wykład V - if univ rzeszow pl

Mechanika Kwantowa
II. Matematyczne podstawy MK
WYKŁAD 5
Postulaty mechaniki kwantowej
Plan wykładu
•
•
•
wektory i operatory w przestrzeni
nieskończenie wymiarowej (baza
nieprzeliczalna),
omówienie postulatów dotyczących opisu
układu kwantowego w danej chwili,
omówienie postulatu dotyczącego opisu
zmian układu kwantowego z upływem czasu,
Przestrzeń o nieprzeliczalnym wymiarze
Dla wektorów będących funkcjami określonymi na
przedziale a  x  b mamy:
b
f g   f  x g  x dx
*
a
Warunek zupełności:
b
 x x dx  I
a
Unormowanie wektorów bazy:
x x     x  x 
(porównaj slajd 6)
Przestrzeń o nieprzeliczalnym wymiarze
Dla operatora D: D f  df dx
d
x D x     x  x    x  x 
dx 
Dla operatora K: K  iD (operator hermitowski)
1 ikx
k 
e
k k    k  k 
2
Postać wektora w obydwu bazach:

1  ikx
f k   k f   k x x f dx 
 e f  x dx
2 


1  ikx
f  x   x f   x k k f dk 
 e f k dk
2 

Przestrzeń o nieprzeliczalnym wymiarze
Warunek hermitowskości operatora K
w bazie nieprzeliczalnej.
Niech f i g będą ketami przestrzeni funkcyjnej,
którym w bazie x odpowiadają funkcje określone
na odcinku a-b. Aby operator K był hermitowski
muszą zachodzić związki:
K xx  K
*
x x
g x f x  0
*
b
a
Przestrzeń o nieprzeliczalnym wymiarze
Własności „delty Diraca”
  x   0, dla x  0
 

  x dx  1

 
1
 ax     x    x     x 
a
1
  x  a     x  a 
 x  a  
2a
2
2

   x  a  f  x dx  f a 

(slajd nr 3)
Przestrzeń o nieprzeliczalnym wymiarze
Elementy macierzowe operatora K w bazie K:
k  K k  k k  k 
Elementy macierzowe operatora X w bazie X:
x X x  x  x  x 
Elementy macierzowe operatora X w bazie K:
d
k X k   i k  k 
dk 
Elementy macierzowe operatora K w bazie X:
d
x K x  i  x  x
dx
Działanie operatora X na wektor:
X f  xf
Postulaty mechaniki kwantowej
I. Stan cząstki jest wyznaczony przez wektor  t 
w przestrzeni Hilberta.
II. Klasycznym zmiennym niezależnym x i p
odpowiadają operatory hermitowskie X i P, dla

których mamy: X  x, P  i
x
(w bazie wektorów własnych X).
Zmiennym zależnym   x, p  odpowiadają op.
hermitowskie:  X , P     x  X , p  P 
Postulaty mechaniki kwantowej
III. Jeśli cząstka znajduje się w stanie  , to
pomiar zmiennej odpowiadającej operatorowi
 daje jedną z jego wartości własnych 
2
z prawdopodobieństwem P     
W wyniku pomiaru stan cząstki zmienia się
z w  .
Postulaty mechaniki kwantowej
IV. Wektor stanu  t  spełnia równanie
Schrödingera:
d
i  t   H  t 
dt
gdzie H  X , P   H  x  X , p  P  jest
hamiltonianem kwantowym, a H
hamiltonianem dla odpowiedniego
zagadnienia klasycznego.
Równanie Schrödingera
Analogiczna postać równania Schrödingera
w reprezentacji położeniowej (dla cząstki):
 
2 2 


i  r , t   
  r , t   V r , t  r , t 
t
2m

V r , t  jest energią potencjalną, często nazywaną
potencjałem.

r NIE jest wektorem położenia cząstki!!!
Równanie Schrödingera
Własności równania Schrödingera
1. Jest równaniem zespolonym.
2. Jest równaniem różniczkowym pierwszego rzędu
względem czasu.
3. Jest równaniem różniczkowym drugiego rzędu
względem zmiennych przestrzennych.
4. Jest równaniem liniowym (można opisać
zjawisko interferencji!!!).
5. Jest równaniem opisującym propagację fali
(funkcji falowej). Brak pojęcia trajektorii
cząstki!!!