Wysokość trójkąta
advertisement
Autor: Marcin Różański Jest to najkrótszy odcinek łączący jeden z wierzchołków trójkąta z prostą zawierającą przeciwległy bok trójkąta, zwany podstawą. Wysokość jest zawsze prostopadła do prostej zawierającej podstawę. Punkt przecięcia wysokości z podstawą nazywa się spodkiem wysokości. Każdy trójkąt ma trzy wysokości. Punkt przecięcia wysokości to ortocentrum. Wyznaczone jest ono już przez dwie z nich. Ortocentrum jest też jednym z punktów wyznaczających prostą Eulera. Półprosta o początku w wierzchołku kąta, która dzieli ten kąt na dwa kąty przystające. Dwusieczna jest zbiorem punktów równo odległych od ramion kąta i zawarta jest w jego osi symetrii. Okrąg wpisany w wielokąt to okrąg, który jest styczny do każdego boku wielokąta. Odcinki łączące środek okręgu wpisanego z punktami styczności na bokach wielokąta są do nich prostopadłe i są promieniami tego okręgu. Dwusieczna dzieli bok na odcinki c i d o długościach spełniających równanie: Symetralna boku trójkąta to prosta prostopadła do boku i przechodząca przez jego środek. Symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie. Okrąg opisany na wielokącie to okrąg, na którym leżą wszystkie wierzchołki wielokąta. Na wielokącie można opisać okrąg tylko wtedy, gdy symetralne jego wszystkich boków przecinają się w jednym punkcie. Można to jednak zrobić dla każdego trójkąta, prostokąta i wielokąta foremnego. Środkowa trójkąta to odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku, czasem tak nazywa się też prostą zawierającą ten odcinek. Trójkąt ma trzy różne środkowe. Jest to środek ciężkości lub środek masy w geometrii i topologii. Obliczanie środka geometrycznego przebiega w podobny sposób jak obliczanie środka masy z tym, że nie występuje tu gęstość, więc ze wzoru na środek masy można uzyskać wzór na środek ciężkości przyjmując równość mas wszystkich elementów, stałą gęstość lub stałą gęstość powierzchniową lub liniową. W trójkącie możemy jednak wyznaczyć barycentrum geometrycznie, jako punkt przecięcia środkowych tego trójkąta. Dwa odcinki uważa się za przystające, jeśli są: - równej długości; Dwa kąty uznaje się za przystające; - jeśli mają równą miarę. Ponieważ w trójkątach można wyróżnić boki jak i kąty, to istnieje dla nich kilka równoważnych cech przystawania. Jeżeli trzy boki jednego trójkąta są odpowiednio równe trzem bokom drugiego trójkąta, to te trójkąty są przystające. Jeżeli dwa boki i kąt między nimi zawarty jednego trójkąta są odpowiednio równe dwóm bokom i kątowi między nimi zawartemu drugiego trójkąta, to trójkąty te są przystające. Jeżeli długość boku i dwa kąty do niego przyległe jednego trójkąta są odpowiednio równe długości boku i dwóm kątom do niego przyległym drugiego trójkąta, to trójkąty te są przystające. 1. 2. 3. 4. 5. 6. Kreślimy półprostą o początku A. Z punktu A kreślimy odcinek przystający do AB. Kreślimy okrąg o środku A i promieniu CD. Kreślimy okrąg o środku B i promieniu EF. Wyznaczamy punkty K i K’ przecięcia okręgów. Łączymy je z punktami A i B. Trójkąty ABK i ABK’ są rozwiązaniami konstrukcji Rysujemy prostą i przenosimy na nią odcinek AB. 2. Na końcach odcinka odmierzamy dane wcześniej kąty. 3. Znajdujemy punkt przecięcia ramion kątów nie zawierających odcinka AB. 4. Otrzymany punkt C łączymy z punktami A iB TrójkątABC jest rozwiązaniem konstrukcji 1. Rysujemy półprostą i przenosimy na nią jeden z boków tak, by początek półprostej był końcem odcinka. 2. Odmierzamy dany kąt, by półprosta była ramieniem kąta. 3. Na drugim ramieniu kąta odmierzamy z jego wierzchołka drugi bok. 4. Łączymy końce obu boków. Otrzymany trójkąt jest rozwiązaniem konstrukcji. 1.
