Rozwiązania etap wojewódzki

Wojewódzki Konkurs Matematyczny
dla uczniów gimnazjów
19 luty 2013
Czas 90 minut
Rozwiązania zadań
ZADANIA ZAMKNIĘTE
W zadaniach od 1. do 10. właściwe odpowiedzi zostały zaznaczone
Zadanie 1. (1 punkt) Ile jest liczb wymiernych wśród liczb: q
√
√
√
3
0;
−9, (11);
− 0, 25;
− π3 ;
27;
2;
20 14
a) 3
b) 5
c) 2
d) 4
e) 0
Zadanie 2. (1 punkt) Dwa boki trójkąta mają długości 1 i 3. Trzeci bok trójkąta mający
długość n jest liczbą naturalną. 25 % długości obwodu trójkąta jest równe:
a) 14 (4 + 21 n)
b) 2 + 2n
c) 1 43
d) 1, 8
e) 2
Zadanie 3. (1 punkt) Spośród wierzchołków sześciokąta foremnego wybieramy dwa różne.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrane punkty nie wyznaczą przekątnej tego wielokąta?
a)
3
5
b) 0, 4
c)
5
6
d) 1
e) 1, 5
Zadanie 4. (1 punkt) Aby uruchomić telefon komórkowy Marek musi wpisać czterocyfrowy
kod pin. Marek zapomniał, jaki jest kod pin jego telefonu, ale zapamiętał, że pierwsza i ostatnia
cyfra kodu jest nieparzysta, a suma dwóch środkowych cyfr jest równa 6. Jaka jest największa
ilość prób, które musi Marek wykonać, aby uruchomić telefon? (zakładamy, że ilość prób nie
jest ograniczona)
a) 125 razy
b) 150 razy
c) 175 razy
d) 100 razy
e) 198 razy
Zadanie 5. (1 punkt) Kwadrat podzielono na dwa prostokąty, których stosunek obwodów
wynosi 5 : 4. Jaki jest stosunek pól tych prostokątów?
a) 3:4
b) 1:2
c) 4:3
d) 2:1
e) 1:5
Zadanie 6. (1 punkt) Suma wieku ojca i syna wynosi 60 lat. Za 15 lat ojciec będzie dwa razy
starszy od syna. Ile lat ma ojciec?
a)35 lat
b) 25 lat
c) 45 lat
d) 40 lat
e) 50 lat
Zadanie 7. (1 punkt) Iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do 100 przedstawiono jako
iloczyn potęg liczb pierwszych. Do jakiej potęgi będzie podniesiona liczba 7?
a) 13
b) 14
c) 15
d) 16
e) 17
Zadanie 8. (1 punkt) Za 3 ołówki i 7 długopisów zapłacono tyle samo ile za 6 ołówków
i 1 długopis. Co jest droższe i o ile procent?
a) ołówek droższy o 50%
d) za mało jest danych
b) długopis droższy o 50%
e) ceny są jednakowe
c) ołówek droższy o 100%
Zadanie 9. (1 punkt) Ile wynosi stosunek pól kół opisanego do wpisanego dla trójkąta prostokątnego równoramiennego?
a) 2
√
b) 3 + 2 2
√
c) 2 + 2 3
d) 4
√
e) 4 2
Zadanie 10. (1 punkt) Gosia, Julka i Marek sprzątaja razem pokój w czasie 4 godzin. Marek
sam sprząta pokój dwa razy dłużej od każdej z dziewczynek. Jak długo sprzątają pokój obie
dziewczynki razem?
a)10 godzin
b) 5 godzin
c) 4 godziny
d) 8 godzin
2
e) 6 godzin
Zadania otwarte11-15 rozwiązane poprawnym sposobem, nie uwzględnionym w schamacie oceniane są indywidualnie.
Zadanie
pozycja
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
11.(3 punkty)
drużyna
Wisła Kraków
Śląsk Wrocław
Legia Warszawa
Jagiellonia Białystok
Lech Poznań
Górnik Zabrze
Polonia Warszawa
Lechia Gdańsk
punkty pozycja
56
9.
49
10.
49
11.
48
12.
45
13.
45
14.
44
15.
43
16.
drużyna
punkty
Widzew Łódź
43
GKS Bełchatów
40
Zagłębie Lubin
39
Ruch Chorzów
38
Korona Kielce
37
Cracovia Kraków
29
Arka Gdynia
28
Polonia Bytom
27
Powyższa tabela przedstawia końcową klasyfikację ekstraklasy w sezonie 2010-2011. Każda
drużyna rozegrała dwa mecze z pozostałymi drużynami (raz jako gospodarz, raz jako gość).
Za zwycięstwo drużyna otrzymuje 3 punkty, za remis obie drużyny po 1 punkcie, za porażkę
drużyna otrzymuje 0 punktów. Ile było remisów w tym sezonie? Które z drużyn uzyskały na
pewno przynajmniej dwa remisy?
Rozwiązanie
Każda z drużyn rozegrała 30 meczów – 15 jako gospodarz i 15 jako gość. Ilość wszystkich
Dzielenie przez dwa wynika stąd, że każmeczów które się odbyły można obliczyć jako 16·30
2
dy mecz liczony jest dwa razy w iloczynie 16 · 30. Suma wszystkich punktów które osiągnęły
drużyny wynosi:
55 + 49 + 49 + . . . + 28 + 27 = 660
Suma punktów zdobytych przez drużyny biorące udział w meczu w przypadku remisu wynosi 2,
natomiast w przypadku zwycięstwa jednej z drużyn 3. Przyjmujemy oznaczenia:
x – ilość meczów kończących się remisem
y – ilość meczów kończących się zwycięstwem jednej z drużyn.
Otrzymujemuy następujący układ równań:
(
x + y = 240
2x + 3y = 660
Rozwiązaniem tego układu równań jest
x = 60 oraz y = 180
Na pewno przynajmniej dwa remisy uzyskały drużyny dla których reszta z dzielenia ilości uzyskanych punktów przez 3 wynosi 2.
Odp. W sezonie było 60 remisów. Drużynami, które uzyskały przynajmniej dwa remisy są:
Wisła Kraków, Polonia Warszawa, Ruch Chorzów i Cracovia Kraków.
Punktacja zadania:
• Obliczenie ilości łącznej meczów i łącznej ilości punktów – 1 punkt .
• Ułożenie i rozwiązanie układu równań – 1 punkt .
• Wymienienie drużyn z co najmniej dwoma remisami – 1 punkt ,
3
Zadanie 12.(4 punkty) Ogrodzona łąka ma kształt koła o promieniu 20 m. Do brzegu łąki
przyczepiona jest koza na łańcuchu
√ o długości 20 m. Ile procent łąki znajduje się w zasięgu
kozy? (przyjmij w przybliżeniu 3 = 1, 73
π = 3, 14)
Rozwiązanie
Pole łąki w zasięgu kozy składa się z wycinka koła o promieniu 20 m i kącie wewnętrznym
120o oraz dwóch części koła odciętych cięciwami o długości 20 m oznaczonych na rysynku przez
A. Pole figury oznaczonej przez A jest równe różnicy pola wycinka koła o promieniu 20 m i
kącie wewnętrznym 60o i pola trójkąta równobocznego o boku 20 m :
√
3
1
2
· 202
P oleA = π · 20 −
6
4
Pole łąki w zasięgu kozy
√
!
1
1
3
2
2
2
P = π · 20 + 2 ·
π · 20 −
· 20
3
6
4
√
2
3
2
P = π · 20 −
· 202
3
2
2
Pole całej łąki wynosi: PŁ = π · 20 . Po podzieleniu pól P przez PŁ, uproszczenie przez 202
i pomnożeniu przez 100% otrzymujemy:
2
π
3
√
−
π
3
2
· 100% =
6,28
3
− 1,73
2
· 100% = 39%
3, 14
Punktacja zadania:
• wykonanie poprawnego rysunku i zaznaczenie trójkątów równobocznych – 1 punkt .
• obliczenie pól i stosunku tych pól – 3 punkty .
4
Zadanie 13.(2 punkty) Oblicz
√
20122 + 20122 · 20132 + 20132 .
W obliczeniach pomocny może być wzór (A + B + C)2 = A2 + B 2 + C 2 + 2AB + 2AC + 2BC.
Rozwiązanie
2
2
2
1
4
3
2
2
2
q
a + a (a + 1) + (a + 1) = a + 2a + 3a + 2a + 1 = (a + a + 1) , (a2 + a + 1)2 = a2 + a + 1,
√
20122 + 20122 0132 + 20132 = 20122 + 2012 + 1 = 4050157.
Punktacja zadania:
• wprowadzenie oznaczeń a = 2012, a + 1 = 2013 - 1 punkt .
• zauważenie, że wyrażenie podpierwiastkowe sprowadza się do postaci (a2 + a + 1)2 , wyliczenie wartości pierwiastka - 1 punkt.
lub
• prawidłowe podanie wartości pierwiastka, wyliczone inną poprawną metodą - 2 punkty .
5
Zadanie 14.(4 punkty)W jaki sposób prostokątny tort o wymiarach 8 × 28 cm można przekroić
wzdłuż prostej na dwa kawałki tak, aby zmieściły się one obok siebie na okrągłym talerzu
o średnicy 20 cm. Zaznacz na rysunku podział tortu i sposób ułożenia go na talerzu. Oznacz
długości odcinków.(Rysunek wykonany jest w skali 1:2.)
Punktacja zadania:
• za prawidłowe zaznaczenie linii podziału tortu, bez umieszczanie na talerzu oraz podawania konkretnych wymiarów - 1 punkt.
• za prawidłowe zaznaczenie linii podziału tortu, umieszczanie na talerzu, bez podania
konkretnych wymiarów - 2 punkty.
• prawidłowe zaznaczenie linii podziału, rozmieszczenie na talerzu, wykonanie obliczeń,
podanie wymiarów podziału - 4 punkty.
Rozwiązanie
6
Zadanie 15.(2 punkty) Naczynie ma kształt odwróconego stożka o kącie rozwarcia 60o . Naczynie wypełnione jest cieczą do wysokości 3 cm (wysokość mierzona jest od wierzchołka stożka
do górnej powierzchni cieczy). Do naczynia włożono kulkę, która osiadła na dnie. Górna powierzchnia cieczy jest styczna do powierzchni kulki. Oblicz promień kulki.
Rozwiązanie
Przekrój osiowy naczynia jest trójkątem równobocznym. Objętość cieczy w naczyniu można
obliczyć jako objętość stożka wg wzoru Vst = 13 · πr2 h, gdzie r jest promieniem podstawy stożka, a h jego wysokością. Promień podstawy stożka można obliczyć korzystając ze wzoru na
wysokość
w trójkącie
√
√ równobocznym:
2r 3
3 = 2 stąd r = 3 cm
Tak więc√objętość cieczy wynosi
V = 13 π( 3)2 · 3 = 3π cm3
Po włożeniu do naczynia kulki o promieniu R wysokość cieczy zwiększy się do wartości H.
Przekrój kulki jest okręgiem wpisanym w trójkąt równoboczny, więc zależność między promieniem R i wysokością H jest następująca: H =
√ 3R. Promień podstawy stożka można obliczyć
podobnie jak w poprzednim przypadku r1 = 3R. Objętość
cieczy łącznie z zanurzoną kulką
√
1
2
można obliczyć ze wzoru na objętość stożka V1 = 3 π( 3R) · 3R co jest równe V1 = 3πR3
Biorąc pod uwagę wzór na objętość kulki otrzymujemy równanie:
4
3πR3 = πR3 + 3π
3
Przekształcając równanie otrzymujemy:
5 3
R =3
3
s
R=
3
9
cm
5
Punktacja zadania:
• Obliczenie objętości stożka przed włożeniem kulki – 1 punkt.
• wyznaczenia objętości stożka po włożeniu kulki przy użyciu promienia kulki i obliczenie
promienia kulki – 1 punkt.
7