PROBLEMY ZINTEGROWANEGO ZARZĄDZANIA RYZYKIEM

ANALIZA INSTRUMENTÓW POCHODNYCH
1. Wycena instrumentów pochodnych – wprowadzenie
Ten rozdział poświęcony jest analizie i wycenie trzeciej grupy instrumentów finansowych (obok
instrumentów dłużnych i udziałowych), mianowicie instrumentom pochodnym. Metody analizy
tych instrumentów historycznie rozwijały się niezależnie od metod analizy akcji i metod analizy
instrumentów dłużnych i dlatego istotnie od nich się różnią. Inna jest przede wszystkim sama
koncepcja leżąca u podstaw wyceny instrumentów pochodnych. Jest ona przedstawiona w tym
podrozdziale.
Na wstępie jednak należy zaznaczyć, iż w przypadku części instrumentów pochodnych, a
dotyczy to instrumentów „symetrycznych”, czyli kontraktów terminowych (futures i forward)
oraz kontraktów swap, pojawia się kwestia dwóch możliwych sposobów rozumienia pojęcia
„wycena instrumentu”. Kwestia ta nie istniała w przypadku instrumentów dłużnych oraz akcji,
nie istnieje również w przypadku opcji. W odniesieniu do tych instrumentów pojęcie „wycena”
oznacza określenie wartości, tzn. jaka powinna być cena instrumentu na rynku. Nie ma przy tym
znaczenia, czy:
- wycena dokonywana jest przed transakcją, na potrzeby identyfikacji niedowartościowanego czy
też przewartościowanego instrumentu, gdzie głównym celem wyceny jest określenie, czy
właściwe jest kupno czy też sprzedaż;
- wycena dokonywana jest po zawarciu transakcji, na przykład dla określenia wartości
instrumentu na potrzeby sprawozdania finansowego.
W obu tych sytuacjach wycena dotyczy tej samej sytuacji, mianowicie odnosi się do samego
instrumentu. W pierwszej sytuacji chodzi po prostu o określenie ceny rynkowej, zaś w drugiej o
określenie wartości pozycji, zajętej w transakcji; przy tym wartość pozycji długiej równa jest
cenie, zaś wartość pozycji krótkiej równa jest cenie wziętej ze znakiem ujemnym.
Z kolei w przypadku instrumentów pochodnych „symetrycznych”, czyli kontraktów futures,
forward oraz swap istnieją dwa rozumienia pojęcia „wycena”:
1
1. Wycena rozumiana jako określenie ceny rynkowej instrumentu.
W tym przypadku jest to kwotowanie ceny instrumentu na rynku. Jest to oczywiście zawsze
wartość dodatnia. Przy tym:
- jeśli instrument sprzedawany jest na giełdzie, jest to cena giełdowa, taka sama niezależnie czy
zajmowana pozycja jest długa czy krótka;
- jeśli instrument jest oferowany w obrocie pozagiełdowym, na przykład w ofercie banku,
wówczas zazwyczaj mamy do czynienia z kwotowaniem dwustronnym, oznacza to, że bank
podaje cenę kupna (bid) i cenę sprzedaży (ask); jeśli podmiot, który korzysta z oferty banku, chce
zająć pozycję długą, obowiązuje cena sprzedaży (wyższa), a gdy chce zająć pozycję krótką,
obowiązuje cena kupna (niższa).
2. Wycena rozumiana jako określenie wartości pozycji w instrumencie.
W tym przypadku jest to dzisiejsza wartość instrumentu, w którym pozycja została zajęta w
wyniku zawartej wcześniej transakcji. Przy tym w tej transakcji jedna strona zajmuje pozycję
długą, zaś druga strona pozycję krótką. Wartość pozycji krótkiej jest to wartość pozycji długiej
wzięta ze znakiem minus. Wynika z tego, że suma wartości długiej i krótkiej pozycji wynosi 0.
Zazwyczaj występuje jedna z dwóch następujących sytuacji:
- wartość pozycji długiej jest dodatnia (na przykład 100), wtedy wartość pozycji krótkiej jest
ujemna (w tym przykładzie -100); wtedy strona zajmująca pozycję długą traktuje w
sprawozdaniu finansowym ten instrument jako aktywo, zaś strona zajmująca pozycję krótką
traktuje w sprawozdaniu finansowym ten instrument jako zobowiązanie;
- wartość pozycji długiej jest ujemna (na przykład -200), wtedy wartość pozycji krótkiej jest
dodatnia (w tym przykładzie 200); wtedy strona zajmująca pozycję długą traktuje w
sprawozdaniu finansowym ten instrument jako zobowiązanie, zaś strona zajmująca pozycję
krótką traktuje w sprawozdaniu finansowym ten instrument jako aktywo.
Należy jeszcze dodać, że w momencie zawarcia kontraktu jego cena jest ustalona na takim
poziomie, że wartość długiej i krótkiej pozycji wynosi zero, dlatego strony zawierające ten
kontrakt z reguły nie dokonują żadnej płatności.
W dalszych rozważaniach dotyczących wyceny „symetrycznych” instrumentów pochodnych
pokażemy szczegółowe rozwiązania dotyczące obu rodzajów wyceny, tzn. określenia ceny
2
rynkowej instrumentu i określenia wartości pozycji w tym instrumencie. Obecnie skoncentrujmy
się na ogólnych uwagach dotyczących wyceny instrumentów pochodnych, rozumianej jako
określenie ceny rynkowej instrumentu.
W tej wycenie dominująca jest koncepcja wyceny arbitrażowej (arbitrage pricing). Jak
pamiętamy, arbitraż jest to strategia, w której nie występuje nakład początkowy, która jest wolna
od ryzyka, a która przynosi w efekcie dodatni przepływ pieniężny. Podobnie, arbitraż jest to
strategia, która jest wolna od ryzyka, przynosi efekt w postaci dodatniego przepływu pieniężnego
na początku i w której nie występują żadne dodatnie i ujemne przepływy pieniężne.
Koncepcja wyceny arbitrażowej instrumentu pochodnego (jak również innego instrumentu
finansowego) ma u podstaw założenie, że cena instrumentu pochodnego ustalona jest na takim
poziomie, iż nie jest możliwe skonstruowanie strategii arbitrażowej, w której to strategii
występowałby ten instrument finansowy.
Przedstawimy teraz ogólny przykład ilustrujący zastosowanie koncepcji wyceny arbitrażowej, na
przykładzie hipotetycznych dłużnych instrumentów finansowych.
Przykład.
Dane są trzy instrumenty dłużne: instrument A – roczna obligacja zerokuponowa, o wartości
nominalnej 100 złotych, instrument B – dwuletnia obligacja zerokuponowa, o wartości
nominalnej 100 złotych oraz instrument C – dwuletnia obligacja o wartości nominalnej 100
złotych, oprocentowaniu 10%, w której odsetki płacone są raz w roku. Załóżmy, że cena
instrumentu A wynosi 90,91 zł, zaś cena instrumentu B wynosi 82,645 zł, przy tym instrumenty
te są dobrze wycenione na rynku. Pojawia się pytanie o wartość instrumentu C. Okazuje się, że w
wyniku zastosowaniu koncepcji wyceny arbitrażowej otrzymujemy wartość równą 100 zł. W celu
uzasadnienia tego stwierdzenia, rozpatrzymy dwie sytuacje, w których możliwe jest
skonstruowanie strategii arbitrażowej.
Sytuacja 1.
Załóżmy, że cena instrumentu C na rynku wynosi 97 zł. Oznacza to, że instrument ten jest
niedowartościowany – czyli warto go kupić. W tym wypadku możliwa jest następująca strategia
arbitrażowa:
Zakup (długa pozycja) 10 instrumentów C, sprzedaż (krótka pozycja) 1 instrumentu A oraz 11
instrumentów B.
3
Zauważmy, że strategia ta przynosi w momencie jej skonstruowania przychód netto:
90,91 zł (sprzedaż 1 instrumentu A) plus 909,09 zł (sprzedaż 11 instrumentów B) minus 970 zł
(zakup 10 instrumentów C),
co daje 30 zł.
Suma ta wynika z różnicy między wartością instrumentu C równą 100 zł, a ceną równą 97 zł, po
uwzględnieniu, iż zakup dotyczy 10 instrumentów.
Zauważmy, że realizacja tej strategii w ciągu dwóch lat nie wymaga żadnych dodatkowych
przepływów pieniężnych – jest to strategia samofinansująca się. Dodatnie przepływy pieniężne
otrzymywane z tytułu zakupu 10 instrumentów C są następujące: po pierwszym roku: 100 zł, po
drugim roku: 1100 zł. Jest to dokładnie równe zobowiązaniom – czyli ujemnym przepływom
pieniężnym z tytułu sprzedaży 1 instrumentu A i 11 instrumentów B.
Skoro strategia jest samofinansująca się, zaś na początku generowany jest dodatkowy przepływ
pieniężny równy 30 zł, wynika z tego możliwość arbitrażu. To zaś nie jest zgodne z koncepcją
wyceny arbitrażowej, zakładającej brak możliwości dokonania arbitrażu.
Sytuacja 2.
Załóżmy, że cena instrumentu C na rynku wynosi 104 zł. Oznacza to, że instrument ten jest
przewartościowany – czyli warto go sprzedać. W tym wypadku możliwa jest następująca
strategia arbitrażowa:
Sprzedaż (krótka pozycja) 10 instrumentów C, zakup (długa pozycja) 1 instrumentu A oraz 11
instrumentów B.
Zauważmy, że strategia ta przynosi w momencie jej skonstruowania przychód netto:
1040 zł (sprzedaż 10 instrumentów C) minus 90,91 zł (zakup 1 instrumentu A) minus 909,09 zł
(zakup 11 instrumentów B),
co daje 40 zł.
Suma ta wynika z różnicy między ceną instrumentu C równą 104 zł, a wartością równą 100 zł, po
uwzględnieniu, iż sprzedaż dotyczy 10 instrumentów.
Zauważmy, że realizacja tej strategii w ciągu dwóch lat nie wymaga żadnych dodatkowych
przepływów pieniężnych – jest to strategia samofinansująca się. Dodatnie przepływy pieniężne
otrzymywane z tytułu zakupu 1 instrumentu A i 11 instrumentów B są następujące: po
pierwszym roku: 100 zł, po drugim roku: 1100 zł. Jest to dokładnie równe zobowiązaniom – czyli
ujemnym przepływom pieniężnym z tytułu sprzedaży 10 instrumentów C.
4
Skoro strategia jest samofinansująca się, zaś na początku generowany jest dodatkowy przepływ
pieniężny równy 40 zł, wynika z tego możliwość arbitrażu. To zaś nie jest zgodne z koncepcją
wyceny arbitrażowej, zakładającej brak możliwości dokonania arbitrażu.
Wynika z tego, że w koncepcji wyceny arbitrażowej wartość instrumentu C wynosi 100 zł. Przy
tej cenie nie jest możliwe skonstruowanie strategii arbitrażowej.
W kolejnych podrozdziałach szczegółowo omówione zostaną zagadnienia związane z wyceną
instrumentów pochodnych, analizą ryzyka tych instrumentów oraz ich zastosowaniem.
2. Wycena opcji – wprowadzenie
Jako pierwszy instrument pochodny rozważymy opcję. W tym przypadku wycena jest rozumiana
przede wszystkim jako określenie wartości opcji. Jednak z drugiej strony, jest to również
określenie wartości pozycji. Konkretnie wartość długiej pozycji w opcji, czyli pozycji posiadacza
opcji, to nic innego jak właśnie określenie wartości opcji. Z kolei wartość krótkiej pozycji w
opcji, czyli pozycji wystawcy opcji, jest równa wartości opcji ze znakiem ujemnym.
Przy tym rozumienie wyceny opcji jest zawsze takie samo, niezależnie od tego, czy wycena
dokonywana jest w momencie zawierania transakcji, czy też jakiś czas po jej zawarciu (gdy
wycena jest dokonywana na przykład na potrzeby sprawozdania finansowego). Po prostu cena
rynkowa to opcji to jednocześnie wartość pozycji długiej posiadacza opcji.
Zanim przejdziemy do omówienia modeli wyceny opcji, konieczne jest przedstawienie pewnych
pojęć i zależności dotyczących wartości opcji, które są wykorzystywane w modelach wyceny
opcji. Są to następujące kwestie:
- opcja in-the-money, out-of-the-money, at-the-money;
- wartość wewnętrzna i wartość czasowa opcji;
- czynniki wpływające na wartość opcji;
- granice wartości opcji;
- parytet put-call;
- współczynniki greckie.
5
Opcja in-the-money, out-of-the-money, at-the-money
Niezależnie od rodzaju opcji (call lub put, europejska lub amerykańska) wyróżnić można trzy
sytuacje, w zależności od relacji między ceną instrumentu podstawowego a ceną wykonania
opcji. Zwyczajowo dla tych trzech sytuacji stosowane są specjalistyczne zwroty w języku
angielskim, są to:
- opcja jest in-the-money, krótko: opcja ITM;
- opcja jest out-of-the-money, krótko: opcja OTM;
- opcja jest at-the-money, krótko: opcja ATM.
Opcja jest in-the-money, gdy wykonanie jej jest opłacalne, tzn. gdy:
- w przypadku opcji call: wartość instrumentu podstawowego jest wyższa niż cena wykonania;
- w przypadku opcji put: wartość instrumentu podstawowego jest niższa niż cena wykonania.
Opcja jest out-of-the-money, gdy wykonanie jej nie jest opłacalne, tzn. gdy:
- w przypadku opcji call: wartość instrumentu podstawowego jest niższa niż cena wykonania;
- w przypadku opcji put: wartość instrumentu podstawowego jest wyższa niż cena wykonania.
Opcja jest at-the-money, gdy wartość instrumentu podstawowego jest równa cenie wykonania
(dotyczy to opcji call i opcji put).
Rysunki 7.1 i 7.2 przedstawiają interpretację graficzną tych trzech pojęć.
6
C
OTM
ATM
ITM
S
Rysunek 7.1. Opcja call: ITM, OTM, ATM.
P
ITM
ATM
OTM
S
7
Rysunek 7.2. Opcja put: ITM, OTM, ATM.
Na obu rysunkach przedstawiony jest wykres przychodu z opcji w zależności od ceny
instrumentu podstawowego. Jak widać, opcja jest ITM, gdy przychód ten jest dodatni, w
pozostałych przypadkach opcja jest OTM lub ATM.
Wartość wewnętrzna i wartość czasowa opcji
Wartość opcji, czyli inaczej premia, może być (poza pewnymi wyjątkami) przedstawiona jako
suma dwóch składników, w następujący sposób:
Wartość opcji = wartość wewnętrzna opcji + wartość czasowa opcji
Wartość wewnętrzna (intrinsic value) może być interpretowana jako suma, którą otrzymuje się,
gdyby opcja była w danym momencie wykonana. Wartość wewnętrzna jest dodatnia w
przypadku opcji ITM. Wtedy wartość wewnętrzna określona jest jako:
- w przypadku opcji call: cena instrumentu podstawowego minus cena wykonania;
- w przypadku opcji put: cena wykonania minus cena instrumentu podstawowego.
Z kolei w przypadku opcji OTM oraz ATM wartość wewnętrzna wynosi 0.
Wartość czasowa (time value) jest to różnica między wartością opcji a wartością wewnętrzną.
Jeśli wartość wewnętrzna jest równa 0, wtedy jedyną składową wartości opcji jest wartość
czasowa. Interpretacja wartości czasowej jest następująca: jest to „wartość nadziei” uczestników
rynku, że opcja o zerowej wartości wewnętrznej (OTM lub ATM) stanie się opcją ITM.
Zauważmy, że:
Przed dniem wygaśnięcia:
- opcja ITM ma wartość wewnętrzną i wartość czasową;
- opcje OTM i ATM mają tylko wartość czasową.
W dniu wygaśnięcia:
- opcja ITM ma tylko wartość wewnętrzną;
- opcje OTM i ATM nie mają ani wartości wewnętrznej ani wartości czasowej, opcje te wygasają
nie wykonane.
8
Należy dodać na zakończenie, że przedstawione pojęcia odnoszą się przede wszystkim do opcji
amerykańskich, jak również do europejskich opcji call, wystawionych na instrumenty
podstawowe, które nie przynoszą dochodów w okresie do wygaśnięcia opcji. W przypadku
europejskich opcji put powyższe interpretacje nie mogą być zastosowane, gdyż zdarza się, że
wartość takiej opcji jest niższa niż jej wartość wewnętrzna. Traktują o tym rozważania w dalszej
części.
Czynniki wpływające na wartość opcji
Na wartość opcji wpływa kilka czynników. Jak zobaczymy, wszystkie te czynniki są
uwzględnione w modelach wyceny opcji, które są omówione w dalszej części. Obecnie
przedstawimy te czynniki, przy czym odnoszą się one do następujących rodzajów opcji: opcji na
akcje, opcji na indeksy akcji i opcji walutowych. Czynniki te są następujące:
- cena wykonania;
- cena instrumentu podstawowego;
- długość okresu do terminu wygaśnięcia;
- zmienność cen instrumentu podstawowego;
- stopa procentowa (dana jako stopa wolna od ryzyka);
- stopa dywidendy (w przypadku opcji na akcje i opcji na indeksy akcji) lub stopa procentowa w
kraju obcej waluty (w przypadku opcji walutowych).
Obecnie przedstawimy wpływ każdego z tych czynników na wartość opcji, przy czym wpływ ten
jest analizowany, przy założeniu, że pozostałe czynniki wpływające na wartość opcji nie zmienią
się.
Jeśli chodzi o wpływ ceny wykonania, to:
- spośród dwóch opcji call różniących się tylko ceną wykonania, wyższą wartość ma opcja o
niższej cenie wykonania (opcja call to prawo kupna instrumentu podstawowego po ustalonej
cenie, więc im ta cena jest niższa, tym wyższa wartość tego prawa);
- spośród dwóch opcji put różniących się tylko ceną wykonania, wyższą wartość ma opcja o
wyższej cenie wykonania (opcja put to prawo sprzedaży instrumentu podstawowego po ustalonej
cenie, więc im ta cena jest wyższa, tym wyższa wartość tego prawa);
9
Cena instrumentu podstawowego to główny czynnik mający wpływ na wartość opcji, ale również
na wartość innych instrumentów pochodnych, co wynika wprost z definicji instrumentu
pochodnego. Im wyższa cena instrumentu podstawowego, tym:
- wyższa wartość opcji call;
- niższa wartość opcji put.
Prawidłowości te wynikają z jednej strony z wykresów wypłaty i dochodu dla opcji, z drugiej
strony z faktu, iż wyższa wartość instrumentu podstawowego oznacza wyższą wartość prawa
kupna po ustalonej cenie (opcja call) oraz niższą wartość prawa sprzedaży po ustalonej cenie
(opcja put).
Długość okresu do terminu wygaśnięcia wpływa dodatnio na wartość amerykańskiej opcji (call i
put). Im bowiem dłuższy okres to terminu wygaśnięcia, tym większa szansa, że opcja (call i put)
stanie się opcją ITM. Po prostu, dłuższy okres do terminu wygaśnięcia oznacza większą wartość
czasową opcji. W przypadku opcji europejskiej od tej zależności mogą się czasem zdarzyć
wyjątki.
Zmienność cen instrumentu podstawowego (volatility) jest to bardzo ważny czynnik. Zmienność
cen instrumentu podstawowego mierzona jest za pomocą odchylenia standardowego stopy
zwrotu, przy czym najczęściej stosowana jest koncepcja logarytmicznej stopy zwrotu, czyli
logarytmu naturalnego ilorazu ceny z danego okresu do ceny z okresu poprzedniego.
Jest to przy tym jedyny czynnik, w przypadku którego określenie wartości przez analityka
dokonującego wyceny opcji nie jest łatwym zadaniem. Zależność jest tu następująca: im wyższa
zmienność ceny instrumentu podstawowego, tym wyższa wartość opcji (call i put). Jest tak, gdyż
jeśli jest duża zmienność ceny instrumentu podstawowego, wówczas jest możliwość wystąpienia
bardzo wysokiej i bardzo niskiej ceny instrumentu podstawowego. Bardzo wysoka cena
instrumentu podstawowego oznacza, że opcja call staje się ITM, czyli zwiększa się jej wartość.
Bardzo niska cena instrumentu podstawowego oznacza, że opcja put staje się ITM, czyli zwiększa
się jej wartość.
Stopa procentowa (określona tutaj jako stopa wolna od ryzyka) wpływa na wartość opcji (przy
innych czynnikach nie zmieniających się) następująco. Wzrost stopy procentowej oznacza spadek
wartości obecnej (bieżącej) ceny wykonania opcji. W konsekwencji oznacza to wzrost wartości
opcji call i spadek wartości opcji put.
10
Jeśli instrument podstawowy, na który wystawiona jest opcja, przynosi dochody w terminie przed
wygaśnięciem opcji, wówczas stopa określająca te dochody wpływa na wartość opcji. Chodzi
tutaj o:
- stopę dywidendy – w przypadku opcji na akcje i opcji na indeksy;
- stopę w kraju obcej waluty, określoną jako stopa procentowa wolna od ryzyka w tym kraju – w
przypadku opcji walutowych.
Jeśli stopy te rosną, wówczas spada wartość opcji call i rośnie wartość opcji put.
Podsumowanie kierunku wpływu poszczególnych czynników na wartość opcji przedstawia
tablica 7.1. W tej tablicy wskazany jest kierunek wpływu, gdy wartość danego czynnika rośnie
(w przypadku ceny wykonania oznacza to nie wzrost ceny wykonania, lecz po prostu wyższą
cenę wykonania).
Tablica 7.1. Wpływ czynników na wartość opcji
Czynnik
Opcja call – wpływ
Opcja put – wpływ
Cena instrumentu podstawowego
Dodatni
Ujemny
Cena wykonania
Ujemny
Dodatni
Długość do terminu wygaśnięcia
Dodatni
Dodatni
Zmienność
Dodatni
Dodatni
Stopa procentowa
Dodatni
Ujemny
Stopa dywidendy, stopa zagraniczna
Ujemny
Dodatni
Należy jeszcze raz podkreślić, iż wpływ każdego czynnika jest analizowany przy założeniu
jednoczesnego braku wpływu innych czynników.
Granice wartości opcji
Obecnie podamy kilka nierówności, które powinna spełniać wartość opcji. Nierówności te
pozwalają na oszacowanie dolnej i górnej granicy wartości opcji. Przyjmijmy na początku, że
11
rozpatrujemy opcje europejskie, wystawione na akcję, która nie płaci dywidendy w okresie do
wygaśnięcia opcji.
W przypadku opcji call i opcji put zależności są następujące:
c0
(7.1)
cS
(7.2)
c  S  PV ( X )
(7.3)
p0
(7.4)
p  PV ( X )
(7.5)
p  PV ( X )  S
(7.6)
Gdzie:
c – wartość europejskiej opcji call;
p – wartość europejskiej opcji put;
S – wartość akcji;
X – cena wykonania.
PV – oznaczenie wartości obecnej, z zastosowaniem stopy wolnej od ryzyka.
Nierówności (7.1) i (7.4), oznaczające nieujemność wartości opcji, nie wymagają komentarza.
Nierówność (7.2) oznacza, że opcja call, będąca prawem kupna instrumentu podstawowego nie
może być droższa niż sam instrument podstawowy (każdy kupi wtedy instrument podstawowy
zamiast kupować prawo kupna tego instrumentu). Nierówność (7.5) porównuje przeliczony na
moment obecny nakład z efektem. Nakładem jest cena opcji put, zaś efektem wartość obecna
ceny wykonania. Z nierówności wynika, że nakład nie może być większy niż efekt.
Bardziej szczegółowego komentarza wymagają dwie pozostałe nierówności. Na wstępie
rozważmy nierówność (7.3). Dla jej wyjaśnienia przeanalizujemy dwie możliwe strategie
inwestycyjne, w których długość okresu inwestowania jest równa długości okresu do terminu
wygaśnięcia opcji:
12
Strategia 1. Zakup akcji.
Strategia 2. Zakup opcji call na tę akcję plus inwestycja wolna od ryzyka, której wartość
końcowa równa jest cenie wykonania opcji.
Wartości końcowe obu strategii są następujące:
Strategia 1. Cena akcji w momencie wygaśnięcia – oznaczmy ją S  .
Strategia 2. Suma wartości strategii składowych, przy czym wartość inwestycji wolnej od ryzyka
wynosi X, zaś wartość opcji, zależy od tego czy jest wykonana. W efekcie otrzymujemy:
- jeśli opcja wygasa nie wykonana ( S   X ) , wówczas wartość końcowa wynosi 0  X  X ;
- jeśli opcja jest wykonana ( S   X ) , wówczas wartość końcowa wynosi ( S   X )  X  S  .
Jak widać zatem, jeśli opcja jest wykonana, obie strategie dają ten sam wynik. W odwrotnej
sytuacji wynik strategii 2 jest wyższy (lub równy). Oznacza to, że dzisiejsza wartość (nakład) w
strategii 2 musi być nie mniejsza niż w strategii 1. W efekcie otrzymujemy:
c  PV ( X )  S
Nierówność ta po przekształceniu daje wzór (7.3).
Teraz rozpatrzmy nierówność (7.6). Dla jej wyjaśnienia przeanalizujemy dwie możliwe strategie
inwestycyjne, w których długość okresu inwestowania jest równa długości okresu do terminu
wygaśnięcia opcji:
Strategia 1. Zakup akcji.
Strategia 2. Wystawienie opcji put na tę akcję plus inwestycja wolna od ryzyka, której wartość
końcowa równa jest cenie wykonania opcji.
Wartości końcowe obu strategii są następujące:
Strategia 1. Cena akcji w momencie wygaśnięcia – oznaczmy ją S  .
Strategia 2. Suma wartości strategii składowych, przy czym wartość inwestycji wolnej od ryzyka
wynosi X, zaś wartość opcji (tutaj wzięta ze znakiem ujemnym, gdyż opcja jest wystawiana),
zależy od tego czy jest wykonana. W efekcie otrzymujemy:
- jeśli opcja wygasa nie wykonana ( S   X ) , wówczas wartość końcowa wynosi 0  X  X ;
- jeśli opcja jest wykonana ( S   X ) , wówczas wartość końcowa wynosi  ( X  S  )  X  S  .
13
Jak widać zatem, jeśli opcja jest wykonana, obie strategie dają ten sam wynik. W odwrotnej
sytuacji wynik strategii 2 jest niższy (lub równy). Oznacza to, że dzisiejsza wartość (nakład) w
strategii 2 musi być nie większa niż w strategii 1. W efekcie otrzymujemy:
 p  PV ( X )  S
Nierówność ta po przekształceniu daje wzór (7.6).
Przedstawione zależności, dane wzorami (7.1)-(7.6) dotyczą opcji europejskich wystawionych na
akcję, która nie płaci dywidendy w okresie do wygaśnięcia opcji. Część z tych zależności
pozostaje aktualna, gdy rozważymy opcje amerykańskie. Dotyczy to zależności dla opcji call,
danych wzorami (7.1)-(7.3), oraz zależności danej wzorem (7.4). Zmieniają się natomiast dwie
zależności dla opcji put, które przyjmują postać:
P X
(7.7)
P X S
(7.8)
Gdzie:
P – wartość amerykańskiej opcji put.
Jak widać, zależności dane w postaci nierówności w odniesieniu do europejskiej opcji call i
amerykańskiej opcji call są takie same (wzory (7.1)-(7.3)). Wynika to z ogólnej prawidłowości,
która wskazuje, iż w przypadku amerykańskiej opcji call wystawionej na akcję, która nie płaci
dywidendy w okresie do wygaśnięcia opcji, nie jest opłacalne wykonanie tej opcji przed
terminem wygaśnięcia. Ogólny argument popierający to stwierdzenie jest następujący: zapłacenie
ceny wykonania wcześniej pozbawia inwestora dochodu (po stopie wolnej od ryzyka), który
mógłby być uzyskany w okresie do terminu wygaśnięcia opcji.
Wynika z tego również, że wartości europejskiej i amerykańskiej opcji call wystawionej na akcję,
która nie płaci dywidendy, są równe. Właściwość ta dotyczy również opcji wystawionych na inny
instrument podstawowy, który nie przynosi dochodów w okresie do wygaśnięcia opcji.
14
Z kolei w przypadku amerykańskiej opcji put wystawionej na akcję, która nie płaci dywidendy w
okresie do wygaśnięcia opcji, jest opłacalne wykonanie tej opcji przed terminem wygaśnięcia.
Ogólny argument popierający to stwierdzenie jest następujący: otrzymanie ceny wykonania
wcześniej daje możliwość dodatkowego dochodu inwestora (po stopie wolnej od ryzyka), który
nie mógłby być uzyskany, gdyby opcja nie została wykonana. Wynika z tego, że opcja
amerykańska put jest więcej warta niż opcja europejska put. Ponieważ w przypadku opcji
amerykańskiej put, jej wartość może być równa jest wartości wewnętrznej, zaś opcja europejska
put jest warta mniej niż opcja amerykańska put (gdyż opłaca się wcześniejsze wykonanie opcji
amerykańskiej), wynika z tego, że wartość europejskiej opcji put może być niższa niż jej wartość
wewnętrzna. Oznacza to, iż przedstawiona wcześniej interpretacja wartości czasowej jako części
składowej wartości opcji, nie jest w tym przypadku zasadna.
Na zakończenie dodajmy jeszcze, iż w przypadku opcji na potrzeby wyznaczania wartości
bieżącej (obecnej) najczęściej przyjmuje się koncepcję kapitalizacji ciągłej.
Przedstawione zależności dla opcji europejskich na akcję nie płacącą dywidendy zmieniają się,
gdy opcja wystawiona jest na akcję, która wypłaci dywidendę w okresie do terminu wygaśnięcia
opcji. Zmieniają się wtedy nierówności (7.3) i (7.6), przyjmując postać:
c  S  PV ( D)  PV ( X )
(7.9)
p  PV ( X )  S  PV ( D)
(7.10)
Gdzie:
PV(D) – wartość obecna dywidend wypłaconych w okresie do terminu wygaśnięcia opcji.
Przykład.
Cena akcji wynosi 50 złotych. Rozpatrywane są dwie opcje, call i put, z terminem wygaśnięcia
pół roku, ceną wykonania 48 zł. Stopa wolna od ryzyka wynosi 8%. Wiadomo, że zostaną
wypłacone dwie dywidendy (na 1 akcję), pierwsza za miesiąc, w wysokości 1,2 zł, druga, za 4
miesiące, w wysokości 1,5 zł. Najpierw wyznaczymy wartość obecną dywidend. Wynosi ona:
15
PV ( D)  1,2e0,08(1 / 12)  1,5e0,08( 4 / 12)  2,65
Z kolei po podstawieniu do wzorów (7.9) i (7.10) otrzymujemy:
c  50  2,65  48e0,080,5  1,23
p  48e0,080,5  50  2,65  1,23
Jak widać, w tym przykładzie druga nierówność (dla opcji put) nie wnosi nowej informacji, gdyż
z oczywistych powodów wartość opcji w pierwszej kolejności musi być nieujemna, a zatem
również większa od wartości ujemnej.
Na zakończenie jeszcze przedstawimy ogólniejszą postać wzorów (7.9)-(7.10). Dotyczą one
sytuacji, gdy jest dowolny instrument podstawowy, który może przynosić dochody w okresie do
wygaśnięcia opcji. Wtedy wzory, będące uogólnieniami wzorów (7.3) i (7.6) oraz wzorów (7.9) i
(7.10) są następujące:
c  Se(b  r )T  Xe rT
(7.11)
p  Xe rT  Se(b  r )T
(7.12)
Gdzie:
T – czas do wygaśnięcia opcji (wyrażony w latach);
r – stopa wolna od ryzyka;
b – tzw. stopa „cost-of-carry” (cost-of-carry rate).
Nie wchodząc na razie w szczegóły dotyczące interpretacji stopy „cost-of carry”, przedstawimy
tylko jej szczególne przypadki, pozwalające na uzyskanie różnych szczegółowych wariantów
wzorów (7.11) i (7.12). Są to następujące przypadki:
b = r – opcja na akcję nie płacąca dywidendy;
16
b = r-q – opcja na akcję płacącą dywidendę lub indeks giełdowy (q oznacza stopę dywidendy);
b = r-rf – opcja walutowa (rf oznacza stopę wolną od ryzyka w kraju obcej waluty);
b = 0 – opcja na kontrakt futures.
Nierówności dane wzorami (7.1)-(7.3) zilustrowane są na rysunku 7.3.
C
B
E
C
E’
D
0
D’
A PV(X)
S
Rysunek 7.3.
Rysunek ten przedstawia zależność wartości opcji call od ceny instrumentu podstawowego (dla
ustalenia uwagi tutaj instrumentem podstawowym jest akcja). Przy tym rozważany jest pewien
okres przed terminem wygaśnięcia. Na rysunku zaznaczone są trzy linie, które określają zakres
możliwych wartości, jakie może przyjąć opcja. W szczególności:
- linia przechodząca przez punkty O oraz A odzwierciedla warunek (7.1) – pod uwagę bierze się
tylko punkty położone powyżej lub na linii;
17
- linia przechodząca przez punkty O oraz B odzwierciedla warunek (7.2) – pod uwagę bierze się
tylko punkty położone na prawo lub na linii;
- linia przechodząca przez punkty A oraz C odzwierciedla warunek (7.3) – pod uwagę bierze się
tylko punkty położone na lewo lub na linii.
Wynika z tego, że zakres możliwych wartości, jakie może przyjąć ta opcja call, jest określony
poprzez figurę zawartą między punktami O, A, B i C, przy czym ta figura jest nieograniczona od
góry (od strony odcinka BC). Zauważmy, że w miarę zbliżania się opcji do terminu wygaśnięcia
obszar możliwych wartości będzie się zmieniał. Ściślej, ponieważ wzrasta wartość obecna ceny
wykonania (aż do osiągnięcia ceny wykonania – w dniu będącym terminem wygaśnięcia), zatem
linia przechodząca przez punkty A i C będzie przesuwać się (równolegle) w prawo.
Na rysunku zaznaczona jest również krzywa, która ilustruje zależność wartości opcji od ceny
akcji. Krzywa ta (w danym dniu) mieści się w nieograniczonej figurze zawartej między punktami
O, A, B i C. Jest to oczywiście krzywa rosnąca (wzrost ceny akcji oznacza wzrost wartości opcji
kupna). Odległości między punktami leżącymi na tej krzywej a punktami leżącymi na łamanej
przechodzącej przez punkty O, A i C odzwierciedlają wartości czasowe opcji. Są to na przykład
odległości między punktami D i D’ oraz E i E’.
Z kolei nierówności przedstawione wzorami (7.4), (7.7) i (7.8), dotyczące amerykańskiej opcji
put, przedstawione są na rysunku 7.4.
18
P
B
X
0
C
A
S
Rysunek 7.4.
Rysunek ten przedstawia on zależność wartości amerykańskiej opcji put od ceny instrumentu
podstawowego (dla ustalenia uwagi instrumentem podstawowym jest akcja). Przy tym opcja
znajduje się pewien okres przed terminem wygaśnięcia. Na rysunku zaznaczone są trzy linie,
które określają zakres możliwych wartości, jakie może przyjąć opcja. W szczególności:
- linia przechodząca przez punkty O oraz A odzwierciedla warunek (7.4) – pod uwagę bierze się
tylko punkty położone powyżej lub na linii;
- linia przechodząca przez punkty B oraz C odzwierciedla warunek (7.7) – pod uwagę bierze się
tylko punkty położone poniżej lub na linii;
- linia przechodząca przez punkty A oraz B odzwierciedla warunek (7.8) – pod uwagę bierze się
tylko punkty położone na prawo lub na linii.
Wynika z tego, że zakres możliwych wartości, jakie może przyjąć ta opcja sprzedaży, jest
określony poprzez figurę zawartą między punktami A, B i C, przy czym ta figura jest
nieograniczona z prawej strony (od strony odcinka AC).
Na rysunku zaznaczona jest również krzywa, która ilustruje zależność wartości opcji od ceny
akcji. Krzywa ta (w danym dniu) mieści się w nieograniczonej figurze zawartej między punktami
19
A, B i C. Jest to oczywiście krzywa malejąca (wzrost ceny akcji oznacza spadek wartości opcji
kupna). Odległości między punktami leżącymi na tej krzywej a punktami leżącymi na łamanej
przechodzącej przez punkty A, B i G odzwierciedlają wartości czasowe opcji. Są to na przykład
odległości między punktami D i D’ oraz E i E’.
Z kolei nierówności przedstawione wzorami (7.4)-(7.6), dotyczące europejskiej opcji put,
przedstawione są na rysunku 7.5.
P
PV (X)
0
S
Rysunek 7.5.
Jak widać, rysunek ten różni się od poprzedniego tym, iż wartość opcji może być niższa od
wartości wewnętrznej.
Parytet put-call
Parytet ten, czasem nazywany parytetem sprzedaż-kupno, jest to zależność jaka zachodzi między
wartością opcji call i opcji put. Przy tym obie rozważane opcje są europejskie, są wystawione na
ten sam instrument podstawowy, mają tę samą cenę wykonania i ten sam termin wygaśnięcia.
20
Dla jej zlustrowania ponownie rozpatrzymy dwie strategie inwestycyjne, o długości okresu
inwestowania równej długości do terminu wygaśnięcia opcji, przy tym instrumentem
podstawowym jest akcja spółki nie płacąca dywidendy w okresie do wygaśnięcia opcji:
Strategia 1: zakup opcji call plus inwestycja wolna od ryzyka, której wartość końcowa równa jest
cenie wykonania opcji.
Strategia 2: zakup opcji put plus zakup akcji.
Wartości końcowe w obu strategiach zależą od tego, czy opcje są wykonywane. Możliwe są dwie
sytuacje:
1. Cena akcji w momencie wygaśnięcia opcji jest niższa niż cena wykonania (czyli S   X ),
wówczas wykonywana jest opcja put, a opcja call wygasa nie wykonana. Wartość końcowa
inwestycji wynosi:
- strategia 1: 0  X  X ;
- strategia 2: ( X  S  )  S   X
2. Cena akcji w momencie wygaśnięcia opcji jest wyższa lub równa cenie wykonania (czyli
S   X ), wówczas wykonywana jest opcja call, a opcja put wygasa nie wykonana. Wartość
końcowa inwestycji wynosi:
- strategia 1: ( S   X )  X  S  ;
- strategia 2: 0  S   S 
Jak zatem widać, w każdej z dwóch sytuacji wartość końcowa obu strategii jest równa. Oznacza
to, że wartość obecna (nakład) w obu strategiach jest równy, czyli:
c  PV ( X )  p  S
(7.13)
Wzór (7.13) może być zastosowany do określenia wartości opcji put, gdy znana jest wartość
opcji call i odwrotnie, pod warunkiem znajomości wartości instrumentu podstawowego i
charakterystyk opcji. Przy określaniu wartości bieżącej ceny wykonania, która występuje we
wzorze (7.13), najczęściej przyjmuje się koncepcję kapitalizacji ciągłej.
Przykład.
21
Cena akcji wynosi 50 zł, dane są dwie opcje wystawione na tę akcję: opcja call i opcja put. Cena
wykonania obu opcji wynosi 48 zł, termin wygaśnięcia 3 miesiące. Cena opcji call wynosi 3,5 zł.
Stopa wolna od ryzyka wynosi 10%. Na podstawie wzoru (7.13) otrzymujemy wartość opcji put:
p  c  PV ( X )  S  3,5  48e0,10, 25  50  0,31
Wzór (7.13) może być również zastosowany w innym celu, mianowicie do identyfikacji
możliwej strategii arbitrażowej. Strategia ta obejmuje wszystkie możliwe cztery instrumenty,
których wartości występują we wzorze (7.13). Instrumentami tymi są: opcja call, opcja put, akcja
oraz instrument wolny od ryzyka, który w terminie wygaśnięcia opcji daje przepływ pieniężny
równy cenie wykonania opcji. Przeprowadzenie strategii arbitrażowej jest możliwe, gdy parytet
put-call nie jest spełniony, czyli w miejsce równości we wzorze (7.13) występuje nierówność.
Przy tym:
- jeśli lewa strona we wzorze (7.13) jest wyższa niż prawa strona, wtedy strategia arbitrażowa jest
następująca: wystawić opcję call, zająć pozycję krótką w instrumencie wolnym od ryzyka, kupić
opcję put i kupić akcję;
- jeśli lewa strona we wzorze (7.13) jest niższa niż prawa strona, wtedy strategia arbitrażowa jest
następująca: kupić opcję call, zająć pozycję długą w instrumencie wolnym od ryzyka, wystawić
opcję put i sprzedać (np. krótko) akcję.
Jak widać, idea tych strategii wykorzystuje fakt występowania nierówności we wzorze (7.13), co
wskazuje na konieczność zajęcia długiej pozycji tam, gdzie wartość jest niższa i jednocześnie
krótkiej pozycji tam, gdzie wartość jest wyższa.
Przykład.
Cena akcji wynosi 50 zł, dane są dwie opcje wystawione na tę akcję: opcja call i opcja put. Cena
wykonania obu opcji wynosi 48 zł, termin wygaśnięcia 3 miesiące. Cena opcji call wynosi 4,5 zł,
zaś opcji put wynosi 0,5 zł. Stopa wolna od ryzyka wynosi 10%. Po podstawieniu do wzoru
(7.13) otrzymujemy nierówność:
4,5  48e0,10, 25  0,5  50
22
Przy tym różnica między lewą i prawą stroną wynosi 0,81 zł. Sugeruje to przeprowadzenie
strategii arbitrażowej, która polega na: wystawieniu opcji call, zajęciu pozycji krótkiej w
instrumencie wolnym od ryzyka, kupieniu opcji put i kupieniu akcji. W ten sposób generowany
jest dochód netto (wynoszący 0,81 zł) w momencie początkowym strategii. Strategia ta jest
wolna od ryzyka, gdyż jej wartość końcowa – po trzech miesiącach – nie zależy od ceny akcji.
Dla zilustrowania tego faktu rozważymy dwa scenariusze kształtowania się ceny akcji po trzech
miesiącach:
Scenariusz 1. Cena akcji wynosi 52 zł. W tym wypadku wykonywana jest opcja call, zaś wygasa
opcja put. Wartość końcowa strategii wynosi:
52 zł (cena akcji) plus 0 zł (wartość opcji put) minus 48 zł (wartość inwestycji wolnej od ryzyka)
minus 4 zł (wartość opcji call), czyli 0 zł.
Scenariusz 2. Cena akcji wynosi 44 zł. W tym wypadku wykonywana jest opcja put, zaś wygasa
opcja call. Wartość końcowa strategii wynosi:
44 zł (cena akcji) plus 4 zł (wartość opcji put) minus 48 zł (wartość inwestycji wolnej od ryzyka)
minus 0 zł (wartość opcji call), czyli 0 zł.
W obu scenariuszach wartość końcowa strategii jest taka sama. Podobny efekt otrzymuje się przy
założeniu dowolnej ceny akcji po trzech miesiącach. Jest to strategia wolna od ryzyka, której
wartość końcowa wynosi 0 zł, zaś na początku generuje dochód netto równy 0,81 zł. Jest to
zatem strategia arbitrażowa.
Należy jeszcze dodać, że powyżej opisana strategia arbitrażowa przynosi efekt, gdy koszty
transakcji z nią związane są niższe niż dochód arbitrażowy.
Przedstawiony parytet put-call, w postaci wyrażonej wzorem (7.13), dotyczy opcji wystawionych
na akcję nie płacącą dywidendy do wygaśnięcia opcji. Teraz podamy ogólny wzór, gdzie opcje są
wystawione na dowolny instrument podstawowy. Jedynym warunkiem jest to, że opcje są
europejskie, mają ten sam termin wygaśnięcia i tę samą cenę wykonania. Wtedy parytet put-call
dany jest następującym wzorem:
c  Xe rT  p  Se(b  r )T
(7.14)
23
Gdzie:
b – tzw. stopa „cost-of-carry” (cost-of-carry rate), przy czym szczególne przypadki to:
b = r – opcja na akcję nie płacąca dywidendy;
b = r-q – opcja na akcję płacącą dywidendę lub indeks giełdowy (q oznacza stopę dywidendy);
b = r-rf – opcja walutowa (rf oznacza stopę wolną od ryzyka w kraju obcej waluty);
b = 0 – opcja na kontrakt futures.
Współczynniki greckie
Współczynniki greckie (Greek coefficients, greeks) odgrywają dużą rolę w analizie opcji. Ich
nazwa wynika z faktu, iż znaczna część tych współczynników oznaczana jest literami greckimi.
Są one współczynnikami wrażliwości, zazwyczaj chodzi tu o wrażliwość wartości (ceny) opcji
względem czynnika, który wpływa na tę cenę. Przedstawimy tutaj najważniejsze współczynniki
wrażliwości.
Formalnie każdy z tych współczynników jest określony jako pochodna (matematyczna) wartości
opcji względem konkretnego czynnika. Wynika z tego ogólna interpretacja greckiego
współczynnika, mianowicie wskazuje on, jak zmieni się wartość opcji, gdy wartość
rozpatrywanego czynnika zmieni się o jednostkę, zaś wartości pozostałych czynników nie
zmienią się. Wynika z tego, że współczynniki greckie można traktować jako miary ryzyka opcji.
Przy stosowaniu współczynników greckich należy pamiętać o dwóch ważnych kwestiach
związanych z interpretacją czynnika:
- rozważać można jedynie wpływ niewielkich zmian czynnika (z uwagi na to, iż formalnie
współczynnik grecki jest pochodną w sensie matematycznym);
- przy rozpatrywaniu wpływu danego czynnika abstrahuje się od wpływu innych czynników,
które przecież w praktyce też mogą się zmienić.
Przedstawimy tutaj kilka greckich współczynników. Określają one wpływ większości wcześniej
przedstawionych czynników. Jedynym czynnikiem, który nie jest tu rozpatrywany, jest cena
wykonania. Wynika to z faktu, że cena wykonania (w standardowych opcjach) nie ma charakteru
dynamicznego. Trudno jest zatem mówić o wpływie zmiany ceny wykonania na wartość opcji.
Definicje greckich współczynników przedstawione są w odniesieniu do opcji call (opcji kupna),
jednak takie same definicje występują w odniesieniu do opcji put (opcji sprzedaży).
24
Najważniejszym współczynnikiem greckim jest współczynnik delta. Określa on wrażliwość
wartości opcji na zmiany ceny instrumentu podstawowego. Dany jest następującym wzorem:

c
S
(7.15)
Przy czym:
 – symbol pochodnej.
Współczynnik delta określa o ile w przybliżeniu zmieni się wartość opcji, gdy cena instrumentu
podstawowego wzrośnie o jednostkę.
Najważniejsze właściwości współczynnika delta są następujące:
- w przypadku opcji call współczynnik delta zawiera się w przedziale [0;1];
- w przypadku opcji put współczynnik delta zawiera się w przedziale [-1;0].
- im bardziej opcja jest OTM, tym współczynnik delta jest bliższy 0 (dodatni lub ujemny);
- im bardziej opcja jest ITM, tym współczynnik delta jest bliższy 1 (opcja call) lub -1 (opcja put);
- współczynnik delta określony w odniesieniu do instrumentu podstawowego wynosi 1.
Współczynnik delta może być określony również w odniesieniu do portfela opcji. Stosowany jest
tu następujący wzór:
n
 p   xi i
(7.16)
i 1
Gdzie:
n – liczba rodzajów opcji w portfelu;
xi – liczba opcji i-tego rodzaju w portfelu.
Jak wynika ze wzoru (7.16), współczynnik delta portfela jest to ważona suma współczynników
delta składowych portfela, przy czym wagami są liczby odpowiednich składowych w portfelu.
25
Przykład.
Dana jest akcja pewnej spółki oraz opcja call na tę akcję. Współczynnik delta tej opcji wynosi
0,25. Utworzony jest portfel, zawierający 50 sztuk akcji kupionych (czyli długa pozycja) oraz
200 sztuk opcji call wystawionych (czyli krótka pozycja). W portfelu na każdą kupioną opcję
przypadają 4 wystawione opcje. Zauważmy, że 4 jest to odwrotność współczynnika delta.
Współczynnik delta portfela wynosi – zgodnie ze wzorem (7.16)), przy czym znaki
odzwierciedlają długie i krótkie pozycje:
 p  50  1  200  0,25  0
Ponieważ współczynnik delta portfela wynosi 0, oznacza to, że rozważany portfel jest w danym
momencie niewrażliwy na zmiany cen akcji spółki, czyli jest to portfel wolny od ryzyka cen
akcji.
Przedstawiona strategia otrzymywania portfela wolnego od ryzyka cen instrumentu
podstawowego jest nazywana strategią delta-hedgingu lub strategią delta-neutralną. Sam
portfel utworzony w ten sposób nazywa się portfelem delta-neutralnym. Z przedstawionego
przykładu można wyciągnąć ogólniejszy wniosek, mianowicie: w celu skonstruowania strategii
delta-hedgingu dla portfela zawierającego akcje i opcje call należy na każdą zakupioną akcję
wystawić liczbę opcji call równą odwrotności współczynnika delta.
Należy jednak zwrócić uwagę, że portfel delta-neutralny jest wolny od ryzyka w danym
momencie. Z uwagi na to, że współczynnik delta może się zmieniać, skonstruowany portfel
delta-neutralny może nim przestać być po upływie pewnego czasu. Ilustruje to przykład, będący
kontynuacją poprzedniego przykładu.
Przykład.
Dana jest akcja pewnej spółki oraz opcja call na tę akcję. Współczynnik delta tej opcji wynosi
0,25. Utworzony jest portfel, zawierający 50 sztuk akcji kupionych (czyli długa pozycja) oraz
200 sztuk opcji call wystawionych (czyli krótka pozycja). Jest to (jak wskazywaliśmy) portfel
delta-neutralny. Jednak po upływie pewnego czasu współczynnik delta opcji rośnie i wynosi 0,5.
Współczynnik delta portfela wynosi teraz:
26
 p  50  1  200  0,5  50
Oznacza to, że w przypadku wzrostu (spadku) ceny akcji o jednostkę, wartość portfela spadnie
(wzrośnie) o około 50 jednostek. Portfel ten nie jest już wolny od ryzyka.
Z przedstawionego przykładu wynika, że współczynnik delta może się zmieniać w miarę zmian
cen instrumentu podstawowego. Tempo tych zmian informuje o tym, na ile utworzony portfel
delta-neutralny może (w przybliżeniu) takim portfelem pozostać. Informuje o tym kolejny
współczynnik grecki, który teraz przedstawimy. Jest to współczynnik gamma. Określa on
wrażliwość współczynnika delta na zmiany ceny instrumentu podstawowego, jest zatem
pochodną współczynnika delta względem ceny instrumentu podstawowego, czyli po prostu drugą
pochodną wartości opcji względem ceny instrumentu podstawowego – zgodnie z następującym
wzorem:
  2c

 2
S S
(7.17)
Współczynnik gamma określa, o ile w przybliżeniu zmieni się wartość współczynnika delta
opcji, gdy cena instrumentu podstawowego wzrośnie o jednostkę.
Najważniejsze właściwości współczynnika gamma są następujące:
- współczynnik gamma przyjmuje wartości nieujemne;
- najwyższe wartości współczynnik gamma przyjmuje dla opcji ATM znajdujących się blisko
terminu wygaśnięcia;
- współczynnik gamma określony w odniesieniu do instrumentu podstawowego wynosi 0;
- współczynnik gamma dla portfela opcji jest to ważona suma współczynników gamma
składowych portfela, przy czym wagami są liczby odpowiednich składowych w portfelu (taka
sama właściwość jak dla współczynnika delta) – w ten sposób otrzymamy wzór analogiczny do
wzoru (7.16).
27
Ostatnia właściwość sugeruje strategię tworzenia portfela złożonego z opcji i instrumentu
podstawowego, tak aby jednocześnie współczynnik delta tego portfela oraz współczynnik gamma
tego portfela były równe 0. Taka strategia nosi nazwę delta-gamma hedgingu, zaś portfel nazwę
delta-gamma neutralnego. Jest to portfel w danym momencie niewrażliwy na zmiany ceny
instrumentu podstawowego, ale dodatkowo o właściwości pozostania niewrażliwym.
Trzecim współczynnikiem greckim, który przedstawimy, jest współczynnik vega. Wyjątkowo
współczynnik ten nie jest nazywany literą grecką (lecz słowem łacińskim), lecz w przeszłości był
nazywany współczynnikiem kappa i do dziś czasem jest tak oznaczany. Określa on wrażliwość
wartości opcji na zmiany zmienności instrumentu podstawowego, zgodnie ze wzorem:
vega   
c

(7.18)
Gdzie:
 – odchylenie standardowe (logarytmicznej) stopy zwrotu.
Współczynnik vega określa, o ile w przybliżeniu zmieni się wartość opcji, gdy zmienność
instrumentu podstawowego wzrośnie o jednostkę.
Najważniejsze właściwości współczynnika vega są następujące:
- współczynnik vega przyjmuje wartości nieujemne;
- wartość vega maleje w miarę zbliżania się do terminu wygaśnięcia opcji;
- współczynnik vega określony w odniesieniu do instrumentu podstawowego wynosi 0;
- współczynnik vega dla portfela opcji jest to ważona suma współczynników vega składowych
portfela, przy czym wagami są liczby odpowiednich składowych w portfelu (taka sama
właściwość jak dla współczynników delta i gamma) – w ten sposób otrzymamy wzór analogiczny
do wzoru (7.16).
Ostatnia właściwość sugeruje strategię tworzenia portfela złożonego z opcji i instrumentu
podstawowego, tak aby jednocześnie współczynniki delta, gamma i vega tego portfela były
równe 0. Taka strategia nosi nazwę delta-gamma-vega hedgingu, zaś portfel nazwę deltagamma-vega neutralnego. Jest to portfel w danym momencie niewrażliwy na zmiany ceny
28
instrumentu podstawowego, zmiany zmienności instrumentu podstawowego i dodatkowo o
właściwości pozostania niewrażliwym na zmiany ceny instrumentu podstawowego.
Zastosowanie delta-gamma-vega hedgingu ilustruje kolejny przykład.
Przykład.
Dana jest akcja pewnej spółki oraz trzy rodzaje opcji: opcja call na akcję z trzy miesięcznym
terminem wygaśnięcia, oznaczona przez A, opcja call na tę akcję z kilkudniowym terminem
wygaśnięcia, oznaczona przez B i opcja put na tę akcję z miesięcznym terminem wygaśnięcia,
oznaczona przez C. Współczynniki greckie tych opcji wynoszą:
- współczynnik delta: opcja A: 0,2, opcja B: 0,8, opcja C: -0,5;
- współczynnik gamma: opcja A: 5, opcja B: 8, opcja C: 6;
- współczynnik vega: opcja A: 10, opcja B: 2, opcja C: 4.
Inwestor zakupił 100 akcji spółki. W związku z tym pojawia się pytanie o liczbę poszczególnych
opcji, które oprócz tych akcji powinny się znaleźć w portfelu, tak aby był to portfel delta-gammavega neutralny. Oznacza to, że współczynniki delta, gamma i vega tego portfela powinny być
równe 0. Po podstawieniu do trzech równań, w których wykorzystany jest wzór (7.16) oraz
analogiczne wzory dla współczynników gamma i vega, otrzymujemy:
100  0,2 x A  0,8 xB  0,5 xC  0
0  5 x A  8 xB  6 xC  0
0  10 x A  2 xB  4 xC  0
Po rozwiązaniu tego układu równań otrzymujemy:
xA  28,17; xB  56,34; xC  98,59
Oznacza to, że w celu otrzymania portfela delta-gamma-vega neutralnego należy oprócz zakupu
100 akcji, dodatkowo wystawić około 28 opcji A, wystawić około 56 opcji B oraz kupić około 99
opcji C.
29
Czwarty współczynnik grecki, który przedstawimy, jest to współczynnik theta. Określa on
wrażliwość wartości opcji na zmianę długości okresu do terminu wygaśnięcia, według
następującego wzoru:
 
c
T
(7.19)
Współczynnik theta określa, o ile zmieni się wartość opcji, gdy czas spadnie o jednostkę, a
pozostałe czynniki wpływające na wartość opcji nie zmienią się. Współczynnik ten przyjmuje
wartości ujemne, co odzwierciedla fakt, że w miarę upływu czasu spada wartość czasowa opcji.
Podstawowe właściwości współczynnika theta są następujące:
- przyjmuje on wartość ujemną dla obu rodzajów opcji;
- zazwyczaj w przypadku opcji ITM lub OTM, współczynnik ten zbliża się do zera, w miarę
zbliżania się do terminu wygaśnięcia.
Piątym i ostatnim spośród podstawowych współczynników greckich jest współczynnik rho.
Określa on wrażliwość wartości opcji na zmiany stopy procentowej (jest to stopa wolna od
ryzyka). Współczynnik ten dany jest następującym wzorem:

c
r
(7.20)
Wartość współczynnika rho określa, o ile zmieni się wartość opcji, gdy stopa procentowa
wzrośnie o jednostkę (z reguły 1 punkt procentowy).
Jeśli mamy do czynienia z opcją walutową, wówczas wyróżnia się dwa współczynniki rho,
czasem oznaczane jako rho1 i rho2. Są to miary wrażliwości wartości opcji na zmiany krajowej
stopy procentowej (wolnej od ryzyka) i zmiany zagranicznej stopy procentowej (wolnej od
ryzyka).
30
Praktycy stosują jeszcze inne współczynniki, na przykład, współczynnik lambda określa, o ile
procent zmieni się wartość opcji, gdy cena instrumentu podstawowego zmieni się o 1% - jest to
po prostu miernik elastyczności.
3. Wycena opcji – model dwumianowy
Po przedstawieniu zagadnień wprowadzających do wyceny opcji można już przejść do
omówienia podstawowych modeli wyceny opcji. Jako pierwszy przedstawimy model
dwumianowy. Autorami tego modelu są John Cox, Stephen Ross i Mark Rubinstein, zaś
oficjalnie opublikowany został w 1979 roku. Ma on jedną podstawową zaletę, którą jest prostota i
łatwość przekazania ogólnej idei klasycznych modeli wyceny opcji. Należy jednak zaznaczyć, iż
model dwumianowy jest w pewnym sensie modelem aproksymującym model Blacka-ScholesaMertona (opisany w następnym podrozdziale), a zatem w praktyce jest stosowany nieco rzadziej
(przynajmniej w odniesieniu do niektórych opcji).
Model dwumianowy wyceny opcji wykorzystuje przedstawioną wcześniej zasadę wyceny
arbitrażowej. Model ten ma u podstaw założenie, że zmiany ceny instrumentu podstawowego
kształtują się zgodnie z rozkładem dwumianowym, która to idea jest zilustrowana na rysunku 7.6
w postaci tzw. drzewa dwumianowego.
31
uuuuS
uuuS
uuS
uuudS
uS
S
uudS
udS
uuddS
dS
uddS
ddS
udddS
dddS
ddddS
Rysunek 7.6.
Na rysunku tym przedstawione są zmiany ceny instrumentu podstawowego w modelu
dwumianowym czterookresowym. Model ten ma u podstaw założenie skokowych zmian cen
instrumentu podstawowego w kolejnych okresach. Dla ustalenia uwagi na rysunku tym
instrumentem podstawowym jest akcja. W obecnym okresie cena ta wynosi S, zaś w każdym z
kolejnych okresów może wzrosnąć lub spaść. Na przykład w pierwszym okresie cena może
wzrosnąć do poziomu uS lub spaść do poziomu dS. Oczywiście zasadne jest przyjęcie założenia,
że:
d  1  er  u
32
Gdzie:
r – stopa wolna od ryzyka, wyrażona w skali okresu do wygaśnięcia opcji.
Założenie to oznacza, że wzrost ceny akcji w stosunku do ceny poprzedniej powinien być o
więcej, niż wynika to ze stopy wolnej od ryzyka (gdyż akcja jest obarczona ryzykiem).
Z rysunku wynika, że po upłynięciu czterech okresów otrzymujemy pięć różnych możliwych
wartości akcji, przy czy istnieją różne możliwe „ścieżki dojścia” do danego poziomu w ostatnim
okresie. Na przykład wartość oznaczona jako uuudS, może być otrzymana w scenariuszu trzech
wzrostów i jednego spadku ceny w kolejnych okresach, a więc na cztery sposoby, gdyż spadek
ceny musi nastąpić w jednym z czterech kolejnych okresów, a w pozostałych muszą być wzrosty.
Dla przedstawienia idei samego modelu dwumianowego wyceny opcji pod uwagę weźmiemy
model dwuokresowy i rozpatrzymy go w odniesieniu do europejskiej opcji call na akcję, która
nie płaci dywidendy w okresie do wygaśnięcia opcji. Zakładamy, iż termin wygaśnięcia opcji jest
zgodny z okresem drzewa dwumianowego. Zilustrowane jest to na rysunku 7.7, przy czym w
każdym węźle drzewa dwumianowego zaznaczona jest cena akcji oraz (pod nią w nawiasie)
wartość opcji.
uS
(cu)
S
dS
(cd)
Rysunek 7.7.
33
Jak wynika z rysunku, znane są wartości opcji w terminie wygaśnięcia (koniec pierwszego
okresu), gdyż są one po prostu równe wartościom wewnętrznym opcji. Przyjmijmy, że czas do
wygaśnięcia wynosi T (mierzone w latach), zaś stopa wolna od ryzyka wynosi r.
Ideę modelu dwumianowego przedstawimy w dwóch równoważnych wersjach.
Wersja 1. Polega ona na konstrukcji portfela, złożonego z jednej akcji (pozycja długa) oraz h
opcji call (pozycja krótka), w proporcji określonej wartością h. Dzisiejsza wartość tego portfela
wynosi:
S  hc
Przy tym portfel ten jest skonstruowany w taki sposób, aby był wolny od ryzyka cen akcji.
Oznacza to, że portfel ten powinien mieć tę samą wartość w terminie wygaśnięcia opcji,
niezależnie od tego czy cena akcji wzrośnie czy spadnie. Wobec tego powinna być spełniona
zależność:
uS  hcu  dS  hcd
Wynika z tego, że liczba akcji opcji call wystawionych na 1 akcję musi spełniać następujący
warunek:
h
S (u  d )
cu  cd
Zauważmy, że współczynnik h, zwany również współczynnikiem zabezpieczającym (hedge
ratio), jest to iloraz różnicy cen akcji do różnicy cen opcji, w momencie wygaśnięcia opcji.
Wersja 2. Polega ona na konstrukcji portfela, złożonego z Δ akcji (pozycja długa) oraz 1 opcji
call (pozycja krótka), w proporcji określonej wartością Δ. Dzisiejsza wartość tego portfela
wynosi:
34
S  c
Przy tym portfel ten jest skonstruowany w taki sposób, aby był wolny od ryzyka cen akcji.
Oznacza to, że portfel ten powinien mieć tę samą wartość w terminie wygaśnięcia opcji,
niezależnie od tego czy cena akcji wzrośnie czy spadnie. Wobec tego powinna być spełniona
zależność:
uS  cu  dS  cd
Wynika z tego, że liczba zakupionych akcji przypadających na 1 opcję call musi spełniać
następujący warunek:

cu  cd
S (u  d )
Zauważmy, że współczynnik Δ jest to iloraz różnicy cen opcji do różnicy cen akcji, w momencie
wygaśnięcia opcji. Jest to również nic innego, jak omówiony współczynnik grecki, nazywany
właśnie współczynnikiem delta (z tego wynika jednorodność oznaczenia). Z drugiej strony
współczynnik ten to nic innego, jak odwrotność współczynnika zabezpieczenia h, co potwierdza
równoważność obu wersji. Z uwagi na te równoważność dalszy opis idei modelu dwumianowego
podamy w odniesieniu do wersji drugiej, czyli tej, w której występuje współczynnik Δ.
Powyżej został utworzony portfel, którego wartość nie zależy od kształtowania się cen akcji,
czyli jest wolny od ryzyka. Powinien on zatem przynosić stopę dochodu równą stopie wolnej od
ryzyka. Wynika to z zasady braku arbitrażu. Istnienie możliwości arbitrażowych doprowadziłoby
bowiem do uzyskania stopy zwrotu wyższej niż stopa wolna od ryzyka. Wynika z tego, że
wartość portfela musi być równa wartości obecnej (bieżącej) obliczonej z końcowej wartości
portfela, z zastosowaniem stopy wolnej od ryzyka. Otrzymujemy zatem (przyjmując, jak to się
zwykle czyni, konwencję kapitalizacji ciągłej):
35
uS  cu
S  c 
erT
Po podstawieniu do powyższego wzoru otrzymanego wyżej wzoru na Δ i przekształceniach
otrzymujemy:
gc u  (1  g )c d
c
e rT
(7.21)
gdzie:
erT  d
g
ud
(7.22)
Ze wzoru (7.21) wynika, że wartość europejskiej opcji call w modelu dwumianowym jest to
wartość obecna średniej ważonej możliwych wartości opcji w terminie wygaśnięcia, przy czym
wagi zależą od parametru g, określonego wzorem (7.22).
Mechanizm działania modelu dwumianowego jednookresowego może być ilustrowany na
następującym przykładzie.
Przykład.
Dana jest akcja, której cena wynosi 50 zł, oraz opcja europejska call na tę akcję, której cena
wykonania wynosi 55 zł, z terminem wygaśnięcia trzy miesiące. Stopa wolna od ryzyka wynosi
8%. Zakładamy, że w momencie wygaśnięcia opcji cena akcji może przyjąć jedną z dwóch
wartości: 60 zł lub 40 zł. Wynika z tego, że u=1,2, zaś d=0,8. Wiadomo zatem, jakie są możliwe
wartości opcji w terminie wygaśnięcia, są nimi: 5 zł i 0 zł.
Jeśli zatem stworzymy portfel wolny od ryzyka, składający się z Δ akcji (długa pozycja) oraz
jednej opcji call (krótka pozycja), wówczas:
36

50
 0,25
60  40
Wartość tego portfela w momencie wygaśnięcia wynosi:
0,25  60  5  10
Z kolei wartość obecna tego portfela wynosi:
10e0,080, 25  9,80
Ponieważ w skład tego portfela wchodzi Δ akcji i 1 opcja, otrzymujemy warunek określający
wartość obecną tego portfela:
9,80  0,25  50  c
Wynika z tego, że wartość opcji wynosi (około):
c  2,70
Oczywiście ten sam wynik otrzymujemy po zastosowaniu wzorów (7.21) i (7.22). Po
podstawieniu do wzoru (7.22) otrzymujemy bowiem:
e0,080, 25  0,8
g
 0,55
1,2  0,8
Zgodnie ze wzorem (7.21) wartość opcji jest wartością obecną ważonej średniej wartości opcji w
terminie wygaśnięcia, a zatem:
37
c
0,55  5  0,45  0
 2,70
0 , 08 0 , 25
e
W przedstawionej metodzie wyceny za pomocą modelu dwumianowego jednoookresowego
pojawiło się kluczowe założenie dotyczące scenariuszy wzrostu i spadku wartości instrumentu
podstawowego (w tym przypadku akcji). Założenie to jest to w gruncie rzeczy założeniem
zmienności cen instrumentu podstawowego. Jak wiadomo z poprzednich rozważań, zmienność
jest jednym z podstawowych czynników wpływających na wartość opcji. Jest to przy tym jedyny
czynnik, którego wartość musi być określona przez analityka. Dla zilustrowania tego wpływu w
modelu dwumianowym zobaczymy kolejny przykład będący modyfikacją poprzedniego
przykładu.
Przykład.
Dana jest akcja, której cena wynosi 50 zł, oraz opcja europejska call na tę akcję, której cena
wykonania wynosi 55 zł, z terminem wygaśnięcia trzy miesiące. Stopa wolna od ryzyka wynosi
8%. Zakładamy, że w momencie wygaśnięcia opcji cena akcji może przyjąć jedną z dwóch
wartości: 70 zł lub 30 zł. Wiadomo zatem jakie są możliwe wartości opcji w terminie
wygaśnięcia, są nimi: 15 zł i 0 zł. Jak widać w tym przykładzie skok cen akcji jest o 40%, czyli
większy niż w poprzednim przykładzie, w którym wynosił on 20%.
Po zastosowaniu wzorów (7.22) i (7.21) otrzymujemy:
e0,080, 25  0,6
g
 0,525
1,4  0,6
Oraz:
c
0,525  15  0,475  0
 7,72
0 , 08 0 , 25
e
38
Jest to zdecydowanie wyższa wartość niż w poprzednim przykładzie, z uwagi na wyższą
zmienność.
Najważniejszym problemem związanym z zastosowaniem modelu dwumianowego w praktyce
jest określenie wartości u oraz d, odzwierciedlających wzrost i spadek ceny akcji (lub innego
instrumentu podstawowego). Wartości te zależą oczywiście od zmienności cen instrumentu
podstawowego. Jedno z najczęściej przyjmowanych rozwiązań wyrażone jest następującymi
wzorami:
u  e
d  e 
t
t
(7.23)
(7.24)
Gdzie:
σ – odchylenie standardowe stopy zwrotu;
Δt – długość okresu w modelu dwumianowym.
Oczywiście kluczowe jest tu określenie wartości σ. Problem ten zostanie omówiony w następnym
podrozdziale.
Przedstawiony przykład oraz wzory wskazywały na sposób wyceny opcji europejskiej call w
modelu dwumianowym jednookresowym. Sposób postępowania jest zbliżony w innych
sytuacjach, w szczególności:
1. Wycena w modelu wielookresowym.
Zasada jest tu dokładnie taka sama, jak przedstawiona poprzednio, z tym, że wycena następuje
sekwencyjnie, „od końca”, co oznacza, że po określeniu wartości opcji w terminie wygaśnięcia
(okres n) określa się wartości opcji w kolejnych węzłach poprzedzającego okresu (o numerze n1), następnie na ich podstawie wartości opcji w węzłach poprzedzającego okresu (o numerze n2), itd. aż do otrzymania wartości w okresie, na który dokonywana jest wycena.
2. Wycena opcji put.
Wycena dokonywana jest tak samo, jak dla opcji call, z tym, że oczywiście na początku
określane wartości opcji put w terminie wygaśnięcia.
39
3. Wycena opcji amerykańskich.
W tym przypadku następuje modyfikacja procesu wyceny poprzez sprawdzenie w każdym węźle
pośrednim, czy jest bardziej opłacalne wykonanie opcji czy trzymanie jej. Wartość opcji w
danym węźle jest wtedy modyfikowana poprzez wzięcie maksymalnej z dwóch wartości:
wartości opcji bez możliwości wykonania i wartości w wypadku wykonania opcji.
Zasady te są zilustrowane w trzech kolejnych przykładach.
Przykład.
Dana jest akcja, której cena wynosi 50 zł, oraz opcja europejska call na tę akcję, której cena
wykonania wynosi 55 zł, z terminem wygaśnięcia pół roku. Stopa wolna od ryzyka wynosi 8%.
Rozpatrywany jest model dwumianowy dwuokresowy, przy czym w każdym okresie cena akcji
może wzrosnąć lub spaść o 20%. Wynika z tego, że u=1,2, zaś d=0,8. Przykład jest zlustrowany
na rysunku 7.8, przy czym zaznaczone są również rezultaty wyceny.
72
(17)
60
(9,16)
50
(4,94)
48
(0)
40
(0)
32
(0)
Rysunek 7.8.
40
Wartości opcji w okresie wygaśnięcia w kolejnych węzłach wynoszą: 17 zł, 0 zł, 0 zł. Po
zastosowaniu wzoru (7.22) otrzymujemy:
e0,080, 25  0,8
g
 0,55
1,2  0,8
Wartość opcji w pierwszym okresie (węzeł górny) jest to zdyskontowana ważona średnia opcji w
węzłach kolejnego okresu, a zatem:
cu 
0,55  17  0,45  0
 9,16
0 , 08 0 , 25
e
W drugim węźle tego okresu wartość opcji oczywiście wynosi 0. Ostatecznie otrzymujemy
wartość opcji w momencie wyceny:
c
0,55  9,16  0,45  0
 4,94
0 , 08 0 , 25
e
Zauważmy jeszcze, iż w każdym węźle (oprócz terminu wygaśnięcia) można wyznaczyć wartość
współczynnika Δ. Na przykład w górnym węźle okresu pierwszego wartość ta wynosi:

17  0
 0,708
72  48
Przykład.
Dana jest akcja, której cena wynosi 50 zł, oraz opcja europejska put na tę akcję, której cena
wykonania wynosi 55 zł, z terminem wygaśnięcia pół roku. Stopa wolna od ryzyka wynosi 8%.
Rozpatrywany jest model dwumianowy dwuokresowy, przy czym w każdym okresie cena akcji
41
może wzrosnąć lub spaść o 20%. Wynika z tego, że u=1,2, zaś d=0,8. Przykład jest zlustrowany
na rysunku 7.9, przy czym zaznaczone są również rezultaty wyceny.
72
(0)
60
(3,09)
50
(7,81)
48
(7)
40
(13,92)
32
(23)
Rysunek 7.9.
Wartości opcji w okresie wygaśnięcia w kolejnych węzłach wynoszą: 0 zł, 7 zł, 23 zł. Po
zastosowaniu wzoru (7.22) otrzymujemy:
e0,080, 25  0,8
g
 0,55
1,2  0,8
Otrzymujemy wartości w węzłach pierwszego okresu:
0,55  0  0,45  7
 3,09
e0, 080, 25
0,55  7  0,45  23
pd 
 13,92
e0, 080, 25
pu 
42
Ostatecznie otrzymujemy wartość opcji w momencie wyceny:
p
0,55  3,09  0,45  13,92
 7,81
e0, 080, 25
Przykład.
Dana jest akcja, której cena wynosi 50 zł, oraz amerykańska put na tę akcję, której cena
wykonania wynosi 55 zł, z terminem wygaśnięcia pół roku. Stopa wolna od ryzyka wynosi 8%.
Rozpatrywany jest model dwumianowy dwuokresowy, przy czym w każdym okresie cena akcji
może wzrosnąć lub spaść o 20%. Wynika z tego, że u=1,2, zaś d=0,8. Przykład jest zlustrowany
na rysunku 7.10, przy czym zaznaczone są również rezultaty wyceny.
72
(0)
60
(3,09)
50
(8,28)
48
(7)
40
(15)
32
(23)
Rysunek 7.10.
Wartości opcji w okresie wygaśnięcia w kolejnych węzłach wynoszą: 0 zł, 7 zł, 23 zł. Po
zastosowaniu wzoru (7.22) otrzymujemy:
43
e0,080, 25  0,8
g
 0,55
1,2  0,8
Dla określenia wartości opcji w węzłach pierwszego okresu najpierw wyznaczamy wartości tej
opcji w przypadku braku możliwości wykonania (tak jak dla opcji europejskiej):
0,55  0  0,45  7
 3,09
0 , 080 , 25
e
0,55  7  0,45  23
pd 
 13,92
0 , 08 0 , 25
e
pu 
Następnie należy zbadać możliwości wykonania tej opcji w każdym węźle pierwszego okresu.
Ponieważ cena wykonania wynosi 55 zł, zaś ceny akcji w górnym i dolnym węźle odpowiednio
60 zł i 40 zł, widać, iż możliwość wykonania jest jedynie w dolnym węźle i wtedy w przypadku
wykonania otrzymuje się 15 zł. Oznacza to konieczność modyfikacji wartości opcji w dolnym
węźle, gdyż 13,92 < 15, czyli wykonanie opcji w tym węźle jest korzystne dla posiadacza.
Oznacza to, że w efekcie otrzymujemy po modyfikacji i odpowiedniej zmianie symbolu wartości
opcji:
Pu  3,09; Pd  15
Ostatecznie otrzymujemy wartość opcji w momencie wyceny:
P
0,55  3,09  0,45  15
 8,28
0 , 08 0 , 25
e
Jak widać, z uwagi na możliwość wcześniejszego wykonania otrzymaliśmy wartość wyższą, niż
dla opcji europejskiej o tych samych parametrach, rozpatrywanej w poprzednim przykładzie.
44
Warto na zakończenie jeszcze dodać, iż w ogólnym modelu dwumianowym, liczącym n okresów,
wzór na wartość opcji call jest następujący (taki sam jest wzór na wartość opcji put):
ce
rT


n!
k
n k
k n k


g
(
1

g
)
max{
0
;
u
d
S

X
}

 k!(n  k )!
k 0 

n
(7.25)
Na zakończenie rozważań o modelu dwumianowym warto jeszcze raz podsumować ideę wyceny
zawartą w tym modelu (dla ustalenia uwagi przedstawimy ją w odniesieniu do opcji call):
Tworzy się portfel złożony z akcji (długa pozycja) i opcji call (krótka pozycja) w takiej proporcji,
aby ten portfel był w danym momencie wolny od ryzyka. Stosując zasadę braku arbitrażu
oznacza to, że stopa zwrotu tego portfela jest równa stopie wolnej od ryzyka. Na tej podstawie
znając cenę akcji bezpośrednio wyznacza się wartość opcji.
4. Wycena opcji – model Blacka-Scholesa-Mertona
Przejdziemy teraz do omówienia podstawowego modelu wyceny opcji, który od nazwisk autorów
nazywany jest modelem Blacka-Scholesa-Mertona. Model powstał w zasadzie na początku lat
siedemdziesiątych. Formalnie za rok powstania uważa się rok 1973, w którym opublikowane
zostały dwa artykuły: napisany przez Fischera Blacka i Myrona Scholesa artykuł o wycenie opcji
na akcję, która nie wypłaca dywidendy (w okresie do wygaśnięcia opcji), oraz napisany przez
Roberta Mertona artykuł o wycenie bardziej ogólnej opcji na akcję, która może płacić
dywidendę. W wyniku tego pierwszy model wyceny opcji nazywany jest modelem BlackaScholesa, zaś bardziej ogólny – modelem Blacka-Scholesa-Mertona. W ramach tego modelu
można z kolei wyróżnić inne modele szczegółowe, o których piszemy w dalszych rozważaniach.
Na wstępie należy zaznaczyć, iż model Blacka-Scholesa-Mertona może być traktowany jako
pewne uogólnienie modelu dwumianowego. Jeśli bowiem w modelu dwumianowym zwiększać
będziemy liczbę okresów, to w granicy (gdy liczba okresów zdąża do nieskończoności)
otrzymujemy właśnie model Blacka-Scholesa-Mertona
45
Idea wyceny w modelu Blacka-Scholesa-Mertona jest taka sama, jak w modelu dwumianowym,
mianowicie: tworzy się portfel złożony z akcji (długa pozycja) i opcji call (krótka pozycja) w
takiej proporcji, aby ten portfel był w danym momencie wolny od ryzyka. Stosując zasadę braku
arbitrażu oznacza to, że stopa zwrotu tego portfela jest równa stopie wolnej od ryzyka. Na tej
podstawie znając cenę akcji bezpośrednio wyznacza się wartość opcji.
Model Blacka-Scholesa-Mertona stosowany jest do wyceny opcji europejskich. Podobnie jak w
przypadku modelu dwumianowego, tak i tutaj czyni się założenie odnośnie do procesu
kształtowania się cen instrumentu podstawowego. Założenie to głosi, że proces cen jest tzw.
geometrycznym ruchem Browna (Geometric Brownian Motion), według wzoru (jest to
uproszczona postać wzoru na geometryczny ruch Browna):
S
   
S
(7.26)
Gdzie:
 – symbol oznaczający przyrost zmiennej;
 – wartość oczekiwana procesu, zwana dryfem (drift);
 – odchylenie standardowe procesu, zwane zmiennością (volatility);
 – składnik losowy procesu, zakłada się o nim, że ma standaryzowany rozkład normalny
(średnia równa 0, odchylenie standardowe równe 1).
Jak wynika ze wzoru (7.26), geometryczny ruch Browna jest to proces o stałej wartości
oczekiwanej, zakłócony składnikiem losowym, którego wartości zależą od parametru zmienności
– im parametr ten jest większy, tym większe zakłócenia.
Przykład.
Rozważmy geometryczny ruch Browna, w którym parametr dryfu wynosi 0,08, zaś parametr
zmienności 0,24. Otrzymujemy zatem następujący model:
S
 0,08  0,24
S
46
Jeśli przyjmiemy wartość początkową (dla momentu zerowego) równą na przykład 100, wówczas
możemy otrzymać przykładową trajektorię tego procesu. Przedstawiona jest ona na rysunku 7.11
160
140
120
Wartość
100
80
60
40
20
0
0
100
200
300
400
500
Czas
Rysunek 7.11
Kontynuując ten przykład, rozważmy teraz geometryczny ruch Browna, w którym parametr dryfu
jest taki sam, jak poprzednio, czyli wynosi 0,08, zaś parametr zmienności wynosi 0,48.
Otrzymujemy zatem następujący model:
S
 0,08  0,48
S
Jeśli przyjmiemy wartość początkową (dla momentu zerowego) równą na przykład 100, wówczas
możemy otrzymać przykładową trajektorię tego procesu. Przedstawiona jest ona na rysunku 7.12.
47
160
140
Wartość
120
100
80
60
40
20
0
0
100
200
300
400
500
Czas
Rysunek 7.12
Założenie geometrycznego ruchu Browna implikuje podstawową właściwość modelu BlackaScholesa-Mertona, mianowicie to, że rozkład ceny instrumentu podstawowego w dowolnym
momencie, w szczególności w momencie wygaśnięcia opcji, jest to rozkład logarytmicznonormalny, co równocześnie oznacza, że rozkład logarytmu naturalnego ceny instrumentu
podstawowego jest rozkładem normalnym. Przy tym wartość oczekiwana i wariancja tego
rozkładu wynoszą:
E (ln St )  ln S0  (  
2
2
)t
V (ln St )   2t
(7.27)
(7.28)
Gdzie:
S 0 – cena instrumentu podstawowego w momencie początkowym;
St – obecna cena instrumentu podstawowego.
48
Korzystając z właściwości rozkładu normalnego można otrzymać przedział ufności dla ceny
instrumentu podstawowego w dowolnym okresie. Ilustruje to następny przykład.
Przykład.
Rozważamy akcję pewnej spółki. Cena tej akcji w momencie początkowym wynosi 100 zł.
Zakładamy, że proces ceny tej akcji kształtuje się zgodnie z geometrycznym ruchem Browna,
następującej postaci:
S
 0,08  0,24
S
Rozważmy cenę tej akcji po 3 miesiącach. Z powyższych rozważań wynika, że rozkład
logarytmu naturalnego ceny po 3 miesiącach jest to rozkład normalny, którego parametry zgodnie
ze wzorami (7.27) i (7.28) wynoszą:
0,242
E (ln St )  ln 100  (0,08 
)0,25  4,632
2
V (ln St )  0,242  0,25  0,0144
Na tej podstawie można wyznaczyć przedział ufności dla logarytmu naturalnego ceny.
Zakładając poziom ufności równy 0,95, otrzymujemy przedział ufności, który powstaje poprzez
dodanie do wartości oczekiwanej i odjęcie od wartości oczekiwanej wielkości równej 1,96 razy
odchylenie standardowe (czyli pierwiastek kwadratowy z wariancji). W ten sposób otrzymujemy
przedział:
4,632  1,96  0,0144  ln St  4,632  1,96  0,0144
Czyli:
81,19  St  129,96
49
Założenie geometrycznego ruchu Browna jest kluczowe w modelu Blacka-Scholesa-Mertona,
lecz nie jedyne. Oprócz zwykłych założeń, które tradycyjnie przyjmuje się w klasycznych
modelach finansowych, takich jak: brak podatków i kosztów transakcji, doskonała podzielność
instrumentów finansowych, przyjmuje się jeszcze dwa istotne założenia:
- stałość stopy procentowej (stopy wolnej od ryzyka) w okresie do wygaśnięcia opcji;
- stałość parametru zmienności (volatility) w okresie do wygaśnięcia opcji.
Jak już wspomnieliśmy idea wyceny w modelu Blacka-Scholesa-Mertona jest taka sama, jak w
modelu dwumianowym, tzn. polega na tworzeniu portfela wolnego od ryzyka. Jednak w modelu
dwumianowym portfel ten był tworzony w danym węźle drzewa dwumianowego, zaś w modelu
Blacka-Scholesa-Mertona portfel ten jest hipotetycznie tworzony w danym momencie. Oznacza
to, że po upłynięciu dowolnie niewielkiego okresu portfel ten może przestać być wolny od
ryzyka.
Model Blacka-Scholesa-Mertona jest w formalny sposób wyprowadzony właśnie przy założeniu
geometrycznego ruchu Browna w odniesieniu do ceny instrumentu podstawowego oraz przy
uwzględnieniu przedstawionej idei portfela wolnego od ryzyka. W efekcie otrzymuje się
końcową postać analityczną modelu. Dana jest ona następującymi wzorami:
c  Se(b  r )T N (d1 )  Xe rT N (d 2 )
p  Xe rT N (d 2 )  Se(b  r )T N (d1 )
ln( S / X )  (b  0,5 2 )T
d1 
 T
ln( S / X )  (b  0,5 2 )T
d2 
 d1   T
 T
(7.29)
(7.30)
(7.31)
(7.32)
Gdzie:
S – cena instrumentu podstawowego;
X – cena wykonania;
50
T – czas do wygaśnięcia;
r – stopa procentowa (stopa wolna od ryzyka);
σ – zmienność instrumentu podstawowego (odchylenie standardowe stopy zwrotu);
N(d) – wartość dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego w punkcie d;
b – stopa cost-of-carry.
Przedstawiony model, dany wzorami (7.29)-(7.32), jest to model ogólny, w ramach którego
można wyróżnić cztery szczególne przypadki, w zależności od tego, jaką wartość przyjmuje
stopa cost-of-carry. Podobnie jak w poprzednich rozważaniach, wartości te są następujące:
1. Opcja na akcję nie płacącą dywidendy.
W tym przypadku b = r. W efekcie otrzymujemy model Blacka-Scholesa z 1973 roku.
2. Opcja na akcję płacącą dywidendę lub indeks giełdowy.
W tym przypadku b = r-q (q oznacza stopę dywidendy). W efekcie otrzymujemy model Mertona
z 1973 roku (jest to bezpośrednie uogólnienie modelu Blacka-Scholesa).
3. Opcja walutowa.
W tym przypadku b = r-rf (rf oznacza stopę wolną od ryzyka w kraju obcej waluty). W efekcie
otrzymujemy model Garmana-Kohlhagena z 1983 roku.
4. Opcja na kontrakt futures.
W tym przypadku b = 0. W efekcie otrzymujemy model Blacka z 1976 roku.
Model Blacka-Scholesa-Mertona jest stosowany do wyceny opcji europejskich. Jeśli chodzi o
opcje amerykańskie, to jedynym przypadkiem, w którym model może być stosowany, jest
wycena amerykańskiej opcji call na instrument podstawowy, który nie przynosi dochodów w
okresie do wygaśnięcia opcji (takim instrumentem jest akcja nie płacąca dywidendy). Wtedy
wartość amerykańskiej opcji call jest równa wartości europejskiej opcji call.
Oczywiście najbardziej znany jest klasyczny model Blacka-Scholesa wyceny europejskiej call na
akcję nie płacącą dywidendy. Dla porządku podamy wzory dla tego modelu:
51
c  SN (d1 )  Xe rT N (d 2 )
(7.33)
p  Xe rT N (d 2 )  SN (d1 )
(7.34)
ln( S / X )  (r  0,5 2 )T
d1 
 T
ln( S / X )  (r  0,5 2 )T
d2 
 d1   T
 T
(7.35)
(7.36)
Pomimo z pozoru mało „przyjaznych” wzorów modelu Blacka-Scholesa-Mertona, model ten
może być dość jednoznacznie zinterpretowany, co jest bardzo istotne dla użytkowników
wyceniających opcje. Przede wszystkim na podstawie tego modelu można wyprowadzić
następujące zależności, ilustrujące wpływ pojedynczych czynników na wartość europejskiej opcji
call i put, gdy wartości pozostałych czynników nie zmieniają się:
- przy wzroście ceny instrumentu podstawowego rośnie wartość opcji call i spada wartość opcji
put;
- im wyższa cena wykonania, tym niższa wartość opcji call i tym wyższa wartość opcji put;
- im dłuższy okres do wygaśnięcia opcji, tym wyższa wartość opcji (call i put);
- przy wzroście stopy procentowej rośnie wartość opcji call i spada wartość opcji put;
- im większa zmienność instrumentu podstawowego, tym wyższa wartość opcji (call i put).
Weźmy teraz pod uwagę szczególny przypadek, czyli model Blacka-Scholesa, dany wzorami
(7.33)-(7.36) i dla ustalenia uwagi rozważmy opcję call oraz dwa przypadki kształtowania się
wartości dystrybuanty, oznaczonych jako N (d1 ) oraz N (d2 ) :
1. Przyjmijmy, że obie wartości są bliskie 0. Wtedy po podstawieniu do wzoru (7.33)
otrzymujemy wartość opcji w przybliżeniu równą 0, ale jednak dodatnią. Jest tak, gdy
opcja jest OTM, wtedy opcja nie ma wartości wewnętrznej.
2. Przyjmijmy, że obie wartości są bliskie 1. Wtedy po podstawieniu do wzoru (7.33)
otrzymujemy:
52
c  S  PV ( X )
Przy czym lewa strona jest jednak większa od prawej. Łatwo zauważyć, iż jest to zgodne z
przedstawiona poprzednio nierównością (7.3).
W praktyce obie wartości dystrybuanty odbiegają od tych krańcowych przypadków. Jak się
okazuje, N (d1 ) jest związane ze współczynnikiem delta, co pokażemy w dalszej części. Z kolei
N (d2 ) interpretowane jest jako prawdopodobieństwo, że opcja będzie ITM w terminie
wygaśnięcia.
W celu praktycznego stosowania modelu Blacka-Scholesa-Mertona niezbędna jest znajomość
wartości wszystkich czynników wpływających na wartość opcji. Sprawa jest oczywista, jeśli
chodzi o cenę wykonania, cenę instrumentu podstawowego (na przykład akcji) i długość okresu
do terminu wygaśnięcia. Stosunkowo proste jest też oszacowanie stopy wolnej od ryzyka, jak
również stopy procentowej wolnej od ryzyka w kraju waluty zagranicznej (w przypadku opcji
walutowej). Stopą tą jest stopa rentowności bonów skarbowych lub (częściej) stopa z rynku
międzybankowego (na przykład LIBOR czy Euribor). W przypadku opcji na akcję płacącą
dywidendę lub akcję na indeks giełdowy zachodzi konieczność określenia również stopy
dywidendy (dla akcji pojedynczej spółki lub akcji wchodzących w skład portfela indeksu
giełdowego), co może być w przybliżeniu określone przy założeniu, że istnieje pewna
regularność w wypłacanych dywidendach.
Jeśli chodzi o stopy procentowe (wolne od ryzyka), to niezbędne jest poczynienie jeszcze jednej
uwagi. W modelu Blacka-Scholesa-Mertona powinna być stosowana stopa procentowa uzyskana
przy zastosowaniu kapitalizacji ciągłej. W praktyce jednak często stopa procentowa ma u
podstaw założenie kapitalizacji prostej. Zachodzi wówczas konieczność przekształcenia tej stopy,
zgodnie ze wzorem:
r  ln( 1  r 0)
Gdzie:
r0 – stopa procentowa przy założeniu kapitalizacji prostej.
53
W dalszych przykładach zakładać będziemy, iż stopa procentowa ma u podstaw założenie
kapitalizacji ciągłej.
W przypadku ostatniego z omawianych czynników, czyli parametru zmienności (odchylenia
standardowego stopy zwrotu), określenie jego wartości jest stosunkowo trudnym zadaniem.
Dodajmy, że wartość tego parametru wykorzystywana jest również w modelu dwumianowym, do
określenia wielkości skoku, na co wskazują wzory (7.23) i (7.24).
W praktyce do określania zmienności stosowane jest jedno z dwóch podejść, którymi są:
- zmienność historyczna (historical volatility);
- zmienność implikowana (implied volatility).
Podejście zmienności historycznej polega na oszacowaniu odchylenia standardowego stopy
zwrotu za pomocą danych historycznych. Jedna z najprostszych metod polega na zastosowaniu
następującej procedury:
- oszacowanie tygodniowych logarytmicznych stóp zwrotu;
- wyznaczenie średniej arytmetycznej tych stóp zwrotu;
- wyznaczenie odchylenia standardowego tych stóp – jest to oczywiście odchylenie standardowe
wyrażone w skali tygodniowej;
- wyrażenie odchylenia standardowego w skali rocznej poprzez pomnożenie otrzymanego
odchylenia przez pierwiastek kwadratowy z liczby 52.
Metod zmienności historycznej jest bardzo dużo. Na przykład, w powyżej przedstawionej
procedurze, można wziąć pod uwagę dzienne stopy zwrotu zamiast tygodniowych stóp zwrotu –
w konsekwencji oczywiście zmieni to sposób dostosowania odchylenia standardowego do skali
rocznej. Innym sposobem jest zastosowanie idei ważenia danych historycznych w taki sposób,
aby dane bliższe okresowi teraźniejszemu miały większe wagi niż dane „starsze”. W ostatnich
kilkunastu latach bardzo popularne w podejściu zmienności historycznej stały się modele klasy
GARCH. Są to modele ekonometrii finansowej, z których pierwszy był model ARCH,
zaproponowany w 1982 roku przez Roberta Engle. Dzięki postępowi technologicznemu w
informatyce, ta dość skomplikowana grupa modeli może być stosunkowo łatwo zastosowana w
praktyce.
Podejście zmienności implikowanej jest inne, gdyż nie korzysta się w nim z danych
historycznych. Dla uproszczenia przedstawimy to podejście na szczegółowym modelu, czyli
54
danym wzorami (7.33)-(7.36) modelu Blacka-Scholesa, zaś dla ustalenia uwagi rozważymy tylko
opcję call. Zauważmy, że model ten może być zapisany w uproszczony sposób następująco:
c  f ( S , X , r , T , )
(7.37)
We wzorze (7.35) wartości opcji call jest to funkcja pięciu zmiennych, których wartości są
znane: ceny akcji, ceny wykonania, stopy procentowej, czasu do wygaśnięcia i parametru
zmienności. Jednak można funkcję daną wzorem (7.37) odwrócić, otrzymując:
  h( S , X , r , T , c )
(7.38)
Wzór (7.38) przedstawia właśnie model implikowanej zmienności. W tym wzorze parametr
zmienności traktowany jest jako nieznana wielkość, która jest funkcją znanych wielkości: ceny
akcji, ceny wykonania, stopy procentowej, czasu do wygaśnięcia i ponadto ceny opcji. Jak widać,
do określenia parametru zmienności, korzysta się z ceny opcji na rynku. Jest to po prostu
odwrócenie modelu Blacka-Scholesa, przy założeniu, że ceny opcji na rynku kształtują się
zgodnie z tym modelem. Przy tym ze względu na skomplikowanie modelu Blacka-Scholesa
określenie funkcji h we wzorze (7.38), a co za tym idzie, określenie parametru zmienności,
zwanej tu implikowaną zmiennością, jest możliwe za pomocą algorytmów numerycznych.
Zauważmy jeszcze, że we wzorze (7.38) dwa argumenty, czyli cena instrumentu podstawowego
oraz stopa procentowa są takie same, niezależnie od charakterystyk danej opcji. Natomiast mogą
być różne ceny wykonania oraz różne terminy wygaśnięcia i wtedy oczywiście różne są też ceny
opcji. Z tego wynika, że po zastosowaniu wzoru (7.38) w odniesieniu do opcji z różnymi cenami
wykonania otrzymamy różne oszacowania parametru zmienności. Często jest tak, że wyższe
oszacowania zmienności otrzymuje się przy wysokich i niskich cenach wykonania, zaś niższe
oszacowania zmienności przy średnich cenach wykonania. Zjawisko to nazywane jest
uśmiechem zmienności (volatility smile) z uwagi na kształt wykresu zależności zmienności od
ceny wykonania. Podobnie, po zastosowaniu wzoru (7.38) w odniesieniu do opcji z różnymi
terminami wygaśnięcia otrzymamy różne oszacowania parametru zmienności.
55
Obecnie przedstawimy zastosowanie kilku wariantów modelu Blacka-Scholesa-Mertona w
praktyce, w trzech przykładach.
Przykład.
Rozważane są dwie opcje europejskie, call i put, z terminem wygaśnięcia 3 miesiące,
wystawione na akcję, której cena wynosi 48 złotych. Wiadomo, że w okresie 3 miesięcy akcja nie
wypłaci dywidendy. Cena wykonania obu opcji wynosi 50 złotych. Stopa wolna od ryzyka
wynosi 10%, zaś zmienność, oszacowana na podstawie danych historycznych, wynosi 20%. W
tym przypadku można zastosować model Blacka-Scholesa. Najpierw po podstawieniu do wzorów
(7.35) i (7.36) otrzymujemy:
ln( 48 / 50)  (0,1  0,5  0,22 )  0,25
d1 
  0,10822
0,2 0,25
d 2  0,10822  0,2  0,25  0,20822
Wartość dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego wynosi:
N (d1 )  0,4569, N (d 2 )  0,4175
N (d1 )  0,5431, N (d 2 )  0,5825
Po podstawieniu do wzorów (7.33) i (7.34) otrzymujemy wartości opcji call i put:
c  48  0,4569  50e0,10, 25  0,4175  1,57
p  50e 0,10, 25  0,5825  48  0,5431  2,34
Kolejny przykład jest modyfikacją poprzedniego przykładu.
56
Przykład.
Rozważane są dwie opcje europejskie, call i put, z terminem wygaśnięcia 3 miesiące,
wystawione na akcję, której cena wynosi 48 złotych. Cena wykonania obu opcji wynosi 50
złotych. Stopa wolna od ryzyka wynosi 10%, zaś zmienność, oszacowana na podstawie danych
historycznych, wynosi 20%. Tym razem jednak wiadomo, że zostanie wypłacona dywidenda, a
stopa dywidendy została oszacowana (oczywiście w skali rocznej) na poziomie 2%. W tym
przypadku można zastosować model Mertona, przy czym b=0,1-0,02=0,08. Najpierw po
podstawieniu do wzorów (7.31) i (7.32) otrzymujemy:
ln( 48 / 50)  (0,08  0,5  0,22 )  0,25
d1 
 0,15822
0,2 0,25
d 2  0,15822  0,2 0,25  0,25822
Wartość dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego wynosi:
N (d1 )  0,4371, N (d 2 )  0,3981
N (d1 )  0,5629, N (d 2 )  0,6019
Po podstawieniu do wzorów (7.29) i (7.30) otrzymujemy wartości opcji call i put:
c  48e( 0,08 0,1)0, 25  0,4371  50e0,10, 25  0,3981  1,46
p  50e 0,10, 25  0,6019  48e( 0,08 0,1)0, 25  0,5629  2,47
Porównując otrzymane wyniki z wynikami poprzedniego przykładu należy stwierdzić, iż
potwierdziła się zależność, iż zwiększenie stopy dywidendy (w tym wypadku z 0% na 2%)
oznacza spadek wartości opcji call i wzrost wartości opcji put.
Kolejny przykład dotyczy opcji walutowych.
57
Przykład.
Rozważane są dwie walutowe opcje europejskie, call i put, z terminem wygaśnięcia 3 miesiące,
wystawione na kurs euro. Obecny kurs euro (kurs spot) wynosi 4,10 zł za 1 euro. Cena
wykonania obu opcji wynosi 4 zł. Stopa wolna od ryzyka w Polsce 6%, w krajach strefy euro
wynosi 2%, zaś zmienność kursu walutowego, oszacowana na podstawie danych historycznych,
wynosi 25%. W tym przypadku można zastosować model Garmana-Kohlhagena, przy czym
b=0,06-0,02=0,04. Najpierw po podstawieniu do wzorów (7.31) i (7.32) otrzymujemy:
ln( 4,1/ 4)  (0,04  0,5  0,252 )  0,25
d1 
 0,34002
0,25 0,25
d 2  0,34002  0,25 0,25  0,21502
Wartość dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego wynosi:
N (d1 )  0,6331, N (d 2 )  0,5851
N (d1 )  0,3669, N (d 2 )  0,4149
Po podstawieniu do wzorów (7.27) i (7.28) otrzymujemy wartości opcji call i put:
c  4,1e( 0,04 0,1)0, 25  0,6331  4e0,10, 25  0,5851  0,2744
p  4e 0,10, 25  0,4149  4,1e( 0,04 0,1)0, 25  0,3669  0,1367
Jak widać, ceny opcji wynoszą odpowiednio 27 groszy i 14 groszy.
Wskazywaliśmy poprzednio, że praktycznie jedynym parametrem w modelu Blacka-ScholesaMertona, który nie jest bezpośrednio znany i powinien być oszacowany. Następny przykład
58
wskazuje, że oszacowanie to ma wpływ na wycenę. Zilustrujemy to na przykładzie klasycznego
modelu Blacka-Scholesa.
Przykład.
Rozważana jest opcja europejska call, z terminem wygaśnięcia 3 miesiące, wystawiona na akcję,
której cena wynosi 48 złotych. Wiadomo, że w okresie 3 miesięcy akcja nie wypłaci dywidendy.
Cena wykonania wynosi 50 złotych. Stopa wolna od ryzyka wynosi 10%, zaś zmienność,
oszacowana na podstawie danych historycznych, wynosi 20%. W jednym z poprzednich
przykładów, obliczona była wartość tej opcji, wynosiła ona 1,57 zł.
Tablica 7.2 przedstawia wartości tej opcji przy założeniu różnych wartości parametru
zmienności.
Tablica 7.2. Zależność wartości opcji od wartości parametru zmienności
Zmienność (odchylenie standardowe Wartość opcji
stopy zwrotu)
2%
0,01
5%
0,19
10%
0,63
15%
1,10
20%
1,57
25%
2,05
50%
4,44
75%
6,82
100%
9,17
Wyniki zawarte w tablicy 7.2 potwierdzają znaczenie jakości oszacowania parametru zmienności
dla wyceny opcji.
Na podstawie modelu Blacka-Scholesa-Mertona można wyznaczyć wzory na współczynniki
greckie dla opcji call i put, które były omówione poprzednio. Są one następujące:
59
- współczynnik delta:
 call  e(b  r )T N (d1 )
(7.39)
 put  e(b  r )T ( N (d1 )  1)
(7.40)
- współczynnik gamma:
 call   put 
n(d1 )e (br )T
S T
(7.41)
Przy czym:
n(d) – wartość gęstości standaryzowanego rozkładu normalnego w punkcie d.
- współczynnik vega:
 call   put  Se(b  r )T n(d1 ) T
(7.42)
- współczynnik theta:
Se(b  r )T n(d1 )
 call  
 (b  r ) Se( b  r )T N (d1 )  rXe  rT N (d 2 )
2 T
Se(b  r )T n(d1 )
 put  
 (b  r ) Se(b  r )T N (d1 )  rXe  rT N (d 2 )
2 T
(7.43)
(7.44)
Przykład.
60
Rozważane są dwie opcje europejskie, call i put, z terminem wygaśnięcia 3 miesiące,
wystawione na akcję, której cena wynosi 48 złotych. Wiadomo, że w okresie 3 miesięcy akcja nie
wypłaci dywidendy. Cena wykonania obu opcji wynosi 50 złotych. Stopa wolna od ryzyka
wynosi 10%, zaś zmienność, oszacowana na podstawie danych historycznych, wynosi 20%. W
jednym z poprzednich przykładów obliczyliśmy już następujące wielkości:
d1  0,10822, d 2  0,20822
N (d1 )  0,4569, N (d 2 )  0,4175
N (d1 )  0,5431, N (d 2 )  0,5825
Na tej podstawie obliczymy:
- wartości współczynnika delta (wzory (7.39) i (7.40)):
 call  0,4569,  put  0,4569  1  0,5431
- wartości współczynnika gamma (wzór (7.41):
 call   put
1  0,5( 0, 4569) 2
e
 2
 0,0749
48  0,2  0,25
- wartości współczynnika vega (wzór (7.42)):
 call   put  48 
1  0,5( 0, 4569) 2
e
 0,25  8,626
2
Niska wartość współczynnika gamma wskazuje na dużą stabilność w czasie współczynnika delta.
61
5. Analiza i wycena kontraktów futures i forward
Obecnie przejdziemy do omówienia wyceny „symetrycznych” instrumentów pochodnych,
najpierw kontraktów terminowych, futures i forward. Przy tym dokonamy tu rozróżnienia między
wyceną rozumianą jako określenie ceny rynkowej instrumentu i wyceną rozumianą jako
określenie wartości pozycji w instrumencie. Omówimy te dwa rodzaje wyceny osobno.
Wycena jako określenie ceny rynkowej instrumentu
W przypadku kontraktu terminowego (futures lub forward) cena rynkowa jest to jednocześnie
cena terminowa obowiązująca w dniu realizacji kontraktu. Przy tym nie będziemy tu czynić
różnicy między wyceną kontraktu futures i kontraktu forward. Dla ustalenia uwagi omówimy
wycenę kontraktu forward, pamiętając, że w ten sam sposób dokonuje się wyceny kontraktu
futures.
W celu przedstawienia idei wyceny kontraktu forward, rozważmy hipotetyczny kontrakt na akcję
pewnej spółki, przy czym akcja ta nie wypłaci dywidendy przed terminem realizacji kontraktu.
Załóżmy, że inwestor zamierza stać się posiadaczem akcji najpóźniej w dniu realizacji kontraktu
forward. Są co najmniej dwie strategie prowadzące do realizacji zamierzonego celu:
1. Zakup akcji już dziś i przetrzymanie jej do terminu realizacji kontraktu.
2. Zakup (zajęcie długiej pozycji) kontraktu forward dziś i realizacja tego kontraktu.
Obie strategie dają ten sam wynik końcowy, jednak pierwsza strategia wymaga poniesienia
nakładów dziś, zaś druga poniesienia nakładów w momencie realizacji kontraktu. W celu
doprowadzenia do równoważności obu strategii, należy następująco zmodyfikować pierwszą z
nich:
Zaciągnięcie kredytu i zakup akcji dziś, przetrzymanie akcji i zwrot kredytu w terminie realizacji
kontraktu.
W tej sytuacji obie strategie nie wymagają nakładu początkowego i dają ten sam efekt końcowy
w postaci posiadania akcji. Wynika z tego, że aby nie było możliwości arbitrażu, cena kontraktu
forward płacona w drugiej strategii musi być równa sumie płaconej w pierwszej strategii. Suma
ta jest równa dzisiejszej cenie akcji (jest to jednocześnie wielkość zaciągniętego kredytu)
62
powiększonej o odsetki z tytułu kredytu. W ten sposób otrzymujemy wzór na wycenę kontraktu
terminowego forward na akcję, która nie płaci dywidendy:
F  S (1  rT )
(7.45)
Gdzie:
F – wartość kontraktu forward;
S – cena akcji;
T – długość okresu do terminu realizacji kontraktu;
r – stopa procentowa (wolna od ryzyka).
Przykład.
Dany jest 6-miesięczny kontrakt forward na akcję, która w ciągu 6 miesięcy nie wypłaci
dywidendy. Cena akcji wynosi 100 zł, zaś stopa wolna od ryzyka wynosi 8%. Po podstawieniu
do wzoru (7.45) otrzymujemy wartość kontraktu forward:
F  100(1  0,08  0,5)  104
Jest to wartość, która gwarantuje brak możliwości arbitrażu. Każda inna wartość prowadzi do
możliwości uzyskania dochodu arbitrażowego. Dla zilustrowania tego problemu rozważymy
dwie sytuacje:
1. Cena kontraktu forward wynosi 108 zł, czyli jest wyższa niż wartość wynikająca z
modelu wyceny. Wtedy można przeprowadzić arbitraż, który nazywa się cash-and-carry.
Arbitraż ten polega na równoczesnym zajęciu krótkiej pozycji w kontrakcie forward i długiej
pozycji na rynku spot. W analizowanym przykładzie jest to sprzedaż kontraktu forward na akcję i
zakup akcji.
W tym celu przeprowadzone są następujące transakcje:
- Obecnie:
kredyt na 6 miesięcy w wysokości 100 zł (po stopie 8%), zakup akcji za 100 zł oraz sprzedaż
kontraktu forward na akcję po 108 zł. Transakcje te nie wymagają żadnych nakładów.
63
- Za 6 miesięcy:
dostawa akcji w kontrakcie forward i otrzymanie 108 zł, zwrot kredytu z odsetkami, w sumie 104
zł. W efekcie uzyskuje się dochód arbitrażowy równy 4 zł – jest to dokładnie różnica między
ceną forward na rynku a wartością wynikającą z wyceny.
2. Cena kontraktu forward wynosi 101 zł, czyli jest niższa niż wartość wynikająca z modelu
wyceny. Wtedy można przeprowadzić arbitraż, który nazywa się reverse cash-and-carry.
Arbitraż ten polega na równoczesnym zajęciu długiej pozycji w kontrakcie forward i krótkiej
pozycji na rynku spot. W analizowanym przykładzie jest to zakup kontraktu forward na akcję i
sprzedaż akcji.
W tym celu przeprowadzone są następujące transakcje:
- Obecnie:
Sprzedaż akcji za 100 zł, depozyt na 6 miesięcy w wysokości 100 zł (po stopie 8%) oraz zakup
kontraktu forward na akcję po 101 zł. Transakcje te nie wymagają żadnych nakładów.
- Za 6 miesięcy:
Otrzymanie dochodu z depozytu z odsetkami, w sumie 104 zł, otrzymanie akcji w kontrakcie
forward i zapłacenie 101 zł. W efekcie uzyskuje się dochód arbitrażowy równy 3 zł – jest to
dokładnie różnica między wartością wynikającą z wyceny a ceną forward na rynku.
Przedstawiona została idea oraz sposób wyceny kontraktu forward (lub futures) na akcję, która
nie płaci dywidendy. Zauważmy, że w powyższych rozważaniach przyjęta została koncepcja
kapitalizacji prostej, czyli zgodnej z okresem do realizacji kontraktu. Tak najczęściej czyni się w
praktyce. Czasem jednak w rozważaniach teoretycznych spotyka się dwa inne rozwiązania, w
których zakłada się kapitalizację roczną lub kapitalizację ciągłą. Wtedy w miejsce wzoru (7.45)
otrzymujemy odpowiednio:
F  S (1  r )T
(7.46)
F  SerT
(7.47)
64
Do tej pory przedstawiliśmy sposób wyceny kontraktu forward na akcję, która nie płaci
dywidendy. Na podobnej zasadzie opiera się wycena innych kontraktów forward. Obecnie
przedstawimy tę wycenę, przyjmując cały czas założenie kapitalizacji prostej.
1. Wycena kontraktu forward na akcję lub indeks giełdowy
Jest to uogólnienie przypadku omówionego poprzednio. Tutaj wzór na wycenę przyjmuje
następującą postać:
F  ( S  PVD)(1  rT )
(7.48)
Gdzie:
PVD – wartość obecna dywidend, które zostaną wypłacone do terminu realizacji kontraktu.
Jak widać, w tym wypadku cena akcji jest pomniejszona o wartość obecną dywidend, które
zostaną wypłacone. Wynika to z faktu, iż cena zakupu akcji, stanowiąca nakład na zajęcie pozycji
na rynku spot jest pomniejszona o dochód, który przyniosą dywidendy.
Przykład.
Dany jest 6-miesięczny kontrakt forward na akcję, która za miesiąc wypłaci dywidendę w
wysokości 2 zł, a za 4 miesiące dywidendę w wysokości 3 zł. Cena akcji wynosi 100 zł, zaś stopa
wolna od ryzyka wynosi 8%. Najpierw obliczymy wartość obecną dywidend. Wynosi ona:
PVD 
2
1
(1  0,08  )
12

3
4
(1  0,08  )
12
 4,91
Po podstawieniu do wzoru (7.48) otrzymujemy wartość kontraktu forward:
F  (100  4,91)(1  0,08  0,5)  98,89
65
2. Wycena kontraktu forward na obligację o stałym oprocentowaniu
Tutaj wzór na wycenę przyjmuje następującą postać:
F  ( S  PVC)(1  rT )
(7.49)
Gdzie:
S – cena obligacji;
PVC – wartość obecna odsetek, które zostaną wypłacone do terminu realizacji kontraktu.
Jak widać, jest to podobny wzór jak poprzednio, przy czym rolę dywidend spełniają odseteki.
Przykład.
Rozważmy obligację, o wartości nominalnej 1000 zł, oprocentowaniu 6%, w przypadku której
odsetki płacone są raz w roku. Cena tej obligacji wynosi 980 zł. Kontrakt forward na tę obligację
ma 6 miesięcy do terminu realizacji, jest to dokładnie 182 dni. Za 3 miesiące (dokładnie 91 dni)
zostaną wypłacone kolejne odsetki. Stopa wolna od ryzyka wynosi 8%.
Najpierw obliczymy wartość obecną odsetek. Wynosi ona:
PVC 
60
91
(1  0,08 
)
365
 58,83
Po podstawieniu do wzoru (7.49) otrzymujemy wartość kontraktu forward:
F  (980  58,83)(1  0,08 
182
)  957,92
365
3. Wycena kontraktu forward na walutę
66
Tutaj wzór na wycenę przyjmuje następującą postać:
F S
1  rT
1  rf  T
(7.50)
Gdzie:
S – kurs spot waluty;
rf – stopa wolna od ryzyka w kraju obcej waluty.
Przykład.
Rozważymy 6-miesięczny kontrakt na euro. Kurs spot wynosi 4 zł za 1 euro. Stopa wolna od
ryzyka w Polsce (na przykład WIBOR) wynosi 5%, zaś stopa wolna od ryzyka w krajach strefy
euro (na przykład Euribor) wynosi 2%. Po podstawieniu do wzoru (7.50) otrzymujemy wartość
kontraktu forward:
F  4
1  0,05  0,5
 4,06
1  0,02  0,5
Wycena kontraktu walutowego forward (podobnie jak innych kontraktów forward) ma u podstaw
koncepcję wyceny arbitrażowej. Dla zilustrowania tego problemu weźmy pod uwagę jeszcze raz
kontrakt z poprzedniego przykładu (dla ustalenia uwagi jest on wystawiony na 1000 EUR),
którego wartość wynosi 4,06 zł i rozpatrzmy dwie sytuacje.
Sytuacja 1.
Cena kontraktu forward na rynku wynosi 4,02 zł, a zatem jest niższa. Umożliwia to dokonanie
arbitrażu „reverse cash-and-carry”, za pomocą następujących transakcji:
- Obecnie:
Kredyt na 6 miesięcy (po stopie 2%) w wysokości 990,10 euro, zamiana na złote – otrzymujemy
3960,40 zł, zainwestowanie tej kwoty w depozyt (po stopie 5%) oraz zajęcie pozycji długiej w
kontrakcie forward na 1000 euro po cenie równej 4,02 zł. Transakcje te nie wymagają żadnych
nakładów.
67
- Za 6 miesięcy:
otrzymanie depozytu z odsetkami w kwocie 4059,41 zł, zapłata za dostawę 1000 euro (łącznie
4020 zł), zwrot kredytu z odsetkami, w sumie 1000 euro. W efekcie uzyskuje się dochód
arbitrażowy równy około 40 zł (w przeliczeniu na 1 euro jest to 0,04 zł) – jest to dokładnie
różnica między wartością wynikającą z wyceny a ceną forward na rynku.
Sytuacja 2.
Cena kontraktu forward na rynku wynosi 4,09 zł, a zatem jest wyższa. Umożliwia to dokonanie
arbitrażu „cash-and-carry”, za pomocą następujących transakcji:
- Obecnie:
Kredyt na 6 miesięcy (po stopie 5%) w wysokości 3960,98 zł, zamiana na euro – otrzymujemy
990,24 euro, zainwestowanie tej kwoty w depozyt (po stopie 2%) oraz zajęcie pozycji krótkiej w
kontrakcie forward na 1000 euro po cenie równej 4,09 zł. Transakcje te nie wymagają żadnych
nakładów.
- Za 6 miesięcy:
otrzymanie depozytu z odsetkami w kwocie 1000,15 euro, otrzymanie z tytułu dostawy 1000
euro (łącznie 4090 zł), zwrot kredytu z odsetkami, w sumie 4060 euro. W efekcie uzyskuje się
dochód arbitrażowy równy około 30 zł (w przeliczeniu na 1 euro jest to 0,03 zł) – jest to
dokładnie różnica między ceną forward na rynku a wartością wynikającą z wyceny.
Wycena jako określenie wartości pozycji w instrumencie
Po zawarciu kontraktu terminowego (w pozycji długiej lub krótkiej) często zachodzi potrzeba
określenia wartości pozycji zajętej w tym kontrakcie. W momencie zawierania kontraktu, jego
cena zazwyczaj jest tak ustalona, aby wartość obu pozycji była równa 0. Jednak po upłynięciu
pewnego okresu, parametry rynkowe zmieniają się tak, że dla jednej strony wartość pozycji jest
dodatnia, zaś dla drugiej ujemna. Obecne rozważania dotyczą właśnie tej sytuacji, przy czym tym
razem kontrakty futures i forward omawiane są osobno.
Jeśli chodzi o wycenę pozycji w kontrakcie futures, to wartość pozycji na koniec dnia wynosi 0,
ze względu na procedurę marking to market. Oznacza to, że posiadacz pozycji, która ma wartość
ujemną, płaci posiadaczowi, który ma wartość dodatnią. Wobec tego w przypadku kontraktu
68
futures można teoretycznie mówić jedynie o wartości pozycji w różnych momentach dnia
roboczego, a to w praktyce w zasadzie nie jest wykorzystywane.
Przejdziemy zatem do wyceny pozycji w kontrakcie forward. Przy tym dla ustalenia uwagi,
wycenie podlega pozycja długa w tym kontrakcie – jak już wskazywaliśmy, wartość pozycji
krótkiej jest to wartość pozycji długiej pomnożona przez -1. Na początku rozważymy, podobnie
jak poprzednio, najprostszy kontrakt, mianowicie kontrakt na akcję nie płacącą dywidendy przed
terminem realizacji kontraktu.
Wartość pozycji długiej w tym kontrakcie dana jest następującym wzorem:
Vt  St 
F
(1  r (T  t ))
(7.53)
Gdzie:
Vt – wartość pozycji długiej w kontrakcie w momencie t;
St – cena akcji w momencie t;
F – cena kontraktu forward w momencie zawarcia (umownie: momencie 0);
T – dzień realizacji kontraktu;
t – dzień wyceny.
We wzorze (7.53) założyliśmy – jak to zwykle się czyni – koncepcję kapitalizacji prostej. W
przypadku, gdy założymy kapitalizacje roczną lub ciągłą, otrzymujemy odpowiednio następujące
wzory:
F
(1  r )T  t
F
Vt  St  r (T  t )
e
Vt  St 
(7.54)
(7.55)
Przejdziemy teraz do uzasadnienia wzoru (7.53). Wynika on z idei kontraktu forward. Jak już
wskazywaliśmy w rozdziale 1, przychód kupującego ten kontrakt (długa pozycja) w momencie
69
realizacji jest równy cenie instrumentu podstawowego (w tym przykładzie akcji) minus ustalona
cena kontraktu. Ponieważ wycena jest dokonywana w pewnym dniu przed realizacją kontraktu,
przychód ten musi być „sprowadzony” na moment wyceny pozycji. W przypadku ceny
instrumentu podstawowego jest to po prostu wzięcie ceny z tego dnia, zaś cena kontraktu musi
być zdyskontowana. Operacje te uwzględnione są właśnie we wzorze (7.53), a także we wzorach
(7.54) i (7.55).
Przykład.
Rozważany jest kontrakt forward na akcję, która nie płaci dywidendy. Trzy miesiące temu strona
zajęła pozycję długa w tym kontrakcie, przy cena forward wynosiła 52 zł. Do realizacji kontraktu
pozostało 6 miesięcy. Obecna cena akcji wynosi 51 zł, a stopa wolna od ryzyka wynosi 8%. Po
podstawieniu do wzoru (7.53) otrzymujemy:
Vt  51 
52
1
1  0,08  0,5
Wartość pozycji długiej wynosi 1 zł, co oznacza, że w tym samym kontrakcie wartość pozycji
krótkiej wynosi -1 zł.
Rozważmy jeszcze raz wzór (7.53) w dwóch szczególnych momentach:
1. Jeśli wycena pozycji dokonywana jest w momencie zawarcia kontraktu, czyli t=0, wtedy:
V0  S0 
F
1  rT
Zauważmy, że po uwzględnieniu wzoru (7.45) na wycenę – rozumianą jako cena rynkowa –
otrzymujemy wartość długiej pozycji równą 0. Tyle samo oczywiście wynosi wartość krótkiej
pozycji. Wynika z tego, że:
W momencie zawarcia kontraktu forward wartość obu pozycji wynosi 0.
70
Z tego powodu strony nie muszą płacić za zajęcie pozycji w tym kontrakcie. Podobna właściwość
zachodzi dla kontraktu futures. Co prawda obie strony w tym kontrakcie muszą wpłacić depozyt
zabezpieczający, jednak nie jest to ekwiwalent wartości pozycji.
2. Jeśli wycena pozycji dokonywana jest w momencie realizacji kontraktu, czyli t=T, wtedy:
Vn  Sn  F
Wartość pozycji długiej jest tu różnicą między ceną instrumentu podstawowego w dniu realizacji
a uzgodnioną cena kontraktu. Jest to oczywiście przychód strony długiej w dniu realizacji
kontraktu.
Przedstawimy teraz sposób wyceny pozycji (dla ustalenia uwagi jest to pozycja długa) w innych
kontraktach forward. Przyjmujemy cały czas założenie kapitalizacji prostej.
1. Wycena kontraktu forward na akcję lub indeks giełdowy
Tutaj wzór na wycenę pozycji przyjmuje następującą postać:
Vt  St  PVD 
F
(1  r (T  t ))
(7.56)
2. Wycena kontraktu forward na obligację o stałym oprocentowaniu
Tutaj wzór na wycenę pozycji przyjmuje następującą postać:
Vt  St  PVC 
F
(1  r (T  t ))
(7.57)
3. Wycena kontraktu forward na walutę
Tutaj wzór na wycenę pozycji przyjmuje następującą postać:
71
Vt 
St
F

1  rf (T  t ) 1  r (T  t )
(7.58)
Przykład.
Rozważymy 6-miesięczny kontrakt na euro, który został zawarty po cenie 4,06 zł za euro.
Upłynęły trzy miesiące, a zatem pozostały trzy miesiące do realizacji. Kurs spot wynosi 4,10 zł
za 1 euro. Stopa wolna od ryzyka w Polsce wynosi 5%, zaś stopa wolna od ryzyka w krajach
strefy euro wynosi 2%. Po podstawieniu do wzoru (7.58) otrzymujemy wartość pozycji długiej w
tym kontrakcie:
Vt 
4,10
4,06

 0,06972
1  0,02  0,25 1  0,05  0,25
Jest to wartość w przeliczeniu na 1 euro. Jeśli kontrakt jest wystawiony na 1000 euro, wówczas
wartość pozycji długiej wynosi 69,72 zł.
6. Wycena kontraktów swap
Ostatni rodzaj instrumentów pochodnych, którego wycena zostanie przedstawiona, to kontrakt
swap. Jest to „symetryczny” instrument pochodny, a zatem występują tu dwa rodzaje wyceny:
wycena rozumiana jako określenie ceny rynkowej instrumentu oraz wycena rozumiana jako
określenie wartości pozycji. Zanim przejdziemy do omówienia szczegółów dotyczących wyceny
konkretnych instrumentów, podamy ogólną ideę. Wynika ona z konstrukcji kontraktu swap.
Ilustruje to rysunek 7.20.
72
Płatność A
A
Płatność B
B
Rysunek 7.20.
Na rysunku tym przedstawiony jest ogólny schemat kontraktu swap. W regularnych okresach
strona A dokonuje płatności A dla strony B, zaś otrzymuje od tej strony płatności B. Nie ma przy
tym znaczenia, czy w efekcie dokonywane są jedynie płatności netto, tzn. płaci tylko jedna ze
stron (w zależności od wartości obu płatności), czy też płacą obie strony. Ponieważ płatności
dokonywane są w różnych okresach w przyszłości, zaś wycena dokonywana jest obecnie,
naturalne jest to, że wycena ma u podstaw wartości obecne przepływów pieniężnych dokonanych
przez obie strony. Ściślej:
- wartość pozycji strony A to wartość przepływów pieniężnych otrzymanych przez tę stronę
(przepływów B) minus wartość przepływów pieniężnych płaconych przez tę stronę (przepływów
A);
- wartość pozycji strony B to wartość przepływów pieniężnych otrzymanych przez tę stronę
(przepływów A) minus wartość przepływów pieniężnych płaconych przez tę stronę (przepływów
B) – jest to oczywiście wartość pozycji strony A pomnożona przez minus 1;
- w momencie zawarcia kontraktu swap jego parametry, tzn. indeksy określające przepływy
pieniężne dokonywane przez obie strony, ustalone są w taki sposób, że wartość pozycji obu stron
równa jest 0.
Jak widać, idea stosowana przy wycenie kontraktu swap jest taka sama, jak w przypadku
kontraktu forward. Jest tak również dlatego, że kontrakt swap formalnie może być traktowany
jako portfel kontraktów forward.
Przejdziemy teraz do omówienia wyceny na najczęściej występujący kontrakt swap, mianowicie
kontrakt swap na stopę procentową (Interest Rate Swap).
Wycena jako określenie ceny rynkowej instrumentu
73
W przypadku kontraktu swap na stopę procentową, cena jest tu rozumiana jako ustalona stopa
procentowa, która jest płacona przez stronę dokonującą płatności według stałej stopy
procentowej. Z kolei płatności według zmiennej stopy procentowej określone są w sposób
naturalny, gdyż pod uwagę bierze się zazwyczaj przeciętną stopę kredytów na rynku
międzybankowym (np. WIBOR, LIBOR, Euribor).
Zgodnie z przedstawioną powyżej zasadą wyceny stała stopa procentowa kontraktu swap
powinna być określona w taki sposób, aby wartość pozycji obu stron była równa 0, tzn. aby
wartości obecne przepływów otrzymywanych i przepływów płaconych były równe. Można
dowieść, że stopa ta jest określona według następującego wzoru:




1

PV
(
C
)
n 
FS   n
m


  PV (Ct ) 
 t 1

(7.60)
Gdzie:
FS – stała stopa kontraktu swap;
PV (Ct ) – wartość obecna przepływu pieniężnego równego 1 w okresie t;
n – liczba płatności w kontrakcie swap;
m – liczba płatności w ciągu roku w kontrakcie swap.
We wzorze (7.60) przyjmuje się dla ustalenia uwagi, że przepływy pieniężne równe są 1.
Wyznaczenie stopy kontraktu swap nie jest bowiem zależne od skali przepływów pieniężnych. Z
kolei konkretne zastosowanie wzoru (7.60) zależy od przyjętej konwencji dotyczącej kapitalizacji
przy wyznaczaniu wartości obecnej. Przy tym:
- przy kontraktach swap zawieranych na okres do roku, stosowana jest konwencja kapitalizacji
prostej (przy tym są jeszcze dwie możliwości co do przyjętej liczby dni w roku: 360 lub 365);
- przy kontraktach swap zawieranych na okresy dłuższe, stosowana jest konwencja kapitalizacji
rocznej;
- w rozważaniach teoretycznych nierzadko stosowana jest konwencja kapitalizacji ciągłej.
74
Wycena kontraktu swap na stopę procentową zilustrowana jest w następnych dwóch przykładach.
Przykład.
Rozważany jest swap na stopę procentową, o terminie 1 rok. Zmienna stopa procentowa
określona jest jako stopa 3-miesięczna LIBOR. Płatności dokonywane są raz na kwartał, a zatem
w sumie są 4 płatności. Przyjęta liczba dni w roku wynosi 360. Na potrzeby określenia wartości
obecnej dane są stopy spot:
90- dniowa: 4,2%, 180-dniowa: 4,4%, 270-dniowa: 4,5%, 360-dniowa: 4,6%.
Po podstawieniu do wzoru (7.60) otrzymujemy wartość stopy kontraktu:
1


1


1  0,046(360 / 360)

  4  4,52%
FS 


1
1
1
1



 1  0,042(90 / 360) 1  0,044(180 / 360) 1  0,045(270 / 360) 1  0,046(360 / 360) 
Przykład.
Rozważany jest swap na stopę procentową, o terminie 3 lata. Zmienna stopa procentowa
określona jest jako stopa 12-miesięczna WIBOR. Płatności dokonywane są raz na rok, a zatem w
sumie są 3 płatności. Na potrzeby określenia wartości obecnej dane są stopy spot:
Roczna: 4%, dwuletnia: 5%, trzyletnia: 5,5%.
Po podstawieniu do wzoru (7.60) otrzymujemy wartość stopy kontraktu:
1

1

(1  0,055) 3

FS 

1
1
1



2
(1  0,055) 3
 1  0,04 (1  0,05)


  5,24%



75
Należy jeszcze dodać, iż w praktyce kontrakty swap oferowane są przez banki, które podają
(kwotują) dwie stopy (bid oraz ask). Oznacza to, iż bank dodaje i odejmuje pewną niewielką
wartość od wartości wycenionej wzorem (7.60).
Bardzo podobnie przebiega wycena – rozumiana jako określenie ceny rynkowej – w odniesieniu
do kontraktu walutowego swap. Jak pamiętamy, są cztery podstawowe walutowe kontrakty swap:
- strona A otrzymuje płatności w krajowej walucie według stałej stopy procentowej, zaś dokonuje
płatności w obcej walucie według stałej stopy procentowej;
- strona A otrzymuje płatności w krajowej walucie według stałej stopy procentowej, zaś
dokonuje płatności w obcej walucie według zmiennej stopy procentowej;
- strona A otrzymuje płatności w krajowej walucie według zmiennej stopy procentowej, zaś
dokonuje płatności w obcej walucie według stałej stopy procentowej;
- strona A otrzymuje płatności w krajowej walucie według zmiennej stopy procentowej, zaś
dokonuje płatności w obcej walucie według zmiennej stopy procentowej.
Oczywiście zmienna stopa w danej walucie określa jest jako właściwa stopa referencyjna w danej
walucie, stosowana w kontraktach swap na stopę procentową. Okazuje się, że stała stopa
procentowa w danej walucie określana jest dokładnie w taki sam sposób jak w kontrakcie swap
na stopę procentową, czyli według wzoru (7.60).
Oprócz tego muszą być jeszcze określone wartości nominalne w różnych walutach. Zasada jest tu
również prosta: relacje wartości nominalnych muszą odpowiadać kursowi walutowemu w
momencie zawierania kontraktu swap. Jeśli zatem na przykład kurs ten wynosi 1 euro = 4 zł,
wówczas właściwe wartości nominalne to na przykład 1 milion euro i 4 miliony zł.
Spełnienie tych zasad gwarantuje, że wartość pozycji w kontrakcie dla każdej strony wynosi 0,
czyli w momencie zawierania kontraktu nie dokonują żadnych płatności.
Przykład.
Rozważany jest walutowy kontrakt swap, o terminie 3 lata. W tym kontrakcie strona A dokonuje
płatności w dolarach (jest to waluta obca dla tej strony) według stałej stopy, zaś otrzymuje
płatności w złotych (jest to waluta krajowa dla tej strony) również według stałej stopy. Płatności
dokonywane są raz na rok, a zatem w sumie są 3 płatności. Wartości nominalne płatności są
76
następujące: 1 miliony dolarów i 3 miliony zł. Wartościom tym odpowiada kurs walutowy w
momencie zawierania kontraktu: 1 dolar = 3 zł.
Stopy spot są następujące:
- w złotych: roczna: 4%, dwuletnia: 5%, trzyletnia: 5,5%;
- w dolarach: roczna: 2%, dwuletnia: 2,4%, trzyletnia: 2,6%.
Stopy kontraktu są wyznaczane na podstawie wzoru (7.60), jak w swapie na stopę procentową. W
poprzednim przykładzie otrzymaliśmy stopę dla płatności w złotych – wynosi ona 5,24%. Z kolei
po podstawieniu do wzoru (7.60) otrzymujemy stopę dla płatności w dolarach:
1

1


(1  0,026)3

FS 
1
1
 1


 1  0,02 (1  0,024) 2 (1  0,026)3



  2,59%



Otrzymane stopy określają warunki każdego z czterech możliwych walutowych kontraktów
swap. Są one następujące:
- strona A otrzymuje płatności w złotych według stopy 5,24%, zaś dokonuje płatności w dolarach
według stopy 2,59%;
- strona A otrzymuje płatności w złotych według stopy 5,24%, zaś dokonuje płatności w dolarach
według stopy 12-miesięcznej LIBOR;
- strona A otrzymuje płatności w złotych według stopy 12-miesięcznej WIBOR, zaś dokonuje
płatności w dolarach według stopy 2,59%;
- strona A otrzymuje płatności w złotych według stopy 12-miesięcznej WIBOR, zaś dokonuje
płatności w dolarach według stopy 12-miesięcznej LIBOR.
Jeśli chodzi o wartości nominalne w obu walutach, to ich relacja musi odpowiadać kursowi
walutowemu 1 dolar = 3 złote.
Wycena jako określenie wartości pozycji w instrumencie
Jeśli chodzi o swap na stopę procentową, to idea wyceny pozycji jest bardzo prosta. Dla ustalenia
uwagi rozważmy stronę otrzymującą płatności według stałej stopy procentowej, a płacącą według
77
zmiennej stopy procentowej. Na potrzeby wyceny sytuację tej strony możemy utożsamiać z długą
pozycją w obligacji o stałym oprocentowaniu i krótką pozycją w obligacji o zmiennym
oprocentowaniu. Wobec tego wartość pozycji w kontrakcie swap dla tej strony to wartość
obligacji o stałym oprocentowaniu minus wartość obligacji o zmiennym oprocentowaniu. Takie
podejście wynika z faktu, iż płatności w kontrakcie swap są takie same jak płatności z tytułu
obligacji. Przy tym dodatkowo w obligacji dochodzi spłata wartości nominalnej w terminie
wykupu. Ponieważ jednak każda ze stron dokonuje na rzecz drugiej płatności tej samej wielkości,
a zatem płatności te wzajemnie się rekompensują.
Ilustracja wyceny pozycji w kontrakcie swap na stopę procentową przedstawiona jest w
następnym przykładzie.
Przykład.
Rozważany jest swap na stopę procentową, którego wartość nominalna wynosi 100 tys. zł, a do
terminu wygaśnięcia pozostały 2 lata. Zmienna stopa procentowa określona jest jako stopa 12miesięczna LIBOR, przy czym wartość tej stopy określająca następną płatność wynosi 4,8%.
Uzgodniona stała stopa procentowa wynosi 5,24%. Płatności dokonywane są raz na rok. Dane są
również stopy spot:
Roczna: 4,8%, dwuletnia: 4,9%. Dokonamy wyceny pozycji strony otrzymującej płatności o
stałym oprocentowaniu, przyjmując, że po 2 latach następuje „wymiana wartości nominalnej”.
Wartość płatności (obligacji) o stałym oprocentowaniu wynosi:
V fix 
5,24 105,24

 100,63
2
1,048 1,049
Wartość płatności (obligacji) o zmiennym oprocentowaniu wynosi:
V float 
104,8
 100
1,048
78
Oznacza to, że wartość pozycji w kontrakcie wynosi 100,63-100=0,63 tys. zł, czyli 630 zł.
Wobec tego wartość pozycji drugiej strony wynosi -630 zł.
W analogiczny sposób przeprowadzana jest wycena, rozumiana jako określenie wartości pozycji
w instrumencie, w odniesieniu do swapu walutowego. Jedyna modyfikacja dotyczy
uwzględnienia kursu walutowego, gdyż płatności są w różnych walutach. Oznacza to, że wartość
pozycji dla strony otrzymującej płatności w walucie krajowej jest równa wartości obecnej
przepływów otrzymywanych minus wartość obecna przepływów płaconych pomnożonych przez
kurs walutowy w dniu wyceny. Oczywiście oba rodzaje płatności traktowane są jako płatności z
tytułu obligacji, podobnie jak w swapie na stopę procentową.
Przykład.
W jednym z poprzednich przykładów rozpatrywaliśmy walutowy kontrakt swap, o terminie 3
lata. W tym kontrakcie strona A dokonuje płatności w dolarach według stopy 2,59% od wartości
nominalnej 1 miliona dolarów, zaś otrzymuje płatności w złotych według stopy 5,24% od
wartości nominalnej 3 miliony zł. Po upłynięciu roku strona A dokonuje wyceny pozycji. W dniu
wyceny dane są następujące:
stopy spot:
- w złotych: roczna: 3%, dwuletnia: 4%;
- w dolarach: roczna: 2%, dwuletnia: 2,5%
Kurs walutowy wynosi: 1 dolar = 3,2 zł.
Wartość obecna płatności otrzymywanych w złotych (traktowanych jako obligacja) jest
następująca – w tysiącach zł:
157,2 3157,2

 3071,63
1,03
1,042
Wartość obecna płatności płaconych w dolarach (traktowanych jako obligacja) jest następująca –
w tysiącach dolarów:
79
25,90 1025,90

 1001,86
2
1,02
1,025
Po uwzględnieniu kursu walutowego otrzymujemy wartość pozycji dla strony A – w tysiącach
złotych.
3071,63  3,2  1001,86  134,32
80