Wyrażenia algebraiczne 4

1. Co to są wyrażenia algebraiczne?
2. Jednomiany.
3. Zapisywanie i odczytywanie wyrażeń algebraicznych.
4. Wartość liczbowa wyrażeń algebraicznych.
5. Redukcja wyrazów podobnych.
6. Opuszczanie nawiasów.
7. Mnożenie sum algebraicznych.
8. Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias.
9. Wzory skróconego mnożenia.
10.Zastosowanie wyrażeń algebraicznych.
2a  b
3  x  y 
2
 x  0,5r 2
3
x2
5
x4
2 x
c
4
a  b  ab
2  b  2a
3  a  4   3a  4 
a  a  1  aa  1
a  1 a  1  a  1a  1
Wyrażenie algebraiczne
to litery i liczby połączone
znakami działań i nawiasami,
a nawet pojedyncza litera
lub liczba.
W wyrażeniach algebraicznych
piszemy bez znaku mnożenia:
iloczyn dwóch liter, liczby
i litery, liczby lub litery
i wyrażenia w nawiasach
lub wyrażeń w nawiasach.
Najprostszymi wyrażeniami algebraicznymi są:
liczby, np.: -3, 5, 2
5
oraz
litery, np.: a, w, z, m, x
Wyrażenia możemy łączyć znakami działań
arytmetycznych, tworząc bardziej złożone wyrażenia
algebraiczne, np.:
x + y - suma x i y
a - 7 - różnica a i 7
s : t - iloraz s przez t
W wyrażeniach bardziej skomplikowanych używamy
nawiasów. Każde takie wyrażenie przyjmuje nazwę
działania, które zgodnie z kolejnością działań
wykonujemy jako ostatnie.
Jednomianem nazywamy wyrażenie, które jest
pojedynczą liczbą, literą lub iloczynem liczb
i liter, np.:
2
2, 4a, -2, c , 2 , 3b
4
Jednomian zapisujemy w postaci
uporządkowanej, to znaczy najpierw znak,
potem czynniki liczbowe, a następnie literowe
w kolejności alfabetycznej:
x • 3y = 3xy
Zadanie 5
Spośród podanych wyrażeń wypisz wyrażenia, które są iloczynami
liczb i liter lub pojedynczą liczbą bądź literą:
a
Rozwiązanie:
 3ab
a
4a  b
 3ab
1 2
x
2
x
2
x y
3a 2b
x2  2z
2
3a b
0,75 xyz
2
a   3  b  2
8 x   2   yx
0,75 xyz
2
a   3  b  2
8 x   2   yx
Takie wyrażenia nazywamy jednomianami.
ab 
suma liczb a i b
2 z 
różnica liczb -2 i z
 3ax 
iloczyn liczb -3; a i z
a

2
x 1 
y2 
iloraz liczby a przez 2
iloczyn liczby x i liczby 1
kwadrat liczby y
Zadanie 1
Zapisz w postaci wyrażenia algebraicznego:
Liczbę o 10 większą od x
Odp. x + 10
Liczbę 6 razy większą od y
Odp. 6y
Połowę liczby 3x + y
Odp. 0,5(3x + y)
Liczbę o 20% większą od k
Odp. 120 % · k
Obliczyć wartość wyrażenia algebraicznego to w miejsce
liter podstawić odpowiednie liczby i wykonać działania.
Zadanie 2
Oblicz wartość wyrażenia
x  3y
2
Rozwiązanie:
2
3
dla
1
x  3 y   5  3    
 2
1
5
25  3   24
8
8
2
x  5
1
y
2
3
2
Zwróć uwagę, że niektóre wyrażenia
dla pewnych wartości występujących
w nich liter tracą sens liczbowy
(nie mają wartości liczbowej).
3a
Np.: Wyrażenie
nie ma sensu
b
liczbowego dla b = 0
Zadanie 3
Obliczmy obwód prostokąta o wymiarach a i b,
dla a = 3cm oraz b = 1,5cm.
a
b
Rozwiązanie:
Obwód = a + b + a + b = 2a + 2b = 2 · 3cm + 2 · 1,5cm =
6cm + 3cm = 9cm
Wyrazy podobne to
3 2
2
iloczyny liczb i liter, które 2a i -5a, 4xy i 0,3xy, a i a
4
różnią się tylko czynnikami
liczbowymi.
Mówimy, że redukujemy
9 x  2 x  9  2x  7 x,
wyrazy podobne, gdy
2
2
zmniejszamy ich liczbę 3a  2b  5a 3b  2a 2  5b
w wyrażeniu.
Wyrazy sumy algebraicznej różniące się co najwyżej
współczynnikami liczbowymi nazywamy wyrazami
podobnymi, np.
w sumie 2 x  7 xy  2 y  xy  2
2
wyrazami podobnymi są: -7xy i xy
Przekształcenie sumy algebraicznej polegające
na dodaniu do siebie wyrazów podobnych nazywamy
redukcją wyrazów podobnych.
Zadanie 4
Wykonaj redukcję wyrazów podobnych:
7 x  2 x  4 xy  1  3x  4 x  xy  5  3x  2
2
2
Rozwiązanie:
W ww. przykładzie każdą grupę wyrazów podobnych
podkreśliłam innym kolorem, by móc odróżnić
poszczególne grupy.
Jeśli przed nawiasem znajduje się znak odejmowania,
to opuszczając nawias, zmieniamy znaki wewnątrz
nawiasu na przeciwne, np.:
 b  c  a  
b c  a
Jeśli przed nawiasem znajduje się jednomian, to
mnożymy każdy składnik przez jednomian, np.:
2a3b  c  6ab  2ac
Każdy składnik pierwszej sumy mnożymy przez
każdy składnik drugiej sumy, np.:
(4x – 2 + b)(2x + 1) =
= 4x · 2x + 4x · 1 – 2 · 2x – 2 · 1 + b · 2x + b · 1
=
redukcja wyrazów podobnych
= 8x2 + 4x – 4x – 2 + 2xb + b =
= 8x2 – 2 + 2xb + b
2x2y – 6xy = 2xy · x – 2xy · 3 = 2xy(x – 3)
To są wzory skróconego mnożenia:
a  b 
2
a  b 
2
 a  2ab  b
2
2
 a  2ab  b
2
a  ba  b  a
2
2
b
2
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 =
= a2 + 2ab + b2
Kwadrat sumy dwóch wyrażeń jest równy
kwadratowi pierwszego wyrażenia plus podwojony
iloczyn pierwszego wyrażenia przez drugie plus
kwadrat drugiego wyrażenia.
(a – b)2 = (a - b)(a - b) = a2 - ab - ba + b2 =
= a 2 –2ab +b 2
Kwadrat różnicy dwóch wyrażeń jest równy
kwadratowi pierwszego wyrażenia
minus podwojony iloczyn pierwszego wyrażenia
przez drugie plus kwadrat drugiego wyrażenia.
(a + b)(a – b) = a2 + ab - ba - b2 = a2 - b2
Iloczyn sumy przez różnicę tych samych
wyrażeń jest równy różnicy kwadratów
tych wyrażeń.
Zadanie 6
Wyrażenie (a + b)2 opisuje pole
kwadratu przedstawionego
na rysunku obok. Podaj inne
wyrażenie opisujące pole tego
kwadratu.
2
ab
a
ab
b22
b
a
a2
ab
Rozwiązanie:
a  2ab  b
2
a
2
ab
b
b
Z wyrażeniami algebraicznymi spotkaliśmy się już
w geometrii. Służyły one do zapisywania różnych wzorów.
Spójrzmy na przykłady:
Pole prostokąta:
b
a
a b
a
a
Pole kwadratu:
h
a
Pole równoległoboku:
Prezentacja została wykonana
na KONKURS „MATEMATYKA JEST OK”
przez PAULINĘ WIŚNIEWSKĄ
uczennicę kl. Ib
Gimnazjum nr 2
im. Marszałka Józefa Piłsudskiego
99-300 Kutno
ul. S. Staszica 6
KUTNO ‘2006