kres dolny zbioru - if univ rzeszow pl

Analiza matematyczna
I. Informacje podstawowe
WYKŁAD 1
Wartości logiczne i rachunek zbiorów
Krzysztof Kucab
Rzeszów, 2012
Plan wykładu
•
•
•
oznaczenia i wartości logiczne,
zbiory,
rachunek zbiorów.
Oznaczenia i wartości logiczne
Oznaczenia logiczne
Niech litery p i q oznaczają dwa zdania orzekające.
Korzystając z funktorów możemy utworzyć
wyrażenia rachunku zdań:
Suma logiczna (alternatywa): p  q (p lub q)
Iloczyn logiczny (koniunkcja): p  q (p i q)
p  q (jeśli p, to q)
Implikacja (z p wynika q):
Równoważność ( p  q i q  p ): p  q (p w.t.w. gdy q)
p (nie p)
Negacja (nieprawda, że p):
Oznaczenia i wartości logiczne
Tabela wartości logicznych zdań złożonych
p
0
0
q
0
1
p
1
1
pq
0
1
1
1
0
1
0
0
1
1
pq pq pq
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
Oznaczenia i wartości logiczne
Prawa rachunku zdań (tautologie)
Prawa de Morgana:
•prawo zaprzeczenia koniunkcji:
 p  q   p   q 
•prawo zaprzeczenia alternatywy:
 p  q   p   q 
Prawo kontrapozycji:
 p  q   q   p 
Oznaczenia i wartości logiczne
Kwantyfikatory
Mówimy, że przedmiot a spełnia funkcję zdaniową
F(x), gdy zdanie powstające z F(x) przez zastąpienie
argumentu x (argumentu logicznego) nazwą
przedmiotu a, tzn. F(a), jest zdaniem prawdziwym.
Oznaczenia i wartości logiczne
Kwantyfikatory
Kwantyfikator ogólny:
Jeżeli dla każdego argumentu x zdanie F(x) jest
prawdziwe to fakt ten zapisujemy:
x : F  x 
i czytamy: dla każdego x zachodzi F(x).
F x
Często używamy także symbolu:
x
Oznaczenia i wartości logiczne
Kwantyfikatory
Kwantyfikator szczegółowy:
Jeżeli dla jakiegoś argumentu x zdanie F(x) jest
prawdziwe to fakt ten zapisujemy:
x : F  x 
i czytamy: istnieje takie x, że F(x) jest prawdziwe.
F x
Często używamy także symbolu:
x
Oznaczenia i wartości logiczne
Twierdzenia dotyczące operowania
kwantyfikatorami
x : F  x   x : G x   x : F  x   G x 
x : F  x   G  x   x : F  x   x : G  x 
x : F  x   x : F  x 
x : F  x   x : F  x 
Zbiory
• Zbiory oznaczamy dużymi literami alfabetu
łacińskiego,
• Elementy zbiorów oznaczamy małymi literami
alfabetu łacińskiego,
• a  A oznacza, że a jest elementem zbioru A ,
• a  A oznacza, że a nie jest elementem zbioru A,
• Zbiór pusty oznaczamy symbolem 0 ,
• Zapis x; F  x  oznacza zbiór tych (wszystkich)
elementów x, dla których F(x) jest zdaniem
prawdziwym.
Rachunek zbiorów
Rachunek zbiorów
Suma zbiorów:
A  B  x;  x  A   x  B 
Iloczyn (przekrój) zbiorów:
A  B  x;  x  A   x  B 
Różnica zbiorów A i B:
A \ B  x;  x  A   x  B 
Rachunek zbiorów
Rachunek zbiorów
Zbiory A i B są rozłączne gdy:
A  B  0
Zbiór A jest podzbiorem zbioru B:


A  B : x; x :   x  A   x  B  
Zbiór A jest równy zbiorowi B (A=B) gdy:
 A  B   B  A
Dopełnienie zbioru B w A to różnica A\B
w przypadku gdy B  A
Rachunek zbiorów
Własności operacji na zbiorach:
A A  A
A A  A
 A  B   C  A  B  C 
 A  B   C  A  B  C 
A B  B  A
A B  B  A
A  B  C    A  B    A  C 
A  B  C    A  B    A  C 
Zbiory
Zbiory ograniczone
Zbiór XR, jest ograniczony z dołu, jeżeli:
m  R x  X : x  m
Liczbę m nazywamy ograniczeniem z dołu zbioru X.
Zbiór XR, jest ograniczony z góry, jeżeli:
M  R x  X : x  M
Liczbę M nazywamy ograniczeniem z góry zbioru X.
Zbiory
Zbiory ograniczone
Zbiór XR, jest ograniczony, w.t.w., gdy jest
ograniczony z dołu i z góry, tzn.:
M , m  R x  X : m  x  M
Zbiór, który nie jest ograniczony nazywamy
nieograniczonym.
Uwaga – można tak dobrać stałe, aby: 0<M=-m,
wtedy:
x  X : x  M
Zbiory
Kresy zbioru
Mówimy, że liczba a jest najmniejszym elementem
zbioru XR, co zapisujemy:
a  min X
wtedy i tylko wtedy, gdy:
a  X oraz x  X : x  a
Mówimy, że liczba b jest największym elementem
zbioru XR, co zapisujemy:
b  max X
wtedy i tylko wtedy, gdy:
b  X oraz x  X : x  b
Zbiory
Kresy zbioru – kres dolny zbioru
Niech zbiór XR będzie ograniczony z dołu. Liczba
d jest kresem dolnym tego zbioru, co zapisujemy:
d  inf X
wtedy i tylko wtedy, gdy:
x  X : x  d oraz   0 x0  X : x0  d  
Jeżeli zbiór X nie jest ograniczony z dołu, to:
def
inf X   
Zbiory
Kresy zbioru – kres górny zbioru
Niech zbiór XR będzie ograniczony z góry. Liczba
g jest kresem górnym tego zbioru, co zapisujemy:
g  sup X
wtedy i tylko wtedy, gdy:
x  X : x  g oraz   0 x0  X : x0  g  
Jeżeli zbiór X nie jest ograniczony z góry, to:
def
sup X  
Zbiory
Kresy zbioru
Aksjomat ciągłości:
każdy niepusty podzbiór zbioru R ograniczony z dołu
ma kres dolny
każdy niepusty podzbiór zbioru R ograniczony z góry
ma kres górny
Zbiory
Zbiór liczb rzeczywistych
N - zbiór liczb naturalnych (Natural)
Z - zbiór liczb całkowitych (Zahl)
Q - zbiór liczb wymiernych (Quotient)
R - zbiór liczb rzeczywistych (Real)
Zbiory
Zbiór liczb całkowitych i wymiernych
Zasada Archimedesa:
Jeżeli x, y  R i x  0 to istnieje n  Z takie, że:
n 1x  y  nx
W przypadku x=1 otrzymamy:
y  R n  Z : n  1  y  n
Liczbę n-1 nazywamy częścią całkowitą y
i oznaczamy symbolem [y].
Zbiory
Odcinek
Załóżmy, że a, b  R i a  b.
Odcinkiem domkniętym [a,b] nazywamy zbiór:
a, b  x  R; a  x  b
Odcinkiem otwartym (a,b) nazywamy zbiór:
a, b  x  R; a  x  b
Zbiory
Odcinek
Każdy odcinek otwarty zawiera liczbę wymierną
Dowód na podstawie twierdzenia Archimedesa
Zbiory
Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych
Niech R  R   ,
Rozszerzona relacja porządku w zbiorze R:
x  R : x  
x  R :   x
   
Zbiory
Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych
Na zbiór R przenoszą się pojęcia odcinka
domkniętego i otwartego.
Odcinki domknięte w postaci  , a , a, 
gdzie a  R wyznaczają półproste domknięte w R.
Zapisujemy to odpowiednio: , a , a, .
Odcinki otwarte w postaci  , a , a, 
gdzie a  R wyznaczają półproste w R.
Zbiory
Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych
Ważne zależności w zbiorze R :
a  R : a       ; a  R : a    
         ;         
a
      ; a  R :
0

a  R, a  0 : a      a     
a  R, a  0 : a      a     
            
            
Zbiory
Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych
Działania niewykonalne w zbiorze R :
"    "
"0  "

"
"
