8 eV
E2 − E1 = 28.28 eV
[1eV = 1.602 ⋅ 10
−19
J]
Cząstka w pudle
Przykład 2
Pyłek o masie 1 g w studni o szerokości 1 cm
a) minimalna energia
h2
(6.63 ⋅ 10−34 J ⋅ s ) 2
−58
−39
E1 =
=
=
5
.
49
⋅
10
J
=
3
.
43
⋅
10
eV
2
−6
−2
8mL
8 ⋅ 10 kg ⋅ 10 m
b) nr poziomu gdy porusza się z prędkością 3cm/s
1 2
−10
En = mv = 4.5 ⋅ 10 J
2
2
En = n E1 ⇒ n = En / E1 = 9.05 ⋅ 10
En +1 − En = ( 2n + 1) E1 ≈ 6.2 ⋅ 10
wniosek
−15
23
eV
W makroświecie odległość pomiędzy najbliższymi
poziomami energetycznymi jest niemierzalnie mała
Zjawisko tunelowe
Załóżmy, że cząstka porusza się w kierunku na prostokątnej
bariery potencjału o wysokości U0 i szerokości L.
Załóżmy że energia padającej cząstki E<U0
Energię potencjalną cząstki określają zależności:
I
U(x)
U0
III
0 dla x < 0 _(obszarI )

U ( x) = U 0 dla 0 < x < L _(obszarII )
0 dla x > L _(obszarIII )

E
Fala padająca
II
Fala, która przeszła
Fala odbita
0
L
x
Zjawisko tunelowe
Przypadek klasyczny:
Jeżeli energia kinetyczna cząstki E<U0, to według klasycznej
mechaniki, cząstka odbije się od bariery potencjału
w punkcie x=0 i pozostanie w obszarze I
I
U(x)
U0
III
E
Fala padająca
II
Fala, która przeszła
Fala odbita
0
L
x
Zjawisko tunelowe
Przypadek zgodny z prawami mechaniki kwantowej:
W obszarze I i III gdzie U(x)=0 równanie Schrodingera
przyjmie postać:
h2 d 2Ψ
−
= EΨ
2
2m dx
I
U(x)
U0
III
E
Fala padająca
II
Fala, która przeszła
Fala odbita
0
L
x
W obszarze II U(x)=U0,
równanie Schrodingera:
h2 d 2Ψ
−
+ U 0 Ψ = EΨ
2
2m dx
Zjawisko tunelowe
W obszarze I występuje zarówno fala padająca jak i odbita,
Funkcja falowa w tym obszarze wynosi:
Ψ 1 ( x ) = Ae
ikx
+ Be
− ikx
W obszarze III występuje tylko fala przechodząca przez
barierę potencjału,
funkcja falowa w tym obszarze wynosi:
Ψ 3 ( x ) = Fe
ikx
W powyższych wzorach A,B i F oznaczają odpowiednio
amplitudy fali padającej, odbitej oraz przechodzącej przez barierę
Zjawisko tunelowe
Dla obszaru II rozwiązaniem równania Schrodingera
jest następująca funkcja falowa:
χx
Ψ 2 ( x ) = Ce
+ De
− χx
Wprowadzając oznaczenia, że:
χ =
2 m (U
0
− E)
h
W powyższych wzorach A,B i F oznaczają odpowiednio
amplitudy fali padającej, odbitej oraz przechodzącej przez barierę
Zjawisko tunelowe
Funkcja falowa będzie opisywać proces przejścia cząstki
Przez barierę potencjału jeżeli funkcja ta i jej pochodne będą
Ciągłe w punktach x=0 oraz x=L
Ψ1 (x = 0) = Ψ 2 (x = 0)
Ψ2 (x = L) = Ψ3(x = L)
 dΨ1

 dx
 dΨ 2

 dx



x=0



x=L
 dΨ 2 
= 

 dx  x = 0
 dΨ 3 
= 

 dx  x = L
Zjawisko tunelowe
Można obliczyć że istnieje różne od zera
prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w obszarze III.
 2L

T ≈ exp −
⋅ 2m(U 0 − E ) 
 h

T- współczynnik transmisji (przejścia)cząstki przez barierę potencjału
Przenikanie cząstki przez barierę potencjału nazywane
jest zjawiskiem tunelowym
Oscylator harmoniczny
Energia potencjalna oscylatora harmonicznego:
1
U ( x ) = mω 2 x 2
2
Równanie Schroedingera dla oscylatora :
h 2 d 2 Ψ mω 2 x 2
−
+
Ψ = EΨ
2
2m dx
2
Funkcje falowe Ψ będące rozwiązaniem tego równania muszą być
ciągłe i posiadać ciągłe pierwsze pochodne. Takie rozwiązania istnieją
wyłącznie wtedy gdy energia całkowita oscylatora posiada jedną z
wartości:
1
En = ( n + ) hω
2
gdzie n = 1, 2, 3, ....