Pitagoras i jego dokonania

Pitagoras
i
jego dokonania
Opracowała: mgr Elżbieta Piętka
Śladami Pitagorasa
Ten grecki matematyk pochodził
z wyspy Samos (580 – 496 p.n.e.).
Wielki wpływ na rozwój jego
myśli miał pobyt w Egipcie.
Najbardziej twórczy okres
swego życia spędził w Krotonie
i tam też powstała filozoficzna
szkoła pitagorejska.
Trudno oddzielić jego odkrycia od dokonań jego uczniów.
Badania pitagorejczyków przyczyniły się do wspaniałego
rozwoju geometrii oraz teorii liczb.
.
 Gwiazda
 Trójkąt
pitagorejska
egipski
 Trójkąty
pitagorejskie
 Twierdzenie
 Inne
Pitagorasa i jego dowód
dokonania Pitagorasa
 Zadania
.
Gwiazda pitagorejska
Umiłowaną figurą geometryczną
pitagorejczyków był pentagram.
Jest to prawidłowy pięciokąt,
którego boki są przedłużone
w obie strony i tworzą pięciokąt
gwiaździsty.
Suma kątów pentagramu wynosi
180
W pentagramie mamy doczynienia
ze złotym podziałem.
.
0
Złoty podział
(a + b) : a = a : b
Podział odcinka na dwie części tak,
by stosunek długości dłuższej z nich
do krótszej był taki sam, jak całego
odcinka do części dłuższej.
.
a
Złote cięcie znajduje się
we wszystkich punktach
skrzyżowania promieni
pentagramu.
b
a
2a  b a  b a


ab
a
b
.
Trójkąt prostokątny o bokach 3, 4 i 5 nazywamy
trójkątem egipskim. W Egipcie używano go do
wyznaczania kątów prostych przy odnawianiu granic
gruntowych zmywanych dorocznymi wylewami Nilu.
.
Trójkąt egipski
Pitagoras przekazał nam
związek między bokami
trójkąta egipskiego:
5
3
3 4 5
2
2
2
4
Pole trójkąta egipskiego wynosi 6, a więc liczbie kolejnej
po trzech liczbach oznaczających długości boków.
Ponadto
6 3 4 5
2
3
2
2
.
Trójkąt o bokach 3, 4 i 5 uważany był w Starożytności
za figurę magiczną.
3
5
4
W słynnej piramidzie Cheopsa
tak zwana komnata królewska
ma wymiary w sposób szczególny
związane z liczbami 3, 4, 5.
.
Trójkąty prostokątne, których boki są wyrażone liczbami
naturalnymi nazywamy
trójkątami pitagorejskimi
Oto kilka trójkątów pitagorejskich:
5, 12, 13; 15, 8 , 17; 7, 24, 25;
Pitagoras obmyślił też regułę odnajdywania liczb
naturalnych dla swych trójkątów:
2
2n+1, 2n(n+1), 2n +2n+1,
gdzie n jest liczbą naturalną
.

Są inne, znacznie późniejsze wzory odnajdywania
liczb wyrażających boki w trójkątach pitagorejskich.
m n
2
m n
2
2
2
m, n są liczbami
naturalnymi , m >n
2mn
Twierdzenie Pitagorasa
Kwadrat przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego równa
się sumie kwadratów przyprostokątnych.
c
a
c  a b
2
2
2
b
Uwaga: Pitagoras nie był odkrywcą tej własności, ale pierwszy
zdołał to udowodnić.
Ilustracja geometryczna
c
b
2
2
a2
c  a b
2
2
.
Pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej
jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na
przyprostokątnych.
.
2
Dowód twierdzenia Pitagorasa
Obecnie twierdzenie to udowodnione jest na ponad sto sposobów.
.
a+b
c
b
a
Inny dowód twierdzenia
Pitagorasa
.
1
a  b   c  4  ab
2
a 2  2ab  b 2  c 2  2ab
2
2
a2  b2  c2
Suma kolejnych liczb nieparzystych daje pełny kwadrat.
1 3  2
2
1 3  5  3
2
1 3  5  7  4
.................
A oto ilustracja geometryczna tego spostrzeżenia.
.
2
Liczba nieparzysta jest różnicą dwu kwadratów.
2 1  3
2
2
3 2  5
2
2
4 3  7
2
2
............
A oto ilustracja geometryczna tego spostrzeżenia.
.
Liczby doskonałe
Liczbami doskonałymi nazywali pitagorejczycy takie
liczby, w których suma podzielników (bez danej liczby)
równa się tej liczbie.
6 = 1 + 2 +3
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
Dzisiaj w dobie komputerów jest znanych ponad 40 liczb
doskonałych (ostatnia ma ponad 19 milionów cyfr)
2
2
32582656
32582657

1
.
Liczby zaprzyjaźnione
Gdy zapytano Pitagorasa: „Co to jest przyjaciel?”
odpowiedział: „Przyjaciel to drugi ja; przyjaźń to
stosunek liczb 220 i 284”.
Dwie liczby są zaprzyjaźnione, jeżeli suma dzielników
każdej z nich (bez niej samej) równa się drugiej liczbie
czyli zaprzyjaźnionej.
220 = 1 +2 + 4 + 71 + 142 , to są dzielniki liczby 284
284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110
Składniki tej sumy są dzielnikami liczby 220
.

Drugim wielkiej doniosłości twierdzeniem
geometrycznym przypisywanym Pitagorasowi
jest twierdzenie o sumie kątów trójkąta.
 


      180

.
0
Pitagoras uznawany jest powszechnie za twórcę
pierwszych zasad budowy wielościanów foremnych,
które nazwał figurami kosmicznymi
ikosaedr
oktaedr
dodekaedr
tetraedr
hekasedr
Zadanie 1
Tam za murem dziewczyna,
a pod ręką drabina,
co pięć metrów długości ma.
W fosie krążą rekiny.
Żal przecudnej dziewczyny,
co za murem z rozpaczy łka.
Czy zwykłemu chłopczynie
na wspomnianej drabinie
te przeszkody pokonać się da?
Dane wierszyk pominie.
Znajdziesz je przy rycinie.
Policz sprytnie.
Odpowiedz raz dwa!
.
Rozwiązanie:
4,2m
5m
x
3
x 2  4,2 2  3 2
x 2  17,64  9
x  26,64
2
x  26,64  5  25
.
Odpowiedź:
Drabina jest za krótka.
Zadanie 2
Czy lustro o wymiarach 2,20m x 2,20m można
przenieś przez drzwi o wymiarach 1m x 2m?
.
Rozwiązanie:
p
2m
1m
p 1  2
2
2
2
p  5  2,2  4,84
.
Odpowiedz:
Lustro można przenieść przez drzwi.
Celem dalszego poznania dokonań
Pitagorasa odsyłam do ciekawej
książki S. Jeleńskiego p.t.
„Śladami Pitagorasa”
Dziękuję za uwagę.