Materiały pomocnicze do nauki matematyki - CKD

Materiały pomocnicze do nauki m a t e m a t y k i
w Prywatnym Liceum Ogólnokształcącym dla Dorosłych
Centrum Kształcenia Dorosłych Sp. z o.o.
Zbiory
Działania na zbiorach
Liczby rzeczywiste
Przedziały liczbowe
Potęgi
Studencie !
Podręcznik, z którym będziesz pracował w zwięzły sposób podaje materiał określony
podstawą programową MEN
Matematyka nie jest trudna, jeśli tylko zastosujesz się do wskazówek:
- nie możesz tekstu tylko czytać
- należy cały czas coś przeliczać, szkicować, starać się zrozumieć, co jest napisane
- zadawać sobie ciągle pytanie, skąd to się wzięło
- koniecznie rozwiąż wszystkie zadania
Możesz napotkać na trudności, ale nie da ich się uniknąć.
Wtedy wróć do wcześniejszych wskazówek.
Poradzisz sobie.
Jesteśmy z Tobą!
Centrum Kształcenia Dorosłych Sp. z o.o.
1. ZBIORY. DZIAŁANIA NA ZBIORACH
Słowo zbiór pojawia się w matematyce bardzo często. Podamy kilka przykładów.
Przykład 1
Rozważamy zbiór wszystkich liter tworzących wyraz mewa. Możemy nazwać ten zbiór literą
A i wypisać jego elementy w „klamrach”
A = { m , e, w , a }
Przyjmujemy umowę: nie ma znaczenia kolejność w jakiej wypisujemy elementy zbioru.
Zbiór A możemy również „narysować”
•m
•a
•p
•e
•w
A
Rys. 1.
Jego elementy otacza „pętelka”. Poza „pętelką” znajduje się element p.
Zdanie:
a Є A czytamy – element a należy do zbioru A
p Є A czytamy – element p nie należy do zbioru A
Do zbioru A należą 4 elementy. Jest to zbiór skończony. Zbiór, do którego należy
nieskończenie wiele elementów nazywa się zbiorem nieskończonym.
Przykład 2.
Niech N oznacza zbiór wszystkich liczb naturalnych. Nie jesteśmy wstanie wypisać
wszystkich jego elementów. Jest ich nieskończenie wiele. Przedstawiamy go tak:
N = { 0 , 1 , 2 , 3 , ...}
Liczba 2001 też jest elementem tego zbioru, choć nie została wypisana. Natomiast ułamek ½
nie jest elementem zbioru N (liczb naturalnych). Zbiór N jest nieskończony.
Przykład 3.
Niech B oznacza zbiór wszystkich ludzi, których wzrost przekracza 5 metrów. Oczywiście, do
tego zbioru nie należy żaden element. Mówimy, że zbiór B jest zbiorem pustym, co
zapisujemy:
B = Ø (czytaj: B równa się fi)
2
Zakaz kopiowania. Wszelkie prawa zastrzeżone.
Centrum Kształcenia Dorosłych Sp. z o.o.
Zadanie 1
Wyznacz zbiór:
B = {x: x Є N i jednocześnie x < 5}
Chodzi o zbiór wszystkich elementów x, które spełniają jednocześnie warunki podane po
dwukropku:
- x Є N czyli x jest liczbą naturalną
- x < 5 czyli x jest liczbą mniejszą od 5
Zatem B = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 }
Zamiast słów „i jednocześnie” będziemy używać symbolu ۸ (czytamy krótko i)
Zadanie 2
Wyznacz zbiór:
A = {x: x Є N ۸ 2 < x < 7 }
Chodzi o zbiór wszystkich liczb naturalnych, które jednocześnie spełniają warunek: są
większe od 2 i zarazem mniejsze od 7.
Odpowiedź: A = { 3 , 4 , 5 , 6 }
Przejdziemy teraz do pojęcia podzbioru
Rysunek 2 przedstawia dwa zbiory:
A = { a , b, c , d , e } oraz B = { c , d , e }
•c
•e
B
∩
•a
A
•d
•b
B
A
Rys. 2
∩
Zwróć uwagę, że każdy element zbioru B jest jednocześnie elementem zbioru A. Mówimy
wtedy, że zbiór B jest podzbiorem zbioru A (lub, że zbiór B zawiera się w zbiorze A)
co zapisujemy:
B
A
Definicja 1
Mówimy, że zbiór B jest podzbiorem zbioru A wtedy, gdy każdy element zbioru B jest
jednocześnie elementem zbioru A.
3
Zakaz kopiowania. Wszelkie prawa zastrzeżone.
Centrum Kształcenia Dorosłych Sp. z o.o.
Przykład 4
K
K
∩
Zbiór K wszystkich mieszkańców Krakowa jest podzbiorem zbioru P wszystkich
mieszkańców Polski. Graficznie można to przedstawić tak:
P
P
Rys. 3
Przykład 5
∩
W matematyce stosowane jest oznaczenie N+ zbioru wszystkich liczb naturalnych dodatnich.
N+ = { 1 , 2 , 3 , ...} oczywiście:
N+
N
Zadanie 3
Wypisz wszystkie dwuelementowe podzbiory zbioru A = { a , b , c , d }
Odpowiedź: { a , b };{ a , c };{ a , d };{ b , c };{ b , d };{ c , d }. Podzbiorów tych jest 6.
Przejdźmy teraz do kilku pojęć związanych ze zbiorami.
Rysunek 4 przedstawia dwa zbiory:
A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } oraz B = { 4 , 5 , 7 , 8 , 9 }
•2
•7
•1
•4
A
•3
8 •
•5
B
•9
Rys. 4
Elementy 4 i 5 są wspólne dla obu zbiorów. Mówimy, że zbiór { 4 , 5 } jest częścią wspólną
(iloczynem) zbiorów A, B.
Część wspólną zbiorów A, B oznaczamy A ∩ B.
Zatem A ∩ B = { 4 , 5 }
4
Zakaz kopiowania. Wszelkie prawa zastrzeżone.
Centrum Kształcenia Dorosłych Sp. z o.o.
Definicja 2
Iloczynem zbiorów A, B nazywamy zbiór elementów, które jednocześnie należą do zbioru A i
do zbioru B.
A∩B
A
B
Rys. 5
Na rysunku 5 zakreskowany obszar symbolizuje zbiór A ∩ B
Rysunek 6 przedstawia zbiory A, B i elementy x , y , z.
A
•x
y
B
z
•
•
Rys. 6
Tylko element x Є A ∩ B
Wprowadzimy nowy symbol „<=>”
Czytamy go: wtedy i tylko wtedy, gdy
Zdanie:
x Є A ∩ B <=> x Є A ۸ x Є B
czytamy: element x należy do iloczynu zbiorów A, B wtedy i tylko wtedy, gdy X należy do
zbioru A i jednocześnie x należy do zbioru B.
Wracamy do rysunku 4
•2
•7
•1
•4
A
•3
8 •
•5
B
•9
Rys. 4
Utworzymy teraz zbiór złożony z wszystkich elementów zbiorów A, B “wziętych razem”.
Taki zbiór nazywa się sumą zbiorów A, B i jest oznaczony: A U B . Zatem
A U B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
5
Zakaz kopiowania. Wszelkie prawa zastrzeżone.
Centrum Kształcenia Dorosłych Sp. z o.o.
Definicja 3
Sumą zbiorów A, B nazywamy zbiór elementów należących do zbioru A lub do zbioru B.
Poniższy rysunek przedstawia sumę zbiorów A,B (obszar zakreskowany)
A
B
Rys. 7
AUB
Wprowadzimy nowy symbol „v”. Czytamy go: „lub”
Zdanie: x Є A U B <=> x Є A v x Є B
Czytamy:
Element x należy do sumy zbiorów A, B wtedy i tylko wtedy, gdy x należy do zbioru A lub
x należy do zbioru B.
Uwaga!
W matematyce inne jest znaczenie słowa lub niż słowa albo.
Zdanie:
Jutro pójdę do kina lub na mecz
- nie wyklucza możliwości, że pójdę najpierw do kina, a później na mecz.
Zdanie:
Jutro pójdę do kina albo na mecz
- oznacza, że decyduję się tylko na jedną z tych możliwości.
Dlatego zdanie:
xЄA v xЄB
- nie wyklucza możliwości, że x należy jednocześnie do obu zbiorów.
Wróćmy jeszcze raz do rysunku 4.
Utworzymy pewien zbiór w ten sposób, że ze zbioru A „wyrzucimy” wszystkie te elementy,
które należą również do zbioru B.
Taki zbiór nazywamy różnicą zbiorów A, B i oznaczamy: A \ B
W naszym przykładzie
A \ B = { 1, 2, 3, 6 }
6
Zakaz kopiowania. Wszelkie prawa zastrzeżone.
Centrum Kształcenia Dorosłych Sp. z o.o.
Definicja 4
Różnicą zbiorów A, B nazywamy zbiór złożony z wszystkich elementów, które należą do
zbioru A i nie należą do zbioru B.
Poniższy rysunek przedstawia różnicę zbiorów A, B (obszar zakreskowany)
A
B
Rys. 8
A\B
Zdanie: x Є A \ B <=> x Є A ۸ x Є B
Czytamy: element x należy do różnicy zbiorów A, B wtedy i tylko wtedy, gdy x należy do
zbioru A i jednocześnie x nie należy do zbioru B.
Zbiór B \ A to nie ten sam zbiór co A \ B – rysunek 9.
A
A
B
Rys. 9
B\A
Przykład 6
Dane są dwa zbiory: A = { a, b, c } B = { e, f }
Nie mają one żadnego wspólnego elementu. Takie zbiory nazywamy zbiorami rozłącznymi.
Ich część wspólna jest zbiorem pustym:
A∩B=Ø
Teraz zadania do samodzielnego rozwiązania
Zadanie 4
Wypisz wszystkie dwuelementowe podzbiory zbioru A = { a, b, c, d, e, }
Zadanie 5
Wyznacz zbiory
a) A = {x: x Є N ۸ 0 ≤ x < 8 }
b) B = {x: x Є N ۸ x ≤ 4 }
c) A U B
d) A ∩ B
e) A \ B
f) B \ A
7
Zakaz kopiowania. Wszelkie prawa zastrzeżone.
Centrum Kształcenia Dorosłych Sp. z o.o.
2. LICZBY RZECZYWISTE
Poprzednio mówiliśmy o zbiorze liczb naturalnych
N = { 0 , 1 , 2 , 3 , ...}
Innym nie mniej ważnym zbiorem jest zbiór liczb całkowitych
C = { ..., -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , ...}
Możemy go zilustrować na osi liczbowej
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
6
Rys. 10
Zwróć uwagę, że zbiór N posiada liczbę najmniejszą. Jest nią 0, ale nie posiada liczby
największej. Zbiór C nie posiada ani liczby największej, ani najmniejszej.
N
N
∩
Każda liczba naturalna jest jednocześnie liczbą całkowitą, a zatem zbiór N jest podzbiorem
zbioru C.
C
C
Rys. 11
Podamy teraz definicję liczby wymiernej.
Definicja 5
k
Liczbą wymierną nazywamy każdą liczbę, którą można przedstawić w postaci m
gdzie k , l są liczbami całkowitymi i l ≠ 0
Przykład 7
Liczba ½ jest liczbą wymierną. Tu k = 1 a m = 2
8
Zakaz kopiowania. Wszelkie prawa zastrzeżone.
Centrum Kształcenia Dorosłych Sp. z o.o.
Przykład 8
5
Liczba 5 jest liczbą wymierną, gdyż można ją przedstawić w postaci 1
Zatem k = 5 i m = 1
Przykład 9
Liczba - 5 jest liczbą wymierną, bo - 5 =
-5
1
Przykład 10
5
Liczba 2 6
5
17
jest liczbą wymierną, bo 2 6 = 6
Przykład 11
Liczba – 4,1 jest liczbą wymierną, bo – 4,1 =
–
4
1
10 =
41
– 41
10 = 10
Zbiór wszystkich liczb wymiernych oznaczany W.
N
∩
Każda liczba naturalna jest liczbą wymierną. Zatem:
W
C
∩
Każda liczba całkowita jest liczbą wymierną. Zatem:
W
Związek między zbiorami N, C, W odzwierciedla schemat
N
C
Rys. 12
C
∩
N
∩
W
W
9
Zakaz kopiowania. Wszelkie prawa zastrzeżone.
Centrum Kształcenia Dorosłych Sp. z o.o.
Nie każda liczba daje się przedstawić w postaci ułamka
k
m
gdzie k, m Є C i m ≠ 0
Taką liczbę nazywamy niewymierną.
__
Chyba najbardziej znaną liczbą niewymierną jest liczba √2
_
Jeżeli narysujemy kwadrat o boku długości jednej jednostki to jego przekątna ma długość √2
_
√2
1
Rys. 13
Rysunek 14 ukazuje miejsce na osi liczbowej, gdzie znajduje się liczba √2
Rys. 14
0
1
√2
2
Długość przekątnej narysowanego kwadratu przenosimy cyrklem na oś liczbową.
_
√3 to inna liczba niewymierna
Jeżeli narysujemy trójkąt równoboczny o boku długości 2 jednostki, to wysokość tego
trójkąta ma długość √3.
Rysunek 15 wskazuje miejsce na osi liczbowej, gdzie znajduje się liczba √3.
Rys. 15
-1
0wiele. Oto kilka
1 innych
√ 3przykładów
2
Liczb niewymiernych jest nieskończenie
liczb
niewymiernych:
__
__
__
__
__
__
10
Zakaz kopiowania. Wszelkie prawa zastrzeżone.
Centrum Kształcenia Dorosłych Sp. z o.o.
√5 ; √6 ; √2 + 1 ; 2√2 ; π ; - √2 ; - √3
Zbiór wszystkich liczb niewymiernych oznaczamy IW.
Każdy punkt osi liczbowej wyobraża jakąś liczbę: wymierną lub niewymierną.
Na rysunku 16 zaznaczono na osi liczbowej kilka liczb wymiernych i kilka niewymiernych.
– √2 – 1
0
½ 1
√3 2
Rys. 16
Podamy kilka wartości przybliżonych:
√2 ≈ 1,41 ; √3 ≈ 1,73 ; π ≈ 3,14
Każdy punkt osi liczbowej możemy nazwać liczbą. Wszystkie punkty osi liczbowej tworzą
zbiór liczb rzeczywistych; oznaczamy go literą R.
Definicja 6
Zbiór liczb rzeczywistych R to suma zbioru liczb wymiernych W i zbioru liczb
niewymiernych IW:
R = W U IW
Rysunek 17 przedstawia związki między poznanymi zbiorami liczbowymi.
IW
R
N
W
C
Rys. 17
Zbiór N jest podzbiorem zbioru R, ale nie jest podzbiorem zbioru IW.
Spróbuj podać inne związki pomiędzy poznanymi zbiorami liczbowymi.
11
Zakaz kopiowania. Wszelkie prawa zastrzeżone.