SUPERMATEMATYK KLASA II LO oraz II i III Technikum luty 2016

SUPERMATEMATYK KLASA II LO oraz II i III Technikum luty 2016
część I - zadania jednokrotnego wyboru – 10 pkt
TYLKO JEDNA ODPOWIEDŹ POPRAWNA!
1. Długość środkowej boku trójkąta wynosi 1 i jest równa połowie długości boku, na który została opuszczona.
Wówczas trójkąt ten jest:
a) rozwartokątny
d) odpowiedzi a), b) i c) są błędne.
b) ostrokątny
c) wyznaczony jednoznacznie
2. Odcinek AD, gdzie D leży na odcinku BC i dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty podobne do niego. Wynika z tego,
że trójkąt ABC jest:
a) równoramienny
b) ostrokątny
c) prostokątny
d) rozwartokątny.
3. Niech A będzie kołem o promieniu
, B – trójkątem równobocznym o boku długości 4, a C trójkątem o bokach
długości 3, 4, 5. Spośród figur A, B, C największe pole ma:
a) A
b) B
c) C
d) B i C.
4. Ile osi symetrii ma odcinek na płaszczyźnie? a) dokładnie 2 b) dokładnie 1 c) nieskończenie wiele d) 0.
5. O wykresie funkcji kwadratowej wiemy, że jest parabolą mającą wierzchołek w punkcie (1, 3) i przechodzącą przez
punkt (5, 5).
a) Takich funkcji jest nieskończenie wiele.
b) Są dwie takie funkcje
c) Istnieje dokładnie jedna taka funkcja.
d) Brakuje jeszcze jednego punktu, by wyznaczyć wzór funkcji.
6. . Rozważmy prostą o równaniu 2x – 3y + 5 = 0 i punkty A (1, 2), B (2, 4) oraz C (5, 4). Po jednej stronie tej prostej
leżą punkty:
a) A i B
b) B i C
c) A i C
d) A i B i C.
7. Proste px – 3y + 12 = 0 oraz x – y + 2q = 0 mają jeden punkt wspólny, jeśli:
a) p ≠ 3 i q ∈ R
b) p = 3 i q = 6
c) p ∈ R i q = R
d) p ≠ - 3 i q ∈ R.
8. Wykres funkcji f(x) = ax + b, f1(x) = a1x + b1, f2(x) = a2x + b2 mają dokładnie jeden punkt wspólny. Wówczas:
a) b = b1 lub b1 = b2 lub b2 = b
b) a = a1 = a2 oraz b = b1 = b2
c) a = a1 = a2
d) odpowiedzi a), b), c) są błędne.
9. Antoni i dwaj jego pomocnicy kopią kanał. W ciągu godziny każdy pomocnik wykonuje pracy wykonanej w tym
czasie przez Antoniego. Sam Antoni kopałby kanał przez d dni. Wobec tego cała trójka zakończy pracę w ciągu:
a)
dni
b)
dni
c)
dni
d) innego czasu niż w odpowiedzi a), b), c).
10. Statek płynie rzeką z Wiednia do Budapesztu 5 dni, wracając pokonuje drogę w 7 dni. Ile dni płynie woda w rzece
z Wiednia do Budapesztu, jeżeli statek ma stałą prędkość? Jaką nazwę nosi rzeka?
a) 17,5; Dunaj
b) 35; Sekwana
c) 35; Dunaj
d) 45; Sekwana.
część II - zadania wielokrotnego wyboru – 10 pkt
(klasa II)
WSZYSTKIE ODPOWIEDZI MOGĄ BYĆ POPRAWNE!
1. Suma wysokości w każdym trójkącie jest:
a) mniejsza od obwodu tego trójkąta
c) równa 0,75 obwodu tego trójkąta
b) mniejsza od połowy obwodu tego trójkąta
d) nie większa od obwodu tego trójkąta.
2. Stosunek pola koła opisanego na trójkącie do pola koła wpisanego w ten trójkąt jest zawsze:
a) mniejszy niż 100
b) liczbą niewymierną
c) większy od 3
d) nie mniejszy niż 4.
3. W kątach przyległych AOB i BOC poprowadzono dwusieczne. Prosta równoległa do AC przecina dwusieczne
odpowiednio w punktach K i L, a ramię OB w punkcie M. Wówczas:
b) trójkąty OMK i OML są równoramienne
c) |KM| > |ML|
a) trójkąt KOL jest prostokątny
d) odpowiedzi a), b), c) są prawidłowe.
4. Jeżeli trójkąt ma oś symetrii, to musi być:
c) równoramienny
a) ostrokątny
d) środkowo symetryczny.
b) równoboczny
5. Dla danej funkcji kwadratowej f(x) = ax2 + bx + c, zachodzą równości: f(1) = 9, f(2) = 25 i f(3) = 49. Wówczas:
a) dla każdej liczby rzeczywistej y, f(y) = (2y + 1)2
b) funkcja posiada dokładnie jedno miejsce zerowe
c) nierówność f(x) < 0 posiada rozwiązanie zawarte w przedziale (– 1, 1)
d) wierzchołek tej funkcji leży na osi odciętych.
6. O wykresie funkcji kwadratowej f(x) = ax2 + bx + c wiemy, że przechodzi przez punkty (– 7, 3), (2, 8), (– 3, – 20). a)
Są dwie takie funkcje
c) Nie istnieje taka funkcja.
b) Istnieje dokładnie jedna taka funkcja.
d) Współczynnik a jest ułamkiem o mianowniku 180.
7. Jeśli istnieją różne liczby rzeczywiste x1, x2, które spełniają warunek ax2 + bx = c, gdzie współczynniki a, b, c są
liczbami rzeczywistymi, to:
c) a (x1 ∙ x2) = – c
a) a ≠ 0
b) b2 + 4ac > 0
d) dwie wcześniejsze odpowiedzi są prawidłowe.
8. Równanie ax2 + bx + c = 0 zmiennej x, w zależności od wartości parametrów a, b, c może:
a) mieć nieskończenie wiele rozwiązań
c) może być sprzeczne
b) mieć dokładnie trzy rozwiązania,
d) mieć jedno rozwiązanie.
9. Równanie ax2 + bx + c = 0, dla całkowitych a, b, c i a ≠ 0 może mieć:
a) oba pierwiastki wymierne
c) oba pierwiastki niewymierne
10. Dany jest układ równań
b) jeden pierwiastek wymierny i jeden niewymierny
d) oba pierwiastki całkowite.
.
a) Dla pewnego dodatniego a układ jest oznaczony.
b) Istnieje takie a, że trójek liczb postaci (x, y, 0) będących rozwiązaniem tego układu jest nieskończenie wiele.
c) Dla a = 1 żadna trójka liczb postaci (0, y, 0) nie jest rozwiązaniem tego układu.
d) Bez względu na wartość a układ jest sprzeczny.
część III – zadania otwarte – 20 pkt ( klasa II )
KAŻDE ZADANIE ROZWIĄŻ NA ODDZIELNEJ KARTCE!
Zad. 1.
Stosunek dwóch liczb dodatnich jest taki sam jak stosunek ich sumy do ich różnicy. Jaki to stosunek?
Zad. 2.
a) Wykaż, że liczba
jest liczbą naturalną.
b) Na bokach trójkąta ABC zaznaczono punkty M1, M2, M3, które są środkami boków trójkąta ( M1 jest środkiem boku
BC, M2 boku AC, M3 boku AB). Dodatkowo z wierzchołka A poprowadzono wysokość AH.
Wykaż, że M1M2 = HM3.
Zad. 3.
Boki prostokąta mają długości 10 i 24. W każdy trójkąt, na który przekątna podzieliła ten prostokąt, wpisano okrąg. Oblicz
odległość między środkami tych okręgów.
Zad. 4.
Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej f jest liczba 5, maksymalny przedział, w którym ta funkcja jest
malejąca to
. Największa wartość funkcji f w przedziale
jest równa
. Wyznacz wzór funkcji f i
narysuj jej wykres.
Powodzenia!!!