Śladami Pitagorasa - ZSO nr 1 w Jeleniej Górze

ZSO nr 1 w Jeleniej Górze
Maj 2012
Biografia Pitagorasa
Pitagoras z Samos urodził sił na wyspie Samos ok. 572 zmarł
ok.497p.n.e w Metaponcie. Był greckim matematykiem, filozofem, etykiem,
politykiem, legendarnym załołycielem szkoły pitagorejskiej. Interesował sił
teł astronomił i medycynł. Twórca kierunku filozoficzno-religijnego, inaczej
nazywanego pitagoreizmem. W młodołci był utalentowanym piłłciarzem
i zapałnikiem. Prawdopodobnie był wegetarianinem. Kiedy miał czterdziełci lat,
około 572 roku p.n.e. opułcił ogarniłtł wojnł z Persami, Jonił. Po serii
podróły osiadł w koloniach zachodnich, w Grecji. Mieszkał w Krotonie i tam
zajłł sił szczegółowł działalnołcił umysłowł. Załołył zwiłzek
pitagorejski. Po jego wygnaniu , jego szkoła spłonłła, zał sam osiedlił sił w
Metaponcie, gdzie wytrwał do kołca swoich dni. Zwiłzek i jego działalnołł
wykroczyła poza łycie Pitagorasa. Nie pozostawił on po sobie ładnych pism, o
jego dokonaniach dowiadujemy sił
z dzieł filozofów greckich, którzy łyli
ponad 200 lat pózniej. Dla uczczenia swojego nauczyciela wiele własnych odkrył
pitagorejczycy nazywali jego imieniem, dlatego trudno jest nam dzisiaj
jednoznacznie okrełlił, kto jest ich autorem. Pitagoras słynie z twierdzenia, które
głosi "W trójkłcie prostokłtnym suma kwadratów przyprostokłtnych jest równa
kwadratowi przeciwprostokłtnej".
Wierzenia
Pitagorejczyków
Wszystko jest liczbą.
Wszechświat jest kosmosem, uporządkowaną







całością i każdy z nas jest częścią kosmosu.
Najkrótsze wyrazy - "TAK" i "NIE"-wymagają
najdłuższego zastanowienia.
Dusza istnieje oddzielnie od ciała.
Dusza może łączyć się z dowolnym ciałem.
Dusza jest trwalsza od ciała.
Ciało jest dla dusz więzieniem.
Dusza jest więziona w ciele za popełnione przez
nie winy.
Dusza będzie wyzwolona z ciała, gdy się oczyści, a
oczyści się wtedy, gdy odpokutuje za winy.
Twierdzenie zwane twierdzeniem
Pitagorasa , używane było już
wcześniej przez Babilończyków,
Egipcjan i Hindusów. Od
pitagorejczyków pochodzi
prawdopodobnie ogólny dowód i
nazwa twierdzenia. Legenda głosi, że
po udowodnieniu twierdzenia
Pitagoras złożył bogom hekatombę,
czyli ofiarę ze stu wołów.
Twierdzenie Pitagorasa
"Suma kwadratów
przyprostokątnych w trójkącie
prostokątnym jest równa
kwadratowi
przeciwprostokątnej tego
trójkąta„
a² + b²= c²
"Suma pól kwadratów
zbudowanych na
przyprostokątnych w
trójkącie prostokątnym jest
równa polu kwadratu
zbudowanego na
przeciwprostokątnej tego
trójkąta„
P1+P2=P3
Obie te wersje są poprawne i
oznaczają dokładnie to samo.
Dzięki twierdzeniu Pitagorasa możemy obliczyć jeden
z boków trójkąta prostokątnego znając dwa pozostałe.
Dzięki niemu możemy także sprawdzić czy jest on
trójkątem prostokątnym. Korzystamy wtedy z twierdzenia
odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa, które brzmi:
"Jeżeli suma kwadratów dwóch krótszych boków
w trójkącie jest równa kwadratowi dłuższego boku
to trójkąt ten jest trójkątem prostokątnym".
Dowód hinduski
Drugie wielkie
twierdzenie Pitagorasa:
Suma kątów w trójkącie jest
równa sumie dwóch kątów
prostych.
Twierdzenie to można
udowodnić na dwa sposoby:
1.Przeprowadzając
prostą przez wierzchołek
trójkąta równolegle do
podstawy
2.Prostopadła
opuszczona z
wierzchołka dzieli
trójkąt na dwa trójkąty
prostokątne.
Trójki pitagorejskie
Trójkąty pitagorejskie to trójkąty, których boki
wyrażone są liczbami naturalnymi a, b, c
związanymi warunkiem :
a2 + b2 = c2
Trójka liczb naturalnych, które są bokami pewnego
trójkąta prostokątnego nazywana jest trójką
pitagorejską. Trójkątów pitagorejskich jest
nieskończenie wiele.
Przykłady trójek pitagorejskich :
a
b
c
3
4
5
6
8
10
5
12
13
15
8
17
21
20
29
60
80
100
7
24
25
11
60
61
17
144
145
Możemy się domyślać, że w dawnych czasach trójki
pitagorejskie mogły służyć do wyznaczania kątów
prostych w budownictwie. Zauważamy bowiem,
że gdy ułożymy ( np. ze sznurka ) trójkąt o bokach
60 cm, 80 cm, 100 cm, to kąt między krótszymi
bokami tego trójkąta będzie miał 90o.
Pitagoras stworzył też regułę odnajdywania liczb
naturalnych. Regułę tę wyraża się wzorem :
( 2n + 1)2 + ( 2n2 + 2n )2 = ( 2n2 + 2n + 1)2
Oto tabela ułożona na tej podstawie:
n
I
II
Przeciwprostokątna
przyprostokątna przyprostokątna
2n2 + 2n + 1
2n + 1
2n ( n + 1 )
1
3
4
5
2
5
12
13
3
7
24
25
4
9
40
41
5
11
60
61
Z tabeli wynika, ze liczby wyrażające II przyprostokątną
i przeciwprostokątną są liczbami bezpośrednio
sąsiadującymi w naturalnym ciągu liczb. Można więc
powiedzieć, że gdziekolwiek w ciągu naturalnym
znajdziemy dwie liczby sąsiednie, których suma jest pełnym
kwadratem, liczby te wraz z pierwiastkiem drugiego
stopnia z ich sumy stanowią zespół boków pitagorejskiego
trójkąta :
4+5 = 9=32
12+13 =25= 52
24+25 = 49=72
40+41 = 81=92
60+61 = 121=112
84+85 = 169=132
Krąg Pitagorejski
Krąg pitagorejski polega na pewnym ciekawym
zestawieniu liczbowym.
Wzdłuż kręgu koła wpisujemy naturalny ciąg
liczbowy od 1 do np. 3, więc 1, 2, 3, a następnie od 3 z
powrotem do 1.
n=3
suma=9
n=4
suma=16
n=5
suma=25
n=6
suma=36
n
n2
Wniosek:
Jeżeli wzdłuż kręgu będziemy pisać naturalny ciąg
liczbowy od 1 do n, a następnie z powrotem do 1, to
suma wszystkich tych liczb równać się będzie n2.
Dlaczego?
Krąg pitagorejski przedstawia właściwie dwie sumy.
1
2
3
4
5
6
7=n
7*3=(7(7-1))/2
Uogólniając suma n-1 w naturalnym ciągu
rozpoczętym 1 wynosi:
Sn-1=(n(n-1))/2.
Suma dwóch takich sum wynosi n(n-1)=n2-n
Jeżeli dodamy jeszcze n, otrzymamy n2-n+n=n2.
Zapełnianie płaszczyzny równymi
wielokątami foremnymi
Przechodząc koło swego domu lub szkoły często zauważasz różne
wzory poukładanych chodników. Wiele z nich jest zbudowanych
z kwadratów lub innych figur tego samego kształtu i wielkości.
Czy zastanawiałeś się kiedykolwiek jakich wielokątów foremnych
(takich, które mają wszystkie boki jednakowej długości i kąty tej
samej miary) należy użyć do takiej układanki?
Wiemy, że Pitagoras jako pierwszy wykazał, iż płaszczyzna dookoła
punktu może być zapełniona jednolicie tylko trzema rodzajami
wielokątów foremnych :
 Trójkątami
 Kwadratami
 Sześciokątami
Przykłady zapełniania
płaszczyzny równymi
wielokątami foremnymi:
Dlaczego nie można
pokryć płaszczyzny
pięciokątami
foremnymi?
Dla n=5 mamy
α5 = (5-2)*180/5=3*180/5
α5 =108
360:108=3,(3)
Porównanie wielościanów:
Nazwa
Nazwa
grecka
Grafika
Ściana
Liczba
ścian
Liczba
krawędzi
Liczba
wierzchołków
czworościan
tetraedr
trójkąt foremny
(równoboczny)
4
6
4
sześcian
heksaedr
czworokąt foremny
(kwadrat)
6
12
8
ośmiościan
oktaedr
trójkąt foremny
(równoboczny)
8
12
6
dwunastościan
dodekaedr
pięciokąt foremny
12
30
20
dwudziestościan
ikosaedr
trójkąt foremny
(równoboczny)
20
30
12
Przykładowe siatki
figur kosmicznych:
dwunastościan
sześcian
Przykładowe siatki
figur kosmicznych:
dwunastościan
ośmiościan
czworościan
Wielościanów foremnych jest tylko 5. Jeden z dowodów istnienia
najwyżej pięciu wielościanów foremnych opiera się o analizę łącznej
ilości kątów wewnętrznych ścian zbiegających się przy dowolnym
wierzchołku.
ściana
trójkąt
kąt
wewnętrzy
ściany
60°
liczba ścian
przy
wierzchołku
≥3
wielokrotność kąta
<360°
nazwa
uwagi
3
180°
czworościan
foremny
4
240°
ośmiościan
foremny
5
300°
dwudziestościan
foremny
ostatni z tej serii,
bo 6•60°≥360°
kwadrat
90°
3
270°
sześcian
jedyny z tej serii,
bo 4•90°≥360°
pięciokąt
108°
3
324°
dwunastościan
foremny
jedyny z tej serii,
bo 4•108°≥360°
sześciokąt i
następne
≥120°
3
≥360°
-
żaden z tej i
następnych serii,
bo 3•120°≥360°
Ciekawostka:
Cztery wielościany foremne stały się
symbolami żywiołów: czworościan
symbolizował ogień, sześcian ziemię,
ośmiościan powietrze, a dwudziestościan wodę.
Dwunastościan foremny był symbolem ładu
kosmicznego, wszechświata.