I Liceum Ogólnokształcące w Warszawie

I Liceum Ogólnokształcące w Warszawie
…………………………………………………………….……………..
Imię i Nazwisko
………………....
Klasa
…………………………………………...
Nauczyciel
……………….......................
.... Liczba punktów
PRÓBNY
EGZAMIN MATURALNY
Z MATEMATYKI
……………….......................
....Wynik procentowy
POZIOM ROZSZERZONY
Informacje dla ucznia
1. Sprawdź, czy zestaw egzaminacyjny zawiera 10 stron.
PRZED MATURĄ
Ewentualny brak stron lub inne usterki zgłoś nauczycielowi.
2.
marzec 2016
Na tej stronie wpisz swoje nazwisko i imię, oraz klasę i nazwisko
nauczyciela uczącego.
3.
Przeczytaj uważnie wszystkie zadania.
4.
Rozwiązania zadań zapisz czarnym długopisem lub piórem.
Nie używaj korektora.
5.
Wybrane odpowiedzi do zadań zamkniętych wyraźnie przekreśl
6.
krzyżykiem. Błędne zaznaczenie otocz kołkiem i zaznacz właściwe.
Rozwiązania zadań, w których należy samodzielnie sformułować
Czas pracy:
180 minut
odpowiedź, zapisz czytelnie i starannie w wyznaczonych miejscach.
Pomyłki przekreśl.
7.
Możesz wykorzystać brudnopis.
Pamiętaj, że zapisy w brudnopisie nie będą oceniane.
8.
Możesz korzystać z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki
50 pkt.
oraz kalkulatora prostego.
9.
10.
Na rozwiązanie wszystkich zadań masz 180 minut.
Za poprawne rozwiązanie wszystkich zadań możesz uzyskać
50 punktów.
Powodzenia!
str. 1
ZADANIA ZAMKNIĘTE
W zadaniach od 1. do 6. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź.
Zadanie 1. (0 - 1)
W trójmianie kwadratowym
A.
z parametrem
kwadrat różnicy pierwiastków jest równy
B.
C.
X
D.
Zadanie 2. (0 - 1)
Funkcja określona jest wzorem
z przedziału
jest
A.
B.
Zadanie 3. (0 - 1)
Ciąg
. Największą wartością funkcji
X
C.
określony jest wzorem rekurencyjnym
A.
Zadanie 4. (0 - 1)
Pole trójkąta o bokach długości
A.
D.
dla
XB.
. Czwarty wyraz tego ciągu jest równy
C.
i
jest równe
D.
. Wówczas pozostały bok tego trójkąta może mieć długość
B.
C.
D.
X
Zadanie 5. (0 - 1)
W trójkącie równoramiennym jeden z kątów ma
, a długość podstawy jest równa
Długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest liczbą z przedziału
.
A.
X
B.
C.
D.
Zadanie 6. (0 - 1)
Funkcja
określona jest wzorem
A. –
X
B.
dla argumentów
. Stąd
wynosi
C.
str. 2
D.
ZADANIA Z KODOWANĄ ODPOWIEDZIĄ
W zadaniach 7.–9. zakoduj wynik obliczeń.
Zadanie 7. (0–2)
Oblicz granicę
i wyznacz zaokrąglenie otrzymanego wyniku do części tysięcznych.
Zakoduj odpowiedź (kolejno cyfry części: dziesiątych, setnych i tysięcznych tego zaokrąglenia).
2
5
9
Zadanie 8. (0–2)
Funkcja określona jest wzorem
. Oblicz współczynnik kierunkowy prostej stycznej do
wykresu funkcji w punkcie o pierwszej współrzędnej równej oraz wyznacz zaokrąglenie otrzymanej liczby do części
setnych. Zakoduj odpowiedź (kolejno cyfry : jedności, części dziesiątych i setnych otrzymanego zaokrąglenia).
4
1
7
Zadanie 9. (0–2)
Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego
jest równa , a suma kwadratów wszystkich
wyrazów tego ciągu jest równa . Wyznacz iloraz ciągu
i zapisz go w postaci liczby dziesiętnej.
Zakoduj odpowiedź (kolejno cyfry: jedności, części dziesiątych i setnych zapisanego wyniku).
0
6
0
ZADANIA OTWARTE
Rozwiązania zadań 10.–19. należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod treścią zadania.
Zadanie 10. (0–3)
Funkcja kwadratowa f określona wzorem
ma dwa miejsca zerowe takie, że jedno z nich jest
liczbą odwrotną do drugiego. Wykaż, że do wykresu funkcji f należy punkt
.
Ponieważ jeden z pierwiastków jest odwrotnością drugiego to ich iloczyn jest równy .
(1 pkt.)
Z wzorów Viete’a wynika, że iloczyn pierwiastków jest stosunkiem do ,
zatem
.
(1 pkt.)
Po podstawieniu wzór naszej funkcji przyjmie postać:
Wartość funkcji dla
.
to
co kończy dowód.
str. 3
(1 pkt.)
Zadanie 11. (0–3)
Rozwiąż nierówność
Dana nierówność
.
jest równoważna nierówności podwójnej:
przekształcamy
(1 pkt.)
.
Alternatywa nierówności w pierwszym nawiasie
jest równoważna
(1 pkt.)
Z koniunkcji w drugim nawiasie mamy
(1 pkt.)
Z koniunkcji między nawiasami wynika
Ostatecznie
Odpowiedź:
Zadanie 12. (0–3)
Rozwiąż równanie
o niewiadomej z przedziału
Ze wzoru na cosinus kąta podwojonego
.
otrzymujemy:
i ze wzoru na sumę cosinusów mamy
(1 pkt.)
czyli
zatem
(1 pkt.)
Wybieramy rozwiązania należące do danego przedziału:
(1 pkt.)
Odpowiedź:
str. 4
Zadanie 13. (0–3)
Rozważmy trapez prostokątny
o podstawach
oraz
i kątach prostych przy wierzchołkach i .
Ponadto punkt jest środkiem okręgu wpisanego w ten trapez oraz
i
.
Oblicz obwód trapezu
.
Suma miar kątów trapezu jest równa
. Dwa kąty są proste
więc
. Wynika z tego, że kąt
jest prosty.
Na podstawie twierdzenia Pitagorasa w
mamy
(1 pkt.)
Podstawiamy liczby i obliczamy
Z
obliczamy
,az
.
Dana nierówność
(1 pkt.)
(1 pkt.)
Ostatecznie
Odpowiedź:
Zadanie 14. (0–3)
Wykaż, że
.
.
jest równoważna kolejnym nierównościom:
(1 pkt.)
(1 pkt.)
a to jest oczywiście prawda.
(1 pkt.)
str. 5
.
Zadanie 15. (0–3)
W trapezie
, o podstawach
i
, dwusieczna kąta ostrego o wierzchołku
do ramienia
i dzieli je w stosunku
, licząc od wierzchołka .
Oblicz stosunek pól figur, na które ta dwusieczna dzieli trapez
.
zatem
a stąd
jest prostopadła
(1 pkt.)
.
ą ó
Ska a p d b eństwa jest równa
a
ł
(1 pkt.)
.
(1 pkt.)
.
Ostatecznie
Odpowiedź:
Zadanie 16. (0–7)
Punkt
jest wierzchołkiem trójkąta równobocznego
wpisanego w ten trójkąt. Oblicz współrzędne wierzchołków i .
, a punkt
jest środkiem okręgu
jest równ b czny czy
zatem
czyli
a stąd
Wektor
jest pr st padły do prostej
przez punkt . Prosta
Punkty
i
(1 pkt.)
.
a zate równan e
przech dzącej
.
(1 pkt.)
eżą na krę u p sany na trójkąc e ABC
(1 pkt.)
równan u
(1 pkt.)
R zw ązuje y układ
(1 pkt.)
(1 pkt.)
lub
Ostatecznie
Odpowiedź:
(1 pkt.)
oraz
i
str. 6
Zadanie 17. (0–6)
Oblicz, ile jest parzystych liczb sześciocyfrowych, w których zapisie występuje co najmniej jedna czwórka
i nie występuje piątka.
1. Obliczmy ile jest liczb sześciocyfrowych parzystych nie zawierających :
Na pierwszym miejscu
cyfr (bez
i ), na drugim, trzecim, czwartym i piątym miejscu
cyfr (bez
), na ostatnim
miejscu dowolna parzysta - cyfr ( , , , , ) czyli takich liczb jest
2. Obliczmy ile jest liczb sześciocyfrowych parzystych nie zawierających
Na pierwszym miejscu
cyfr (bez
i
i 4:
i ), na drugim, trzecim, czwartym i piątym miejscu
(2 pkt.)
cyfr (bez
i ), na
ostatnim miejscu parzysta - cyfry ( , , , ), czyli takich liczb jest
(2 pkt.)
3. Liczb sześciocyfrowych parzystych zawierających co najmniej jedną
jest równa różnicy między wyliczonymi
wielkościami:
(2pkt.)
Ostatecznie:
Odpowiedź:
str. 7
Zadanie 18. (0–7)
Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne ostrokątne wpisane w okrąg o promieniu długości . Wyznacz długość
wysokości tego z rozpatrywanych trójkątów, którego pole jest największe, oraz oblicz to pole.
Rozpatrzmy dwa przypadki: 1°
oraz 2°
.
Jeżeli przyjmiemy
Ponieważ
to w obu przypadkach
to
.
i
Porównując wzory widać że:
(*)
(1 pkt.)
Badamy funkcję:
Funkcja
Oczywiście
.(1 pkt.)
i funkcja
są w tych samych przedziałach monotoniczne. (1 pkt.)
. (Można wykazać, że dla
zachodzi nierówność
Wystarczy zbadać funkcję
w przedziale
).
.
(1 pkt.)
jest jedynym rozwiązaniem z przedziału
i
zatem dla
.
(1 pkt.)
oraz
funkcja przyjmuje wartość największą i
Ostatecznie najw ększe p e jest równe
.
.
(1 pkt.)
(1pkt.)
( *) – można to uzasadnić na bazie równości długości cięciw równoodległych od środka okręgu i przez porównanie
wysokości trójkątów.
Odpowiedź:
________________________________________________________________
str. 8