1. ZBIORY. 1.1. PORÓWNYWANIE ZBIORÓW.

1
WYKŁAD 1
1. ZBIORY.
Pojęcie „ZBIORU” i „NALEŻENIA” do niego są pojęciami pierwotnymi(niedefiniowalnymi)
w matematyce, reszta matematyki jest zdefiniowana lub opisana za pomocą tych pojęć.
Można by, opierając się na intuicji podać, że ZBIÓR jest kolekcją obiektów posiadających pewną
określoną cechę. Podanie tej cechy musi być jasne, aby móc ocenić, czy dany obiekt należy do
zbioru. Tego typu intuicyjne rozumienie zbioru może czasem prowadzić do sprzeczności, stąd też nie
można tego traktować jako definicji.
ZBIORY będziemy zwykle oznaczać dużymi literami A, B, C, … X, Y, Z,
a OBIEKTY małymi a, b, c,….x, y, z.
OBIEKT, który należy do zbioru nazywamy ELEMENTEM ZBIORU i oznaczamy ∈ ,
zaś OBIEKT, który nie należy do zbioru, czyli nie jest jego elementem oznaczamy ∉ .
Poszczególne zbiory mogą być zapisywane na wiele sposobów. Niektóre szczególnie często
występujące zbiory mają własne nazwy i oznaczenia (symbole):
• ℕ = 0,1,2,3,4,5,6, . … … … … … … … … - zbiór LICZB NATURALNYCH,
• ℙ = 1,2,3,4,5,6,7. … … … … … … … … . - zbiór LICZB CAŁKOWITYCH DODATNICH,
• ℤ = … … … − 3, −2, −3,0,1,2,3 … … . . - zbiór LICZB CAŁKOWITYCH,
•
•
ℚ = ∶ ∈ ∧ ∈ ∧ ∉ 0 - zbiór LICZB WYMIERNYCH,
ℝ = : ∈ ℚ ∨ … … . . −√2, − √3, √2, , … … . . − ó LICZB RZECZYWISTYCH.
య
Zbiory mogą być skończone – o skończonej liczbie elementów, oraz nieskończone. Zbiór, który nie
zawiera żadnego elementu nazywamy zbiorem pustym i oznaczamy symbolem ∅.
Zbiory można określać (definiować) przez :
a) – wyliczanie jego elementów, np.
X = 2, 4, 6, 8,10 = 10, 8, 6, 4, 2 = 2, 8, 2, 6, 2, 4, 6, 10, 2
(przy czym zmiana kolejności elementów, bądź ich wielokrotne powtarzanie nie zmienia zbioru)
b) – podanie cech wyróżniających jego elementy, np.
Y =zbiórliczbcałkowitych, dodatnich, parzystych, niewiększychniż10,
c) – podanie definicji określania kolejnych wyrazów, np.
Z = x:x ∈ ℕ ∧ x = 2i ∧ i ∈ ℕ ∧ i ≤ 5,
1.1. PORÓWNYWANIE ZBIORÓW.
RÓWNOŚĆ ZBIORÓW
Dwa zbiory A i B są równe wtedy i tylko wtedy jeśli
dla każdego ∈ , xnależyrównieżdo i na odwrót.
= x ∈ A ⟹ x ∈ B oraz x ∈ B ⟹ x ∈ A,
- na przykład :
∗ A = 1,2,3,4,5, B = 5,4,3,2,1, C = x ∈ ℕ ∧ 0 < < 6, D = 1,1,1,2,2,3,4,4,5
A=B=C=D
∗ X = x ∈ ℕ ∧ x < 0,
Y = x ∈ ℝ ∧ x = x + 1,
Z = x ∶ x − jestpierwiastkiemrzeczywistymrównaniax + x + 1 = 0,
X = Y = Z.
2
Dla dowolnych zbiorów X, Y, Z jeśli X = Y i Y = Z to X = Z.
W dalszej części zajęć, wypisując elementy zbioru A = x , x , x , … … . . x będziemy milcząco zakładać,
że są one różne. Wtedy LICZBĘ ELEMENTÓW zbioru A nazywać będziemy MOCĄ ZBIORU i
lub| , , , … … … … | = .
oznaczać : ||lub
- na przykład :
|∅| = 0,
|1,2,3,4,5| = 5.
ZAWIERANIE SIĘ ZBIORÓW.
Powiemy, że zbiór X jest zawarty w zbiorze Y ( lub, że zbiór Y zawiera zbiór X ), jeśli każdy
element zbioru X należy również do zbioru Y :
⊆ wttw ∈ ⟹ ∈ i mówimy, że X – jest podzbiorem zbioru Y, lub Y – jest nadzbiorem zbioru X, oraz, że jeśli ⊆
tostądwynika, że ⊂ lub = Użyte powyżej symbole : ⊆ - to relacja zawierania ( inkluzja ), zaś ⊂ - to zawieranie się
właściwe, czyli jeśli ⊂ , to mówimy, że − jest właściwym podzbiorem .
- na przykład :
•
•
•
= to ⊆ ∧ ⊆ ,
⊂ to ⊆ ∧ ≠ ,
ℙ ⊆ ℕaleteżℙ ⊂ ℕ,
ℕ ⊆ ℤaleteżℙ ⊂ ℤ,
RELACJE MIĘDZY ZBIORAMI.
ℚ ⊆ ℝaleteżℚ ⊂ℝ.
Możliwe są cztery przypadki zachowania się zbiorów A i B :
1.
2.
3.
4.
zbiory A i B są rozłączne, czyli nie mają wspólnych elementów,
zbiór A zawiera się w zbiorze B, czyli ⊂ ,
zbiór B zawiera się w zbiorze A, czyli ⊂ ,
zbiory się przecinają, czyli istnieją takie elementy, które należą do obu zbiorów, ale też
istnieją takie, które należą do jednego z nich.
Wszystkie powyżej opisane przypadki przedstawia poniższy rysunek 1.
1)
2)
3)
Rysunek 1. Relacje między zbiorami.
4)
3
TWIERDZENIE:
Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzą następujące relacje :
∗
∅ ⊆ ∧ ∅ ⊆ ∧ ∅ ⊆ ",
⊆ ∧ ⊆ ∧ # ⊆ #,
∗ jeśli ⊆ i ⊆ #to ⊆ #.
∗
PRZEDZIAŁY.
Na
szczególną uwagę zasługują pewne podzbiory zbioru liczb rzeczywistych zwane przedziałami. I tak :
- PRZEDZIAŁ DOMKNIĘTY o końcach a, b to zbiór liczb rzeczywistych, nie większych od b i nie
$%, & = '%, ( = ∈ ℝ ∶ % ≤ ≤ mniejszych od a, czyli
o końcach a, b to zbiór liczb rzeczywistych, większych od a i
%, = ∈ ℝ ∶ % < < ),
PRZEDZIAŁ PRAWOSTRONNIE DOMKNIĘTY o końcach a, b to zbiór liczb rzeczywistych,
%, ] = %, ⟩ = ∈ ℝ ∶ % < ≤ ),*
większych od a i nie większych od b, czyli
- PRZEDZIAŁ LEWOSTRONNIE DOMKNIĘTY o końcach a, b to zbiór liczb rzeczywistych, nie
mniejszych od a i mniejszych od b, czyli
[%, * = ⟨%, * = ∈ ℝ ∶ % ≤ < ).
- PRZEDZIAŁ OTWARTY
mniejszych od b, czyli
1.2. DZIAŁANIA NA ZBIORACH.
Związki pomiędzy zbiorami wygodnie jest przedstawiać na rysunku, jako część płaszczyzny. Rysunki
takie noszą nazwę diagramów Venna.
SUMA ZBIORÓW ∪ (+, ∨ ) - jest to zbiór, którego elementami są wszystkie
elementy należące do zbioru lub do zbioru :
∪ = ∨ = ∶ ∈ ∨ ∈ .
Wszystkie możliwe przypadki sumy różnych zbiorów przedstawiają diagramy Venna na rysunku 2.
1)
2)
∪ =
Rysunek 2. Suma zbiorów A i B.
3)
∪ =
TWIERDZENIE :
Dla dowolnych zbiorów , , # zachodzą następujące równości :
∗ −∅ ∪ = ,
∅ ∪ B = B,
∅ ∪ # = #,
∗ − ∪ = ,
∗ − ∪ = ∪ - prawo przemienności,
∗ − ∪ ∪ # = ∪ ∪ # - prawo łączności.
- na przykład :
∗ = 0, 1, 2, 3, 5, 7 i = 0, 2, 4, 6, 7
∪ == -
to ∪ = 0, 1,2,3,4, 5, 6, 7
∗ = x ∶ x = 2k ∧ k ∈ ℕ = 0, 2, 4, 6, 8, … … … …, oraz
= x ∶ x = 2k + 1 ∧ k ∈ ℕ = 1, 3, 5, 7, 9, … … … … . , to ∪ = ℕ.
Jeśli :
∗ − ⊆ ∧ # ⊆ .to/ ∪ # ⊆ ∪ .0 oraz
∗ − ⊆ to ∪ = 4
ILOCZYN ( PRZECIĘCIE SIĘ ) ZBIORÓW ∩ (+, ∧ ) - jest to zbiór, którego
elementami są wszystkie elementy należące równocześnie do zbioru i do zbioru :
∩
Wszystkie
= ∶ ∈ ∧ ∈ możliwe przypadki iloczynu różnych zbiorów przedstawiają diagramy Venna na rysunku 3.
1)
2)
∩=∅
Rysunek 3. Iloczyn zbiorów A i B.
3)
∩=
∩ == TWIERDZENIE :
Iloczyn zbiorów podobnie jak suma jest operacją łączną i przemienną, a ponadto zachodzi
prawo rozdzielności sumy względem iloczynu. A zatem dla dowolnych zbiorów , i# można
zapisać :
∗ − ∩ ∩ # = ∩ ∩ # - prawo łączności,
∗ − ∩ = ∩ - prawo przemienności,
∗ − ∩ ∪ # = ∩ ∪ ∩ # - prawo rozdzielności.
Powyższe prawa są analogiczne jak przy działaniach na liczbach. Dla zbiorów możemy zapisać
dodatkowo prawa, które nie mają odpowiednika dla liczb :
∗ − ∩ = ,
∗ − ∩ ∪ = ,
∗ − ∪ ∩ # = ∪ ∩ ∪ #,
dodatkowo jeśli :
∗ − ⊆ #i ⊆ .to ∩ ⊆ # ∩ .,
∗ - A ⊆Bto A ∩ = .
- na przykład :
= : ∈ ℕ ∧ ≤ 1czyli = 0, 1, 2, 3, 4, 5
∩ = 2, 4.
oraz
= 2, 4, 6, 8, 10 to
RÓŻNICA ZBIORÓW ∖ - jest to zbiór, którego elementami są elementy zbioru , które
jednocześnie nie należą do zbioru :
∖ = ∶ ∈ ∧ ∉ .
Wszystkie możliwe przypadki różnicy zbiorów przedstawiają diagramy Venna na rysunku 4.
5
1)
2)
∖ == 3)
∖=
Rysunek 4. Diagramy Venna dla różnych przypadków różnicy zbiorów.
∖=
Bardzo często rozważane zbiory są podzbiorami jakiegoś większego zbioru. Zbiór taki nazywać
będziemy przestrzenią lub uniwersum.
UZUPEŁNIENIEM (DOPEŁNIENIEM) zbioru A do przestrzeni U nazywamy taki zbiór, którego
elementami są elementy, które należą do przestrzeni U, ale jednocześnie nie należą do zbioru A.
’ = 2 ∖ = : ∈ 2 ∧ ∉ Diagramy Venna dla dopełnień dwóch zbiorów, ich sumy i iloczynu przedstawia rysunek 5.
Rysunek 5. Diagramy Venna dla dopełnień dwóch zbiorów, oraz dopełnień ich sumy i iloczynu.
- na przykład :
∗ −jeśli = x = 2i ∧ i ∈ ℕi2 = ℕto
’ = ℕ ∖ = x = 2i + 1 ∧ i ∈ ℕ
∗ −jeśli = ℝ i2 = ℝto’ = ℝ ∖ = −∞, *0⟩*,
∗ −2 = 0, 1, 2, … … … … 19, 20
i
= x ∶ x − cakowitypodzielnikliczby60ix < 15
czyli
= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12
to
’ = 0,7, 8, 9, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 11.
6
Dane są dwa zbiory i. Dla każdego elementu % zbioru i każdego elementu zbioru ,
tworzymy uporządkowaną parę a , . Element % jest pierwszym elementem uporządkowanej pary
( poprzednikiem), zaś element jest drugim elementem uporządkowanej pary (następnikiem).
1.3. PRODUKT ( ILOCZYN ) KARTEZJAŃSKI ZBIORÓW.
ILOCZYNEM ( PRODUKTEM ) KARTEZJAŃSKIM zbiorów i nazywamy zbiór wszystkich
uporządkowanych par (% , ):
⤬ = /% , 0 ∶ % ∈ ∧ ∈ Jeśli zbiory są równe, czyli = ⤬ = ⤬ = .
Z definicji wynika, że jeśli jeden ze zbiorów lubBjest zbiorem pustym to iloczyn kartezjański
tych zbiorów jest też zbiorem pustym: ⤬ = ∅.
to
Z definicji wynika również, że jeśli ≠ to
⤬ ≠ ⤬ .
∗ - cała płaszczyzna ( Euklidesowa ) jest zbiorem uporządkowanych par , 4, gdzie ∈ ℝ i y ∈ ℝ.
Zatem płaszczyzna rzeczywista jest iloczynem kartezjańskim ℝ ⤬ ℝ = ℝ .
- na przykład :
∗ - jeśli = 1, 2 i = a, b, c to
⤬ = 1, a, 1, b, 1, c, 2, a, 2, b, 2, c
⤬ = a, 1, a, 2, b, 1, b, 2, c, 1, c, 2.
TWIERDZENIE ∶
Dla dowolnych zbiorów , i# zachodzą następujące związki :
∗ - ⤬ ∪ # = ⤬ ∪ ⤬ #,
∗ - ⤬ ∩ # = ⤬ ∩ ⤬ #,
∗ - ⤬ ∖ # = ⤬ ∖ ⤬ #.
ZADANIA :
1.) Określ zbiory A , B oraz uniwersum U, a następnie sumę, iloczyn, różnicę zbiorów A i B, a
następnie ich dopełnienia i iloczyn dopełnień, jeśli :
5 = x: x ∈ N ∧ x = 2n + 1 ∧ n ∈ N ∧ n ≤ 5,
B = y ∶ y ∈ Z ∧ y − jestpodzielneprzez3 ∧ |y| ≤ 10,
U = n ∶ n ∈ N ∧ |n| < 12.
Rozwiązanie :
5 = x: x ∈ N ∧ x = 2n + 1 ∧ n ∈ N ∧ n ≤ 5 = 1, 3, 5, 7, 9, 11,
B = y ∶ y ∈ Z ∧ y − jestpodzielneprzez3 ∧ |y| ≤ 10 = −9, −6, −3, 0, 3, 6, 9,
U = n ∶ n ∈ N ∧ |n| < 12 =
= −11, −10, −9, −8, −7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.
5 ∪ 6 = −9, −6, −3, 0, 1, 3, 5, 6, 7, 9, 11,
5 ∩ 6 = 3, 9,
5 ∖ 6 = 1, 5, 7, 11,
6 ∖ 5 = −9, −6, −3, 0, 6,
A′ = −11, −10, −9, −8, −7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 2, 4, 6, 8, 10,
6′ = −11, −10, −8, −7, −5, −4, −2, −1, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11,
5′ ∩ 6′ = −11, −10, −8, −7, −5, −4, −2, −1, 2, 4, 8, 10.
2.) Zapisz
•
•
•
za pomocą nierówności następujące przedziały :
< −5, 6) ⟺ x ≥ −5 ∧ x < 6,
−∞, −2 ∨< 3, ∞) ⟺ < −2 ∨ ≥ 3,
(−2, 2 >∨ (5, 8 >⟺ > −2 ∧ ≤ 2 ∨ ( > 5 ∧ ≤ 8).
7
3.) Określ zbiory będące sumą, iloczynem, różnicą zbiorów A i B, a następnie ich dopełnienia i
iloczyn dopełnień, jeśli :
A = x:x ∈ R ∧ −x − x + 12 ≥ 0,
6 = 7 ∶ 7 ∈ 8 ∧ |7 − 3| < 2,
9 = : ∶ : ∈ 8 ∧ |:| < 10.
Rozwiązanie :
−x − x + 12 ≥ 0
5 = x:x ∈ R ∧ −x − x + 12 ≥ 0 = ;Δ = 1 − 4 ∙ −1 ∙ 12 = 49√Δ = 7< =< −4, 3 >,
6 = 7 ∶ 7 ∈ 8 ∧ |7 − 3| < 2 = 1, 5,
9 = : ∶ : ∈ 8 ∧ |:| < 10 = (−10, 10),
x =
= 3x =
= −4
5 ∪ 6 = (−4, 5),
5 ∩ 6 = (1, 3 >,
5 ∖ 6 =< −4, 1 >,
6 ∖ 5 = (3, 5),
A = −10, −4 ∨ (3, 10),
6 = (−10, 1 >∨< 5, 10),
5 ∩ 6 = −10, −4 ∨< 5, 10).
1.4. PODSTWOWE WŁASNOŚCI ZBIORU LICZB NATURALNYCH.
Zbiór liczb naturalnych to zbiór N = 0, 1, 2, 3.4, 5, … … … … … . … … … . . , w którym można wydzielić
podzbiór liczb pierwszych i podzbiór liczb złożonych.
LICZBY PIERWSZE to takie liczby naturalne, które siebie i jedynki nie mają żadnych
podzielników - 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, … … … … … … … … … . . .
LICZBY ZŁOŻONE to takie liczby naturalne, które można przedstawić w postaci iloczynu liczb
pierwszych, np. 4 = 2 ∙ 2 = 2 , 6 = 2 ⋅ 3, 360 = 2 ⋅ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 = 2 ∙ 3 ∙ 5, itd.
Aby przedstawić liczbę złożoną w postaci iloczynu liczb pierwszych, należy określić te liczby.
Operację tą nazywa się rozkładem na czynniki, który może wyglądać następująco :
- rozkład liczby 1224 :
*1224|2
*612|2
*306|2
*153|3
*51|3
*17|17
*1|
- zatem można zapisać 1224 = 2 ∙ 3 ∙ 17.
8
- rozkład liczby 216 :
*216|2
*108|2
*
54|2
*27|3
*9|3
*3|3
*1|
- zatem można zapisać
216 = 2 ∙ 3 .
Z pojęciem liczb złożonych związane są dwa inne pojęcia. Są to najmniejsza wspólna wielokrotność
oraz największy wspólny podzielnik.
NAJWIĘKSZY WSPÓLNY PODZIELNIK ”NWP” dwóch liczb to liczba powstała z pomnożenia
wspólnych czynników występujących w rozkładach tych liczb.
Na przykład =>?1224, 216 = 2 ∙ 3 = 72. Największy wspólny podzielnik wykorzystuje się na
przykład przy skracaniu ułamków.
NAJMNIEJSZA WSPÓLNA WIELOKROTNOŚĆ ”NWW” dwóch liczb to liczba powstała z
pomnożenia jednej z nich przez czynniki występujące w rozkładzie drugiej, które nie występują w
rozkładzie pierwszej. Na przykład NWW1224, 216 = 1224 ∙ 3 = 3672lub216 ∙ 17 = 3672.
Najmniejszą wspólną wielokrotność wykorzystuje się na przykład do rozszerzania ułamków przy
wykonywaniu działań na ułamkach.
1.5. PODSTWOWE DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH.
POTĘGĄ liczby rzeczywistej, różnej od zera, nazywamy liczbę :
= @ = ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ … … … … .∙ *
− A7BCDóE
dla n ≠ 0in ≠ 1.
POTĘGĘ o wykładniku 0 (zero) określamy następująco :
: = 1gdziea ≠ 0.
% = POTĘGĘ o wykładniku ujemnym określamy :
@
= ࢔
*
gdzie : ≠ 0.
PIERWIASTKIEM ARYTMETYCZNYM n – tego stopnia, ∈ F ∖ 0, 1, z nieujemnej liczby :
nazywamy taką nieujemną liczbę b, że ) = :, zatem
࢔
GśHC: ≥ 0IJ √ = K ⟺ K = ∧ ) ≥ 0.
POTĘGĘ o wykładniku
, gdzie ∈ F ∖ 0, 1 określamy następująco :
࢔ = √LH:: ≥ 0.
૚
POTĘGĘ o wykładniku wymiernym
@
= ( √) =
࢓
࢔
࢓
࢔
, określamy następująco :
࢔
√ jeśli:
≥ 0 ∧ ∈ F ∖ 0, 1 ∧ m ∈ N
.*
0,
=
jeśli:
>
0
∧
∈
F
∖
1
∧
m
∈
N
࢓
࢔
( )࢓
࢔
=
࢔
࢔
√
9
TWIERDZENIE : PODSTAWOWE WZORY DZIAŁAŃ NA POTĘGACH I PIERWIASTKACH :
Jeśli m i n są dowolnymi liczbami całkowitymi, oraz a i b są dowolnymi liczbami rzeczywistymi różnymi
od zera, to ;
1.) ∙ = - iloczyn potęg o jednakowych podstawach jest równy potędze o tej samej
podstawie i wykładniku równym sumie wykładników potęg będących czynnikami tego iloczynu.
2.) ∶ = ࢓ = - iloraz potęg o jednakowych podstawach jest równy potędze o tej samej
࢔
3.) = ∙ - potęga potęgi o podstawie jest równa potędze o tej samej podstawie i
wykładniku będącym iloczynem wykładników.
4.) ⋅ K = ⋅ K - iloczyn potęg o jednakowych wykładnikach jest równy potędze o tym
samym wykładniku i podstawie, która jest iloczynem podstaw potęg będących czynnikami
tego iloczynu.
podstawie i wykładniku równym różnicy wykładników potęg dzielnej i dzielnika.
= M N
- iloraz potęg o jednakowych wykładnikach jest równy potędze o tym samym
wykładniku i podstawie, która jest ilorazem podstaw potęg będących czynnikami tego
iloczynu.
- dodatkowo, jeśli założymy, że ≥ O ∧ K > 0 to:
೙
೙
೙
6.) √: ∙ ) = √: ∙ √) - pierwiastek z iloczynu liczb jest równy iloczynowi pierwiastków z tych
liczb.
5.)
࢔
࢔
7.) P = ࢔ - pierwiastek z ilorazu liczb jest równy ilorazowi pierwiastków z tych liczb.
√
࢔
√
࢔
࢓
࢔∙࢓
8.) Q √ = √ - pierwiastek stopnia R z pierwiastka stopnia S jest równy pierwiastkowi
stopnia R ∙ S.
࢔
࢔
9.) / √0 = √ - potęga pierwiastka jest równa pierwiastkowi potęgi.
࢔
- w szczególności / √0 = .
࢔
ZADANIA :
1. Oblicz :
•
•
•
•
•
•
•
= ఱ
= ,
૛ = √4 = 8 ,
= 1,
−. = 0.25,
૜
−√ = −2
∙ √3 = −8 ∙ 3√3 = −24√3,
∙ = ∙ = 1,
. ∙ = ∙ = =
•
. ∶
•
.
=
∶
య .షభ
.షమ
మ
•
.
మ
ఱ
,
= ∙ = 2 = 16,
∙ 0.2 య
− . ૚
૜
య
ర
=
ర
∙ 125
య
ర
∶
= 5 ర = 125.
య
0.5 య
భ
−
= ∶ − 0.5
= 4,
10
2.
Doprowadź do najprostszej postaci następujące wyrażenia :
√ + √ + √ = √2 + √2 + √2 = 2√2 + 4√2 + 8√2 = 14√2 ,
•
√√
√√
√√
√√
•
=
√
√
•
−
√√
√√
√√
= √√
=3,
√√
√√
−
√√
√√
=
√√
=
√√√√
√√
=
√√
√√
=
.
WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA
Jest to grupa wzorów mających wiele zastosowań w matematyce. Pozwalają na przykład szybciej
wykonywać działania na pewnych wyrażeniach algebraicznych. Inne zastosowanie tych wzorów to
ich wykorzystanie do rozkładania wyrażeń algebraicznych na czynniki czy też usuwania
niewymierności z mianownika.
1.)
2.)
3.)
4.)
5.)
6.)
7.)
+ K = : + 2:) + ) ,
− K = : − 2:) + ) ,
− K = : − ): + ),
+ K = : + 3: ) + 3:) + ) ,
− K = : − 3: ) + 3:) − ) ,
− K = : − ): + :) + ) ,
+ K = : + ): − :) + ) ZADANIA :
1.) Oblicz wartość wyrażenia :
• = ∙ = 30 − 2
∙ 30 + 2
= 30
− 2
= 900 − 4 = 896 ,
• K = T1 = 30 + 5 = 900 + 2 ∙ 30 ∙ 5 + 25 = 1225,
• U = T + 1K = 9: + 30:) + 25) ,
• V = /√1 − √W0 ∙ /√1 + √W0 = 5 − 2 = 3 ,
• X = WY − TZ = 8 − 36 B + 54B − 27B ,
• [ = W\ − Y = 3 − 9 + 3 + ,
2.) Usuń niewymierność z mianownika :
•
•
√
=
=
√√
•
య
•
య
√
√
√
∙
= = 2√5
√ √
√√
√√
=
√√
√
య
√# √
య
∙
= య
∙
√√
మ
=
√! √
య
మ
య
√! √
య
√# √
య
య
√
య
∙య
√
= 3√7 + 3√3,
√" √
య
=
− 2,
య
√
య
=
= √4 + √2 + 1 ,
య
య
√
య
=
PROCENTY
1 procent ( 1% ) danej wielkości, to setna część tej wielkości.
p procent liczby a to
∙ .
- na przykład :
•
•
20% liczby 5000 to = ∙ 5000 = 0.2 ∙ 5000 = 1000,
20% liczby x stanowi 1200. Oblicz liczbę x :
20% = 1200
0.2x = 1200
⇒ =
.
= 6000.
11
ODSETKI BANKOWE
K - kapitał początkowy,
p - oprocentowanie w skali roku,
r - liczba okresów kapitalizacji w ciągu roku,
l - liczba lat oszczędzania,
n - łączna liczba okresów kapitalizacji,
Końcowa kwota po l –latach, czyli po n – okresach kapitalizacji, z uwzględnieniem podatku dochodowego
przedstawia się następująco:
= ∙ + ∙ ∙ . .
ZADANIA :
1
Cenę pewnego towaru p0większono o 20%, a po pewnym czasie powiększono jeszcze o 20%.
O ile procent zwiększyła się cena towaru po obu podwyżkach ?
x - cena pierwotna
- cena po pierwszej podwyżce
- cena po drugiej podwyżce
= + 0.2 = 1.2
=
+ 0.2
= 1.2
= 1.2 ∙ 1.2 = 1.44 = 144%,
− a zatem cena końcowa jest o 44% większa od ceny początkowej.
2
Cena pewnego towaru wraz z 22% podatkiem VAT wynosi 732 zł. Podatek VAT obniżono do 7%.
Jaka będzie nowa cena towaru ?
- cena początkowa
= 732ł
- wartość towaru, czyli cena bez podatku VAT
= + !"# = + 0,22 = 1,22
⇒
x,
=
భ
.
=
.
= 600ł,
- nowa cena z 7% podatkiem VAT
3
= + 0.07 = 1.07 = 1.07 ∙ 600 = 642ł.
Pan Tokarczyk postanowił wpłacić do banku swoje oszczędności w wysokości 50000 zł. D którego
banku powinien wpłacić pieniądze aby po 5 latach mieć większe odsetki, jeśli :
- bank A oferuje oprocentowanie w wysokości 8.5% i kapitalizuje odsetki co kwartał,
- bank B oferuje oprocentowanie w wysokości 9% i kapitalizuje odsetki 1 raz w roku.
BANK A
$ = 8.5% − %$&% '()%*(+'&% (',
, = 5,) − ,+ -,)%. ę/(+,
& = 4 − ,+ -%0&'.ó*0$+),+ 1+* +ą23&%03,
( = , ∙ & = 20 − łą (,+ -%0&'.ó*0$+),+ 1+,
4 = 50000 ∙ 1 + ∙ ∙ 0.8
.
= 50000 ∙ 1.017 = 70046.92ł,
12
BANK B
$ = 9% − %$&% '()%*(+'&% (',
, = 5,) − ,+ -,)%. ę/(+,
& = 1 − ,+ -%0&'.ó*0$+),+ 1+* +ą23&%03,
( = , ∙ & = 5 − łą (,+ -%0&'.ó*0$+),+ 1+,
4 = 50000 ∙ 1 +
!
∙ 0.8
∙
= 50000 ∙ 1.072 = 70785.44ł,
5(#%0& 60$%*+(+'(ł%ż6ć.*%1'%. ę/(%ś +*-(037, 2/6ż1'2%%8'&)1'.)
0%&6.)(+'1..
4
Pan Kamiński został zatrudniony na umowę o dzieło, w celu wykonania pewnej pracy twórczej.
Pracodawca zaproponował panu Kamińskiemu za wykonanie pracy zapłatę w wysokości 25000 zł.
Koszty uzyskania przychodu przy tego typu pracy wynoszą 50% przychodu. Pozostałe 50% przychodu
stanowi dochód wykonawcy, od którego należ odprowadzić podatek 18%. Jaką kwotę otrzyma pan
Kamiński ?
- przychód pana Kamińskiego
25000zł,
- koszty uzyskania przychodu
0.5 ∙ 25000 = 12500ł,
- dochód pana Kamińskiego
25000 − 12500 = 12500ł ,
- podatek dochodowy
0.18 ∙ 12500 = 2250ł,
- kwota do wypłaty
25000 − 2250 = 22750ł,
5(49+ń.0+%)&69*6$ł)ę**6.%0%ś +22750ł.
WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA
Wartością bezwzględną || liczby rzeczywistej nazywamy liczbę , jeśli jest ona nieujemna, albo liczbę
−$&' +*(ą/%
, jeśli jest ujemna :
|| = ;
1'ś,+ ≥ 0
1'ś,+ < 0
<
−
|3| = 3
|−3| = −−3
- na przykład :
•
•
bo
bo
3 ≥ 0,
−3 < 0,
WŁASNOŚCI WARTOŚCI BEZWZGLĘDNEJ
1.
|=| = |−=|,
2. |= ∙ >| = |=| ∙ |>|,
3. ?#? = |#| ,
"
|"|
4. |= + >| ≤ |=| + |>|,
5. √= = |=|.
13
INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA WARTOŚCI BEZWZGLĘDNEJ
Dane są dwa punkty na osi liczbowej. Jeden o współrzędnej 0 , a drugi o współrzędnej a. Wtedy || jest
odległością tych punktów, czyli || = . Jednak istnieje inny punkt na osi liczbowej o współrzędnej −,
którego odległość od punktu 0 jest również , czyli |−| = . Powyższa interpretacja posłuży do
rozwiązywania prostych równań i nierówności z wartością bezwzględną.
•
− = || = ⇒ ; = ∨ = −<,
1. || = 5 ⇒ = 5 ∨ = −5,
2. || = 0 ⇒ = 0,
3. || = −3 ⇒ ∈ ∅,
- na przykład :
•
− − = − = | − :| = ) ⇒ ]
∨ − = − + - ,*
1 = + 2 = − -
- na przykład :
− − 3 = 5
−3=5
∨ − + 3 = 5 ,*
= 8
= −2
2. | − 5| = 0 ⇒ = 5,
3. | − 2| = −3 ⇒ ∈ ∅,
4− =2
−4 − = 2
4. |4 − | = 2 ⇒ ] − = −2 ∨ −4 + = 2 .*
= 2
= 6
1. | − 3| = 5 ⇒ ]
•
< ∧ − < || < ⇒ < ∧ > < − ,
6,+ ∈ −, 1. || < 5 ⇒ < 5 ∧ > −5A7BHC ∈ −5, 5,
2. || < 0 ⇒ ∈ ∅,
3. || < −3 ⇒ ∈ ∅,
- na przykład :
•
≤ ∧ − ≤ || ≤ ⇒ ≤ ∧ ≥ < − ,
6,+ ∈ ⟨−, ⟩
1. || ≤ 7 ⇒ ≤ 7 ∧ ≥ −7A7BHC ∈ ⟨−7,7⟩,
2. || ≤ 0 ⇒ = 0,
3. || ≤ −3 ⇒ ∈ ∅,
- na przykład :
•
> ∨ − > || > ⇒ > ∧ < < − ,
6,+ ∈ −∞, −
∨ , ∞
1. || > 1 ⇒ > 1 ∨ < −1A7BHC ∈ −∞, −1 ∨ 1, ∞,
14
- na przykład :
>0
2. || > 0 ⇒ ] ∈ 0, ∞* ∨ 3. || > −3 ⇒ ∈ 8,
•
− > 0
< 0 A7BHC ∈ −∞, 0 ∨ 0, ∞,
∈ −∞, 0
≥ ∨ − ≥ || ≥ ⇒ ≥ ∨ ≤ < − ,
6,+ ∈ −∞, <−⟩ ∨ ⟨, <∞
<
1. || ≥ 11 ⇒ ≥ 11 ∨ ≤ −11A7BHC ∈ −∞, *−11⟩ ∨ ⟨11, *∞,*
- na przykład :
2. || ≥ 0 ⇒ ∈ 8,
3. || ≥ −3 ⇒ ∈ 8,
•
−<-
| − :| < ) ⇒ ] < + -* ∧
∧ − − < -
6,+ ∈ − -, + -
− < − + >−-
− − 3 < 5
−
3
<
5
1. | − 3| < 5 ⇒ ]
∧ − + 3 < 5 A7BHC ∈ −2, 8*,
< 8
> −2
2. | − 5| < 0 ⇒ ∈ ∅,
3. | − 2| < −3 ⇒ ∈ ∅,
4− <2
−4 − < 2
|4
4.
− | = 2 ⇒ ] − < −2 ∨ −4 + < 2 A7BHC ∈ 2,6.*
>2
<6
- na przykład :
•
−≤∧ − − ≤ -
*
| − :| ≤ ) ⇒ ] ≤ + - 6,+ ∈ ⟨ − -, + -⟩,
− ≤ − + ≥−-
15
- na przykład :
− + 3 ≤ 5
+3≤5
∧ − − 3 ≤ 5 A7BHC ∈ ⟨−8,2⟩,*
≤ 2
≥ −8
2. | − 5| ≤ 0 ⇒ = 5,
3. | − 2| < −3 ⇒ ∈ ∅,
1. | + 3| ≤ 5 ⇒ ]
•
−>-
| − :| > ) ⇒ ] > + -* ∨
∨ − − > -
6,+ ∈ −∞, − - ∨ + -, ∞.
− > − + <−-
- na przykład :
− − 5 > 2
−
5
>
2
1. | − 5| > 2 ⇒ ]
∨ − + 5 > 2 A7BHC ∈ −∞, 3 ∨ 7, ∞,*
> 7
<3
2. | − 5| > 0 ⇒ ∈ 8 ∖ 5,
3. | − 2| > −3 ⇒ ∈ 8,
•
−≥-
.| − :| ≥ ) ⇒ ] ≥ + -* ∨
∨ − − ≥ -
6,+ ∈ −∞, * − -⟩ ∨*⟨ + -, *∞.*
− ≥ − + ≤−-
- na przykład :
− − 1 ≥ 2
−1≥2
∨ − + 1 ≥ 2 A7BHC ∈ −∞, *−1⟩* ∨ ⟨3, *∞,*
≥ 3
≤ −1
2. | + 9| ≥ 0 ⇒ ∈ 8,
3. | − 2| ≥ −3 ⇒ ∈ 8,
1.
| − 1| ≥ 2 ⇒ ]
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI Z WARTOŚCIĄ BEZWZGLĘDNĄ.
1. Rozwiąż równanie :
|= + | + |=| = - określamy miejsca zerowe wartości bezwzględnych, czyli
+ 2 = 0 ⇒ = −2, oraz = 0.
- dokonujemy podziału zbioru liczb rzeczywistych na przedziały, których granicami są powyższe
miejsca zerowe:
”1” - ∈ −∞, −2
,
”2” - ∈ ⟨−2, <0
<,
”3” - ∈ ⟨0, <∞
.<
16
- rozwiązujemy równanie w wyżej określonych przedziałach, wykorzystując własności wartości
bezwzględnej:
”1” ∈ −∞, −2
⇒ | + 2| = − + 2
∧ || = −,
− + 2
− = 8
stąd :
− − 2 − = 8
−2 = 10/∶ −2
= −5
otrzymany wynik jest rozwiązaniem równania, bo należy do analizowanego przedziału.
”2” ∈ ⟨−2, *0 ⇒ | + 2| = + 2* ∧ || = −,
+2− =8
2 ≠ 8
otrzymaliśmy sprzeczność, stąd ∈ ∅.
stąd :
”3” ∈ ⟨0, ∞)* ⇒ | + 2| = + 2 ∧ || = ,
stąd :
+2+ =8
2 = 6
Y = T
otrzymany wynik jest rozwiązaniem równania, bo należy do analizowanego przedziału.
2. Rozwiąż nierówność :
√Y$%$ + |Y − T| ≤ _
QY + W + |Y − T| ≤ _
| + 2| + |Y − T| ≤ _
- określamy miejsca zerowe wartości bezwzględnych, czyli
- + 2 = 0 ⇒ = −2,
oraz
− 3 = 0 ⇒ = 3
- dokonujemy podziału zbioru liczb rzeczywistych na przedziały, których granicami są powyższe
miejsca zerowe:
”1” - ∈ −∞, −2
,
”2” - ∈ ⟨−2, <3
<,
”3” - ∈ ⟨3, <∞
.<
- rozwiązujemy równanie w wyżej określonych przedziałach, wykorzystując własności wartości
bezwzględnej:
1” ∈ −∞, −2
⇒ | + 2| = − + 2
∧ || = −,
− + 2
− − 3
≤ 6
− − 2 − + 3 ≤ 6
−2 ≤ 6/∶ −2
Y ≥ − A7BHC ∈ M− , ∞N
stąd :
- porównując otrzymany wynik z założonym przedziałem, czyli określając część wspólną obu
przedziałów otrzymujemy wynik
= ∈ − , −
--------------------
”2” ∈ ⟨−2, *3 ⇒ | + 2| = + 2* ∧ | − 3| = − − 3,
+ 2 − − 3 ≤ 6
+2−+3≤6
5 ≤ 6
- prawda
A7BHC ∈ ⟨−2,**3
-----------------
⇒ | + 2| = + 2 ∧ | − 3| = − 3,
”3” ∈ ⟨3, <∞
<
+2+−3 ≤6
2 ≤ 7 ∕∶ 2
≤ A7BHC ∈ M−∞, * ⟩*
17
stąd :
stąd :
- porównując otrzymany wynik z założonym przedziałem, czyli określając część wspólną obu
przedziałów otrzymujemy wynik
= ∈ ⟨, ⟩
------------ dokonując złożenia wyników uzyskanych dla analizowanych zbiorów otrzymujemy sumaryczne
rozwiązanie :
= ∈ ⟨− , ⟩.
--------------------