popularyzatorski opis rezultatów projektu

Nr wniosku: 149804, nr raportu: 7181. Kierownik (z rap.): prof. dr hab. Michał Aleksander Morayne
Rezultaty uzyskane w ramach realizacji projektu dotyczą klasycznych obiektów matematycznych jakimi są przestrzenie
polskie i przekształcenia tych przetrzeni, a także specjalne podzbiory tych przestrzeni (zbiory niemierzalne) i klasy
pewnych podzbiorów (sigma-ideały).
Same przestrzenie są przestrzeniami metrycznymi o -powiedzmy - regularnej strukturze. W matematyce ,,szkolnej''
uczymy się o funkcjach ciągłych na prostej. Pojęcie ciągłości przenosi się na bardziej ogólne obiekty matematyczne, np.
na przetrzenie w których można mierzyć odległości między punktami, tzw. przetrzenie metryczne. Samo pojęcie ciągłości
przy tym realizuje te same intuicje co na prostej: jeśli argumenty odwzorowania zbliżają się do pewnego punktu x, to
wartości tego odwzorowania w tych argumentach zbliżają się do wartości odwzorowania w punkcie x. Jeśli
odwzorowanie jednej przetrzeni w drugą ustala wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość między punktami tych
przestrzeni i samo odwzorowanie jak i odwzorowanie do niego odwrotne są ciągłe, to mówimy, że odzorowanie jest
homeomorfizmem. O takich przetrzeniach mówimy, że są topologicznie nierozróżnialne, bo własności, które bada
dziedzina zwana topologią, są dla obu przetrzeni takie same. Stąd waga takich odwzorowań i ich istnienia. W ramach
projektu udało sie rozstrzygnąć istnienie takich odwzorowań o pewnych ważnych dodatkowych własnościach.
W matematyce wyróżnia się zbiory modelujące obiekty (czy np. zdarzenia) znane z praktyki i zastosowań. Zbiory
modelowane w ten sposób budowane są przez elementarne operacje (przeliczlne sumy, przeliczalne przekroje, różnice
zbiorów) ze zbiorów - powiedzmy - podstawowych, jakimi są zbiory otwarte. Powstałe w ten sposób zbiory nazywamy
zbiorami borelowskimi (od nazwiska francuskiego matematyka E. Borela). Na klasycznych przestrzeniach metrycznych,
jakimi są prosta czy płaszczyzna i ich więcej wymiarowe uogólnienia, można mierzyć wielkość zbiorów przy pomocy
tzw. miary Lebesgue'a (również od nazwiska francuskiego matematyka Lebesgue'a). Na prostej miara ta jest
uogólnieniem długości, na płaszczyźnie - pola, w przestrzeni trójwymiarowej - objętości. Okazuje się, że wszystkie zbiory
borelowskie można tak zmierzyć, a więc zbiory mierzalne są uogólnieniem zbiorów borelowskich. Okazuje się jednak, że
pojawiają sie w matematyce obiekty dla których takiej miary nie można wyznaczyć. Są one bardzo skomplikowane, a w
pewnych sytuacjach również bardzo niewygodne. Duża część projektu poświęcona jest badaniu sytuacji, w których takie
zbiory mogą sie pojawić, inaczej mówiąc sytuacjom, gdzie nie można zakładać, że dla uzyskanych obiektów można
stosować techniki ,,pomiaru'' znane z ,,codziennej'' matematyki.
W matematyce pojawiają się zbiory, których własnością jest to, że są małe. Zbiory te mogą być małe w różnym sensie.
Jedną taką klasą są zbiory, które mają miarę Lebesgue'a (wspomnianą w poprzednim akapicie) równą zero. Inną rodziną
zbiorów małych są takie zbiory domknięte, które nie zawierają żadnego zbioru otwartego i wszelkie podzbiory ich
przeliczalnych sum - tzw. zbiory pierwszej kategorii Baire'a (od nazwiska francuskiego matematyka R. Baire'a). Jedną z
własności takich zbiorów jest to, że przeliczalna suma takich zbiorów jest też takim zbiorem - rodzina zbiorów, o których
mowa, tworzy tzw. sigma-ideał. Okazuje się, że sigma-ideały zbiorów, a więc rodziny zbiorów ,,małych'', w danej
przetrzeni metrycznej mogą sie między sobą bardzo różnić. Naszym celem było opisanie jak pewne takie rodziny małych
zbiorów wyglądają. Chodziło nam o takie rodziny, które nie zmieniają się po przekształceniu przez homeomorfizm danej
przestrzeni na siebie. Udało nam się stworzyć ich klasyfikację i opisać ich własności.
W matematyce chcemy porównywać obiekty co do ich wielkości. Służy temu np. policzenie ile mają elementów
(kombinatoryka, teoria mnogości) czy podanie ich miary Lebesgue'a (analiza, geometria), porównanie
prawdopodobieństwa zdarzeń (rachunek prawdopodobieństwa). W algebrze taką miarą porównującą wielkości
podstruktur A,B danej struktury (np. grupy lub półgrupy), gdzie A zawarta jest w B, jest tzw. relatywny rząd. Jest to ilość
elementów, które trzeba dodać do struktury mniejszej - A, aby po użyciu operacji algebraicznych, w które wyposażona
jest tu cała struktura otrzymać strukturę większą B. Struktury algebraiczne badane w projekcie są znanymi i naturalnymi
rodzinami odwzorowań, np. klasą odwzorowań ciągłych danej przetrzeni w siebie lub klasą odwzorowań borelowskich
(odwzorowanie borelowskie to takie, dla którego przeciwobraz zbioru borelowskiego jest borelowski), a operacją
algebraiczną jest tu składanie takich odwzorowań (jest to operacja mająca własność łączności, a więc strukura
algebraiczna jest półgrupą). Znaleziony został np. relatywny rząd półgrupy odwzorowań borelowskich odcinka w odcinek
do półgrupy odwzorowań ciągłych.