moce zbiorów. zbiory nieskończone

MOCE ZBIORÓW. ZBIORY NIESKOŃCZONE
MOCE ZBIORÓW. ZBIORY NIESKOŃCZONE
Badania nad mocami zbiorów są jednym z podstawowych działów teorii mnogości. Terminem
pierwotnym jaki zostaje tu użyty jest termin równoliczność zbiorów, który to termin po raz
pierwszy został sprecyzowany przez G. Cantora twórcę matematycznej koncepcji zbiorów.
Def.
1.
Zbiory
X
i
Y
nazywamy
równolicznymi,
jeśli
istnieje
funkcja
różnowartościowa
f: X Y przekształcająca zbiór X na Y. Funkcja f ustala równoliczność zbiorów X i Y.
Jeżeli zbiory X i Y są równoliczne, to piszemy X~Y.
Ex. 47. Jeżeli X={1, 2, 3, 4} a zbiór Y={2, 4, 6, 8}, to zbiory te są równoliczne,
gdyż istnieje funkcja różnowartościowa f określona następująco f(x)=2x, która
przekształca zbiór X na Y.
Własności równoliczności
X~X
X~ Y Y~ X
X~ Y  Y~ Z X~ Z
Zachodzi 1. gdyż istnieje Ix(x)=x, która przekształca X na X
Zachodzi 2. gdyż jeśli istnieje f przekształcająca X na Y , to istnieje f -1: Y X,
przekształcająca Y na X
Zachodzi 3., gdyż jeśli istnieje f: X Y przekształcająca X na Y oraz jeśli istnieje g:
Y Z, to istnieje f  g: X Z, które przekształca X na Z
Określenie mocy zbioru
Każdemu zbiorowi X przyporządkowana jest pewna własność zwana mocą zbioru
lub liczba kardynalną, która nie zmienia się jeśli elementy zbioru X zastąpi się
wzajemnie jednoznacznie przez inne elementy, a także wtedy gdy zmieni się
www.wkuwanko.pl
1
MOCE ZBIORÓW. ZBIORY NIESKOŃCZONE
uporządkowanie elementów zbioru X.. Liczbę kardynalną zbioru X oznaczamy przez
X.
Zachodzą następujące zależności
( X = Y )  X~ Y
Jeżeli zbiór X jest zbiorem n -elementowym, to X = n
Ex 48. Niech X={1, 4, 6, 9}; X = 4. Jeśli X jest zbiorem pustym, to jego mocą jest
liczba kardynalna n = 0
Zbiory skończone, nieskończone i przeliczalne
Def. 1. X jest zbiorem skończonym wtw, gdy E nN X = n
Def 2. X jest zbiorem nieskończonym wtw, gdy E nN X = n
Def. 3 Jeżeli N jest zbiorem liczb naturalnym, to N = 0 (alef zero)
Def. 4. Zbiorami przeliczalnymi nazywamy zbiory skończone lub nieskończone
równoliczne ze zbiorem N.
Ex. 49. Niech X będzie zbiorem liczb naturalnych parzystych, a Y zbiorem liczb
naturalnych nieparzystych. Jakiej mocy są zbiory X i Y.
Istnieje f: NX, określone wzorem f(n)=2n, które przekształca N na X. Zatem jeżeli
N~X, to N = X . Skoro N = 0 , X =0
Istnieje g: NY, określone wzorem f(n)=2n-1, które przekształca N na Y. Zatem
jeżeli N~Y, to N = Y . Skoro N =0 , Y =0
Ex. 50. Wykazać, że jest zbiory X i Y są mocy 0, to X Y też jest mocy0.
www.wkuwanko.pl
2
MOCE ZBIORÓW. ZBIORY NIESKOŃCZONE
Niech f: NX i g: NY przekształca zbiór N odpowiednio na X i Y. Mamy zatem
pary
f(1), g (1), f(1), g (2) , f(1), g (3),.... f(1), g (n),...
f(2), g (1), f(2), g (2) , f(2), g (3),.... f(2), g (n),...
f(3),
g
(1),
f(3),
g
(2)
,
f(3),
g
(3),....
f(3),
g
(n),...
............................................................................................
f(m), g (1), f(m), g (2) , f(m), g (3),.... f(m), g (n),...
.................................................................................................
Ustawiając pary w odpowiednim porządku można ustalić funkcję h: N X Y
Która przekształca zbiór N na iloczyn kartezjański zbiorów X i Y.
h(1)= f(1), g (1)
pierwsza przekątna
h(2)=f(1), g (2)
h(3)= f(2), g (1)
druga przekątna
h(4)= f(3), g (1)
h(5)= f(2), g (2)
trzecia przekątna
h(6)= f(1), g (3)
.............................
Zatem Iloczyn kartezjański X i Y jest mocy 0, co zapisujemy X  Y =0
Def.1 Niech  oznacza zbiór liczb rzeczywistych.. Zbiory o mocy
c nazywa się
zbiorami o mocy continuum.
Udowodnimy, że zbiór o mocy continuum jest nieprzeliczalny. W tym celu wystarczy
udowodnić, że zbiór liczb rzeczywistych  posiada moc różną od 0 tzn.0
c.
Dowód taki pochodzi od Cantora i nazywa się dowodem przekątniowym. Jest on
dowodem nie wprost.
Dowód.
www.wkuwanko.pl
3
MOCE ZBIORÓW. ZBIORY NIESKOŃCZONE
1. Załóżmy, że  =0
Niech  składa się z wszystkich liczb rzeczywistych uporządkowanych w
różnowartościowy nieskończony ciąg: r1, r2, r3,...
Dla każdej liczby rzeczywistej istnieje jej rozwinięcie na ułamek dziesiętny nieskończony,
wyrazy ciągu można przedstawić następująco:
r1= c1, c11 c12...
r2= c2, c21 c22...
........................
rn= cn, cn1 cn2...
.......................
gdzie cn
jest częścią całkowitą, a cn1 cn2, ... kolejnymi cyframi rozwinięcia
dziesiętnego liczby rn. Budujemy tabelę, która przyporządkowuje każdej liczbie
naturalnej liczbę rzeczywistą.
1
c1,
c11
c12
2
.................
3
c2,c21c22................
4
.......
.
c3,c31c32
n
c33.................
.
c4,c41c42
c43
c44...........
...............................
........cn,
cn1
cn2.............. cnn
...............................
...
www.wkuwanko.pl
4
MOCE ZBIORÓW. ZBIORY NIESKOŃCZONE
1. Określmy liczbę r następująco: r = 0,d1 d2..., gdzie dla każdego n 1
0, gdy cnn  0
dn=
1, gdy cnn = 0
1.
a) Z założenia liczba r jest liczba rzeczywista, a więc należy do ciągu wszystkich liczb
rzeczywistych zebranych w tabeli.
b) Z drugiej strony liczba r różni się od każdej liczby rzeczywistej ciągu zebranego w
tabeli, gdyż różni się od niej przynajmniej na jednej pozycji nieskończonego
rozwinięcia dziesiętnego liczby rn. Wystąpiła sprzeczność a zatem   N i 0 c.
Nierówności między liczbami kardynalnymi. Twierdzenie Cantora-Bernsteina
Niech X = n i Y =m. Przyjmujemy, że liczba kardynalna n jest nie większa od liczby
kardynalnej m, jeżeli zbiór X jest równoliczny z podzbiorem zbioru Y. Wówczas
Każdy zbiór mocy n jest równoliczny z pewnym podzbiorem zbioru mocy m, co
zapisujemy n  m
Jeżeli n  m i n  m to mówimy, że liczba kardynalna n jest mniejsza od liczby m i
piszemy n m
Ex 51. Zbiór N wszystkich liczb naturalnych jest równoliczny z podzbiorem zbioru ,
czyli ze zbiorem N  . Ponieważ zbiór  jak to ustalono jest nieprzeliczalny, zatem
N   a stąd mamy 0 c
Tw. Cantora-Bernsteina
1). Dla dowolnych liczb kardynalnych n i m zachodzi:
Jeżeli n  m i m  n, to n = m
www.wkuwanko.pl
5
MOCE ZBIORÓW. ZBIORY NIESKOŃCZONE
Dla dowolnych zbiorów X, Y, Z zachodzi:
a) Jeżeli X Y Z, to X  Y  Z
b) Jeżeli X Y Z i X = Z , to X = Y = Z
Zbiór potęgowy. Twierdzenie Cantora
Niech f: X{0, 1} będzie funkcją charakterystyczna zbioru X. Niech {0, 1}X oznacza
zbiór wszystkich takich funkcji, które nazywamy funkcjami charakterystycznymi
podzbiorów zbioru X.
1. Dla każdego zbioru X zbiór wszystkich podzbiorów zbioru X jest równoliczny ze
zbiorem{0, 1}X . Zbiór wszystkich podzbiorów zbioru X będziemy oznaczać symbolem
2X i nazywać zbiorem potęgowym zbioru X. (należy pokazać, że istnieje funkcja g,
która ustala równoliczność rodziny wszystkich podzbiorów zbioru X i zbioru {0, 1}X)
N
2. Zbiór wszystkich podzbiorów zbioru N jest mocy c, więc 2 = c
Tw. Cantora
Dla każdego Zbioru X zachodzi:
X < 2X
Wniosek:
1. Twierdzenie Cantora pozwala konstruować zbiory coraz wyższych mocy.
Wychodząc np. ze zbioru N wszystkich liczb naturalnych konstruujemy zbiory: N, 2 N,
N
2N
22 ,22 ,..., przy czym z Tw. Cantora i 2. mamy:
2N
N
2
2
0= N < 2 < 2  2 < ...
N
2. Nie istnieje zbiór wszystkich zbiorów.
Gdyby bowiem istniał zbiór wszystkich zbiorów A, to rodzina 2A wszystkich podzbiorów A
byłaby sama podzbiorem A.
www.wkuwanko.pl
6