Zadania z finansów na odsetki proste i złożone

Wartość przyszła pieniądza: Future Value FV
Jeśli posiadamy pewną kwotę pieniędzy i mamy możliwość
ulokowania ich w banku na ustalony czas i określony procent, to
kwota w przyszłości (np. po 1 roku), zostanie powiększona
o naliczone odsetki, co wygląda następująco:
Kwota przy odbiorze = kwota wpłacona + stopa % x kwota wpłacona
Po zamianie na symbole:
FV = PV + r · PV
FV = PV ( 1 + r )
Gdzie:
FV – wartość przyszła pieniądza (future value)
PV – wartość bieżąca pieniądza (present value)
r – nominalna stopa procentowa,
ten wzór pokazuje sytuację jednego okresu kapitalizacji pieniądza
jeśli okresów jest więcej, posługujemy się procentem składanym:
FV = PV ( 1 + r )n lub FV = PV ( 1 + r/m )nm
Gdzie:
FV – wartość przyszła pieniądza (future value)
PV – wartość bieżąca pieniądza (present value)
r – nominalna roczna stopa procentowa (NSP),
n – ilość lat, w których kapitalizowane są odsetki
m – ilość okresów kapitalizacji w ciągu roku
1
Efektywna stopa procentowa EAR
i bieżąca stopa zwrotu
Efektywna stopa procentowa to rzeczywisty, wyrażony
w procentach przyrost kapitału początkowego w ciągu roku.
EAR = ( 1 + r/m )m – 1
Gdzie:
EAR – efektywna roczna stopa procentowa
r – nominalna roczna stopa procentowa (NSP)
m – ilość okresów kapitalizacji w ciągu roku
Bieżąca stopa zwrotu to wartość osiągniętego zysku z inwestycji
z każdej złotówki zaangażowanego kapitału. Liczona jest jako
relacja dochodu do aktualnej ceny rynkowej waloru:
Bieżąca stopa zwrotu = dochód z inwestycji / wartość inwestycji
W gospodarce zwykle występuje spadek wartości pieniądza, czyli
inflacja. Należy zatem korygować osiągnięte wyniki o stopę
inflacji, a więc liczyć stopę realną:
r real = [ ( 1 + rnom ) / ( 1 + rinfl ) ] – 1
Gdzie:
r real – realna stopa procentowa (zwrotu)
r nom – nominalna stopa procentowa lub stopa zwrotu
r infl – stopa inflacji
2
Wartość bieżąca pieniądza: Present Value PV
Wartość bieżąca (aktualna, dzisiejsza) pojawia się wtedy, gdy np.
zastanawiamy się, ile ulokować obecnie w banku, aby przy danej
stopie oprocentowania uzyskać za jakiś czas określoną kwotę
pieniędzy.
PV = FV / ( 1 + r )n lub PV = FV / ( 1 + r/m )mn
Gdzie:
PV – wartość bieżąca pieniądza (present value)
FV – wartość przyszła pieniądza (future value)
r – nominalna roczna stopa procentowa (NSP),
n – ilość lat, w których kapitalizowane są odsetki
m – ilość okresów kapitalizacji w ciągu roku
występujący we wzorze współczynnik 1 / ( 1 + r )n to tzw. czynnik
dyskontujący, a teoria bieżącej wartości pieniądza nosi nazwę
wartości zdyskontowanej, albo dyskontowania
3
Wartość
przyszła i obecna strumienia równych
płatności – koncepcja renty
Koncepcja stałych płatności obejmuje zarówno ich wartość
przyszłą, jak i bieżąca. Stałe płatności składają się z serii „n”
równych wartościowo kwot pieniężnych, pojawiających się
w równych odstępach czasu, gdy stopa procentowa (stopa zwrotu)
w poszczególnych okresach jest jednakowa.
Ta koncepcja nazywa się również kapitalizowaniem lub
dyskontowaniem rent.
Na początek zajmiemy się płatnościami „z dołu”, czyli na koniec
okresu:
FVA = A · [ ( 1 + r )n – 1 ] / r
Gdzie:
FVA – wartość przyszła sumy stałych płatności
A – kwota jednej stałej płatności (annuitetu)
r – stopa procentowa, odpowiednia dla okresu dokonywania
stałych płatności
n – liczba dokonywanych stałych płatności lub liczba
okresów
występujący we wzorze współczynnik [ ( 1 + r )n – 1 ] / r to
mnożnik wartości przyszłej renty (MWPR)
jeśli dokonujemy stałych, cyklicznych wpłat na początek okresu,
wtedy mamy do czynienia z rentą płaconą „z góry”. Jej wzór to:
FVA = A · ( 1 + r) · [ ( 1 + r )n – 1 ] / r
4
Jeśli interesuje nas bieżąca wartość stałych płatności „z dołu”
(np. w przypadku spłaty rat kredytu bankowego, w których
zawierają się zarówno odsetki, jak i rata kapitałowa), korzystamy ze
wzoru:
PVA = A · [ (1 - ( 1 + r )-n ) / r]
Gdzie:
PVA – wartość bieżąca sumy stałych płatności
A – kwota jednej stałej płatności (annuitetu)
r – stopa procentowa, odpowiednia dla okresu
dokonywania stałych płatności
n – liczba dokonywanych stałych płatności lub liczba
okresów
występujący we wzorze współczynnik [ 1 - ( 1 + r )-n ] / r nazywany
jest mnożnikiem wartości obecnej renty (MWOR)
analogicznie możemy szukać wartości bieżącej renty, której
wypłata następuje „z góry”. Wtedy niezbędny będzie wzór:
PVA = A · [ ( 1 + r )n – 1) ] / [ r · ( 1 + r )n-1 ]
5
Koncepcja renty wieczystej – Perpetuity
Zdarza się, że mamy do czynienia z szeregami płatności o
jednakowej wysokości, dokonywanymi regularnie przez
nieskończoną liczbę okresów. Jest to tzw. renta wieczysta
(perpetuity). Korzystamy wtedy ze wzorów:
ü Na rentę wieczystą „z dołu”
PVP = P / r
ü Na rentę wieczystą „z góry”:
PVP = P + P / r
Gdzie:
PVP – wartość bieżąca sumy stałych płatności
osiąganych w nieskończonej liczbie okresów
P – kwota jednej płatności perpetualnej
r – oczekiwana stopa zwrotu, odpowiednia dla okresu
dodatkowo możemy mieć do czynienia z szeregiem płatności, które
rosną o ten sam współczynnik (stopę). Wtedy korzystamy
z formuły:
PVP = P / ( r – g )
Gdzie:
g – stała stopa wzrostu płatności z okresu na okres
(wzór może być wykorzystany, gdy r > g )
6