Fraktal jest to obiekt geometryczny, który charakteryzuje się tym, że

Fraktal jest to obiekt geometryczny, który charakteryzuje się tym, że każda jego część
po powiększeniu jest podobna do całości. Przykładami fraktali są :
liczba postaci :
i ułamek postaci
Twórcą pojęcia fraktala jest wybitny matematyk polskiego pochodzenia, prof. Benoit Mandelbrot z amerykańskiego
Uniwersytetu Yale, który przedstawił teorię fraktali w latach 70.
Do góry
Liczbę naturalną, którą czyta się tak samo od początku i od końca nazywamy palindromem.
Przykłady liczb palindromicznych: 55, 494, 30703, ...
Liczbę naturalną nazywamy doskonałą, gdy jest sumą wszystkich swoich dzielników właściwych. Przykładem takich
liczb są 6, 28, 496, ponieważ dzielniki właściwe tych liczb
(dzielnik właściwy liczby to każdy dzielnik mniejszy od tej liczby) to:
D6={1,2,3}
D28={1,2,4,7,14}
i 1+ 2+ 3 = 6
i 1+ 2+ 4+ 7+ 14 = 28
D496={1,2,4,8,16,31,62,124,248}
i 1+ 2+ 4+ 8+ 16+ 31+ 62+ 124+ 248 = 496
Do góry
Dwie liczby naturalne nazywamy zaprzyjaźnionymi, gdy każda z nich jest równa sumie dzielników właściwych drugiej
liczby (dzielnik właściwy liczby to każdy dzielnik mniejszy od tej liczby). Przykładem liczb zaprzyjaźnionych są liczby 220
i 284.
Dzielniki właściwe liczby 220 to:
D220={1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110}
1+ 2+ 4+ 5+ 10+ 11+ 20+ 22+ 44+ 55+ 110 = 284
Dzielniki właściwe liczby 284 to:
D284={1,2,4,71,142}
1+ 2+ 4+ 71+ 142 = 220
Słowo przyjaźń wymyslił PITAGORAS. Ktoś go kiedyś zaptał , kto to jest przyjaciel, odpowiedział:
"Ten, który jest drugim ja, tak jak 220 i 284".
Do góry
Cecha podzielności przez 11
Chcąc sprawdzić czy liczba jest podzielna przez 11 należy od sumy jej cyfr stojących na parzystych miejscach odjąć
sumę cyfr stojących na miejscach nieparzystych. Jeżeli otrzymana w ten sposób różnica jest wielokrotnością liczby 11 to
dana liczba jest podzielna przez 11.
Sprawdzimy czy liczba 477 609 dzieli się przez 11:
Suma cyfr na parzystych miejscach : 7+ 6+ 9 = 22
Suma cyfr na nieparzystych miejscach : 4+ 7+ 0 = 11
Różnica : 22 - 11 = 11
Zatem liczba 477 609 jest podzielna przez 11.
Sprawdź czy liczba 746 801 również ma tę własność.
Do góry
Leonardo Da Vinci (1452-1519) - słynny włoski malarz, rzeźbiarz, architekt, uczony i myśliciel epoki renesansu
studiował też matematykę. Pasjonowała go szczególnie geometria. W jego rękopisach znaleziono wiele oryginalnych
notatek matematycznych, m.in. także zadanie geometryczne:
Jeśli nakreślisz linię aby przez punkty przecięcia koła wpisanego w kwadrat z przekątnymi tegoż kwadratu i w punkcie n,
punkcie przecięcia linii ab ze średnicą fe, rozpoczniesz i zamkniesz drugie koło, to powierzchnia tego małego koła równa
będzie powierzchni zawartej pomiędzy obu okręgami, a o połowę będzie mniejsza od powierzchni dużego koła.
Jeśli ciało ludzkie (starożytni mówili tu o ciele mężczyzny, bo uważali je za lepiej uformowane od ciała kobiety)
podzielimy na dwie części linią narysowaną na wysokości pępka, to okazuje się, że stosunek długości całego ciała do
długości dolnej jego części jest taki sam, jak stosunek długości dolnej części do górnej. Podobnie rzecz ma się z ręką.
Jeśli podzielimy ją na wysokości łokcia, to długość całej ręki do długości jej dolnej części ma się tak, jak długość dolnej
części ręki do górnej.
Jest to tzw. "złoty podział", albo inaczej "złote cięcie", albo - jak mawiali starożytni i średniowieczni matematycy "boska proporcja". Stosunek złotego podziału odcinka o długości a na dwie części wyraża się w sposób słowny
następująco: cały odcinek tak się ma do swej większej części, jak większa część do mniejszej.
Co da się zapisać następująco:
Po przekształceniu tej proporcji i rozwiązaniu równania kwadratowego otrzymamy wartość stosunku :
złotego podziału równą liczbie:
w matematyce zwanej liczbą złotą.
Istotnie zdumiewające jest również umiejscowienie złotego podziału wśród roślin. Jeśli przyjrzymy się układowi listków
na wspólnej łodydze, to okaże się, iż między każdymi dwiema parami listków trzecia leży w miejscu złotego cięcia.
Do góry
Bryły platońskie, to bryły, których ścianami są wielokąty foremne (wielokąty o bokach i kątach przystających).
Takich brył jest tylko pięć.
Pitagoras udowodnił, że płaszczyzna dookoła punktu może być zapełniona jednolicie tylko trzema rodzajami wielokątów
foremnych: trójkątami, kwadratami albo sześciokątami.
Żeby powstało naroże potrzebne są co najmniej trzy ściany oraz suma kątów płaskich w wierzchołku musi być mniejsza
od kata pełnego - 360 stopni . Wszystkie ściany w przypadku brył platońskich są jednakowe.
Zatem jeśli wielokąty foremne tego samego rodzaju maja utworzyć naroże to takich kombinacji jest właśnie pięć:
TETRAEDR
Czworościan foremny
4 wierzchołki, 6 krawędzi, 4 ściany ( trójkąty równoboczne ).
HEKSAEDR
Sześcian foremny
8 wierzchołków, 12 krawędzi, 6 ścian ( kwadraty ).
OKTAEDR
Ośmiościan foremny
6 wierzchołków, 12 krawędzi, 8 ścian ( trójkąty równoboczne ).
DODEKAEDR
Dwunastościan foremny
20 wierzchołków, 30 krawędzi, 12 ścian ( pięciokąty foremne ).
IKOSAEDR
Dwudziestościan foremny
12 wierzchołków, 30 krawędzi, 20 ścian ( trójkąty równoboczne ).
Do góry
Liczby bliźniacze – to takie liczby pierwsze, które znajdują się możliwie najbliżej siebie, czyli jeżeli różnica pomiędzy
nimi wynosi dwa.
Liczbami bliźniaczymi są 17 i 19, podobnie jak 10 000 000 000 061 i 10 000 000 000 063. Do dzisiaj nie wiadomo czy
istnieje nieskończenie wiele liczb bliźniaczych. Wiadomo tylko, że są niezwykle rzadkie.
i
i
i
Do góry
CYFRY ARABSKIE
To wynalazek z IX wieku powstały za sprawą hindusów w Indiach. Eka, dvi, tri, katur, pańca, sat, sapta, asta, nava, to
oryginalne brzmienie używanych dziś cyfr 1, 2, 3, …, 9.
Kiedy cyfry pojawiły się w Bagdadzie, Arabowie nazwali je figurami indyjskimi. Jeden z matematyków z Domu Mądrości
w Bagdadzie napisał traktat chcąc je rozpowszechnić i opisać sposób ich stosowania. Arabowie od niego nauczyli się
cyfr indyjskich. Wiele wieków później jego traktat został przetłumaczony na łacinę i stał się jednym z największych
bestsellerów średniowiecza. Ponieważ chrześcijanie poznali je za sprawą Arabów, nazwali je cyframi arabskimi.
eka
dvi
tri
katur
pańca
sat
sapta
Tajemnicza cyfra zero
Cunya w sanskrycie (język cywilizacji aryjskiej w Indiach od ok. 1500 r p.n.e) oznacza pustkę.
Po arabsku sifr, po łacinie zephirum, a po włosku zefiro. Zero to „nic, które może wszystko” .
Zero, nie wiadomo dlaczego, przedstawia się za pomocą małego kółka.
Do góry
asta
nava
KONSTRUKCJE KLASYCZNE
To konstrukcje figur geometrycznych pochodzące od starożytnych greków, którzy je wymyślili. W świeci geometrii
greckiej figura istnieje pod warunkiem, że została zbudowana wyłącznie za pomocą prostych i kół, czyli tylko przy
użyciu linijki i cyrkla. Stwarza to jednak pewne ograniczenia. Do dzisiaj słynne są TRZY PROBLEMY
STAROŻYTNOŚCI: jak z pomocą cyrkla i linijki zbudować kwadrat, którego pole równe jest polu danego koła; jak
zbudować sześcian o podwójnej objętości danego sześcianu oraz jak podzielić dany kąt na trzy równe części. Problemy
te mają oczywiście rozwiązanie, gdy zastosuje się pewne narzędzia.
Do góry
WIELKIE LICZBY
Przedstawiony tu system nazewnictwa liczb obowiązuje w Polsce i jeszcze w kilku krajach (Wielkiej Brytanii,
Niemczech), ale uwaga: w innych, np. we Francji, Hiszpanii, Stanach Zjednoczonych system jest zupełnie inny. Dla
przykładu w systemie amerykańskim bilion oznacza tysiąc milionów, czyli miliard.
tysiąc
103
1 000
milion
106
1 000 000
miliard
109
1 000 000 000
bilion
1012
1 000 000 000 000
biliard
1015
1 000 000 000 000 000
trylion
1018
1 000 000 000 000 000 000
tryliard
1021
1 000 000 000 000 000 000 000
kwadrylion 1024
1 000 000 000 000 000 000 000 000
kwintylion
1030
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
sekstylion
1036
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
septylion
1042
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
oktylion
1048
nonylion
1054
decylion
1060
centylion
10600
Liczby na bladożółtym tle są kolejnymi potęgami miliona. Która to potęga, można rozpoznać po przedrostku, np. bilion
to milion do drugiej potęgi (bi - z łaciny znaczy dwa razy), trylion – milion do potęgi trzeciej (try - z greki to trójkrotny)
itd. Podobnie, centy po łacinie oznacza sto, a więc centylion to milion do potęgi setnej.
Do góry
LICZBA PI
W dowód najwyższego uznania dla liczby w Stanach Zjednoczonych dnia 14 marca obchodzone jest święto.
Datę 14 marca Amerykanie zapisują w postaci 3/14 – co natychmiast przywodzi na myśl tę najsłynniejszą w
matematyce stałą, która już od czasów starożytnego Babilonu urzeka i oszałamia kolejne pokolenia badaczy
zajmujących się cyframi.
Podstawowe i najciekawsze jest określanie wartości liczby . Okazuje się, że stanowi to niezłe wyzwanie, ponieważ
cyfry po przecinku teoretycznie biegną w nieskończoność. Dla potrzeb tej krótkiej historii przyjmijmy, że stała ma
wartość 3,1416.
Superkomputer w Tokio wyliczył kiedyś wartość do ponad dwóch miliardów miejsc po przecinku. Nie mógł niestety
dotrzeć do ostatniego, ponieważ, jak każdy matematyk wie, leży on gdzieś poza nieskończonością, w miejscu, gdzie
dotrzeć można jedynie w snach. (…)
Faktycznie jedną z pierwszych osób, które najwcześniej i najdokładniej określiły wartość liczby , był skryba egipski
Ahmes. Udokumentował to na papirusie zapisanym około 1650 r. p.n.e., który był faktycznie kopią jeszcze
wcześniejszego papirusu. Ahmes opisał w nim pi jako wynik dzielenia 256 przez 81 lub liczbę 3,160.
Jednak to Archimedesowi przyznano miano pierwszego, który wyniósł
powodu liczba ta nazywana jest niekiedy stałą Archimedesa.
do dyscypliny teoretycznej. Z tego właśnie
Liczba , ludolfina, liczba rzeczywista, niewymierna, będąca stosunkiem długości obwodu koła do jego średnicy,
≈3,1415926535..., znana od starożytności; nazwa ludolfina pochodzi od imienia niemieckiego matematyka
Ludolfa van Ceulena (1540-1610), pierwszego nowożytnego badacza .
Do góry
Złudzenie optyczne - złudzenie polegające na tym, że obraz widziany przez człowieka wydaje mu się inny niż jest w
rzeczywistości. Przyczyną powstawania złudzenia optycznego jest błędne zinterpretowanie oglądanego przedmiotu przez
mózg.
Te figury są jednakowej wielkości, zastosowanie różnych
kolorów daje mylne złudzenie
Wszystkie kwadraty są idealne!
Patrz w czarny punkt w centrum, a szare pole zniknie
Te odcinki są równej długości
Środkowe koła są równe
Czy pionowe linie są równoległe?
Poziome linie są nie tylko prostymi, ale są też równoległe
Pionowe linie to oczywiście proste równoległe
Do góry
Tangram - chińska gra znana od ok. 3000 lat. Tangram to kwadrat, który składa się z 7 części (tan):





2
1
2
1
1
x
x
x
x
x
duże trojkąty,
średni trójkąt,
małe trójkąty,
mały kwadrat,
mały równoległobok.
Celem tej gry jest ułożenie większego obrazka / figury wg przygotowanego wzorca (najczęściej narysowanych konturów
tego obrazka) lub własnej wyobraźni. Przy zabawie z tangramem należy pamiętać o tym, że:
należy wykorzystać wszystkie części, elementy muszą leżeć obok siebie, ale nie mogą na siebie nachodzić, tany można
obracać na drugą stronę. Za pomocą tangramu można ułożyć tysiące obrazków sylwetek ludzi i zwierząt, przedmiotów,
figur geometrycznych.