Wykład 22 Zbiory i działania na zbiorach Przestrzeń liniowa 22.1 Zbiory Teorie matematyczne często korzystają z tzw. pojęć pierwotnych. Pojęcia pierwotne nie mają ścisłej definicji. Są objaśniane opisowo. W geometrii euklidesowej pojęciami pierwotnymi są np. punkt i prosta. Punkt można opisać jako parę liczb w układzie współrzędnych, a prostą jako zbiór punktów spełniających pewne równanie, ale nie są to definicje. W teorii mnogości, czyli nauce o zbiorach, pojęciami pierwotnymi są zbiór i element zbioru. Każdy zbiór jest „kolekcją” pewnych obiektów, stanowiących jego elementy. Kolekcja ta musi być zdefiniowana na tyle jednoznacznie, aby było wiadomo, czy dany obiekt należy do tego zbioru, czy nie należy. Nie zajmujemy się tutaj tzw. zbiorami rozmytymi, w których określony jest stopień przynależności elementu do zbioru. Zbiory oznaczać będziemy dużymi literami alfabetu: A, B, C, …, a obiekty należące do zbiorów, literami małymi: a, b, c, … . Obiekt a należący do zbioru A nazywamy elementem zbioru A. Zapisujemy to symbolicznie, jako a A. Powyższy zapis odczytujemy: „a należy do zbioru A” lub „ a jest elementem zbioru A”. Zapis a A odczytujemy: „ a nie należy do zbioru A” lub „ a nie jest elementem zbioru A”. Jedną z metod zapisu zbioru jest zapisanie jego elementów w nawiasach klamrowych. Zbiór liczb naturalnych może być zapisany w postaci N = {1, 2, 3, …} Zbiór liczb całkowitych C = {0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, …}, Zbiór liczb rzeczywistych oznacza się literą R. Zbiorem pustym, oznaczanym symbolem , nazywamy zbiór nie zawierający żadnego elementu. Relacje między zbiorami i działania na zbiorach Równość zbiorów. Mówimy, że dwa zbiory A i B są równe, jeśli mają dokładnie te same elementy. {1, 3, 5, 12, 21} = {3, 1, 21, 5, 12} = {1, 1, 1, 5, 3, 3, 12, 21, 12, 1} Zawieranie się zbiorów Mówimy, że zbiór B zawiera się w zbiorze A, lub B jest podzbiorem zbioru A, co zapisujemy symbolicznie w postaci B A, jeśli każdy element zbioru B jest jednocześnie elementem zbioru A. Definicja zawierania jest następująca: B A a [(a B) (a A)] Jeżeli A B i istnieje co najmniej jeden element x taki, że xB x A, to znaczy jeśli A B i A B, to mówimy, że A jest podzbiorem właściwym zbioru B i piszemy A B. Ponieważ dla każdego zbioru A prawdziwa jest a [(a ) (a A)], zatem zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru. implikacja A = B (A B) (B A) Suma zbiorów A B = {x: xA xB} Różnica zbiorów A \ B = {x: xA xB} Przekrój zbiorów (część wspólna) A B = {x: xA xB} Zbiory rozłączne Zbiory A i B nazywamy rozłącznymi, jeśli nie zawierają elementów wspólnych, tzn. jeśli A B = Niech U oznacza zbiór uniwersalny zwany także uniwersum. Jest to taki zbiór, że wszystkie rozważane zbiory są jego podzbiorami. Wówczas dopełnieniem zbioru A do zbioru U nazywamy zbiór wszystkich elementów zbioru U, które nie należą do A: AC = {x: xU xA} = U \ A Przykład 22.1 Niech A = {n: nN n ≤ 11} B = {n: nN n jest liczbą parzystą n ≤ 20} E = {n: nN n jest liczbą parzystą} Wówczas AB = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 16, 18, 20} AB = {0, 2, 4, 6, 8, 10} A \ B = {1, 3, 5, 7, 9, 11} B \ A = {12, 14, 16, 18, 20} EB = B, bo B E B \ E = , E \ B = {22, 24, 26, 28, ….} Przykład 22.2 Rozważmy dwa przedziały: (0, 1 i 0, 2 Ponieważ (0, 1 0, 2, więc (0, 1 0, 2 = 0, 2 oraz (0, 1 0, 2 = (0, 1 Ponadto (0, 1 \ 0, 2 = , 0, 2 \ (0, 1 = {0} (1, 2 Diagram Venna Diagram Venna to schemat służący ilustrowaniu zależności między zbiorami lub działań na zbiorach. Zbiory reprezentowane są zazwyczaj przez elipsy, koła lub prostokąty o różnych barwach lub teksturach. Diagramy Venna ułatwiają dostrzeżenie relacji między zbiorami. A B Zbiory rozłączne A B A B A B Suma zbiorów Przekrój zbiorów Różnica A \ B Iloczyn kartezjański zbiorów Iloczynem kartezjańskim dwóch zbiorów A i B nazywamy zbiór wszystkich uporządkowanych par (a, b), gdzie aA i bB. A B = {(a, b): aA bB}. Pary te są uporządkowane w tym sensie, że pierwszy element każdej pary jest elementem zbioru A, a drugi elementem zbioru B. Przykład 22.3 S = {1, 2, 3, 4}, T = {a, b, c} S T = {(1, a), (1,b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c), (3, a), (3, b), (3, c), (4,a), (4,b), (4,c)} T T = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c)} Można stosować oznaczenie T T = T2 W tym sensie możemy stwierdzić, że: a a 1 R R R2 , 21 a2 wektor wektor b1 b b2 R R R R 3 , 31 b3 ogólnie wektor p1 p R n n1 pn 22.2. Przestrzeń liniowa Definicja 22.1 : Niepusty zbiór V nazywamy przestrzenią wektorową (lub przestrzenią liniową), jeśli: dla wszystkich a i b V określona jest ich suma a + b V, dla każdej liczby rzeczywistej k i każdego a V określony jest iloczyn k a V, powyższe działania spełniają warunki: o przemienność dodawania: a + b = b + a, o łączność dodawania: a + (b + c)= (a + b) + c, o istnienie elementu neutralnego 0 takiego, że a + 0 = a, o istnienie -a elementu przeciwnego do a, takiego, że a + (-a) = 0, o (k+ l) a = ka + la oraz k(la) = (kl)a dla dowolnych liczb k, l, o k(a + b) = ka + kb dla dowolnej liczby k, Elementy przestrzeni V nazywamy wektorami. Niech V = Rn Zbiór Rn z wykonalnością dodawania wektorów i mnożenia ich przez liczby rzeczywiste jest n - wymiarową przestrzenią wektorową. Definicja 22.2 Kombinacją liniową wektorów a1, a2, …, ak Rn jest każdy wektor b Rn, taki, że b = l1a1 + l2a2 + … + lkak dla pewnych l1, l2, … lk R. Przykład 22.4 3 1 0 1. Wektor b jest kombinacją liniową wersorów i i j , ponieważ 5 1 0 3 1 0 b 3 5 3i 5 j 5 0 1 3 4 5 2. Wektor b jest także kombinacją liniową np. wektorów a1 oraz a2 , 5 3 1 3 4 5 ponieważ b 2 2a1 (1)a2 5 3 1 Twierdzenie 22.1 Wszystkie kombinacje liniowe wektorów a1, a2, …, ak Rn tworzą przestrzeń liniową V Rn. Jeżeli V Rn to V nazywamy podprzestrzenią liniową przestrzeni Rn.