Wartość przyszła pieniądza: Future Value FV Jeśli posiadamy pewną kwotę pieniędzy i mamy możliwość ulokowania ich w banku na ustalony czas i określony procent, to kwota w przyszłości (np. po 1 roku), zostanie powiększona o naliczone odsetki, co wygląda następująco: Kwota przy odbiorze = kwota wpłacona + stopa % x kwota wpłacona Po zamianie na symbole: FV = PV + r · PV FV = PV ( 1 + r ) Gdzie: FV – wartość przyszła pieniądza (future value) PV – wartość bieżąca pieniądza (present value) r – nominalna stopa procentowa, ten wzór pokazuje sytuację jednego okresu kapitalizacji pieniądza jeśli okresów jest więcej, posługujemy się procentem składanym: FV = PV ( 1 + r )n lub FV = PV ( 1 + r/m )nm Gdzie: FV – wartość przyszła pieniądza (future value) PV – wartość bieżąca pieniądza (present value) r – nominalna roczna stopa procentowa (NSP), n – ilość lat, w których kapitalizowane są odsetki m – ilość okresów kapitalizacji w ciągu roku 1 Efektywna stopa procentowa EAR i bieżąca stopa zwrotu Efektywna stopa procentowa to rzeczywisty, wyrażony w procentach przyrost kapitału początkowego w ciągu roku. EAR = ( 1 + r/m )m – 1 Gdzie: EAR – efektywna roczna stopa procentowa r – nominalna roczna stopa procentowa (NSP) m – ilość okresów kapitalizacji w ciągu roku Bieżąca stopa zwrotu to wartość osiągniętego zysku z inwestycji z każdej złotówki zaangażowanego kapitału. Liczona jest jako relacja dochodu do aktualnej ceny rynkowej waloru: Bieżąca stopa zwrotu = dochód z inwestycji / wartość inwestycji W gospodarce zwykle występuje spadek wartości pieniądza, czyli inflacja. Należy zatem korygować osiągnięte wyniki o stopę inflacji, a więc liczyć stopę realną: r real = [ ( 1 + rnom ) / ( 1 + rinfl ) ] – 1 Gdzie: r real – realna stopa procentowa (zwrotu) r nom – nominalna stopa procentowa lub stopa zwrotu r infl – stopa inflacji 2 Wartość bieżąca pieniądza: Present Value PV Wartość bieżąca (aktualna, dzisiejsza) pojawia się wtedy, gdy np. zastanawiamy się, ile ulokować obecnie w banku, aby przy danej stopie oprocentowania uzyskać za jakiś czas określoną kwotę pieniędzy. PV = FV / ( 1 + r )n lub PV = FV / ( 1 + r/m )mn Gdzie: PV – wartość bieżąca pieniądza (present value) FV – wartość przyszła pieniądza (future value) r – nominalna roczna stopa procentowa (NSP), n – ilość lat, w których kapitalizowane są odsetki m – ilość okresów kapitalizacji w ciągu roku występujący we wzorze współczynnik 1 / ( 1 + r )n to tzw. czynnik dyskontujący, a teoria bieżącej wartości pieniądza nosi nazwę wartości zdyskontowanej, albo dyskontowania 3 Wartość przyszła i obecna strumienia równych płatności – koncepcja renty Koncepcja stałych płatności obejmuje zarówno ich wartość przyszłą, jak i bieżąca. Stałe płatności składają się z serii „n” równych wartościowo kwot pieniężnych, pojawiających się w równych odstępach czasu, gdy stopa procentowa (stopa zwrotu) w poszczególnych okresach jest jednakowa. Ta koncepcja nazywa się również kapitalizowaniem lub dyskontowaniem rent. Na początek zajmiemy się płatnościami „z dołu”, czyli na koniec okresu: FVA = A · [ ( 1 + r )n – 1 ] / r Gdzie: FVA – wartość przyszła sumy stałych płatności A – kwota jednej stałej płatności (annuitetu) r – stopa procentowa, odpowiednia dla okresu dokonywania stałych płatności n – liczba dokonywanych stałych płatności lub liczba okresów występujący we wzorze współczynnik [ ( 1 + r )n – 1 ] / r to mnożnik wartości przyszłej renty (MWPR) jeśli dokonujemy stałych, cyklicznych wpłat na początek okresu, wtedy mamy do czynienia z rentą płaconą „z góry”. Jej wzór to: FVA = A · ( 1 + r) · [ ( 1 + r )n – 1 ] / r 4 Jeśli interesuje nas bieżąca wartość stałych płatności „z dołu” (np. w przypadku spłaty rat kredytu bankowego, w których zawierają się zarówno odsetki, jak i rata kapitałowa), korzystamy ze wzoru: PVA = A · [ (1 - ( 1 + r )-n ) / r] Gdzie: PVA – wartość bieżąca sumy stałych płatności A – kwota jednej stałej płatności (annuitetu) r – stopa procentowa, odpowiednia dla okresu dokonywania stałych płatności n – liczba dokonywanych stałych płatności lub liczba okresów występujący we wzorze współczynnik [ 1 - ( 1 + r )-n ] / r nazywany jest mnożnikiem wartości obecnej renty (MWOR) analogicznie możemy szukać wartości bieżącej renty, której wypłata następuje „z góry”. Wtedy niezbędny będzie wzór: PVA = A · [ ( 1 + r )n – 1) ] / [ r · ( 1 + r )n-1 ] 5 Koncepcja renty wieczystej – Perpetuity Zdarza się, że mamy do czynienia z szeregami płatności o jednakowej wysokości, dokonywanymi regularnie przez nieskończoną liczbę okresów. Jest to tzw. renta wieczysta (perpetuity). Korzystamy wtedy ze wzorów: Na rentę wieczystą „z dołu” PVP = P / r Na rentę wieczystą „z góry”: PVP = P + P / r Gdzie: PVP – wartość bieżąca sumy stałych płatności osiąganych w nieskończonej liczbie okresów P – kwota jednej płatności perpetualnej r – oczekiwana stopa zwrotu, odpowiednia dla okresu dodatkowo możemy mieć do czynienia z szeregiem płatności, które rosną o ten sam współczynnik (stopę). Wtedy korzystamy z formuły: PVP = P / ( r – g ) Gdzie: g – stała stopa wzrostu płatności z okresu na okres (wzór może być wykorzystany, gdy r > g ) 6