Rynki kapitalowe i instrumenty pochodne, rynek CRR

28. Rynki kapitałowe i instrumenty pochodne,
Wycena instrumentów pochodnych,
model Coxa-Rossa-Rubinsteina.
Leszek Gryczka
Martyna Ostrowska
Rynek kapitałowy jest obok rynku pieniężnego, częścią rynku
finansowego, określanego jako abstrakcyjne miejsce zawierania i wykonywania
transakcji, których przedmiotem są instrumenty finansowe.
Na rynku pieniężnym przedmiotem obrotu jest kapitał krótkoterminowy
(do 1 roku), przeznaczony na finansowanie działalności bieżącej.
Rynek kapitałowy jest natomiast rynkiem kapitałów średnio i długoterminowych
przeznaczonych na finansowanie inwestycji. Transakcje zawierane na rynku
kapitałowym dotyczą głównie kupna i sprzedaży instrumentów finansowych, w
tym przede wszystkim papierów wartościowych, czyli dokumentów
stwierdzających istnienie określonego prawa majątkowego. Mogą one
potwierdzić wierzytelność lub współwłasność. Obok papierów wartościowych na
rynku kapitałowym obraca się innymi instrumentami finansowymi takimi jak np.
kontrakty terminowe, opcje.
Założenia rynku:
- rynek nie uwzględnia prowizji, inwestorzy nie ponoszą żadnych kosztów
- można lokować i pożyczać pieniądze na ten sam procent
- istnieje krótka sprzedaż
- rynek jest płynny, czyli możemy kupić lub sprzedać dowolną liczbą akcji (nawet
ułamkową część)
Definicja instrumentu bazowego
Instrumentem bazowym nazywamy przedmiot kontraktu terminowego np. akcje
obligacje, towar, waluta lub inny kontrakt terminowy.
Definicja instrumentu pochodnego (opcja)
Instrument pochodny zabezpiecza przez niekorzystnymi zmianami instrumentu
bazowego. Cechą charakterystyczną instrumentów pochodnych jest to, że dotyczą
przyszłej daty i ceny.
Opcja daje jej posiadaczowi („nabywcy”) prawo (lecz nie obowiązek) do
nabycia sprzedaży danego dobra po z góry określonej cenie.
1
Stosowane oznaczenia:
St – wartość instrumentu bazowego w momencie t
Ct – cena opcji kupna w momencie t
Pt – cena opcji sprzedaży w momencie t
K – cena wykupu (cena wykonania)
r - stopa procentowa
T – czas wykupu
α – pieniądze w obligacjach
β – ilość akcji
Model Coxa, Rossa, Rubinsteina
Założenia:
- kapitalizacja jest okresowa (dzienna)
- kapitał w dniu t wynosi:
𝑃𝑡 = 𝑃0 𝑟̂ 𝑡 𝑔𝑑𝑧𝑖𝑒 𝑟̂ = 1 + 𝑟
Definicja rynku
Dla danych liczb S0,u,d>0; d<u; T≥1. Rynkiem CRR nazywamy rodzinę
wszystkich ciągów (S0,S1,…,ST ), dla których:
St+1=Stu lub St+1=Std
dla t = 0, 1, … , T-1, wraz z pewną liczbą r – stopą procentową dzienną (d<(r+1)<u).
2
Strategia na rynku C.R.R.
Strategią na rynku C.R.R. nazywamy ciąg par funkcji [(α0(s),β0(s)),…,
(αT(s),βT(s))], gdy αt(s), βt(s) są określone dla s∊ {s0dt, s0dt-1u1, … , s0ut },
gdzie αt, βt decyzja inwestora w dniu t.
Kapitał dla strategii
Kapitałem dla strategii nazywamy ciąg funkcji
Pt(s)= αt(s)+ βt(s)s dla t = 0,1,…, T.
Funkcja Pt(s) jest określona dla s∊ {s0dt, s0dt-1u1, … , s0ut }.
Pt(s) jest kapitałem inwestora na koniec dnia t.
Strategia z pamięcią
Strategią z pamięcią nazywamy ciąg par funkcji [(α0(s),β0(s)),…, (αT(s),βT(s))],
gdy funkcje αt(s), βt(s) są określone dla s przebiegającego zbiór ciągów (S0,S1,…,ST ),
gdzie Sԏ+1=Sԏu lub Sԏ+1=Sԏd.
Zatem inwestor ustala pozycje αt, βt pamiętając ceny akcji w poprzednich dniach.
Warunek samofinansowania
Strategię nazywamy samofinansującą, jeżeli spełnione są równania:
𝛼𝑡 (𝑠)𝑟̂ + 𝛽𝑡 (𝑠)𝑠𝑢 = 𝛼𝑡+1 (𝑠𝑢) + 𝛽𝑡+1 (𝑠𝑢)𝑠𝑢
𝛼𝑡 (𝑠)𝑟̂ + 𝛽𝑡 (𝑠)𝑠𝑑 = 𝛼𝑡+1 (𝑠𝑑) + 𝛽𝑡+1 (𝑠𝑑)𝑠𝑑
dla t=0,1,…,T-1
Lewa strona powyższych równań opisuje kapitał rankiem dnia t+1,
prawa zaś wieczorem.
Pierwsze równanie odpowiada górnej zmianie ceny akcji, drugie dolnej zmianie.
3
Twierdzenie
Ciąg funkcji Pt(s) określonych dla s∊ {s0dt, s0dt-1u1, … , s0ut }, gdzie t=0, 1, …, T, jest
kapitałem dla pewnej strategii samofinansującej tylko wtedy, gdy dla każdego t=0, 1, …, T
zachodzi:
1
𝑃𝑡 (𝑠) = (𝑃𝑡+1 (𝑠𝑢)𝑝∗ + 𝑃𝑡+1 (𝑠𝑑)𝑞∗
𝑟̂
𝑔𝑑𝑧𝑖𝑒 𝑝∗ =
𝑟̂ − 𝑑
𝑢 − 𝑟̂
𝑜𝑟𝑎𝑧 𝑞 ∗ =
𝑢−𝑑
𝑢−𝑑
PRZYKŁAD 1
Twierdzenie C.R.R
Twierdzenie
Dla opcji typu europejskiego CT(s), s = s0dT, … , s0uT istnieje zawsze dokładnie jedna cena
przez replikację:
𝑇
1
𝑇
𝐶0 (𝑠0 ) = 𝑇 ∑ ( ) 𝑝∗𝑘 𝑞∗𝑇−𝑘 CT (s0 uk dT−k )
𝑟̂
𝑘
𝑘=0
Twierdzenie (C.R.R. dla opcji europejskiej z ceną realizacji K)
Dla opcji europejskiej cena przez replikację zawsze jest i jest tylko jedna:
𝑇
𝑇
𝑇
𝐾
𝑇
𝐶0 (𝑠0 ) = 𝑠0 ∑ ( ) 𝑝̅ 𝑘 𝑞̅𝑇−𝑘 − 𝑇 ∑ ( ) 𝑝∗𝑘 𝑞∗𝑇−𝑘
𝑘
𝑟̂
𝑘
𝑘=𝑘0
𝑢
𝑔𝑑𝑧𝑖𝑒 𝑝̅ = 𝑝
,
𝑟̂
∗
𝑘=0
𝑑
𝑞̅ = 𝑞
,
𝑟̂
∗
𝑘𝑜 =
𝐾
𝑙𝑛 𝑠
0
2𝑙𝑛 𝑢
+
𝑇
2
Twierdzenie to jest prawdziwe przy założeniu 0≤k0≤T
PRZYKŁAD 2
4
ARBITRAŻ
Definicja
Na rynku C.R.R arbitrażem nazywamy strategię samofinansującą (αt(s), βt(s)),
t=0,1, …, T, dla której kapitał Pt(s), t =0,1, ...,T, spełnia:
1. P0(s0)=0,
2. PT(sT)≥ 0, dla każdego przebiegu akcji (s0, …, sT)
3. PT(𝑠̅T)>0 dla pewnego przebiegu cen akcji (s0,𝑠̅1 …, 𝑠̅T)
Twierdzenie
Na rynku C.R.R. nie ma arbitrażu, wtedy i tylko wtedy, gdy d<(1+r)<u.
Warunki na opcje
Od tego momentu przyjmujemy, że kapitalizacja odsetek następuje w sposób ciągły, tj. kapitał
w dniu t wynosi Pt=P0erT.
Opcja
Amerykańska
Europejska
Kupna
Sprzedaży
𝑆𝑡 − 𝐾 ≤ 𝐶𝑡𝐴 ≤ 𝑆𝑡
𝐾 − 𝑆𝑡 ≤ 𝑃𝑡𝐴 ≤ 𝐾
𝑆𝑡 − 𝐾𝑒 −𝑟(𝑇−𝑡) ≤ 𝐶𝑡𝐸 ≤ 𝑆𝑡 𝐾𝑒 −𝑟(𝑇−𝑡) − 𝑆𝑡 ≤ 𝑃𝑡𝐸 ≤ 𝐾𝑒 −𝑟(𝑇−𝑡)
Powyższa tabela przedstawia warunki jakie muszą być spełnione, aby nie doszło do arbitrażu.
Arbitraż będzie możliwy, gdy co najmniej jedna z nierówności nie jest spełniona.
Europejska opcja kupna lub sprzedaży może zostać zrealizowana tylko w momencie T.
Amerykańska opcja kupna lub sprzedaży może zostać zrealizowana dla każdego t,
takiego, że 0≤t≤T.
PRZYKŁAD 3
5
Wzór Blacka-Scholesa
Twierdzenie
Cena Blacka – Scholesa europejskiej opcji kupna z ceną wykonania K i terminem wygaśnięcia
T wynosi:
𝐶0𝐸 = 𝑆0 Φ (
𝑠0
𝜎2
𝑙𝑛 + (𝑟 + ) 𝑇
𝐾
2
𝜎√𝑇
)−
𝐾𝑒−𝑟𝑇 Φ (
𝑠0
𝜎2
𝑙𝑛 + (𝑟 − ) 𝑇
𝐾
2
𝜎 √𝑇
)
Gdzie:
S0 to aktualna cena instrumentu bazowego,
r- wysokość stopy procentowej wolnej od ryzyka,
σ – współczynnik zmienności ceny instrumentu bazowego,
Φ– dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego.
Przy powyższych oznaczeniach, wzór na cenę Blacka-Scholesa dla europejskiej
Opcji sprzedaży to:
𝑠0
𝑠0
𝜎2
𝜎2
−𝑙𝑛 − (𝑟 − ) 𝑇
−𝑙𝑛 − (𝑟 − ) 𝑇
𝐾
2
𝐾
2
𝐸
−𝑟𝑇
𝑃0 = 𝐾𝑒 Φ (
) − 𝑆0 Φ (
)
𝜎 √𝑇
𝜎 √𝑇
PRZYKŁAD 4
6