Politechnika Wrocławska Wydział Podstawowych Problemów

Politechnika Wrocławska
Wydział Podstawowych Problemów Techniki
Kierunek Matematyka
Specjalność Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa
Praca dyplomowa magisterska
Porównanie numerycznych metod wyceny opcji
Szymon Wysoczański
Promotor: dr Rafał Weron
Wrocław, 2004r.
2
Spis treści
1 Wprowadzenie
5
2 Rynek finansowy a opcje
2.1 Struktura rynku finansowego . . . . . . . . .
2.2 Opcje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Co to jest opcja? . . . . . . . . . . .
2.2.2 Rodzaje instrumentów podstawowych
2.2.3 Cena opcji . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Greckie wskaźniki . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3 Metody wyceny opcji
3.1 Metoda Blacka-Scholesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Opcja waniliowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Opcja binarna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Greckie wskaźniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Metoda dwumianowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Brak dywidendy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Stała stopa dywidendy . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Dywidenda procentowa . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Dywidenda stała . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.5 Alternatywna konstrukcja drzewek dwumianowych
3.2.6 Greckie wskaźniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Schematy różnicowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Schemat różnicowy jawny . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Schemat różnicowy ukryty . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Metoda Cranka-Nicolsona . . . . . . . . . . . . . .
4 Wycena opcji w praktyce
4.1 Cena opcji . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Metoda dwumianowa . . .
4.1.2 Schemat różnicowy jawny
4.1.3 Schemat różnicowy ukryty
4.1.4 Metoda Cranka-Nicolsona
4.1.5 Porównanie . . . . . . . .
4.2 Greckie wskaźniki . . . . . . . . .
4.2.1 Delta . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Gamma . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
7
8
8
9
11
12
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
13
13
14
15
16
18
18
20
21
21
21
22
23
23
27
29
.
.
.
.
.
.
.
.
.
33
33
33
38
42
46
50
53
54
57
SPIS TREŚCI
4
4.2.3
4.2.4
4.2.5
4.2.6
Theta . . . . .
Vega . . . . . .
Rho . . . . . .
Podsumowanie
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
59
62
65
67
5 Zakończenie
69
A Numerical Option Pricer (NOP)
71
B Toolbox NOP w Matlabie
75
Literatura
79
Rozdział 1
Wprowadzenie
Problemy, które poruszyłem w pracy, inspirowane były wprowadzeniem na Giełdę Papierów Wartościowych w Warszawie SA nowego instrumentu pochodnego – opcji na indeks
giełdowy. Choć nie jest to nowy instrument na giełdach światowych, jego wycena, szczególnie na bardziej skomplikowane instrumenty podstawowe nie jest prosta. Wprawdzie
istnieją wzory analityczne typu Blacka-Scholesa, ale dotyczą one tylko pewnych typów
opcji. Za ich pomocą nie jesteśmy w stanie wyceniać opcji typu amerykańskiego, czy
opcji na akcję wypłacającą dywidendę. Wysokość dywidendy może być ściśle określoną
wartością, jak również stanowić pewien procent wartości instrumentu podstawowego.
Nie sposób wyobrazić sobie wycenę takich instrumentów bez wsparcia ze strony komputerów zaopatrzonych w odpowiednie oprogramowanie. Kiedy nie mamy wzorów analitycznych, są one nieocenionym narzędziem wspomagającym pracę analityków finansowych. Wówczas pozostają nam jedynie metody numeryczne, pozwalające z dużą dokładnością dokonać wyceny opcji na instrumenty podstawowe o skomplikowanej strukturze,
czy też opcje typu amerykańskiego, które posiadacz może wykonać w dowolnej chwili do
momentu wygaśnięcia opcji.
Głównym celem rozprawy jest przedstawienie metod numerycznych wyceny opcji oraz
porównanie ich zbieżności. Jednak sama wycena instrumentu to tylko część pracy dealera.
Bardzo istotnym czynnikiem jest również analiza wpływu zmieniających się warunków
panujących na rynku na wartość wycenianych instrumentów, czyli analiza wrażliwości.
Wrażliwość instrumentów na zmieniające się warunki oceniana jest za pomocą tzw. greckich wskaźników. W pracy znajduje się charakterystyka greckich wskaźników, opis sposobu ich wyliczania, a także porównanie greckich wskaźników wyliczanych za pomocą
różnych metod numerycznych.
Rozdział 2 zawiera krótki opis struktury rynku finansowego, a także charakterystykę
badanego instrumentu pochodnego – opcji. W rozdziale 3 znajduje się dokładny opis
konstrukcji metod używanych do wyceny opcji, ich wyprowadzenia oraz schematy ilustrujące działanie algorytmów. Przedstawione zostały również pewne modyfikacje metod, np.
uwzględniające zależność od instrumentu podstawowego, jak również wyceny opcji giełdowych i pozagiełdowych. Rozdział 4 ilustruje działanie przedstawionych metod. Można
tu znaleźć porównanie zbieżności metod w zależności od różnych parametrów oraz zachowanie się greckich wskaźników. Przedstawione są sytuacje na rynku, które niekorzystnie
wpływają na dokładność wyceny używanych metod, a także podane są zalecane sposoby
wyceny opcji na różne instrumenty podstawowe.
W dodatku załączonym do pracy znajdują się opisy zaimplementowanych w Matlabie
5
6
ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE
funkcji. Używając ich można prowadzić eksperymenty we własnym zakresie, porównywać
zbieżności cen opcji, a także zbieżności greckich wskaźników. Opisana jest również aplikacja NOP dołączona do pracy, napisana w języku programowania JAVA. Za jej pomocą
można wycenić całą gamę opcji na różne instrumenty, od opcji na akcje poczynając na
opcjach na kontrakty futures kończąc.
Rozdział 2
Rynek finansowy a opcje
2.1
Struktura rynku finansowego
Rynek finansowy jest rozumiany jako ogół warunków, w których dochodzi do zawierania
transakcji między sprzedawcami oferującymi towary, nabywcami reprezentującymi potrzeby i dysponującymi odpowiednimi funduszami. Towarami na rynku są instrumenty
finansowe, które można określić jako umowy między dwoma stronami, regulujące zależności finansowe, w jakich obie strony pozostają.
Rynek finansowy tradycyjnie dzieli się na następujące segmenty [11, 12]:
• rynek pieniężny - transakcje krótkoterminowe (do jednego roku), instrumenty finansowe o dużej płynności
• rynek kapitałowy - tworzenie kapitałów udziałowych lub pożyczkowych, zawierane
są na nim transakcje instrumentami finansowymi o charakterze własnościowym
bądź wierzycielskim
• rynek walutowy - transakcje kupna i sprzedaży walut różnych krajów, spekulacje,
interwencje w celu utrzymania na określonym poziomie kursu własnej waluty.
Na początku lat siedemdziesiątych XX w. powstał nowy segment rynku finansowego rynek instrumentów pochodnych. Zawierane są na nim transakcje instrumentami pochodnymi. Służą one głównie zabezpieczeniu uczestników rynku przed tzw. ryzykiem ceny1 ,
zapewnieniu pożądanej jego struktury, zabezpieczeniu przed niekorzystnymi zmianami
wartości instrumentu podstawowego, czy też spekulację w celu uzyskanie ponadprzeciętnych zysków. Do podstawowych instrumentów, którymi handluje się na rynku terminowym należą: kontrakty wymiany (swapy), forward, futures i opcje.
Najwięcej możliwości dają inwestorom opcje. Są one także najciekawsze z matematycznego punktu widzenia. Można tworzyć dowolne rodzaje opcji, zależnie od potrzeb
uczestników rynku. Im bardziej skomplikowany instrument, tym ciekawsza jest jego wycena. Wycena pozostałych przytoczonych kontraktów terminowych nie nasuwa tylu problemów. Przykładowa wycena kontraktu forward jest przytoczona w przykładzie 2.1.
Przykład 2.1 Rozpatrzmy kontrakt forward na jedną akcję nie wypłacającą dywidendy,
niech jej obecna cena wynosi X = 80 PLN. Półroczna wolna od ryzyka stopa procentowa w
1
Często nazywane również ryzykiem rynkowym.
7
ROZDZIAŁ 2. RYNEK FINANSOWY A OPCJE
8
skali rocznej r = 8%. Jaka powinna być cena kontraktu, aby nie było możliwości dokonania
arbitrażu?
F = 80e0.08×0.5 = 83.26 PLN.
Cena kontraktu musi być równa wartości, do której wzrosłaby wielkość X, zainwestowana
na okres T , przy pozbawionej ryzyka stopie procentowej r [5].
Kontrakty wymiany można traktować jako serie kontraktów forward i tak je wyceniać. Z punktu widzenia funkcjonalności, również kontrakty futures nie różnią się od
kontraktów forward. Obligują one do kupna lub sprzedaży w przyszłości określonej ilości instrumentu podstawowego. Co więcej, w warunkach stałych stóp procentowych ceny
kontraktów forward i futures są zbliżone, jeśli mają one takie same terminy wygaśnięcia
[2].
2.2
Opcje
2.2.1
Co to jest opcja?
Regulamin Giełdy Papierów Wartościowych w Warszawie SA w § 60 podaje definicję
opcji handlowanych na tej giełdzie:
W rozumieniu niniejszego Regulaminu opcja jest to prawo przysługujące nabywcy opcji wobec jej wystawcy do:
a) żądania w ustalonym terminie dostawy instrumentu bazowego po określonej cenie wykonania (opcja kupna z dostawą instrumentu bazowego),
albo
b) żądania w ustalonym terminie przyjęcia dostawy instrumentu bazowego
po określonej cenie wykonania (opcja sprzedaży z dostawą instrumentu
podstawowego), albo
c) żądania w ustalonym terminie zapłaty kwoty zależnej (w sposób określony
w warunkach obrotu) od różnicy pomiędzy ceną (wartością) rynkową instrumentu bazowego a ceną (wartością) wykonania (opcja kupna z rozliczeniem pieniężnym), albo
d) żądania w ustalonym terminie zapłaty kwoty zależnej (w sposób określony
w warunkach obrotu) od różnicy pomiędzy ceną (wartością) wykonania
a ceną (wartością) rynkową instrumentu bazowego (opcja sprzedaży z
rozliczeniem pieniężnym).
Innymi słowy: opcja kupna jest kontraktem dającym nabywcy prawo do kupna ustalonej
ilości instrumentu podstawowego po określonej cenie wykonania i w ustalonym terminie,
opcja sprzedaży daje nabywcy prawo do sprzedania ustalonej ilości instrumentu podstawowego po określonej cenie w ustalonym terminie [15].
Bardzo ważne jest rozróżnianie terminu wykonania opcji - w którym nabywca ma
prawo wykonać opcję, jeżeli jest to operacja opłacalna - i terminu rozliczenia, który
zazwyczaj upływa dwa dni robocze później i do którego musi nastąpić fizyczna wymiana
gotówki lub towarów, oraz terminu wygaśnięcia, po którym opcja traci swoją ważność i
nie może być wykonana. Opcje ze względu na termin wykonania dzielą się na dwa typy:
2.2. OPCJE
9
• opcja europejska - może zostać wykonane tylko i wyłącznie w dniu wygaśnięcia
opcji
• opcja amerykańska - może zostać wykonana w dowolnym terminie od momentu
nabycia, aż do terminu wygaśnięcia, kiedy jej nabywca uzna, że będzie to dla niego
optymalne
Nazwy obu typów nie są związane w żaden sposób z miejscem obrotu. Mają jedynie
znaczenie historyczne. Obecnie większym powodzeniem cieszą się opcje amerykańskie
(choć na przykład na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie 22 września 2003
r. zadebiutowały i są w obrocie jedynie opcje europejskie). Jednym z powodów jest to, że
opcje typu europejskiego mogą być narażone na manipulacje kiedy zbliża się ich termin
wygaśnięcia.
Opcja ma tą przewagę nad kontraktami futures, że dla nabywcy jest prawem, a nie
obowiązkiem. Nabywca skorzysta ze swego prawa, czyli wykona opcję, tylko wtedy gdy
odniesie z tego powodu korzyści. Transakcje opcyjne mają tę przewagę dla nabywców, że
nie muszą oni wnosić depozytu zabezpieczającego, angażują więc mniej środków finansowych. Wystawiający opcje ma obowiązek odsprzedać (opcja kupna) lub odkupić (opcja
sprzedaży) instrument podstawowy, na który była wystawiona opcja, jeśli nabywca będzie
chciał wykonać opcję. W terminie wykonania (dla opcji europejskiej) lub w całym okresie
ważności opcji (dla opcji amerykańskiej) podstawę do wykonania lub niewykonania opcji
stanowi porównanie ceny wykonania opcji z bieżącą ceną instrumentu podstawowego na
który opcja była wystawiona. Mogą zajść trzy sytuacje:
1. opcja jest w cenie - wówczas opłaca się wykonać opcję, dla opcji kupna oznacza to,
że cena wykonania opcji jest niższa niż cena instrumentu podstawowego, zaś dla
opcji sprzedaży, że cena wykonania jest wyższa od ceny instrumentu podstawowego
2. opcja jest po cenie - wówczas cena wykonania opcji równa jest cenie instrumentu
podstawowego, wykonując opcje jej nabywca nic nie traci2 , ale również nic nie zyskuje
3. opcja nie jest w cenie - wówczas nie opłaca się wykonać opcji, dla opcji kupna
oznacza to, że cena wykonania opcji jest wyższa niż cena instrumentu podstawowego, zaś dla opcji sprzedaży, że cena wykonania jest niższa niż cena instrumentu
podstawowego.
Stosując dźwignię finansową zyski oraz straty w handlu opcjami są większe niż zyski
bądź straty na rynku kasowym. Dla kupującego zysk jaki może uzyskać praktycznie jest
nieograniczony, natomiast maksymalna strata jest równa wysokości premii zapłaconej
za opcje. W przypadku wystawcy opcji mamy sytuację odwrotną. Wysokość strat jest
nieograniczona, a zysk jest ograniczony do wartości premii otrzymanej od nabywcy.
2.2.2
Rodzaje instrumentów podstawowych
Opcje znajdujące się w obrocie giełdowym są głównie opcjami wystawionymi na: akcje,
kontrakty futures, indeksy i waluty obce [11, 12, 14]. Na rynkach pozagiełdowych opcje
2
Oczywiście kupując opcje nabywca musiał zapłacić premię, czyli cenę opcji.
ROZDZIAŁ 2. RYNEK FINANSOWY A OPCJE
10
dostosowywane są do wymagań klientów. Pozwala to wystawić opcje na praktycznie dowolny instrument podstawowy, jak również zastosować inną niż standardowa funkcja
wypłaty3 .
Opcje na akcje są szczególnie wrażliwe na wypłacane posiadaczom akcji dywidendy.
Dawniej w obrocie pozagiełdowym, aby rozwiązać problem wyceny takich opcji, korygowano cenę wykonanie o wysokość wypłacanej dywidendy4 . Obecnie podobnie jak w
obrocie giełdowym stosuje się inne, bardziej precyzyjne techniki. Wypłata dywidendy
przez akcję na którą wystawiona jest opcja ma olbrzymi wpływ na wycenę tej opcji. W
przypadku podziałów i połączeń akcji cena wykonania opcji wystawionej na te akcje jest
odpowiednio korygowana. Jeśli następuje podział akcji w stosunku n1 , to właściciel opcji
na X akcji z ceną wykonania K staje się posiadaczem opcji na nX akcji z ceną wykonania
K
.
n
Opcje na indeksy umożliwiają inwestorom na operowanie całymi portfelami akcji przy
zaangażowaniu stosunkowo małych środków finansowych. Jednymi z najbardziej popularnych są opcje na amerykańskie indeksy S&P100 i S&P500 oraz na niemiecki indeks
DAX. Opcje rozliczane są wyłącznie w sposób pieniężny. Nie ma miejsca fizyczna dostawa
portfela indeksu.
Na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie inwestorzy mają do dyspozycji
opcje na indeks WIG20. Mają one europejski styl wykonania, więc nabywca może swoje
prawo wykonać tylko w dniu wygaśnięcia opcji. W praktyce wykonanie opcji jest automatyczne w dniu wygaśnięcia, jeżeli opcja jest w cenie. Ponieważ wykonanie opcji jest
prawem, a nie obowiązkiem, to inwestor może zrezygnować z tego prawa. Do takiej sytuacji może dojść jeśli np. prowizja za wykonanie przekroczyła kwotę rozliczenia z tytułu
wykonania opcji.
W początkowej fazie obrotu opcjami na GPW w Warszawie w pierwszym dniu obrotu
opcjami o nowym terminie wygaśnięcia do obrotu wprowadzano po 3 serie opcji kupna
i opcji sprzedaży z kursami wykonania najbardziej zbliżonymi do wysokości określonej
na zamknięciu ostatniej sesji przed wprowadzeniem serii do obrotu. Na przykład w dniu
debiutu opcji na GPW w Warszawie do obrotu zostało wprowadzonych 12 serii opcji (po
3 serie opcji kupna i opcji sprzedaży wygasające w grudniu i po 3 serie opcji kupna i
opcji sprzedaży wygasające w marcu 2004 r.). Po pierwszych analizach rynku opcji zmodyfikowano sposób wprowadzania kolejnych serii. Z trzech do czterech zwiększono liczbę
początkowo wprowadzanych serii opcji danego typu z nowym terminem wygaśnięcia. Jeśli
na zamknięciu sesji wartość indeksu wyniesie 1515 punktów do obrotu zostaną wprowadzone, dla opcji kupna, serie z kursami wykonania równymi 1500 (po cenie), 1400 (w
cenie) oraz 1600 i 1700 (nie w cenie) punktów. Dla każdego terminu wygaśnięcia i dla
każdego typu opcji (kupna i sprzedaży) w obrocie cały czas będą znajdować się serie opcji
w cenie, po cenie i dwie nie w cenie w odniesieniu do wartości indeksu na zamknięcie sesji
z dnia poprzedniego. Jeżeli w czasie trwania serii indeks wzrośnie powyżej pierwszego
poziomu nie w cenie, albo spadnie poniżej poziomu w cenie (dla opcji kupna), to następnego dnia zostaje wprowadzona do obrotu opcja odpowiednio o 100 punktów wyższa albo
100 punktów niższa. Na przykład jeśli indeks z powyższego przykładu wzrośnie do 1603
punktów to następnego dnia do obrotu wejdzie opcja z kursem wykonania 1800 punktów.
Pierwszymi opcjami walutowymi były opcje na funty brytyjskie, które zadebiutowały
w grudniu 1982 r. na giełdzie Philadelphia Stock Exchange. Obecnie jest to największa
3
4
W taki sposób powstały opcje egzotyczne.
Następowało to zaraza po dniu ustalenia prawa do dywidendy.
2.2. OPCJE
11
giełda opcji walutowych.
Opcje na futures są dostępne dla większości instrumentów, na które wystawiane są
kontrakty futures. Nabywca opcji na futures ma prawo do zajęcia długiej (opcja kupna)
lub krótkiej (opcja sprzedaży) pozycji w kontrakcie futures po cenie wykonania. Do najpopularniejszych opcji na futures należą kontrakty na eurodolary5 , amerykańskie obligacje
skarbowe, a także niemieckie obligacje skarbowe.
2.2.3
Cena opcji
Na cenę opcji wpływ ma wiele czynników, jednak największy ma funkcja wypłaty [8, 11,
12]. Określa ona jaką wypłatę otrzymuje nabywca opcji w momencie jej wykonania. Standardowa funkcja wypłaty europejskiej opcji kupna jest postaci fT = max{ST − K, 0}, natomiast standardowa funkcja wypłaty opcji sprzedaży jest postaci fT = max{K − ST , 0}.
Dla standardowej opcji amerykańskiej mamy odpowiednio: ft = max{St − K, 0} oraz
ft = max{K − St , 0}, gdzie K jest ceną wykonania opcji, T jest terminem wygaśnięcia
opcji (dla opcji amerykańskiej mamy t takie, że t ¬ T ), natomiast ST i St ceną instrumentu podstawowego w chwili T i t odpowiednio.
Wartość wewnętrzną opcji w każdej chwili t otrzymujemy, przez podstawienie bieżącej ceny instrumentu podstawowego do wzoru na funkcję wypłaty. Wpływ na nią mają
oczywiście dwa czynniki: cena instrumentu podstawowego St oraz cena wykonania opcji
K. Im wyższa cena wykonania i im niższa cena instrumentu podstawowego tym więcej
jest warta opcja sprzedaży. Dla opcji kupna mamy sytuację odwrotną, tzn. im niższa cena
wykonania i wyższa cena instrumentu podstawowego tym więcej jest warta opcji kupna.
Na pozostałą część premii składa się wartość zewnętrzna (czasowa) opcji. Największy
wpływ na wartość czasową opcji mają trzy czynniki. Pierwszym z nich jest czas pozostały
do terminu wygaśnięcia T . Im czas ten jest dłuższy (tzn. im większe jest T ), tym więcej
warta jest opcja kupna jak i opcja sprzedaży. Łatwo można to wytłumaczyć. Dla opcji
europejskiej im większe T , tym więcej może się jeszcze zmienić, a ponieważ wypłata jest
ograniczona z dołu przez zero, więc istnieje duże prawdopodobieństwo, że będą to zmiany
korzystne dla posiadacza opcji6 . Właściciel opcji amerykańskiej o dłuższym terminie wygaśnięcia ma do dyspozycji możliwości wykonania opcji jak posiadacz opcji o krótszym
terminie, a także te które pojawią się później.
Drugim czynnikiem jest stopa procentowa. Jej wzrost powoduje wzrost ceny opcji
kupna, ponieważ na kupno opcji wydajemy mniej niż na instrument podstawowy. Zaoszczędzone tym sposobem fundusze można zainwestować przy bieżącej stopie procentowej
do terminu wygaśnięcia opcji. Dla opcji sprzedaży wzrost stopy procentowej pociąga za
sobą odwrotne skutki, czyli powoduje spadek jej wartości.
Wreszcie trzecim czynnikiem wpływającym na wartość czasową opcji jest zmienność7
ceny instrumentu podstawowego. Jest to miara niepewności co do przyszłych zmian tej
ceny. Jeśli zmienność wzrasta, wraz z nią rośnie prawdopodobieństwo większych zmian
wartości instrumentu podstawowego. Ponieważ zysk właściciela opcji kupna rośnie wraz
ze wzrostem ceny instrumentu podstawowego, natomiast ewentualna strata będzie w
5
Dolary amerykańskie zdeponowane w amerykańskim bądź zagranicznym banku poza granicami Stanów Zjednoczonych.
6
Nie zawsze jest taka sytuacja, gdyż dla opcji na akcję wypłacającą dywidendę przed wygaśnięciem
opcji, akcja traci na wartości.
7
Empirycznie wyznaczana jest jako odchylenie standardowe stopy zwrotu tego instrumentu.
ROZDZIAŁ 2. RYNEK FINANSOWY A OPCJE
12
najgorszym wypadku równa premii, dlatego wartość opcji kupna jest większa dla większej
zmienności cen. Analogicznie zysk posiadacz opcji sprzedaży rośnie wraz ze spadkiem
ceny instrumentu podstawowego, a strata jest ograniczona, dlatego również wartość opcji
sprzedaży rośnie wraz ze wzrostem zmienności.
2.2.4
Greckie wskaźniki
Zarządzając ryzykiem portfela instrumentów finansowych jesteśmy zainteresowani wrażliwością ceny opcji na zmiany wartości niektórych parametrów mających na nią wpływ
[11, 12]. Na przykład ceny instrumentu podstawowego, zmienności, czy czasu do terminu wygaśnięcia. Z matematycznego punktu widzenia greckie wskaźniki są pochodnymi
cząstkowymi ceny opcji względem wymienionych czynników.
Pierwszym i najważniejszym wskaźnikiem wrażliwości jest delta ∆. Wskazuje jak
bardzo zmieni się wartość opcji, gdy zmieni się cena instrumentu podstawowego o jedną
jednostkę. Delta jest pierwszą pochodną cząstkową ceny opcji względem ceny instrumentu
podstawowego.
Drugi wskaźnik wrażliwości gamma Γ wskazuje jak bardzo zmieni się delta, gdy
zmieni się cena instrumentu podstawowego. Z matematycznego punktu widzenia jest
to druga pochodna ceny opcji względem ceny instrumentu podstawowego. W praktyce
mnoży się Γ przez cenę instrumentu podstawowego, aby otrzymana wartość wskazywała
jak zmieni się delta w przypadku wzrostu lub spadku ceny instrumentu podstawowego o
1%.
Wskaźnik theta Θ określa względną zmianę ceny opcji względem czasu pozostałego do
terminu wygaśnięcia. Wartość Θ jest prawie zawsze ujemna, ponieważ wraz z upływem
czasu wartość opcji z reguły maleje. Jest to pochodna ceny opcji względem czasu. W
praktyce często dzieli się otrzymany wynik przez liczbę dni w roku, tak aby otrzymana
wartość wskazywała jak zmieni się cena opcji w ciągu jednego dnia.
Wskaźnik vega8 V określa względną zmianę ceny opcji względem zmiany zmienności
instrumentu podstawowego (pochodna ceny opcji względem zmienności). Jeżeli |V | jest
duża, to cena opcji jest bardzo wrażliwa na niewielkie wahania zmienności. W praktyce
dzieli się otrzymany wynik przez 100, tak aby otrzymana wartość wskazywała jak zmieni
się cena opcji w przypadku zmiany zmienności o 1%.
Ostatni wskaźnik rho ρ określa względną zmianę ceny opcji względem zmiany stopy
procentowej (pochodna ceny opcji względem stopy procentowej). W praktyce często dzieli
się ρ przez 100 tak, by otrzymana wartość wskazywała jak zmieni się cena opcji w przypadku zmiany stopy procentowej o 1%.
8
Wskaźnik ten często nazywany jest kappa κ, ponieważ vega nie jest grecką literą.
Rozdział 3
Metody wyceny opcji
Opcje można wyceniać za pomocą różnych metod numerycznych. W pracy zastosowałem
metody: Blacka-Scholesa, dwumianową (oraz jej modyfikację – metodę dwumianową( 12 )),
schematy różnicowe jawny oraz ukryty, a także metodę Cranka-Nicolsona. W rozdziale
tym znajduje się dokładny opis każdej z tych metod.
3.1
Metoda Blacka-Scholesa
Black-Scholes (1973) i niezależnie od nich Merton (1973) podali wzór na tzw. sprawiedliwą
cenę standardowej europejskiej opcji kupna na akcję nie wypłacającą dywidendy. Kupno
lub sprzedaż instrumentu po tej cenie nie powinno przynieść strat (ani zysków). Dlatego,
aby zarobić, należy kupować poniżej tej ceny, a sprzedawać powyżej. Równoważnie można
powiedzieć, że jest to cena nie dopuszczająca arbitrażu. Dokonali tego przy następujących
założeniach:
• Brak arbitrażu na rynku. Oznacza to, że nie istnieją możliwości osiągnięcia zysku
bez ponoszenia ryzyka. W rzeczywistości takie sytuacje się zdarzają, ale niemal
natychmiast są korygowane przez siły popytu i podaży.
• Rozkład zwrotów cen instrumentu podstawowego jest normalny.
• Rynek działa w sposób ciągły, a cena instrumentu podstawowego S jest opisana
geometrycznym ruchem Browna.
• Krótkoterminowa, wolna od ryzyka stopa procentowa r nie zmienia się w okresie
ważności opcji. Ponadto uczestnicy rynku mogą pożyczać i inwestować środki według tej samej stopy procentowej.
• Instrument podstawowy jest podzielny, tzw. można kupić lub sprzedać dowolną jego
ilość.
• Cena kupna jest taka sama jak cena sprzedaży.
• Nie uwzględnia się kosztów transakcji ani podatków.
• Nie ma dodatkowych kosztów związanych z zajmowaniem tzw. krótkiej pozycji.
13
ROZDZIAŁ 3. METODY WYCENY OPCJI
14
3.1.1
Opcja waniliowa
Rozpatrzmy standardową opcję kupna i oznaczmy ją przez X. Jej funkcja wypłaty ma następującą postać fT = (ST −K)+ . Ze wzoru na cenę arbitrażową1 mamy V0 = e−rT EQ (ST −
K)+ . Aby wyliczyć tę wartość oczekiwaną względem miary Q, wyrazimy proces ceny ST
za pomocą ruchu Browna B̃t względem Q:
1
d(ln St ) = σdB̃t + (r − σ 2 )dt.
2
Stąd
1
ln St = ln S0 + σ B̃t + (r − σ 2 )t
2
i konsekwentnie
1
2
St = S0 eσB̃t +(r− 2 σ )t .
Zauważmy, że rozkład zmiennej ST można przedstawić jako rozkład zmiennej S0 eZ+rT ,
gdzie zmienna losowa Z ∼ N (− 21 σ 2 T, σ 2 T ), co wynika z własności ruchu Browna B̃t .
Stąd:
V0 (X) = e−rT EQ [S0 eZ+rT − K]+ =
1
= √
2πσ 2 T
Po podstawieniu u = −
x+ 21 σ 2 T
√
σ T
ln
Z∞
x
K
−rT
S0
(S0 e − Ke
−rT
−
)e
2 2
(x+ 1
2σ T)
2σ 2 T
dx.
mamy
d−
√
1 2
1 2
1 Z
(S0 e−σ T u− 2 σ T − Ke−rT )e− 2 u du,
V0 (X) = √
2π −∞
gdzie
ln SK0 + (r ± 12 σ 2 )T
√
.
d± =
σ T
Zauważmy, że
e−σ
√
T u− 21 σ 2 T − 21 u2
1
= e− 2 (u+σ
√
(3.1)
T )2
,
stąd otrzymujemy
d+
d−
S0 Z − 1 u2
Ke−rT Z − 1 u2
2
√
e
V0 (X) =
e 2 du =
du − √
2π −∞
2π −∞
= S0 Φ(d+ ) − Ke−rT Φ(d− ),
gdzie Φ jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego. Ostatecznie otrzymujemy
wzór Blacka-Scholesa na cenę C0 ≡ V0 (X) europejskiej opcji kupna

1



ln S0 + (r − 21 σ 2 )T 
ln S0 + (r + 21 σ 2 )T 
√
√
− Ke−rT Φ K
.
C0 = S0 Φ K
σ T
σ T
Szczegółowy opis można znaleźć w [11].
3.1. METODA BLACKA-SCHOLESA
15
Powyższy wzór można rozszerzyć na cenę opcji kupna w dowolnej chwili t:
Ct = Ct (St , K, T − t) = St Φ(d+ ) − Ke−r(T −t) Φ(d− ),
gdzie
d± =
(3.2)
ln SKt + (r ± 21 σ 2 )(T − t)
√
.
σ T −t
(3.3)
Korzystając z parytetu kupna-sprzedaży2 łatwo otrzymujemy cenę opcji sprzedaży:
Pt = Pt (St , K, T − t) = −St Φ(−d+ ) + Ke−r(T −t) Φ(−d− ),
(3.4)
gdzie d± są takie same jak dla opcji kupna.
Wzory (3.2) i (3.4) ulegną niewielkiej modyfikacji, kiedy wyceniamy opcję na instrument wypłacający w sposób ciągły dywidendę o stopie równej d w skali rocznej.
Podstawiając St → St e−d(T −t) otrzymujemy cenę opcji kupna
Ctd = Ctd (St , K, T − t) = St e−d(T −t) Φ(dd+ ) − Ke−r(T −t) Φ(dd− ),
gdzie
ln SKt + (r − d ± 12 σ 2 )(T − t)
√
.
(3.5)
σ T −t
Analogicznie cena opcji sprzedaży na akcję wypłacającą dywidendę d w sposób ciągły
dd± =
Ptd = Ptd (St , K, T − t) = −St e−d(T −t) Φ(−dd+ ) + Ke−r(T −t) Φ(−dd− ),
gdzie dd± są takie same jak dla opcji kupna.
W przypadku opcji handlowanej na rynku pozagiełdowym wzory na ceny opcji kupna
i sprzedaży mamy odpowiednio:
Ctd = St e−d(Tr −tr ) Φ(dd+ ) − Ke−r(Tr −tr ) Φ(dd− ),
oraz
Ptd = −St e−d(Tr −tr ) Φ(−dd+ ) + Ke−r(Tr −tr ) Φ(−dd− ),
(r−d)(Tr −tr )
± 21 σ 2 (Th − th )
√
=
,
(3.6)
σ Th − th
gdzie Th - termin wygaśnięcia opcji, th - termin zawarcia transakcji, Tr - termin rozliczenia
transakcji oraz tr - data spot dla th .
ln St e
dd±
3.1.2
K
Opcja binarna
Rozpatrzmy binarną europejską opcję kupna i oznaczmy ją przez X. Jej funkcja wypłaty ma postać fT = AI{ST >K} . Postępując podobnie jak w przypadku opcji waniliowej
otrzymujemy
−rT
V0 (X) = e
2
Ae−rT
E [AI{ST >K} ] = √
2πσ 2 T
Q
Parytet kupna-sprzedaży Ct − Pt = St − Ke−r(T −t) .
ln
Z∞
K
−rT
S0
e−
1 σ 2 T )2
(x+ 2
2σ 2 T
dx.
ROZDZIAŁ 3. METODY WYCENY OPCJI
16
Po podstawieniu u = −
x+ 21 σ 2 T
√
σ T
mamy
d−
Ae−rT Z − 1 u2
e 2 du,
V0 (X) = √
2π −∞
gdzie d− jest takie samo jak we wzorze (3.1). Ostatecznie otrzymujemy wzór typu BlackaScholesa C0B ≡ V0 (X)
C0B = Ae−rT Φ(d− ).
Rozszerzając teraz powyższy wzór na cenę opcji kupna w dowolnej chwili t otrzymujemy
wzór na cenę europejskiej binarnej opcji kupna
CtB = CtB (A, K, T − t) = Ae−r(T −t) Φ(d− ),
gdzie d− jest takie samo jak we wzorze (3.3). Analogicznie otrzymujemy wzór na cenę
europejskiej binarnej opcji sprzedaży
PtB = PtB (A, K, T − t) = Ae−r(T −t) Φ(−d− ),
gdzie d− jest takie samo jak dla opcji kupna.
Dla opcji na instrument wypłacający dywidendę w sposób ciągły o stopie równej d,
po przekształceniach jak dla opcji waniliowej, otrzymujemy wzór na cenę opcji kupna
CtB,d = CtB,d (A, K, T − t) = Ae−r(T −t) Φ(dd− ),
oraz na cenę opcji sprzedaży
PtB,d = PtB,d (A, K, T − t) = Ae−r(T −t) Φ(−dd− ),
gdzie dd− jest takie jak we wzorze (3.5).
Dla opcji znajdujących się w obrocie pozagiełdowym ceny opcji binarnych mają postać:
CtB,d = Ae−r(Tr −tr ) Φ(dd− ),
PtB,d = Ae−r(Tr −tr ) Φ(−dd− ),
gdzie dd− jest takie jak we wzorze (3.6).
3.1.3
Greckie wskaźniki
Greckie wskaźniki są pochodnymi ceny instrumentu podstawowego względem odpowiedniej zmiennej. W poniższych wzorach podane są greckie wskaźniki dla opcji znajdujących
się w obrocie pozagiełdowym. Dla opcji giełdowych mamy tr = th oraz Tr = Th . W
przypadku opcji waniliowej mają one postać:
∆C =
∆P =
∂Ct
= e−dτr Φ(dd+ ),
∂St
∂Pt
= −e−dτr Φ(−dd+ ),
∂St
3.1. METODA BLACKA-SCHOLESA
Γ=
ΘC =
ΘP =
17
d
∂ 2 Ct
−dτr n(d+ )
=
e
,
√
∂St2
St σ τ h
St n(dd+ )σe−dτr
∂Ct
=−
+ dSt e−dτr Φ(dd+ ) − rKe−rτr Φ(dd− ),
√
∂t
2 τh
St n(dd+ )σe−dτr
∂Pt
=−
− dSt e−dτr Φ(−dd+ ) + rKe−rτr Φ(−dd− ),
√
∂t
2 τh
√
∂Ct
= St e−dτr n(dd+ ) τh ,
∂σ
V =
ρC =
∂Ct
= τr Ke−rτr Φ(dd− ),
∂r
∂Pt
= −τr Ke−rτr Φ(−dd− ).
∂r
Gdzie Φ(·) oraz n(·) to odpowiednio dystrybuanta i gęstość standardowego rozkładu
normalnego, τr = Tr − tr , τh = Th − th , natomiast dd± jest takie jak we wzorze (3.6).
Natomiast dla opcji binarnej mamy:
ρP =
∆B
C =
∆B
P =
ΓB
C =
Ae−rτr n(dd− )
∂CtB
=
,
√
∂St
St σ τh
−Ae−rτr n(−dd− )
∂PtB
=
,
√
∂St
St σ τ h
Ae−rτr n(dd− )dd+
∂(CtB )2
=
−
,
∂St2
σ 2 τh St2
ΓB
P =
Ae−rτr n(dd− )dd+
∂(PtB )2
=
,
∂St2
σ 2 τh St2
√ !!
2r τh
n(dd− ) d
∂CtB
d
−rτr
=
,
d+ −
− rΦ(d− ) −
= Ae
∂t
2τh
σ
√ !!
2r τh
n(−dd− ) d
∂PtB
d
−rτr
B
d+ −
− rΦ(−d− ) +
= Ae
,
ΘP =
∂t
2τh
σ
ΘB
C
VCB =
−Ae−rτr n(dd− )dd+
∂CtB
=
,
∂σ
σ
VPB =
Ae−rτr n(−dd− )dd+
∂PtB
=
,
∂σ
σ
!
d √
B
n(d
)
τ
∂C
h
−
t
,
ρB
= Ae−rτr − τr Φ(dd− ) +
C =
∂r
σ
!
d √
B
n(d
)
τ
∂P
h
−
t
.
= −Ae−rτr τr Φ(−dd− ) +
ρB
P =
∂r
σ
Gdzie Φ(·), n(·), τh , τr oraz dd± są takie jak dla opcji waniliowej.
ROZDZIAŁ 3. METODY WYCENY OPCJI
18
3.2
3.2.1
Metoda dwumianowa
Brak dywidendy
Drzewko dwumianowe jest graficznym przedstawieniem losowości w przyjętym modelu
matematycznym [3, 11]. Losowość wyraża się poprzez przyjmowanie przez akcję (ogólniej: instrument podstawowy) w każdej następnej chwili jednej z dwóch możliwych cen.
Drzewko dwumianowe składa się z wierzchołków oraz linii oznaczających drogi między
tymi wierzchołkami. Przy każdej linii można umieścić odpowiednie prawdopodobieństwo
danego zdarzenia losowego, polegającego na przejściu z jednego wierzchołka do drugiego,
a więc schemat losowy jest opisany miarą probabilistyczną P = {pi }. W swej pracy stosuję
drzewka multiplikatywne, budowane w sposób zaprezentowany na rysunku 3.1.
t Su4
1
t Su3
1
t Su2
1
1
t Su2 u2
1
t Su1
S
t Su3 u2
t Su2 u2
t Su1 u2
t
1 2
t Su1 u2
2
t Su2
t Su2
2
t Su1 u3
2
t Su3
2
t Su4
2
Rysunek 3.1: Konstrukcja drzewka
dwumianowego, gdzie S - cena instrumentu podstawowego
√
1
δ
∆t
.
w chwili 0, oraz u1 = u2 = e
Aby wycenić instrument X, który ma funkcję wypłaty fT , budujemy portfel replikujący Πt = (Φt , Ψt ), gdzie Φt to liczba akcji (St ), a Ψt to liczba obligacji (Λt ) w portfelu.
Wartość portfela w chwili t wynosi
Vt (Πt ) = Φt St + Ψt Λt = xt .
(3.7)
Natomiast w chwili t + δt otrzymujemy
Vt+δt (Πt ) =
+
Φt St+δt
+ Ψt Λt+δt = x+
t+δt , gdy cena St wzrośnie
−
−
Φt St+δt + Ψt Λt+δt = xt+δt , gdy cena St spadnie
gdzie Λt+δt = erδt Λt . Po odjęciu stronami (3.8) mamy
+
−
−
Φt (St+δt
− St+δt
) = x+
t+δt − xt+δt ,
(3.8)
3.2. METODA DWUMIANOWA
więc
Z równań (3.8) i (3.9) mamy, że
19
−
x+
t+δt − xt+δt
Φt = +
− .
St+δt − St+δt
(3.9)
−
x+
t+δt − xt+δt +
rδt
= x+
t+δt ,
+
− St+δt + Ψt Λt e
St+δt
− St+δt
więc


+
−
+ xt+δt − xt+δt 
−rδt  +
.
x
−
S
Ψt = Λ−1
e
t
t+δt
t+δt +
−
St+δt − St+δt
Podstawiając do wzoru (3.7) otrzymujemy


−
x+
x+ − x−
t+δt − xt+δt + 
t+δt
−1 −rδt  +
x
−
S
+
Λ
e
xt = t+δt
t
t
t+δt
+
−
+
− St+δt Λt .
St+δt
− St+δt
St+δt
− St+δt
Wprowadźmy oznaczenie
A=
(3.10)
−
x+
t+δt − xt+δt
+
− .
St+δt
− St+δt
Teraz równanie (3.10) upraszcza się do równania
+
+
−rδt
xt = ASt + x+
− ASt+δt
e−rδt = e−rδt [A(St erδt − St+δt
) + x+
t+δt e
t+δt ].
(3.11)
Wprowadźmy kolejne oznaczenie3
−
St erδt − St+δt
erδt − u2
St erδt − St u2
qt = +
=
.
≡
−
S t u1 − S t u2
u1 − u 2
St+δt − St+δt
Wzór (3.11) będzie miał teraz postać
−
+
xt = e−rδt [(qt − 1)(x+
t+δt − xt+δt ) + xt+δt ].
Ostatecznie mamy
−
xt = e−rδt [qt x+
t+δt + (1 − qt )xt+δt ].
(3.12)
−
xt = max{e−rδt [qt x+
t+δt + (1 − qt )xt+δt ]; ft }.
(3.13)
Dla opcji amerykańskiej4 musimy uwzględnić możliwość wykonania opcji w dowolnym
momencie. Mamy zatem
Jest to cena instrumentu pochodnego. Interpretujemy ją jako zdyskontowaną wartość
oczekiwaną względem nowej miary. Q = {qt } interpretujemy jako miarę arbitrażową5 .
Zauważmy bowiem, że 0 < qt < 1, bo gdyby qt ¬ 0, to St erδt ¬ St+δt < St+2δt , wtedy
sprzedając obligacje i kupując za uzyskane pieniądze akcje można uzyskać zysk bez ponoszenia ryzyka (a więc arbitraż). W chwili t + δt akcje byłyby warte co najmniej St+δt ,
3
Tożsamość zachodzi tylko dla drzewek multiplikatywnych.
Opcja którą można wykonać w dowolnej chwili t ∈ [0, T ].
5
Jest to miara, która nie dopuszcza do arbitrażu.
4
ROZDZIAŁ 3. METODY WYCENY OPCJI
20
tSu4 (1 − δ)
1
t Su3 (1 − δ)
1
t Su2 (1 − δ)
1
t Su1
S
tSu3 u2 (1 − δ)
1
t Su2 u2 (1 − δ)
1
t
tSu2 u2 (1 − δ)
1 2
t Su1 u2 (1 − δ)
t Su2
t Su1 u2 (1 − δ)
2
tSu1 u3 (1 − δ)
2
t Su2 (1 − δ)
2
6
t Su3 (1 − δ)
2
ex-dividend date
tSu4 (1 − δ)
2
Rysunek 3.2: Drzewko dwumianowe dla opcji na instrument wypłacający dywidendę procentową
w wysokości δ w ex-dividend date.
a obligacje, które należało by odkupić, jedynie St erδt . Przeprowadzając analogiczne rozumowanie otrzymujemy, że musi zachodzić także nierówność qt < 1.
Dla opcji handlowanych na rynku pozagiełdowych, gdzie th - liczba dni między sprzedażą (kupnem) opcji, a terminem wygaśnięcia i tr - liczba dni pomiędzy datą spot, a
terminem rozliczenia są różne, zmianie ulegają współczynniki u1 i u2 . Mają one teraz
postać:
√
1
u1 =
= eδ ∆th .
u2
Zmianie ulega także wzór na prawdopodobieństwo arbitrażowe:
qt =
erδtr − u2
,
u1 − u 2
natomiast we wzorach 3.12 i 3.13 mamy odpowiednio:
−
xt = e−rδtr [qt x+
t+δt + (1 − qt )xt+δt ],
−
xt = max{e−rδtr [qt x+
t+δt + (1 − qt )xt+δt ]; ft }.
3.2.2
Stała stopa dywidendy
Porównajmy akcję wypłacającą w sposób ciągły dywidendę o stopie równej d w skali roku
z inną akcją tej samej spółki, nie wypłacającą dywidendy. Przyjmijmy, że cena pierwszej
akcji wzrasta w czasie δt z wartości St do St+δt . Wtedy, aby nie było okazji do arbitrażu,
cena drugiej akcji musiałaby wzrosnąć w tym samym czasie z St do St+δt edδt . Alternatywnie można powiedzieć, że cena drugiej akcji wzrosłaby z St e−dδt do St+δt . Dlatego przy
3.2. METODA DWUMIANOWA
21
wycenianiu opcji na instrumenty o stałej stopie dywidendy można zmniejszyć aktualną
cenę akcji St do wartości St e−dδt , a następnie wycenić opcję w taki sam sposób jak opcje
na akcje nie wypłacające dywidend. Postępując w ten sposób otrzymujemy następujący
wzór na prawdopodobieństwo arbitrażowe w chwili t:
qt =
−
St e(r−d)δt − St+δt
,
+
−
St+δt
− St+δt
+
−
gdzie St jest obecną ceną akcji, natomiast St+δt
i St+δt
są znanymi nam cenami akcji w
następnym kroku, odpowiednio w przypadku ruchu w górę i w dół. Wartość opcji jest
dana jak wcześniej wzorami (3.12) oraz (3.13).
3.2.3
Dywidenda procentowa
Przy wycenie opcji na instrument wypłacający w ex-dividend date dywidendę δ, będącą pewnym procentem wartości instrumentu podstawowego pewnej modyfikacji ulega
drzewko cen instrumentu podstawowego [6]. Przed wypłatą dywidendy nic się nie zmienia i ma ono postać jak wcześniej Suj1 ui−j
j = 0, 1, ..., i, gdzie i 6 n oraz u1 i u2
2 ,
jak wcześniej. Natomiast po wypłacie dywidendy δ cena instrumentu podstawowego jest
odpowiednio mniejsza i wynosi S(1 − δ)uj1 ui−j
2 , j = 0, 1, ..., i. Schemat drzewka wyceny
opcji na akcję wypłacającą dywidendę procentową jest przedstawiony na rys. 3.2.
3.2.4
Dywidenda stała
W przypadku wyceny opcji na instrument wypłacający dywidendę o stałej wysokości D w
określonym terminie pojawia się problem „rozjeżdżającego się drzewka”. Schemat takiego
drzewka ilustruje rys. 3.3.6 Aby ominąć ten problem nieco inaczej zbudujemy drzewko cen
akcji. Przed wypłatą dywidendy (wypłata następuje w momencie τ ) cena instrumentu
podstawowego wynosi S ∗ = S − De−r(τ −iδt) , gdzie iδt ¬ τ . Dla takiego S ∗ tworzymy
drzewko cen instrumentu podstawowego S ∗ uj1 ui−j
2 , j = 0, 1, ..., i, gdzie i 6 n, a następnie
∗ j i−j
−r(τ −iδt)
dla iδt ¬ τ mamy S u1 u2 + De
. Zabieg ten pozwala nam rozwiązać problem
„rozjeżdżającego się drzewka” i wycenić opcję na instrument wypłacający dywidendę
wysokości D w chwili τ (ex-dividend date).
3.2.5
Alternatywna konstrukcja drzewek dwumianowych
Przedstawiony w tym rozdziale sposób konstrukcji drzewek dwumianowych nie jest jedynym. Można podejść do niego w nieco inny sposób [6]. Mianowicie zamiast drzewek,
na których prawdopodobieństwo zmiany ceny w następnym kroku jest dowolne, choć takie samo na całym drzewku, tworzymy drzewko dla którego prawdopodobieństwo to jest
zawsze równe 12 . Dla odróżnienia od poprzedniej metody dwumianowej, metoda alternatywna nazywana będzie dwumianowa( 21 ). W tej procedurze zmianie ulegają czynniki u1
oraz u2 . Są one teraz postaci:
u1 = e(r−d−
6
Szczegóły można znaleźć w [6].
σ2
)∆t+σ
2
√
∆t
,
ROZDZIAŁ 3. METODY WYCENY OPCJI
22
r
r
r
r
Su1
rr
Su21 − D
rr
S
r
r
r
Su2
rr
r
Su1 u2 − D
rr
r
6
Su22 − D
rr
r
ex-dividend date
r
Rysunek 3.3: Drzewko dwumianowe dla opcji na instrument wypłacający dywidendę stałą w
wysokości D w ex-dividend date.
u2 = e(r−d−
σ2
)∆t−σ
2
√
∆t
.
Gdzie d jest wysokością dywidendy wypłacanej w sposób ciągły. Kiedy tworzymy drzewko
dla opcji na akcję wypłacającą dywidendę procentową lub stałą w u1 oraz u2 wstawiamy
oczywiście d = 0. Dla opcji w obrocie pozagiełdowym współczynniki te ulegają pewnej
modyfikacji:
√
σ2
u1 = e(r−d− 2 )∆th +σ ∆th ,
u2 = e(r−d−
√
σ2
)∆th −σ ∆th
2
.
Wszystkie pozostałe kroki w tej procedurze pozostają identyczne jak w poprzednim
schemacie tworzenia drzewek dwumianowych. Przy takiej konstrukcji nie można jednak
„odczytać” greckich wskaźników wprost z drzewka. Aby je wyznaczyć należy skorzystać
z definicji.
3.2.6
Greckie wskaźniki
Dla metody dwumianowej część greckich wskaźników można obliczyć wprost z drzewka
[6]. W taki sposób obliczamy ∆, Γ i Θ, pozostałe, czyli V i ρ otrzymujemy wykorzystując definicję. Dla drzewek konstruowanych w alternatywny sposób wszystkie wskaźniki
liczymy wprost z definicji.
Poniższe wzory pokazują jak numerycznie przybliżać greckie wskaźniki z drzewka:
∆=
Γ=
f2,2 − f2,0
,
Su21 − Su22
f2,2 −f2,1
2,1 −f2,0
− fS−Su
2
Su21 −S
2
1
2
2
(Su
−
Su
)
1
2
2
,
3.3. SCHEMATY RÓŻNICOWE
23
f2,1 − f0,0
,
2∆t
gdzie fi,j jest wartością opcji na drzewku w wierzchołku (i, j).
Z definicji liczymy pozostałe wskaźniki, a dla alternatywnej konstrukcji także ∆, Γ i
Θ:
f∗ − f
,
∆=
∆S
∆∗ − ∆
,
Γ=
∆S
f∗ − f
Θ=
,
∆t
f∗ − f
V =
,
∆σ
f∗ − f
,
∆=
∆r
gdzie f i f ∗ (∆ i ∆∗ ) są wyliczonymi wartościami opcji (parametru ∆) na drzewku dla
odpowiednio oryginalnych i jednego, zależnie od wskaźnika, nieco zmienionego parametru.
Θ=
3.3
Schematy różnicowe
Opisana w poprzednim rozdziale metoda wyceny opcji nie jest oczywiście jedyną. Innym
podejściem do wyceny są metody różnicowe. Podstawową cechą jaka odróżnia schematy
różnicowe od metody dwumianowej jest wpływ na podział zarówno osi czasu jak i osi
instrumentu podstawowego na siatce cen opcji. W [1] po raz pierwszy zastosowano schematy różnicowe do finansów.
3.3.1
Schemat różnicowy jawny
Niech f będzie ceną opcji zależną od ceny S instrumentu podstawowego wypłacającego
w sposób ciągły dywidendę d oraz czasu t [1, 6, 7, 9, 10, 13]. Załóżmy, że S jest opisana
geometrycznym ruchem Browna
dS = µSdt + σSdBt .
Z lematu Itô7 otrzymujemy


∂f
∂f
∂f
1 ∂2f 2 2
df =  µS +
dt
+
+
σ
S
σSdBt .
∂S
∂t
2 ∂S 2
∂S
Możemy zbudować portfel Π o wartości V (Π) = −f +
portfela w czasie ∆t dana jest równaniem

7
∂f
S.
∂S
Zmiana ∆V (Π) wartości

∂f
1 ∂2f 2 2
∆V (Π) =  −
−
σ S ∆t.
∂t
2 ∂S 2
Lemat Itô: Jeżeli Xt ma różniczkę stochastyczną dXt = µ(t)dt + σ(t)dWt , X0 = 0, f ∈ C 1,2 ,
∂f
∂2f
∂f
to f (X, t) ma różniczkę postaci df (X, t) = (µ(X, t) ∂X
(X, t) + 21 σ 2 (X, t) ∂X
2 (X, t) + ∂t (X, t))dt +
∂f
σ(X, t) ∂X (X, t)dBt . Na podstawie [11].
ROZDZIAŁ 3. METODY WYCENY OPCJI
24
Cena akcji
Smax
6
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
s
@ z wykorzystaniem
I
s
@
wartości opcji
Wartość opcji
rw tym punk- -s
cie jest
liczona
r
r
r
r
r
s
w
tych
punktach.
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
2∆S
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
∆S
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
0
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r Czas
-
t t + ∆t
T
Rysunek 3.4: Schemat działania metody jawnej na siatce cen opcji.
∂f
W czasie ∆t właściciel portfela zarabia ∆V (Π) oraz dywidendę równą Sd ∂S
∆t. Całkowita
zmiana wartości portfela ∆W w czasie ∆t równa jest zatem

∆W =  −

2
∂f
1∂ f 2 2
∂f
−
σ S + Sd ∆t.
2
∂t
2 ∂S
∂S
Porównując całkowity zwrot dla ∆W ze zwrotem wolnym od ryzyka rΠ∆t otrzymujemy

−
2



∂f 
1∂ f 2 2
∂f
∂f
−
S ∆t,
σ S + Sd ∆t = r − f +
2
∂t
2 ∂S
∂S
∂S
więc
∂f
1
∂2f
∂f
+ (r − d)S
+ σ 2 S 2 2 = rf,
∂t
∂S 2
∂S
(3.14)
gdzie σ jest zmiennością cen instrumentu podstawowego, a r jest wolną od ryzyka stopą
procentową.
Zdefiniujmy ∆t = Tn oraz ∆S = Smax
. Na osi czasu mamy (n+1) punktów 0, ∆t, 2∆t, . . . , T ,
m
natomiast na osi wartości instrumentu podstawowego – (m+1) punktów 0, ∆S, 2∆S, . . . , Smax .
Punkt (i, j) na siatce odpowiada wartości instrumentu podstawowego i∆S oraz czasowi
j∆t. Wartość opcji w tym punkcie oznaczmy przez fi,j .
Wartości opcji
f0,j dla j = 0, 1, . . . , n,
fm,j dla j = 0, 1, . . . , n,
otrzymujemy z warunków brzegowych, natomiast
fi,n dla i = 0, 1, . . . , m,
3.3. SCHEMATY RÓŻNICOWE
25
zadane są przez funkcję wypłaty. Wartości opcji w wewnętrznych punktach siatki (i, j)
będziemy obliczać wykorzystując:
fi,j+1 − fi,j
∂f
=
,
∂t
∆t
(3.15)
fi+1,j+1 − fi−1,j+1
∂f
=
,
∂S
2∆S
(3.16)
fi+1,j+1 −fi,j+1
i−1,j+1
− fi,j+1 −f
fi+1,j+1 + fi−1,j+1 − 2fi,j+1
∂2f
∆S
∆S
=
=
.
(3.17)
∂S 2
∆S
∆S 2
Możemy teraz zapisać równanie (3.14), przy pomocy wzorów (3.15), (3.16) i (3.17), w
postaci:
fi,j+1 − fi,j
fi+1,j+1 − fi−1,j+1 1 2 2
fi+1,j+1 + fi−1,j+1 − 2fi,j+1
+(r−d)i∆S
+ σ i ∆S 2
= rfi,j .
∆t
2∆S
2
∆S 2
Po uporządkowaniu składników otrzymujemy algorytm na wycenę opcji, na instrument
wypłacający dywidendę w sposób ciągły wg. stopy d, w schemacie różnicowym jawnym:
fi,j = a∗i fi−1,j+1 + b∗i fi,j+1 + c∗i fi+1,j+1 ,
gdzie
a∗i =
1
(− 12 (r
1+r∆t
b∗i =
1
(1
1+r∆t
c∗i =
1
( 1 (r
1+r∆t 2
(3.18)
− d)i∆t + 21 σ 2 i2 ∆t),
− σ 2 i2 ∆t),
− d)i∆t + 12 σ 2 i2 ∆t).
W schemacie tym wartość opcji fi,j otrzymujemy w sposób jawny8 , ponieważ wartości
opcji fi−1,j+1 , fi,j+1 oraz fi+1,j+1 są już wcześniej znane. Rysunek 3.4 przedstawia schemat
działania metody jawnej na siatce cen opcji.
Dla opcji handlowanych na rynku pozagiełdowym, gdzie czas handlu opcji nie pokrywa
się z czasem przepływów pieniężnych (th 6= tr ), pewnej modyfikacji ulegną współczynniki
a∗i , b∗i , c∗i w algorytmie 3.18. Będą one miały teraz postać:
a∗i =
1
(− 21 (r
1+r∆tr
b∗i =
1
(1
1+r∆tr
c∗i =
1
( 1 (r
1+r∆tr 2
− d)i∆tr + 21 σ 2 i2 ∆th ),
− σ 2 i2 ∆th ),
− d)i∆tr + 21 σ 2 i2 ∆th ),
gdzie th - liczba dni między terminem zawarcia transakcji, a terminem wygaśnięcia opcji,
natomiast tr - liczba dni pomiędzy datą spot i terminem rozliczenia.
Jeżeli wyceniamy opcję na instrument wypłacający dywidendę w wyznaczonym dniu
(tzw. ex-dividend date – dzień ustalenia prawa do dywidendy), a dywidenda stanowi pewien procent δ wartości akcji, to musimy nieco zmodyfikować siatkę cen tego instrumentu
(patrz rys. 3.5). Od dnia wypłaty dywidendy aż do czasu T cena instrumentu podstawowego musi być pomniejszona o wartość wypłaconej dywidendy, a więc zamiast i∆S
8
Stąd nazwa metody - schemat różnicowy jawny.
ROZDZIAŁ 3. METODY WYCENY OPCJI
26
Cena akcji
6
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
2∆S
r
r
r
r
r
r
∆S
r
r
r
r
r
r
0
r
r
r
r
r
r
Smax
t t + ∆t
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
6
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
Czas
◦ -
T
ex-dividend date
Rysunek 3.5: Siatka cen opcji w schemacie różnicowym jawnym dla opcji na instrument wypłacający dywidendę procentową w określonym terminie.
mamy i∆S(1 − δ) dla i = 0, 1, . . . , m. Kolejne kroki algorytmu wyceny opcji są takie jak
dla wyceny opcji w schemacie jawnym na instrument wypłacający dywidendę w sposób
ciągły, przy czym oczywiście we wzorze (3.18) dywidenda d = 0.
Jeżeli wyceniamy opcję na instrument wypłacający dywidendę w wyznaczonym dniu
(ex-dividend date), a dywidenda jest określonej wartości D, to podobnie jak dla dywidendy procentowej musimy nieco zmodyfikować siatkę cen tego instrumentu. W tym przypadku stosujemy jednak nieco inny zabieg techniczny. Ponieważ siatkę cen instrumentu
podstawowego do pewnego stopnia dobieramy dowolnie9 , to w przypadku gdy instrument
podstawowy wypłaca dywidendę o określonej wartości D można najpierw obniżyć cenę
instrumentu podstawowego o zdyskontowaną wartość dywidendy na chwilę 0. Następnie
tworzymy siatkę cen instrumentu podstawowego oraz podwyższamy jego cenę, o zdyskontowaną na odpowiedni moment t wartość dywidendy, do momentu jej wypłaty. Wartość
instrumentu podstawowego po dniu ustalenia prawa do dywidendy pozostaje wówczas
bez zmian. Zmiana ta pozwoli nam bez problemu wycenić opcję na takie instrumenty
stosując w kolejnych krokach algorytm (3.18), oczywiście dla d = 0. Schemat siatki jest
w tym przypadku taki sam jak dla dywidendy procentowej.
Część greckich wskaźników dla schematu różnicowego jawnego, podobnie jak w metodzie dwumianowej, można obliczyć wprost z siatki cen opcji, pozostałe wykorzystując
definicję. Z siatki obliczymy:
fi+1,0 − fi−1,0
∆=
,
2∆S
fi+1,0 − 2fi,0 + fi−1,0
,
Γ=
∆S 2
9
Szczegóły można znaleźć w [13].
3.3. SCHEMATY RÓŻNICOWE
27
Cena akcji
Smax
6
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
s
r
r
r
r
r
Wartości opcji rw tych punk- -s
@
tach
są liczone
r @
r
r
r
Rs
wykorzystując
s
wartość opcji
w
tym
punkcie.
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
2∆S
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
∆S
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
0
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r Czas
-
t t + ∆t
T
Rysunek 3.6: Schemat działania metody ukrytej na siatce cen opcji.
fi,1 − fi,1
,
∆t
gdzie fi,j jest wartością opcji na siatce w punkcie i (odpowiada numerowi wiersza na
siatce), j (odpowiada numerowi kolumny na siatce). Natomiast V i ρ obliczamy z definicji:
Θ=
V =
f∗ − f
,
∆σ
f∗ − f
ρ=
,
∆r
gdzie f i f ∗ są wartościami opcji obliczonymi odpowiednio dla oryginalnych parametrów
oraz lekko zmienionym σ dla V oraz r dla ρ.
3.3.2
Schemat różnicowy ukryty
Podstawę do wyceny opcji w schemacie ukrytym stanowi równanie (3.14). Rysunek 3.6
przedstawia schemat działania metody ukrytej [1, 6, 7, 9, 10, 13]. Podobnie jak w sche. Na osi czasu mamy
macie różnicowym jawnym zdefiniujmy ∆t = Tn oraz ∆S = Smax
m
n + 1 punktów 0, ∆t, 2∆t, . . . , T , natomiast na osi wartości instrumentu podstawowego
mamy m+1 punktów 0, ∆S, 2∆S, . . . , Smax . Punkt (i, j) na siatce odpowiada wartości instrumentu podstawowego i∆S oraz czasowi j∆t. Wartość opcji w tym punkcie oznaczmy
przez fi,j .
Wartości opcji
f0,j dla j = 0, 1, . . . , n,
fm,j dla j = 0, 1, . . . , n,
otrzymujemy z warunków brzegowych, natomiast
fi,n dla i = 0, 1, . . . , m,
ROZDZIAŁ 3. METODY WYCENY OPCJI
28
zadane są przez funkcję wypłaty. Wartości opcji w wewnętrznych punktach siatki (i, j)
będziemy obliczać wykorzystując (3.15) oraz:
fi+1,j − fi−1,j
∂f
=
,
∂S
2∆S
(3.19)
fi+1,j −fi,j
i−1,j
− fi,j −f
∂ 2f
fi+1,j + fi−1,j − 2fi,j
∆S
∆S
=
=
.
(3.20)
∂S 2
∆S
∆S 2
Możemy teraz zapisać równanie (3.14), przy pomocy wzorów (3.15), (3.19) i (3.20), w
postaci:
fi,j+1 − fi,j
fi+1,j − fi−1,j 1 2 2
fi+1,j + fi−1,j − 2fi,j
+ (r − d)i∆S
+ σ i ∆S 2
= rfi,j .
∆t
2∆S
2
∆S 2
Po uporządkowaniu składników otrzymujemy algorytm na wycenę opcji, na instrument
wypłacający dywidendę w sposób ciągły wg. stopy d, w schemacie różnicowym ukrytym:
ai fi−1,j + bi fi,j + ci fi+1,j = fi,j+1 ,
gdzie
ai =
1
(r
2
(3.21)
− d)i∆t − 21 σ 2 i2 ∆t,
bi = 1 + σ 2 i2 ∆t + r∆t,
ci = − 12 (r − d)i∆t − 12 σ 2 i2 ∆t.
W schemacie tym wartości opcji fi−1,j , fi,j oraz fi+1,j otrzymujemy w sposób niejawny10 ,
ponieważ najpierw należy rozwiązać układ równań.
Dla opcji handlowanych na rynku pozagiełdowym współczynniki ai , bi i ci w algorytmie 3.21 mają postać:
ai =
1
(r
2
− d)i∆tr − 21 σ 2 i2 ∆th ,
bi = 1 + σ 2 i2 ∆th + r∆tr ,
ci = − 21 (r − d)i∆tr − 21 σ 2 i2 ∆th ,
gdzie th - liczba dni między sprzedażą (kupnem) opcji, a terminem wygaśnięcia, natomiast
tr - liczba dni pomiędzy datą spot i terminem rozliczenia.
Jeżeli wyceniamy opcję na instrument wypłacający dywidendę w wyznaczonym dniu
(ex-dividend date), a dywidenda stanowi pewien procent δ wartości akcji, to siatkę cen
tego instrumentu modyfikujemy w analogiczny sposób jak w schemacie jawnym dla dywidendy procentowej. Następnie postępujemy zgodnie z algorytmem wyceny (3.21) dla
schematu różnicowego ukrytego dla d = 0.
Jeżeli wyceniamy opcję na instrument wypłacający dywidendę w wyznaczonym dniu
(ex-dividend date), a dywidenda jest określonej wartości D, to modyfikujemy siatkę cen
tego instrumentu identycznie jak dla dywidendy stałej w schemacie różnicowym jawnym.
Zmiana ta pozwoli nam bez problemu wycenić opcję na taki instrument stosując w kolejnych krokach algorytm (3.21), oczywiście dla d = 0. Greckie wskaźniki w schemacie
różnicowym ukrytym obliczamy dokładnie w taki sam sposób, jak w schemacie jawnym.
10
Stąd nazwa metody - schemat różnicowy ukryty.
3.3. SCHEMATY RÓŻNICOWE
29
Cena akcji
Smax
6
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
s
r
r
r
r
s
@ wykorzystując
I
s
@
wartości opcji
Wartości opcji rw tych punk- -s
@
tachr są liczone
r @
r
r
Rs
s
w
tych
punktach.
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
2∆S
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
∆S
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
0
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r Czas
-
t t + ∆t
T
Rysunek 3.7: Schemat działania metody Cranka-Nicolsona na siatce cen opcji.
3.3.3
Metoda Cranka-Nicolsona
Metoda Cranka-Nicolsona została zaproponowana w oparciu o dwa, opisane powyżej
schematy różnicowe [4, 6]. Jest ona swego rodzaju średnią z tych metod. Rysunek 3.7
przedstawia schemat działania metody Cranka-Nicolsona.
Wykorzystując algorytm schematu różnicowego jawnego (3.18) oraz algorytm schematu różnicowego ukrytego (3.21) wyprowadzę algorytm wyceny opcji, na instrument
podstawowy wypłacający dywidendę w sposób ciągły, metodą Cranka-Nicolsona.
Dodając stronami (3.18) i (3.21) otrzymujemy
fi,j + ai fi−1,j + bi fi,j + ci fi+1,j = fi,j+1 + a∗i fi−1,j+1 + b∗i fi,j+1 + c∗i fi+1,j+1 ,
(3.22)
gdzie współczynniki a∗i , b∗i i c∗i są takie same jak we wzorze (3.18), natomiast współczynniki ai , bi i ci jak we wzorze (3.21).Gdy pogrupujemy wyrazy mamy:
ai fi−1,j + (bi + 1) fi,j + ci fi+1,j = a∗i fi−1,j+1 + (b∗i + 1) fi,j+1 + c∗i fi+1,j+1 .
Po podstawieniu:
gi,j+1 ≡ a∗i fi−1,j+1 + (b∗i + 1) fi,j+1 + c∗i fi+1,j+1 ,
(3.23)
otrzymujemy algorytm Cranka-Nicolsona wyceny opcji:
ai fi−1,j + (bi + 1) fi,j + ci fi+1,j = gi,j+1 ,
(3.24)
ROZDZIAŁ 3. METODY WYCENY OPCJI
30
gdzie:
a∗i =
1
(− 12 (r
1+r∆t
b∗i =
1
(1
1+r∆t
c∗i =
1
( 1 (r
1+r∆t 2
ai =
1
(r
2
− d)i∆t + 21 σ 2 i2 ∆t),
− σ 2 i2 ∆t),
− d)i∆t + 12 σ 2 i2 ∆t),
− d)i∆t − 12 σ 2 i2 ∆t,
bi
= 1 + σ 2 i2 ∆t + r∆t,
ci
= − 21 (r − d)i∆t − 21 σ 2 i2 ∆t.
oraz gi,j+1 jest znane. Podobnie jak w schemacie różnicowym ukrytym wartości opcji
fi−1,j , fi,j oraz fi+1,j mamy podane w sposób niejawny, aby je wyliczyć musimy rozwiązać
układ równań.
Dla opcji na rynku pozagiełdowym współczynniki a∗i , b∗i , c∗i , ai , bi oraz ci , podobnie
jak w metodach jawnej i ukrytej, mają postać:
a∗i =
1
(− 21 (r
1+r∆tr
b∗i =
1
(1
1+r∆tr
c∗i =
1
( 1 (r
1+r∆tr 2
ai =
1
(r
2
− d)i∆tr + 21 σ 2 i2 ∆th ),
− σ 2 i2 ∆th ),
− d)i∆tr + 21 σ 2 i2 ∆th ),
− d)i∆tr − 12 σ 2 i2 ∆th ,
bi
= 1 + σ 2 i2 ∆th + r∆tr ,
ci
= − 21 (r − d)i∆tr − 21 σ 2 i2 ∆th ,
gdzie th - liczba dni między sprzedażą (kupnem) opcji, a terminem wygaśnięcia, natomiast
tr - liczba dni pomiędzy datą spot i terminem rozliczenia.
Metoda Cranka-Nicolsona jest średnią schematu różnicowego jawnego i ukrytego. Dlatego jeżeli wyceniamy opcję na instrument wypłacający dywidendę w wyznaczonym dniu
(ex-dividend date), a dywidenda stanowi pewien procent δ wartości akcji, to siatkę cen
tego instrumentu modyfikujemy w analogiczny sposób jak w schemacie jawnym i ukrytym dla dywidendy procentowej. Następnie postępujemy zgodnie z algorytmem wyceny
(3.24) dla metody Cranka-Nicolsona z d = 0.
Podobnie jak dla dywidendy procentowej w metodzie Cranka-Nicolsona, jeżeli wyceniamy opcję na instrument wypłacający dywidendę w wyznaczonym dniu (ex-dividend
date), a dywidenda jest określonej wartości D, to modyfikujemy siatkę cen tego instrumentu identycznie jak dla dywidendy stałej w schemacie różnicowym jawnym i ukrytym.
W następnych krokach stosujemy algorytm (3.24), oczywiście dla d = 0. Greckie wskaźniki
w metodzie Cranka-Nicolsona obliczamy dokładnie w taki sam sposób jak w schematach
różnicowych jawnym i ukrytym.
W Options, futures and other derivatives J. Hulla [6] znajduje się niepoprawne wyprowadzenie metody Cranka-Nicolsona. Prowadzi ono do błędnego algorytmu:
ai fi−1,j + (bi − 1) fi,j + ci fi+1,j = gi,j ,
gdzie gi,j jest postaci:
gi,j ≡ −a∗i fi−1,j + (1 − b∗i ) fi,j − c∗i fi+1,j ,
3.3. SCHEMATY RÓŻNICOWE
31
który istotnie różni się od równań (3.24) i (3.23) odpowiednio, wyprowadzonych przeze
mnie.11 Błąd Hulla polega na tym, że w momencie porównywania metody jawnej i ukrytej przyrównuje on wartości opcji nie zwracając uwagi na czas w którym opcja osiąga
określoną wartość. Zatem zamiast równania postaci:
fi,j + ai fi−1,j + bi fi,j + ci fi+1,j = fi,j+1 + a∗i fi−1,j+1 + b∗i fi,j+1 + c∗i fi+1,j+1 ,
otrzymuje równanie postaci:
fi,j+1 + fi,j = ai fi−1,j + bi fi,j + ci fi+1,j + a∗i fi−1,j+1 + b∗i fi,j+1 + c∗i fi+1,j+1 ,
co prowadzi do błędnego rozwiązania!
11
Hull [6] stosuje konwencję (i, j), gdzie i jest numerem kolumny, natomiast j jest numerem wiersza,
oraz j := j − 1 (co oczywiście nie ma wpływu na poprawność algorytmu).
32
ROZDZIAŁ 3. METODY WYCENY OPCJI
Rozdział 4
Wycena opcji w praktyce
Podstawowym kryterium zbieżności w numerycznych metodach wyceny opcji oraz określenia ich wrażliwości na zmianę parametrów jest liczba kroków zastosowana w symulacji.
Dla metody dwumianowej ustalamy jedynie na ile jednostek ∆t podzielony zostanie odcinek czasu T pozostały do wygaśnięcia opcji. W schematach różnicowych możemy dodatkowo wpływać na wielkość podziału wartości instrumentu podstawowego ∆S. Oczywiście
im mniejsze ∆t i ∆S, tzn. dla n → ∞ oraz m → ∞, tym dokładność metody jest większa,
choć wyjątek stanowi metoda ukryta, która nie zawsze jest zbieżna.
4.1
4.1.1
Cena opcji
Metoda dwumianowa
Dla opcji europejskich nie wypłacających dywidendy lub płacących dywidendę w sposób
ciągły wyniki metod numerycznych można łatwo porównać z wynikami uzyskanymi za
pomocą wzorów typu Blacka-Scholesa.
Przykład 4.1 Waniliowa opcja kupna, z wykonaniem typu europejskiego oraz z parametrami: K = 50, S0 = 52, r = 10%, d = 3%, Th = 152 dni, Tr = 152 dni, σ = 40%,
wypłacająca dywidendę w sposób ciągły.
Na rysunku 4.1 przedstawiona jest wycena opcji z przykładu 4.1 za pomocą metody
dwumianowej. Łatwo zauważyć, że już dla n = 500 zbieżność ceny jest bardzo dokładna,
co pokazuje także porównanie różnicy wartości opcji. Nie można powiedzieć jednak, która
z metod dwumianowych jest lepsza. Zbiegają one okresowo, a różnice między nimi są
niewielkie. Błąd względny między tymi metodami jest mniejszy niż 0.05%. Rysunek 4.1
przedstawia także różnice wyceny w metodach dwumianowych i Blacka-Scholesa. Nieco
inaczej przedstawia się sytuacja dla opcji binarnych.
Przykład 4.2 Binarna opcja kupna, z wykonaniem typu europejskiego oraz z parametrami: K = 50, S0 = 52, X = 50, r = 10%, d = 3%, Th = 152 dni, Tr = 152 dni, σ =
40%, wypłacająca dywidendę w sposób ciągły.
Porównanie wyceny dokładnie takiej samej opcji jak w przykładzie 4.1, tylko binarnej
(przykład 4.2), wypłacającej kwotę X = 50 przedstawia rysunek 4.2. Zarówno różnice
względne, jak i bezwzględne między metodami są większe niż dla opcji waniliowych.
33
ROZDZIAŁ 4. WYCENA OPCJI W PRAKTYCE
34
−3
x 10
5
4.5
6.978
4
6.976
3.5
Roznica
Cena europejskiej opcji kupna
6.98
6.974
3
2.5
6.972
2
6.97
1.5
1
6.968
0.5
6.966
150
200
250
300
350
400
Liczba skokow n
450
0
150
500
250
300
350
Liczba skokow n
400
450
500
200
250
300
400
450
500
−3
−3
x 10
x 10
6
7
6
5
5
4
Roznica
Roznica
200
4
3
3
2
2
1
1
0
0
200
250
300
350
400
Liczba skokow n
450
500
350
Liczba skokow n
Rysunek 4.1: Waniliowa, europejska opcja kupna z przykładu 4.1. Na lewym górnym wykresie
ceny opcji (•BS, •dwumianowa( 12 ), •dwumianowa), na prawym górnym różnice cen opcji dla
metody dwumianowej i dwumianowej( 12 ). Na dole po lewej różnica wartości opcji dla metody
dwumianowej i BS, po prawej różnice cen opcji dla BS i metody dwumianowej( 21 ). Dla różnic
wartości mamy: •błąd bezwzględny, •błąd względny.
Zbieżność jest wolniejsza choć również charakteryzuje się okresowością. Nie można również stwierdzić jednoznacznie która z metod dwumianowych jest szybciej zbieżna.
Ciekawsze są jednak wyniki obserwacji wyceny opcji typu amerykańskiego, czy na
instrument wypłacający dywidendę w sposób nieciągły. W tym przypadku nie mamy bowiem możliwości obliczeń metodą Blacka-Scholesa ponieważ nie istnieją wzory analityczne
i pozostają tylko aproksymacje metodami numerycznymi.
Przykład 4.3 Waniliowa opcja sprzedaży typu amerykańskiego, na instrument nie wypłacający dywidendy, o parametrach: K = 100, S0 = 98, r = 8%, Th = 152 dni,
Tr = 152 dni, σ = 20%.
Wycenę opcji z przykładu 4.3 przedstawia rysunek 4.3. W tym przykładzie zbieżność
ceny opcji jest bardzo szybka, także różnica względna między metodami dwumianową i
dwumianową( 21 ) jest rzędu 0.01%.
Opcja o identycznych parametrach może być jednak handlowana na rynku pozagiełdowym, gdzie czas handlu opcji i przepływów pieniężnych nie pokrywa się. Najczęściej
4.1. CENA OPCJI
35
2.5
27.5
2
27
Roznica
Cena europejskiej opcji kupna
28
26.5
1.5
1
26
0.5
25.5
150
200
250
300
350
400
Liczba skokow n
450
0
150
500
200
250
300
350
400
Liczba skokow n
450
500
200
250
300
350
400
Liczba skokow n
450
500
1.4
1.2
1.2
1
Roznica
Roznica
1
0.8
0.6
0.8
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
200
250
300
350
400
Liczba skokow n
450
500
Rysunek 4.2: Binarna, europejska opcja kupna z przykładu 4.2. Na lewym górnym wykresie
ceny opcji (•BS, •dwumianowa( 12 ), •dwumianowa), na prawym górnym różnice cen opcji dla
metody dwumianowej i dwumianowej( 12 ). Na dole po lewej różnica wartości opcji dla metody
dwumianowej i BS, po prawej różnice cen opcji dla BS i metody dwumianowej( 21 ). Dla różnicy
wartości mamy •błąd bezwzględny, •błąd względny
rozliczenie następuje do 2 dni roboczych po zakończeniu obrotem opcji. W takim przypadku przy wycenie opcji zmianie ulegnie parametr Tr . Następny przykład ma za zadanie
pokazać czy ma to ważny wpływ na zmianę zbieżności wyceny opcji.
Przykład 4.4 Waniliowa opcja sprzedaży typu amerykańskiego, na instrument nie wypłacający dywidendy, o parametrach: K = 100, S0 = 98, r = 8%, Th = 152 dni,
Tr = 157 dni, σ = 20%.
Rysunek 4.3 pokazuje zbieżność wyceny opcji z przykładu 4.4, a także różnice w wycenie
metodami dwumianową i dwumianową( 21 ). Łatwo widać z tego wykresu, że stosowanie
w obliczeniach dwóch różnych czasów Th i Tr nie ma istotnego wpływu na zbieżność w
metodach dwumianowych. Także różnice zarówno względna jak i bezwzględna zachowują
swoją strukturę w obu metodach. Kolejny przykład ilustruje wycenę opcji na instrument
wypłacający dywidendę o określonej z góry wartości w ściśle określonym czasie.
Przykład 4.5 Waniliowa opcja sprzedaży, typu amerykańskiego na instrument wypłacający dywidendę D = 5, za τ = 10 dni, natomiast pozostałe parametry mają następujące
ROZDZIAŁ 4. WYCENA OPCJI W PRAKTYCE
36
−3
5
4.5
4.844
4
4.843
3.5
4.842
3
Roznica
Cena amerykanskiej opcji sprzedazy
4.845
x 10
4.841
4.84
2.5
2
1.5
4.839
1
4.838
0.5
4.837
0
200
250
300
350
400
Liczba skokow n
450
500
200
250
300
350
400
Liczba skokow n
450
500
200
250
300
350
400
Liczba skokow n
450
500
−3
x 10
4.5
4.81
4
4.809
3.5
4.808
3
Roznica
Cena europejskiej opcji sprzedazy
4.811
4.807
4.806
2.5
2
1.5
4.805
1
4.804
0.5
4.803
200
250
300
350
400
Liczba skokow n
450
500
0
150
Rysunek 4.3: Waniliowa, amerykańska opcja sprzedaży. Na górnych wykresach z przykładu 4.3,
natomiast na dolnych z przykładu 4.4. Dla obu przypadków mamy: po lewej wycena opcji odpowiednio metodami •dwumianowa( 21 ), •dwumianowa, po prawej natomiast różnice •bezwzględna
i •względna między tymi metodami.
wartości K = 100, S0 = 98, r = 8%, Th = 100 dni, Tr = 103 dni, σ = 20%.
Wykres wyceny tej opcji znajduje się na rysunku 4.4. Zbieżność wyceny tego typu opcji (z
przykładu 4.5) jest mniej regularna niż dla opcji na instrumenty wypłacające dywidendę
w sposób ciągły. Im czas wypłaty dywidendy τ jest bliższy terminowi wykonania opcji
tym zbieżność wyceny opcji jest mniej regularna. Ilustruje to rysunek 4.4 na którym
pokazana jest wycena opcji z przykładu 4.6
Przykład 4.6 Waniliowa opcja sprzedaży, typu amerykańskiego na instrument wypłacający dywidendę D = 5, za τ = 90 dni, natomiast pozostałe parametry mają następujące
wartości K = 100, S0 = 98, r = 8%, Th = 100 dni, Tr = 103 dni, σ = 20%.
Eksperymenty te prowadzą do następującego wniosku: aby dokładnie wyceniać opcje na
instrumenty wypłacające dywidendę o stałej wysokości w ex-dividend date niezbędne jest
użycie metody dwumianowej dla dużej liczby kroków n. Kiedy n jest rzędu 1000-1500
wyniki obliczeń są już bardzo dokładne dla obu metod. Np. różnica względna między
metodami dwumianową i Cranka-Nicolsona w przykładzie 4.6 dla n = 1500 i m = 1500
4.1. CENA OPCJI
37
−3
x 10
7.487
2
7.486
7.4855
1.5
7.485
Roznica
Cena europejskiej opcji sprzedazy
7.4865
7.4845
7.484
1
7.4835
0.5
7.483
7.4825
7.482
150
200
250
300
350
400
Liczba skokow n
450
0
150
500
200
250
300
350
400
Liczba skokow n
450
500
200
250
300
350
400
Liczba skokow n
450
500
−3
x 10
4
3.5
6.87
3
6.868
Roznica
Cena europejskiej opcji sprzedazy
6.872
6.866
2.5
2
1.5
6.864
1
6.862
0.5
6.86
0
200
250
300
350
400
Liczba skokow n
450
500
Rysunek 4.4: Waniliowa, amerykańska opcja sprzedaży ze stałą dywidendą. Na górnych wykresach z przykładu 4.5, natomiast na dolnych z przykładu 4.6. Na wykresach po lewej wycena
opcji odpowiednio metodami •dwumianowa( 12 ), •dwumianowa, po prawej natomiast różnice
•bezwzględna i •względna między tymi metodami.
wynosi 0.0237%, natomiast dla metody dwumianowej( 12 ) i Cranka-Nicolsona 0.0234%.
Podobnie wygląda przypadek wyceny opcji na instrument wypłacający dywidendę d w
dniu τ (ex-dividend date), a dywidenda stanowi pewien procent wartości instrumentu w
tym dniu. Przykład takiej opcji zaprezentowany jest na rysunku 4.5.
Przykład 4.7 Waniliowa opcja kupna, europejska, na instrument wypłacający dywidendę wysokości δ = 4% za τ = 45 dni. Pozostałe parametry: K = 30, S0 = 33, r = 9%,
Th = 120 dni, Tr = 123 dni, σ = 15%.
Różnica względna między wartościami opcji z przykładu 4.7 obliczonymi za pomocą obu
metod dwumianowych jest bardzo mała, rzędu 0.01%, ale jednocześnie zbieżność jest
nieregularna choć można zauważyć, że okresowa.
Wszystkie przeprowadzone doświadczenia pokazują dużą dokładność metod dwumianowych, choć opcje binarne są wolniej zbieżne od waniliowych. Dlatego w przypadku
opcji binarnych konieczne jest używanie w symulacjach dużej liczby kroków. Ponieważ
obliczenie pojedynczej wartości opcji dla n = 1500 nie trwa dłużej niż 1 sekundę,1 uzy1
Eksperymenty przeprowadzone zostały na komputerze z procesorem Athlon XP 1800 XP+.
ROZDZIAŁ 4. WYCENA OPCJI W PRAKTYCE
38
−4
x 10
12
2.8
10
2.7998
8
2.7996
Roznica
Cena europejskiej opcji kupna
2.8002
2.7994
2.7992
2.799
6
4
2.7988
2
2.7986
2.7984
200
250
300
350
400
Liczba skokow n
450
500
200
250
300
350
400
Liczba skokow n
450
500
200
250
300
350
400
Liczba skokow n
450
500
−4
x 10
0.157
10
8
0.1569
0.1569
Roznica
Cena opcji sprzedazy
0.1569
0.1569
0.1569
6
4
0.1568
0.1568
2
0.1568
150
200
250
300
350
400
Liczba skokow n
450
500
0
Rysunek 4.5: Na górze waniliowa, europejska opcja kupna na instrument wypłacający dywidendę
z przykładu 4.7, na dole waniliowa, europejska opcja sprzedaży z przykładu 4.8. Po lewej na
górze metody odpowiednio: •dwumianowa( 21 ), •dwumianowa, na dole po lewej: •jawna, •BS.
Po prawej na górze i na dole różnice: •bezwzględna i •względna między metodami z wykresów
po lewej.
skanie satysfakcjonujących wyników nie jest trudne. Przy znajdowaniu wartości opcji nie
ma znaczenia czy stosujemy metodę dwumianową czy dwumianową( 12 ), różnice względne
wyceny opcji w tych metodach dla odpowiednio dużych n są znikome, rzędu 0.001%. Inaczej wygląda sytuacja dla oceny wrażliwości opcji, ale o tym będzie mowa w następnym
podrozdziale. Metodę dwumianową można więc uznać za metodę dokładną do wyceny
opcji na instrumenty wypłacające dywidendę w sposób nie tylko ciągły oraz opcji amerykańskich.
4.1.2
Schemat różnicowy jawny
Wycena opcji za pomocą schematu różnicowego jawnego nie jest możliwa w każdym
przypadku, ponieważ metoda ta nie zawsze jest zbieżna. Nie jest to jednak duży problem,
ponieważ posłużyła ona do wyprowadzenia metody Cranka-Nicolsona, która jest zbieżna
zawsze. Wynika z tego że nie należy stosować metody jawnej do wyceny opcji, ale w
rozdziale tym pokazanych będzie kilka przykładów zastosowania tej metody.
4.1. CENA OPCJI
39
58
58
x 10
x 10
8
1
6
Roznica
Cena opcji sprzedazy
7
0.5
0
5
4
3
−0.5
2
−1
150
1
200
250
300
350
Liczba skokow n
400
450
0
150
500
200
250
300
350
400
Liczba skokow n
450
500
200
250
300
350
400
Liczba skokow n
450
500
4.5
0.2
0.15
3.5
3
0.1
Roznica
Cena opcji sprzedazy
4
0.05
2.5
2
1.5
0
1
−0.05
0.5
−0.1
200
250
300
350
400
Liczba skokow n
450
500
150
Rysunek 4.6: Na górnych wykresach waniliowa, europejska opcja sprzedaży z przykładu 4.9,
na dolnych powiększenie wykresów z góry. Na wykresach po lewej wycena opcji odpowiednio
metodami •jawną, •BS, po prawej natomiast różnice •bezwzględna i •względna między tymi
metodami.
Przykład 4.8 Waniliowa opcja sprzedaży, europejska, na instrument nie wypłacający
dywidendy. Pozostałe parametry: K = 4.8, S0 = 4.75, r = 7%, Th = 98 dni, Tr = 98 dni,
σ = 18%, m = 300.
W przykładzie 4.8 liczba skoków na osi wartości instrumentu podstawowego jest stała i
wynosi m = 300, badanie dotyczy natomiast zbieżności ceny opcji ze względu na liczbę
skoków na osi czasu czyli ze względu na parametr n. Zbieżność ceny jest bardzo szybka i
zarazem bardzo regularna (rysunek 4.5), czym różni się od zbieżności ceny w metodach
dwumianowych. Widać jednak, że ze wzrostem parametru n różnice między zastosowanymi metodami zwiększają się (podobna sytuacja została dokładnie opisana i wyjaśniona
w przykładzie 4.25). Należy w tym przypadku zwrócić uwagę na skalę na osi wartości ceny
opcji, która pokazuje jak ten wzrost jest niewielki. Następny przykład 4.9 pokazuje że
przy innym podziale osi w ogóle nie będzie zbieżności.
Przykład 4.9 Waniliowa opcja sprzedaży, europejska, na instrument nie wypłacający
dywidendy. Pozostałe parametry: K = 4.8, S0 = 4.75, r = 7%, Th = 98 dni, Tr = 98 dni,
σ = 18%, m = 500.
ROZDZIAŁ 4. WYCENA OPCJI W PRAKTYCE
40
0.1
0.09
13.9
0.07
13.85
Roznica
Cena opcji kupna
0.08
13.8
0.06
0.05
0.04
0.03
13.75
0.02
0.01
13.7
150
200
250
300
350
Liczba skokow m
400
450
0
150
500
200
250
300
350
400
Liczba skokow m
450
500
200
250
300
350
400
Liczba skokow m
450
500
260
0.12
255
0.1
245
0.08
240
Roznica
Cena opcji kupna
250
235
230
0.06
0.04
225
0.02
220
0
215
210
150
200
250
300
350
400
Liczba skokow m
450
500
Rysunek 4.7: Na górze waniliowa, europejska opcja kupna na instrument wypłacający dywidendę
w sposób ciągły z przykładu 4.10, na dole binarna, europejska opcja kupna, z dywidendą ciągłą
z przykładu 4.11. Na wykresach po lewej wycena opcji odpowiednio metodami •jawną, •BS, po
prawej natomiast różnice •bezwzględna i •względna. Wszystkie wykresy w powiększeniu.
W tym przypadku cena opcji dla każdego n obliczona metodą jawną jest rozbieżna, co
obrazuje wykres na rysunku 4.6. Jest tak już dla najprostszego przypadku, czyli opcji
na instrument nie wypłacający dywidendy, o wykonaniu europejskim. Oczywiście dla
bardziej skomplikowanych przypadków sytuacja ta nie ulega zmianie co pokazują następne
przykłady.
Przykład 4.10 Waniliowa opcja kupna, europejska, na instrument wypłacający dywidendę w sposób ciągły o wysokości d = 6%. Pozostałe parametry: K = 700, S0 = 685,
r = 5%, Th = 250 dni, Tr = 250 dni, σ = 10%, n = 500.
W przykładzie 4.10 zbieżność ceny opcji badana jest ze względu na zmianę parametru m
(wykres 4.7), czyli zmianę podziału na osi wartości instrumentu podstawowego. Parametr
n pozostaje w tym przypadku stały i wynosi n = 500. Dla parametru m < 350 w tym
przykładzie cena opcji jest zbieżna, ale już dla m > 350 cena jest rozbieżna. Z tego powodu
wykresy na rysunku 4.7 są w powiększeniu. Do momentu, gdy metoda jest zbieżna w tym
przykładzie błąd względny nie przekracza 1% nawet dla stosunkowo małych parametrów
n i m.
4.1. CENA OPCJI
41
−4
x 10
0.554
18
0.5539
16
14
0.5537
12
0.5536
Roznica
Cena opcji sprzedazy
0.5538
0.5535
0.5534
10
8
0.5533
6
0.5532
4
0.5531
2
0.553
0
200
300
400
500
Liczba skokow n
600
700
200
400
500
Liczba skokow n
600
700
400
500
Liczba skokow n
600
700
1.073
5.05
5.048
1.0725
5.046
5.044
Cena opcji kupna
Cena amerykanskiej opcji kupna
300
5.042
5.04
5.038
5.036
1.072
1.0715
1.071
1.0705
5.034
5.032
1.07
5.03
200
300
400
500
Liczba skokow n
600
700
200
300
Rysunek 4.8: Na górze waniliowa, europejska opcja sprzedaży z ciągłą dywidendą z przykładu
4.12. Na wykresie po lewej wycena metodami •jawną, •BS, po prawej różnice •bezwzględna i
•względna. Na lewym dolnym wykresie waniliowa, amerykańska opcja kupna z dywidendą stałą
z przykładu 4.13, na prawym dolnym waniliowa, europejska opcja kupna z dywidendą stałą z
przykładu 4.14
.
Przykład 4.11 Binarna opcja kupna, europejska, na instrument wypłacający dywidendę
w sposób ciągły o wysokości d = 6%. Pozostałe parametry: K = 700, S0 = 685, X = 700,
r = 5%, Th = 250 dni, Tr = 250 dni, σ = 10%, n = 500.
Przykład 4.11 różni się od przykładu 4.10 tym, że badamy zbieżność opcji binarnej, co
widać po zbieżności ceny (rysunek 4.7). Aby uzyskać satysfakcjonujące wyniki zbieżności
w metodzie jawnej dla opcji binarnych liczba kroków n i m musi być duża. Niestety
nie zawsze jest to możliwe. Zbieżność metody jawnej jest najlepsza, gdy n ≫ m. Dla
małych n i m metoda może być także zbieżna dla n < m, ale wówczas mamy bardzo
małą dokładność wyceny. Kolejny przykład 4.12 pokazuje że dla n ≫ m metoda jawna
jest zbieżna.
Przykład 4.12 Waniliowa opcja sprzedaży, europejska, na instrument wypłacający dywidendę w sposób ciągły o wysokości d = 8%. Pozostałe parametry: K = 65, S0 = 68,
r = 10%, Th = 180 dni, Tr = 180 dni, σ = 10%, m = 300.
42
ROZDZIAŁ 4. WYCENA OPCJI W PRAKTYCE
Zbieżność ceny opcji w przykładzie 4.12 jest bardzo szybka i regularna (rysunek 4.8).
Również przykład 4.10 pokazuje, że dla n ≫ m metoda jawna jest zbieżna. Do momentu
gdy w przykładzie tym m ≪ n metoda jest zbieżna, natomiast gdy m „zbliża się” do n
metoda przestaje być zbieżna.
Przykład 4.13 Waniliowa opcja kupna, amerykańska, na instrument wypłacający dywidendę stałą w wysokości D = 8 za τ = 107 dni. Pozostałe parametry: K = 65, S0 = 68,
r = 10%, Th = 180 dni, Tr = 190 dni, σ = 10%, m = 300.
Przykład 4.14 Waniliowa opcja kupna, europejska, na instrument wypłacający dywidendę stałą w wysokości D = 8 za τ = 107 dni. Pozostałe parametry: K = 65, S0 = 68,
r = 10%, Th = 180 dni, Tr = 190 dni, σ = 10%, m = 300.
Przykłady 4.13 i 4.14 pokazują że ceny opcji amerykańskich zbiegają wolniej i mniej
regularnie od cen opcji europejskich (rysunek 4.8).
Wszystkie powyższe przykłady pokazują, że ceny opcji obliczane za pomocą schematu
różnicowego jawnego zbiegają dobrze, ale nie w każdym przypadku. Metoda ta nie zawsze
jest zbieżna, najlepiej stosować ją dla dużych podziałów osi czasu i osi wartości instrumentu podstawowego. Jednocześnie należy jednak zachowywać proporcję między n i m,
tak aby w symulacjach używać n ≫ m. Lepiej jednak używać innych metod różnicowych,
by mieć pewność że cena opcji jest dokładna.
4.1.3
Schemat różnicowy ukryty
Schemat różnicowy ukryty, w przeciwieństwie do schematu różnicowego jawnego jest zawsze zbieżny, ale symulacja trwa nieco dłużej. Przy obliczaniu pojedynczej ceny opcji jest
to różnica niezauważalna, ma jednak znaczenie przy badaniu zbieżności gdy przeprowadza
się symulacje dla kilkuset wartości parametrów n i m. W rozdziale tym zaprezentowane
zostały przykłady wyceny opcji metodą ukrytą.
Przykład 4.15 Waniliowa opcja kupna, europejska, na instrument nie wypłacający dywidendy. Pozostałe parametry: K = 325, S0 = 334, r = 11%, Th = 111 dni, Tr = 111 dni,
σ = 13%, m = 300.
Przykład 4.16 Waniliowa opcja kupna, europejska, na instrument wypłacający dywidendę w sposób ciągły o wysokości d = 15%. Pozostałe parametry: K = 325, S0 = 334,
r = 11%, Th = 111 dni, Tr = 111 dni, σ = 13%, m = 300.
W przykładzie 4.16 badana jest zbieżność ceny opcji o takich samych parametrach jak
w przykładzie 4.15 (oba przykłady na rysunku 4.9), tylko na instrument wypłacający
dywidendę w sposób ciągły. Ceny obu rodzajów opcji w metodzie ukrytej zbiegają bardzo
szybko już dla stosunkowo małej liczby skoków n i m, gdzie dodatkowo m jest dużo
mniejsze od n. Związane jest to jedynie z dużym czasem potrzebnym do wykonania
symulacji. Dla obliczenia pojedynczej wartości opcji nie ma to znaczenia, gdyż proces ten
trwa ułamek sekundy. Zbieżność cen obu opcji jest monotoniczna i regularna. Kolejne
dwa przykłady pokazują opcje na instrument wypłacający dywidendę w określonym dniu
(rysunek 4.10).
4.1. CENA OPCJI
43
−3
x 10
22.256
12
22.254
Roznica
Cena opcji kupna
10
22.252
22.25
8
6
22.248
4
22.246
2
22.244
200
300
400
500
Liczba skokow n
600
0
700
200
300
400
500
Liczba skokow n
600
700
300
400
500
Liczba skokow n
600
700
−3
x 10
11.657
7
6
11.655
5
11.654
Roznica
Cena europejskiej opcji kupna
11.656
11.653
4
3
11.652
2
11.651
1
11.65
0
200
300
400
500
Liczba skokow n
600
700
200
Rysunek 4.9: Na górze waniliowa, europejska opcja kupna z przykładu 4.15, na dole waniliowa, europejska opcja kupna z dywidendą ciągłą z przykładu 4.16. Na wykresach po lewej
wycena opcji odpowiednio metodami •ukrytą, •BS, po prawej natomiast różnice •bezwzględna
i •względna między tymi metodami.
.
Przykład 4.17 Waniliowa opcja kupna, europejska, na instrument wypłacający dywidendę w wysokości D = 15 za τ = 107 dni. Pozostałe parametry: K = 325, S0 = 334,
r = 11%, Th = 111 dni, Tr = 111 dni, σ = 13%, m = 300.
Przykład 4.18 Waniliowa opcja kupna, europejska, na instrument wypłacający dywidendę w wysokości δ = 15% za τ = 107 dni. Pozostałe parametry: K = 325, S0 = 334,
r = 11%, Th = 111 dni, Tr = 111 dni, σ = 13%, m = 300.
W przykładzie 4.17 opcja jest taka sama jak w przykładzie 4.16 tylko, że na instrument
wypłacający dywidendę o wartości d = 15 . Zbieżność cen w obu przypadkach jest szybka i
regularna. Natomiast przykład 4.18 jest taki sam jak 4.17 ale dywidenda stanowi pewien
procent ceny instrumentu podstawowego. W tych przypadkach nie można oczywiście
porównać wyceny z ceną Blacka-Scholesa, gdyż nie istnieją wzory na takie opcje. Mimo
to można łatwo zauważyć regularność zbieżności, a także małe zmiany wartości ceny dla
coraz większego podziału na osi czasu i wartości instrumentu podstawowego.
ROZDZIAŁ 4. WYCENA OPCJI W PRAKTYCE
44
0.773
11.87
Cena europejskiej opcji kupna
Cena europejskiej opcji kupna
0.772
11.8695
11.869
11.8685
11.868
11.8675
11.867
0.771
0.77
0.769
0.768
0.767
0.766
11.8665
0.765
200
250
300
350
400
Liczba skokow n
450
500
250
300
350
400
Liczba skokow n
450
500
200
250
300
350
400
Liczba skokow m
450
500
0.31
Cena amerykanskiej opcji sprzedazy
Cena amerykanskiej opcji kupna
3.26
200
3.2595
3.259
3.2585
3.258
3.2575
0.3
0.29
0.28
0.27
0.26
0.25
0.24
3.257
200
250
300
350
400
Liczba skokow m
450
500
Rysunek 4.10: Na górze po lewej waniliowa, europejska opcja kupna z dywidendą stałą z przykładu 4.17, po prawej waniliowa, europejska opcja kupna z dywidendą procentową z przykładu
4.18. Na dole po lewej waniliowa, amerykańska opcja kupna z dywidendą procentową z przykładu 4.19, po prawej amerykańska opcja sprzedaży z dywidendą procentową z przykładu 4.20.
Metoda •ukryta.
.
W przykładach 4.15 - 4.18 mamy m stałe, natomiast parametrem jest n. W przykładach 4.19 i 4.20 - na rysunku 4.10 - jest odwrotnie (n jest stałe). Pokazuje to zbieżność
metody ukrytej dla dowolnego doboru podziału osi. Choć zbieżność ta jest tym lepsza im
n i m są większe.
Przykład 4.19 Waniliowa opcja kupna, amerykańska, na instrument wypłacający dywidendę w wysokości δ = 3% za τ = 40 dni. Pozostałe parametry: K = 35, S0 = 38,
r = 5%, Th = 56 dni, Tr = 59 dni, σ = 17%, n = 300.
Przykład 4.20 Binarna opcja sprzedaży, amerykańska, na instrument wypłacający dywidendę w wysokości δ = 3% za τ = 40 dni. Pozostałe parametry: K = 35, S0 = 38,
X = 1, r = 5%, Th = 56 dni, Tr = 59 dni, σ = 17%, n = 300.
Przykłady 4.19 i 4.20 pokazują również, że opcje z wykonaniem typu amerykańskiego a
także opcje binarne w metodzie ukrytej zbiegają bardzo nieregularnie i niemonotonicznie.
25.05
0.0117
25
0.0116
24.95
0.0115
24.9
0.0114
24.85
0.0113
24.8
0.0112
200
250
300
350
400
Liczba skokow n
450
500
200
250
300
350
400
Liczba skokow n
450
500
200
250
300
350
400
Liczba skokow n
450
500
0.0117
27.55
0.0116
27.5
Roznica
Cena europejskiej opcji sprzedazy
45
Roznica
Cena europejskiej opcji sprzedazy
4.1. CENA OPCJI
27.45
27.4
0.0115
0.0114
27.35
0.0113
27.3
0.0112
200
250
300
350
400
Liczba skokow n
450
500
Rysunek 4.11: Binarna, europejska opcja sprzedaży. Na górze z przykładu 4.21, na dole z przykładu 4.22. Na wykresach po lewej wycena opcji metodą •ukrytą, •BS. Po prawej różnice
•względne.
.
Trzy kolejne przykłady pokażą czy wielkość wypłaty w opcji binarnej ma wpływ na
zbieżność ceny opcji.
Przykład 4.21 Binarna opcja sprzedaży, europejska, na instrument nie wypłacający dywidendy. Pozostałe parametry: K = 40, S0 = 38, X = 40, r = 9%, Th = 90 dni,
Tr = 92 dni, σ = 20%, m = 300.
Przykład 4.22 Binarna opcja sprzedaży, europejska, na instrument nie wypłacający dywidendy. Pozostałe parametry: K = 40, S0 = 38, X = 45, r = 9%, Th = 90 dni,
Tr = 92 dni, σ = 20%, m = 300.
Przykład 4.23 Binarna opcja sprzedaży, europejska, na instrument nie wypłacający dywidendy. Pozostałe parametry: K = 40, S0 = 38, X = 35, r = 9%, Th = 90 dni,
Tr = 92 dni, σ = 20%, m = 300.
Przykłady 4.21-4.23 różnią się jedynie wielkością wypłaty opcji binarnej, tzn. X jest
równy odpowiednio 40 - tyle samo co cena wykonania K, 45 - więcej niż cena wykonania
ROZDZIAŁ 4. WYCENA OPCJI W PRAKTYCE
46
21.95
21.9
0.0116
21.85
Roznica
Cena europejskiej opcji sprzedazy
0.0117
21.8
0.0115
0.0114
21.75
0.0113
21.7
0.0112
200
250
300
350
400
Liczba skokow n
450
500
200
250
300
350
400
Liczba skokow n
450
500
Rysunek 4.12: Binarna, europejska opcja sprzedaży z przykładu 4.23. Po lewej wycena opcji
metodą •ukrytą, •BS, po prawej różnice •względne.
.
oraz 35 - mniej niż cena wykonania. Rysunki 4.11 i 4.12 pokazują zbieżność cen opcji
w tych przykładach oraz różnice względne. Okazuje się, że wysokość wypłaty w opcji
binarnej nie wpływa na błędy względne i dla opcji na dany instrument podstawowy
niezależnie od wielkości wypłaty X są one zawsze takie same (dla danych parametrów n
i m).
Wszystkie przykłady pokazują dużą dokładność cen opcji obliczonych metodą ukrytą.
Bardzo ważne jest jednak stosowanie w symulacjach dużych wartości parametrów podziału osi czasu (ilość skoków n) oraz osi wartości instrumentu podstawowego (ilość
skoków m). Jest to szczególnie ważne dla opcji binarnych i opcji z wykonaniem typu
amerykańskiego, których zbieżność jest nieco wolniejsza i bardziej nieregularna.
4.1.4
Metoda Cranka-Nicolsona
Metoda Cranka-Nicolsona jest średnią z schematu różnicowego jawnego i ukrytego. Jej
zaletą jest to, że podobnie jak metoda ukryta jest zbieżna zawsze dla dowolnych parametrów n i m. Podobnie jak dla poprzednich metod w rozdziale tym zaprezentowane zostaną
przykłady pokazujące zachowanie cen dla różnych typów opcji.
Przykład 4.24 Waniliowa opcja sprzedaży, europejska, na instrument wypłacający dywidendę w wysokości d = 2%. Pozostałe parametry: K = 10, S0 = 10, r = 9%,
Th = 85 dni, Tr = 85 dni, σ = 30%, m = 300.
Przykład 4.25 Waniliowa opcja sprzedaży, europejska, na instrument wypłacający dywidendę w wysokości d = 2%. Pozostałe parametry: K = 10, S0 = 10, r = 9%,
Th = 85 dni, Tr = 85 dni, σ = 30%, m = 500.
Przykłady 4.24 i 4.25 (oba na rysunku 4.13) pokazują szybkość zbieżności ceny opcji
wypłacającej dywidendę w sposób ciągły. Wprawdzie różnice względne rosną (choć jest
to wzrost niewielki) wraz ze wzrostem parametru n, dla ustalonego m, ale widać, że jeżeli
zwiększamy oba parametry to różnica ta zmniejsza się bardzo szybko (w przykładzie 4.25
4.1. CENA OPCJI
47
−3
x 10
0.046
6
0.0459
5
Roznica
Cena europejskiej opcji sprzedazy
7
0.0459
0.0459
0.0458
4
3
2
0.0457
1
0.0457
0
200
250
300
350
400
Liczba skokow n
450
500
200
250
300
350
400
Liczba skokow n
450
500
200
250
300
350
400
Liczba skokow n
450
500
−3
x 10
0.046
2
0.046
Roznica
Cena europejskiej opcji sprzedazy
0.046
0.0459
1.5
1
0.0459
0.5
0.0459
0.0459
200
250
300
350
400
Liczba skokow n
450
500
Rysunek 4.13: Waniliowa, europejska opcja sprzedaży z dywidendą ciągłą. Na górze z przykładu
4.24, na dolnych wykresach 4.25. Na wykresach po lewej wycena opcji odpowiednio metodami
•CN, •BS, po prawej natomiast różnice •bezwzględna i •względna między tymi metodami.
.
m jest o 200 większe niż w przykładzie 4.24) dla ustalonego n (nawet małego). Widać,
że zwiększając parametr m uzyskujemy znaczną poprawę dokładności. Kolejny przykład
pokazuje zbieżność ceny dla opcji binarnej nie wypłacającej dywidendy.
Przykład 4.26 Binarna opcja sprzedaży, europejska, na instrument nie wypłacający dywidendy. Pozostałe parametry: K = 56, S0 = 55, r = 11%, Th = 50 dni, Tr = 50 dni,
σ = 24%, m = 300.
W przykładzie 4.26 (rysunek 4.14) widać, że dla stosunkowo małych wartości parametrów
podziału siatki - m równe jedynie 300 - różnica względna ceny opcji obliczona metodą
Cranka-Nicolsona i Blacka-Scholesa jest wyraźna. Nie jest ona jednak stała, choć zmiany
są tak niewielkie, że na rysunku niezauważalne. Dowodzi to, że dla opcji binarnych zawsze
należy stosować dużą liczbę skoków m i n. W kolejnym przykładzie 4.27, także na rysunku
4.14 wyceniana jest taka sama opcja co w przykładzie 4.26, ale podział jest zagęszczony
na osi cen instrumentu podstawowego.
Przykład 4.27 Binarna opcja sprzedaży, europejska, na instrument nie wypłacający dywidendy. Pozostałe parametry: K = 56, S0 = 55, r = 11%, Th = 50 dni, Tr = 50 dni,
ROZDZIAŁ 4. WYCENA OPCJI W PRAKTYCE
48
0.7
26.1
0.6
0.5
25.9
Roznica
Cena opcji sprzedazy
26
25.8
0.4
0.3
25.7
0.2
25.6
0.1
25.5
200
250
300
350
400
Liczba skokow n
450
0
500
26.35
200
250
300
350
400
Liczba skokow n
450
500
200
250
300
350
400
Liczba skokow n
450
500
0.2
0.16
26.3
0.14
Roznica
Cena opcji sprzedazy
0.18
26.25
0.12
0.1
0.08
26.2
0.06
0.04
0.02
26.15
0
200
250
300
350
400
Liczba skokow n
450
500
Rysunek 4.14: Binarna, europejska opcja sprzedaży. Na górze z przykładu 4.26, na dolnych
wykresach 4.27. Przykłady 4.26 i 4.27 różnią się wielkością parametru m. Na wykresach po lewej
wycena opcji odpowiednio metodami •CN, •BS, po prawej natomiast różnice •bezwzględna i
•względna między metodami z wykresów po lewej.
.
σ = 24%, m = 550.
Widać bardzo wyraźną poprawę zbieżności cen dla większego parametru m. Podobnie jak
w przykładzie 4.26, także tutaj różnice cen między porównywanymi metodami są na tyle
niewielkie, że nie są widoczne na wykresie. Są one rzędu 0.001% dla różnic względnych.
Różnice bezwzględne natomiast zmniejszyły się z blisko 0.7 do około 0.2. Jest to znacząca
poprawa dla stosunkowo niewielkiej zmiany parametrów podziału siatki. W powyższych
przykładach mieliśmy możliwość porównania wyników z metodą Blacka-Scholesa, w przykładzie 4.28 wyceniana jest opcja wypłacająca dywidendę o określonej wartości w ściśle
wyznaczonym dniu.
Przykład 4.28 Waniliowa opcja sprzedaży, europejska, na instrument wypłacający dywidendę w wysokości D = 4 za τ = 12 dni. Pozostałe parametry: K = 69, S0 = 66,
r = 6%, Th = 75 dni, Tr = 78 dni, σ = 13%, m = 300.
Wykres opcji z przykładu 4.28 znajduje się na rysunku 4.15. Bardzo minimalne zmiany
wartości ceny dla n przebiegającego od 150 do 500 świadczą o szybkiej zbieżności metody
4.1. CENA OPCJI
49
3.7587
6.2064
3.7587
Cena opcji sprzedazy
6.2066
Roznica
6.2062
6.206
6.2058
6.2056
3.7586
3.7586
3.7585
3.7585
3.7584
3.7584
6.2054
200
250
300
350
400
Liczba skokow n
450
500
1.49
0.0798
1.485
0.0796
200
250
300
350
400
Liczba skokow n
450
500
200
250
300
350
400
Liczba skokow n
450
500
0.0794
1.48
Cena opcji kupna
Cena opcji kupna
0.0792
1.475
1.47
1.465
1.46
0.079
0.0788
0.0786
0.0784
0.0782
1.455
0.078
1.45
0.0778
200
250
300
350
400
Liczba skokow n
450
500
Rysunek 4.15: Na górze po lewej waniliowa, europejska opcja sprzedaży ze stałą dywidendą z
przykładu 4.28, po prawej binarna, europejska opcja sprzedaży z dywidendą stałą z przykładu
4.29. Na dolnym wykresie po lewej binarna, amerykańska opcja kupna ze stałą dywidendą z
przykładu 4.30, po prawej waniliowa, amerykańska kupna z dywidendą stałą z przykładu 4.31.
Wycena opcji metodą •CN.
.
Cranka-Nicolsona. W odróżnieniu od wcześniej badanych metod w tej metodzie zbieżność
dla opcji binarnej (przykład 4.29 - rysunek 4.15) jest porównywalna do zbieżności opcji
waniliowej, co jest jedną z największych zalet metody Cranka-Nicolsona.
Przykład 4.29 Binarna opcja sprzedaży, europejska, na instrument wypłacający dywidendę w wysokości D = 4 za τ = 12 dni. Pozostałe parametry: K = 69, S0 = 66, X = 4,
r = 6%, Th = 75 dni, Tr = 78 dni, σ = 13%, m = 300.
Niestety w „najgorszym” przypadku, czyli dla opcji binarnej, typu amerykańskiego, wypłacającej dywidendę w ex-dividend date zbieżność nie jest już tak dokładna. Z tego typu
przypadkiem mamy do czynienia w przykładzie 4.30, którego ilustracja znajduje się na
rysunku 4.15.
Przykład 4.30 Binarna opcja kupna, amerykańska, na instrument wypłacający dywidendę w wysokości D = 8 za τ = 55 dni. Pozostałe parametry: K = 44, S0 = 41,
X = 10, r = 7, 5%, Th = 80 dni, Tr = 83 dni, σ = 14%, m = 300.
ROZDZIAŁ 4. WYCENA OPCJI W PRAKTYCE
50
I choć zbieżność ceny opcji w tym przykładzie jest dużo mniej regularna i wolniejsza niż
dla wcześniejszych przykładów w metodzie Cranka-Nicolsona, to i tak jest dużo lepsza niż
dla metod dwumianowych, ukrytej czy jawnej, która dodatkowo nie zawsze jest zbieżna.
W przykładzie 4.31 na rysunku 4.15 pokazana jest wycena opcji podobnej jak w 4.30,
tyle że waniliowej.
Przykład 4.31 Waniliowa opcja kupna, amerykańska, na instrument wypłacający dywidendę w wysokości D = 8 za τ = 55 dni. Pozostałe parametry: K = 44, S0 = 41,
r = 7, 5%, Th = 80 dni, Tr = 83 dni, σ = 14%, m = 300.
Zbieżność ceny takiej opcji jest równie nieregularna jak w przypadku opcji binarnej, ale
dużo szybsza. Należy zwrócić uwagę na zastosowane powiększenie w przykładach 4.30
i 4.31 na rysunku 4.15. Opcja z przykładu 4.31 jest w większym powiększeniu, dlatego
wydaje się zbiegać wolniej, ale w rzeczywistości jest odwrotnie.
4.1.5
Porównanie
Dotychczasowe przykłady pokazywały sposób i szybkość zbieżności cen opcji dla każdej
z wcześniej przedstawionych metod z osobna. Kilka kolejnych przykładów pokaże równoczesną wycenę opcji każdą metodą (z wyłączeniem, w niektórych przypadkach, metody
jawnej z powodu braku zbieżności) i wszystkie te wyceny znajdą się na jednym wykresie.
Przykłady 4.32 i 4.33, których wykresy znajdują się na rysunku 4.16, dotyczą opcji europejskiej na instrument wypłacający dywidendę w sposób ciągły, więc można go wycenić
i porównać także z metodą Blacka-Scholesa. Różnią się one jedynie liczbą dni rozliczeniowych w których opcja jest ważna.
Przykład 4.32 Waniliowa opcja kupna, europejska, na instrument wypłacający dywidendę d = 10% w sposób ciągły. Pozostałe parametry: K = 123, S0 = 125, r = 10%,
Th = 62 dni, Tr = 62 dni, σ = 20%, m = 300.
Przykład 4.33 Waniliowa opcja kupna, europejska, na instrument wypłacający dywidendę d = 10% w sposób ciągły. Pozostałe parametry: K = 123, S0 = 125, r = 10%,
Th = 62 dni, Tr = 67 dni, σ = 20%, m = 300.
W obu przypadkach zbieżność ceny we wszystkich badanych metodach jest szybka, a różnica między czasem handlu opcji i czasem przepływów pieniężnych ma niewielki wpływ
na zbieżność (w przykładzie 4.33 różnica ta wynosi aż 5 dni). Najmniejszy na metodę
dwumianową, należy jednak zwrócić uwagę na stosunkowo małe wartości parametrów
podziału siatki wyceny n i m przyjętych w przykładach w przypadku metod różnicowych, co znacząco zaburza ich dokładność. Metody ukryta, Cranka-Nicolsona, a także w
tym przypadku metoda jawna zbiegają regularnie. Cena opcji obliczona metodą CrankaNicolsona zawsze znajduje się w przedziale pomiędzy ceną obliczoną w obu metodach
różnicowych, oczywiście wtedy, kiedy zbieżna jest metoda jawna. Metoda dwumianowa
choć zbiega niemonotonicznie, to dla dużych wartości parametru n jest ona bardzo dokładna. Kolejny przykład (4.34 - na rysunku 4.16) pokazuje różnice między wyceną w
poszczególnych metodach dla opcji binarnej o takich samych pozostałych parametrach
jak w dwóch poprzednich przykładach.
4.1. CENA OPCJI
51
5.07
5.068
5.0695
5.069
Cena opcji kupna
Cena opcji kupna
5.066
5.0685
5.068
5.0675
5.067
5.0665
5.066
5.064
5.062
5.06
5.0655
5.058
5.065
300
350
400
Liczba skokow n
450
500
350
400
Liczba skokow n
450
500
350
400
Liczba skokow n
450
500
27.6
28.4
28.2
27.55
Cena opcji kupna
Cena opcji kupna
28
27.8
27.6
27.4
27.2
27
27.5
27.45
27.4
26.8
26.6
27.35
350
400
Liczba skokow n
450
500
Rysunek 4.16: Na górze waniliowa, europejska opcja kupna z dywidendą ciągłą po lewej z
przykładu 4.32, po prawej z przykładu 4.33. Na dolnych wykresach binarna, europejska opcja
kupna z dywidendą ciągłą po lewej z przykładu 4.34, po prawej opcja z przykładu 4.34 w
powiększeniu. Na wszystkich wykresach kolory oznaczają wycenę odpowiednio metodami: •CN,
•ukrytą, •jawną, •dwumianową, •BS.
.
Przykład 4.34 Binarna opcja kupna, europejska, na instrument wypłacający dywidendę
d = 10% w sposób ciągły. Pozostałe parametry: K = 123, S0 = 125, X = 50, r = 10%,
Th = 62 dni, Tr = 67 dni, σ = 20%, m = 300.
W przypadku opcji binarnych metoda dwumianowa jest najmniej regularna, natomiast
metody różnicowe dają bardzo zbliżone wyniki i zbiegają w sposób monotoniczny. Dla
parametrów podziału rzędu 1500, względna różnica wartości opcji dla metody BlackaScholesa i metody Cranka-Nicolsona jest mała i w przykładzie 4.34 wynosi 0.796%, natomiast różnica bezwzględna 0.219.
Przykład 4.35 Waniliowa opcja kupna, amerykańska, na instrument nie wypłacający
dywidendy. Pozostałe parametry: K = 47, S0 = 45, r = 12%, Th = 36 dni, Tr = 36 dni,
σ = 10%, m = 400.
Wykres ilustrujący zbieżność ceny opcji z przykładu 4.35 znajduje się na rysunku 4.17.
Podobnie jak w poprzednich przykładach w metodzie dwumianowej mamy zbieżność
ROZDZIAŁ 4. WYCENA OPCJI W PRAKTYCE
52
0.1186
1.6563
0.1184
1.6562
Cena opcji sprzedazy
Cena opcji kupna
1.6561
0.1182
0.118
0.1178
0.1176
1.656
1.6559
1.6558
1.6557
1.6556
1.6555
1.6554
0.1174
1.6553
350
400
Liczba skokow n
450
500
350
400
Liczba skokow n
450
500
Rysunek 4.17: Po lewej waniliowa, amerykańska opcja kupna z przykładu 4.35, po prawej waniliowa, europejska opcja kupna na instrument wypłacający dywidendę stałą z przykładu 4.36. Na
wszystkich wykresach kolory oznaczają wycenę odpowiednio metodami: •CN, •ukrytą, •jawną,
•dwumianową, •BS.
.
niemonotoniczną, natomiast metody różnicowe zbiegają monotonicznie. Różnice między
wszystkimi metodami są wprawdzie widoczne, ale dla odpowiednio dużych parametrów
n i m różnice względne są rzędu 0.01%. W ostatnim przykładzie wyceny opcji (przykład
4.36), do którego wykres znajduje się na rysunku 4.17, pokazana została zbieżność opcji
na instrument podstawowy wypłacający dywidendę o określonej z góry kwocie.
Przykład 4.36 Waniliowa opcja kupna, europejska, na instrument wypłacający dywidendę w wysokości D = 4 za τ = 15 dni. Pozostałe parametry: K = 23, S0 = 25,
r = 10%, Th = 66 dni, Tr = 67 dni, σ = 15%, m = 400.
Widać na rysunku 4.17, że zbieżność ceny opcji amerykańskiej (przykład 4.35) i ceny
opcji europejskiej na instrument wypłacający dywidendę (przykład 4.36) ma bardzo podobny charakter. W przykładzie 4.36 różnice cen pomiędzy metodami są niewielkie (w
tym przypadku metoda jawna jest rozbieżna, z tego powodu nie została uwzględniona na
wykresie). Na wykresie mamy zbieżność dla m = 400 oraz n przebiegającego od 300 do
500, dla parametrów n = 1500 oraz m = 1500 różnica względna między metodą CrankaNicolsona i dwumianową wynosi 0.01502%, natomiast między metodą Cranka-Nicolsona
i metodą ukrytą 0.01089%. Wynika z tego, że dla odpowiednio dużych parametrów podziału siatki w przypadku metod różnicowych i odpowiednio dużego drzewka w metodzie
dwumianowej wszystkie metody dają bardzo zbliżone wyniki.
Przeprowadzone w rozdziale doświadczenia wyceny różnych opcji na różne instrumenty podstawowe pokazują zbieżność ceny w różnych metodach numerycznych. Podstawowy wniosek: aby cena opcji obliczona dowolną metodą numeryczną była bliska ceny
rzeczywistej metoda musi być użyta dla możliwie największych wartości parametrów
podziału siatki i drzewka dwumianowego. Wyniki są bardzo dokładne już dla n i m równych 1500. Najszybciej zbiegają opcje waniliowe, z wykonaniem typu europejskiego. Nieco
gorzej wygląda sytuacja dla opcji binarnych. Nie tylko zbiegają wolno ale także niemonotonicznie, patrz przykład 4.34. Dla opcji amerykańskich sytuacja wygląda podobnie
4.2. GRECKIE WSKAŹNIKI
53
0.924
0.924
0.923
Wartosci greckich wskaznikow
Wartosci greckich wskaznikow
0.923
0.922
0.921
0.92
0.919
0.918
0.917
0.922
0.921
0.92
0.919
0.918
0.916
0.917
0.915
350
400
Liczba skokow n
450
500
350
400
Liczba skokow n
450
500
350
400
Liczba skokow n
450
500
−0.212
−0.214
Wartosci greckich wskaznikow
Wartosc greckich wskaznikow
0.923
0.922
0.921
0.92
0.919
−0.216
−0.218
−0.22
−0.222
−0.224
0.918
−0.226
350
400
Liczba skokow n
450
500
Rysunek 4.18: Waniliowa, europejska opcja kupna z przykładu 4.37 dla metody dwumianowej na
górze po lewej, po prawej dla metody Cranka-Nicolsona. Na dole po lewej dla metody ukrytej,
natomiast na dole po prawej waniliowa, europejska opcja sprzedaży z przykładu 4.38 dla metody
jawnej. Na wszystkich wykresach kolory oznaczają sposób obliczania odpowiednio: •z definicji,
•z siatki, •BS.
.
jak dla opcji binarnych, jednak zbieżność jest nieco lepsza. Cena opcji na instrument
wypłacający dywidendę zbiega wolniej od ceny opcji na instrument nie wypłacający dywidendy. Im wyższa dywidenda tym cena opcji zbiega wolniej. Różnica czasów: handlu
opcji i przepływów pieniężnych ma niewielki wpływ na zbieżność i dokładność wyceny
(przykłady 4.3, 4.4). Wszystkie metody numeryczne przedstawione w pracy dla dużych
wartości parametrów podziału n i m są metodami dokładnymi. Jednak kiedy wyceniamy
opcje dla małej wartości tych parametrów najdokładniejsza jest metoda dwumianowa,
natomiast dla dużych wartości najlepiej stosować metodę Cranka-Nicolsona.
4.2
Greckie wskaźniki
Podobnie jak przy wycenie opcji, tak przy badaniu ich wrażliwości na zmiany poszczególnych parametrów, największy wpływ na wyniki ma wartość parametrów n i m. Im pa-
ROZDZIAŁ 4. WYCENA OPCJI W PRAKTYCE
54
−0.5521
−0.189
Wartosci greckich wskaznikow
Wartosci greckich wskaznikow
−0.19
−0.191
−0.192
−0.193
−0.194
−0.195
−0.5522
−0.5522
−0.5523
−0.196
−0.197
−0.5523
350
400
450
500
350
Liczba skokow n
400
Liczba skokow n
450
500
650
700
−0.5512
0.6191
Wartosci greckich wskaznikow
Wartosci greckich wskaznikow
−0.5513
−0.5514
−0.5515
−0.5516
−0.5517
−0.5518
−0.5519
0.619
0.6189
0.6188
0.6187
−0.552
0.6186
350
400
Liczba skokow n
450
500
550
600
Liczba skokow n
Rysunek 4.19: Na górze po lewej binarna, europejska opcja sprzedaży z przykładu 4.39, po
prawej waniliowa, amerykańska opcja sprzedaży z przykładu 4.40. Na dole po lewej waniliowa,
amerykańska opcja sprzedaży z przykładu 4.41, po prawej waniliowa, europejska opcja kupna
z dywidendą ciągłą z przykładu 4.42. Na wszystkich wykresach metody odpowiednio: •ukryta,
•jawna, •CN, •dwumianowa, •BS.
.
rametry te są większe tym obliczone greckie wskaźniki są dokładniejsze. Metoda jawna,
tak jak przy wycenie, nie zawsze jest zbieżna. Pierwsze pytanie jakie nasuwa się przy
obliczaniu greckich wskaźników to czy obliczać je z definicji, czy korzystać wprost z siatki
wyceny? Obie te metody zostały opisane w p. 3.2.6 i 3.3.1.
4.2.1
Delta
Przykłady 4.37 i 4.38, do których ilustracje znajdują się na rysunku 4.18, pokazują różnice
między wskaźnikiem ∆ obliczonym za pomocą metod numerycznych z definicji i z drzewka
lub siatki cen.
Przykład 4.37 Waniliowa opcja kupna, europejska, na instrument nie wypłacający dywidendy. Pozostałe parametry: K = 100, S0 = 103, r = 24%, Th = 152 dni, Tr = 152 dni,
σ = 15%, m = 300.
4.2. GRECKIE WSKAŹNIKI
55
Przykład 4.38 Waniliowa opcja sprzedaży, europejska, na instrument nie wypłacający
dywidendy. Pozostałe parametry: K = 50, S0 = 52, r = 10%, Th = 50 dni, Tr = 50 dni,
σ = 20%, m = 300.
Delta opcji z przykładu 4.37 została obliczona metodami dwumianową, ukrytą i CrankaNicolsona. Ponieważ dla tego rodzaju opcji z wykorzystanymi wartościami parametrów
n i m dla metoda jawna jest rozbieżna została ona zaprezentowana w przykładzie 4.38.
Widać, że dla każdej metody wskaźnik ∆ obliczony z siatki bądź drzewka jest dużo
bardziej dokładny. Z tego powodu w kolejnych symulacjach delta będzie obliczana z siatki
lub drzewka. Przykład 4.39 (rysunek 4.19) pokazuje zbieżność delty dla opcji binarnej
nie wypłacającej dywidendy.
Przykład 4.39 Binarna opcja sprzedaży, europejska, na instrument nie wypłacający dywidendy. Pozostałe parametry: K = 35, S0 = 36, X = 2, r = 11%, Th = 63 dni,
Tr = 63 dni, σ = 25%, m = 300.
Podobnie jak przy wycenie dla opcji binarnych metoda dwumianowa jest bardzo nieregularna, ale tak samo jak metody różnicowe daje dokładne wyniki. Oczywiście wraz ze
wzrostem parametrów podziału zbieżność ∆ jest coraz szybsza. Podobna sytuacja ma
miejsce dla opcji z wykonaniem typu amerykańskiego, zaprezentowanej w przykładzie
4.40 na rysunku 4.19.
Przykład 4.40 Waniliowa opcja sprzedaży, amerykańska, na instrument nie wypłacający dywidendy. Pozostałe parametry: K = 35, S0 = 34, r = 11%, Th = 55 dni,
Tr = 55 dni, σ = 30%, m = 300.
W tym przypadku nie można porównać ceny opcji z metodą Blacka-Scholesa, ponieważ
jest to opcja z wykonaniem typu amerykańskiego. Wszystkie zastosowane metody, z jawną
włącznie, dają bardzo zbliżone wyniki. Wartość ∆ dla metody Cranka-Nicolsona jest
zawsze z przedziału między wartością z metody jawnej i ukrytej, taka sama sytuacja
miała także miejsce przy wycenie. Przykład 4.41 pokazuje czy różnica między czasem
handlu instrumentu i przepływów pieniężnych ma niekorzystny wpływ na zbieżność delty.
Przykład 4.41 Waniliowa opcja sprzedaży, amerykańska, na instrument nie wypłacający dywidendy. Pozostałe parametry: K = 35, S0 = 34, r = 11%, Th = 55 dni,
Tr = 58 dni, σ = 30%, m = 300.
Przykład 4.41, do którego wykres znajduje się na rysunku 4.19, od przykładu 4.40 różni
się jedynie wartością parametru Tr , a więc liczbą dni między przepływami pieniężnymi.
Widać, że różnica ta wpływa na wyniki symulacji, ale w niewielkim stopniu, a dla dużych
n i m różnice te są bardzo małe. Dotychczasowe przykłady pokazywały zbieżność delty dla
opcji na instrument nie wypłacający dywidendy. W przykładzie 4.42 mamy instrument
wypłacający dywidendę w sposób ciągły.
Przykład 4.42 Waniliowa opcja kupna, europejska, na instrument wypłacający dywidendę w sposób ciągły w wysokości d = 3%. Pozostałe parametry: K = 12, S0 = 12,
r = 12%, Th = 70 dni, Tr = 70 dni, σ = 14%, m = 500.
Zbieżność delty dla tego typu opcji jest bardzo szybka. Już dla m = 500 i n = 700 różnice
bezwzględne między poszczególnymi wartościami otrzymanymi za pomocą różnych metod
są mniejsze od 0,0002. Przypadek dywidendy wypłacanej w ex-dividend date obrazują dwa
kolejne przykłady, do których wykresy znajdują się na rysunku 4.20.
ROZDZIAŁ 4. WYCENA OPCJI W PRAKTYCE
−0.8156
−0.8156
−0.8158
−0.8158
Wartosci greckich wskaznikow
Wartosci greckich wskaznikow
56
−0.816
−0.8162
−0.8164
−0.8166
−0.8168
−0.817
−0.816
−0.8162
−0.8164
−0.8166
−0.8168
−0.817
−0.8172
−0.8172
−0.8174
−0.8174
−0.8176
350
400
Liczba skokow n
450
500
350
400
Liczba skokow n
450
500
400
Liczba skokow n
450
500
−0.9065
Wartosci greckich wskaznikow
Wartosci greckich wskaznikow
−0.906
−0.907
−0.9075
−0.908
−0.9065
−0.907
−0.9075
−0.908
−0.9085
350
400
Liczba skokow n
450
500
350
Rysunek 4.20: Na górze po lewej waniliowa, europejska opcja sprzedaży na instrument wypłacający dywidendę procentową z przykładu 4.43 dla metody dwumianowej, po prawej dla
dwumianowej( 12 ). Na dole analogicznie dla opcji z przykładu 4.44. Na wykresach metody odpowiednio: •ukryta, •jawna, •CN, •dwumianowa, •BS.
.
Przykład 4.43 Waniliowa opcja sprzedaży, europejska, na instrument wypłacający dywidendę procentową δ = 4% za τ = 15 dni. Pozostałe parametry: K = 74, S0 = 72,
r = 8%, Th = 36 dni, Tr = 36 dni, σ = 18%, m = 300.
Przykład 4.44 Waniliowa opcja sprzedaży, europejska, na instrument wypłacający dywidendę stałą D = 4 za τ = 15 dni. Pozostałe parametry: K = 74, S0 = 72, r = 8%,
Th = 36 dni, Tr = 36 dni, σ = 18%, m = 300.
Oba przykłady obrazują, że także dla opcji na instrument płacący dywidendę w określonym dniu i określonej wysokości, wskaźnik delta jest szybko zbieżny. Np. w przykładzie
4.43 różnica względna między wynikami uzyskanymi za pomocą metody dwumianowej i
Cranka-Nicolsona wynosi zaledwie około 0.007% dla n = m = 1500. Dla dywidendy stałej
(w przykładzie 4.44) zbieżność jest nieco wolniejsza, a wartości dla różnych metod różnią
się bardziej niż dla dywidendy procentowej, ale wysokość dywidendy stałej w powyższych
przykładach jest relatywnie większa. Porównanie wartości ∆ dla metody dwumianowej i
dwumianowej( 12 ), pokazuje że nie ma istotnych różnic między tymi metodami.
57
0.055
0.055
0.05
0.05
Wartosci greckich wskaznikow
Wartosci greckich wskaznikow
4.2. GRECKIE WSKAŹNIKI
0.045
0.04
0.035
0.03
0.025
0.045
0.04
0.035
0.03
0.025
0.02
0.02
400
Liczba skokow n
450
0.015
500
0.055
0.055
0.05
0.05
Wartosci greckich wskaznikow
Wartosci greckich wskaznikow
350
0.045
0.04
0.035
0.03
0.025
350
400
Liczba skokow n
450
500
350
400
Liczba skokow n
450
500
0.045
0.04
0.035
0.03
0.025
0.02
0.02
350
400
Liczba skokow n
450
500
Rysunek 4.21: Waniliowa europejska opcja sprzedaży z dywidendą ciągłą z przykładu 4.45. Na
górze po lewej metoda dwumianowa, po prawej Cranka-Nicolsona. Na dole po lewej metoda
ukryta, po prawej jawna. Metody odpowiednio: •z siatki, •z definicji, •BS.
.
4.2.2
Gamma
Pierwszy przykład (na rysunku 4.21 i 4.22) dla wskaźnika gamma porównuje, który sposób
jego wyznaczania - z definicji, czy siatki lub drzewka - jest bardziej precyzyjny.
Przykład 4.45 Waniliowa opcja sprzedaży, europejska, na instrument wypłacający dywidendę ciągłą d = 5%. Pozostałe parametry: K = 100, S0 = 103, r = 12%, Th = 48 dni,
Tr = 49 dni, σ = 15%, m = 300.
Podobnie jak delta, także wskaźnik Γ obliczony za pomocą definicji jest mniej dokładny.
W tym przypadku można powiedzieć, że nie jest zbieżny. Jest to związane z tym, że do
obliczeń gammy stosujemy wartości delty obliczone z definicji. Ponieważ delta obliczona
z definicji jest mniej dokładna, to gdy wykorzystujemy ją do obliczeń Γ błędy kumulują
się i ostateczny wynik znacząco odbiega od rzeczywistości! Można w takim przypadku
zmieniać wielkość przyrostu argumentu przy symulacjach z definicji. Jednak i w takim
przypadku Γ z siatki jest zdecydowanie dokładniejsza (rysunek 4.22). Z tego powodu dla
Γ symulacje przeprowadzać należy jedynie z siatki lub drzewka dwumianowego. Kolejny
przykład (4.46) pokazuje dokładność zbieżności gammy dla opcji binarnej.
ROZDZIAŁ 4. WYCENA OPCJI W PRAKTYCE
58
0.054
0.053
Wartosci greckich wskaznikow
Wartosci greckich wskaznikow
0.054
0.052
0.05
0.048
0.046
0.044
0.052
0.051
0.05
0.049
0.048
0.047
0.046
0.045
350
400
Liczba skokow n
450
500
350
400
Liczba skokow n
450
500
350
400
Liczba skokow n
450
500
−3
x 10
−2
−3
Wartosci greckich wskaznikow
Wartosci greckich wskaznikow
0.0143
−4
−5
−6
−7
0.0142
0.0141
0.014
0.0139
0.0138
0.0137
0.0136
0.0135
0.0134
0.0133
350
400
Liczba skokow n
450
500
Rysunek 4.22: Na górze waniliowa, europejska opcja sprzedaży z dywidendą ciągłą z przykładu
4.45. Po lewej dwumianowa, po prawej CN. Odpowiednio: •z siatki, •z definicji, •BS. Na dole
po lewej binarna, europejska opcja kupna z dywidendą ciągłą z przykładu 4.46, po prawej
waniliowa, europejska opcja kupna ze stałą dywidendą z przykładu 4.47. Odpowiednio: •ukryta,
•jawna, •CN, •dwumianowa, •BS.
.
Przykład 4.46 Binarna opcja kupna, europejska, na instrument wypłacający dywidendę
ciągłą d = 6%. Pozostałe parametry: K = 46, S0 = 46, X = 1, r = 10%, Th = 45 dni,
Tr = 45 dni, σ = 19%, m = 300.
W tym przypadku widać (rysunek 4.22), że metoda dwumianowa jest bardzo nieregularna, jej wahania są znaczne. Dla nieparzystych wartości parametru n daje jednak bardzo dokładne wyniki. Dla gammy obliczonej za pomocą metod różnicowych w przypadku
opcji binarnych nie osiąga się tak zadowalających rezultatów, np. dla wartości parametrów podziału siatki równych 1500 różnica względna między metodą Cranka-Nicolsona i
Blacka-Scholesa wynosi aż 13.928%.
Przykład 4.47 Waniliowa opcja kupna, europejska, na instrument wypłacający dywidendę stałą D = 8 za τ = 50 dni. Pozostałe parametry: K = 74, S0 = 73, r = 10%,
Th = 88 dni, Tr = 88 dni, σ = 12%, m = 300.
4.2. GRECKIE WSKAŹNIKI
59
0.065
Wartosci greckich wskaznikow
Wartosci greckich wskaznikow
0.0654
0.0652
0.065
0.0648
0.0646
0.0644
0.065
0.0649
0.0649
0.0648
0.0648
0.0642
350
400
Liczba skokow n
450
500
350
400
Liczba skokow n
450
500
Rysunek 4.23: Waniliowa, amerykańska opcja sprzedaży po lewej z przykładu 4.48, po prawej z
przykładu 4.49. Metody odpowiednio: •ukryta, •jawna, •CN, •dwumianowa, •BS.
.
W przykładzie 4.47 do którego ilustracja znajduje się na rysunku 4.22 mamy opcję na
instrument z dywidendą stałą. Metody różnicowe dają bardzo zbliżone wyniki, natomiast
metoda dwumianowa nieco odstaje, ale kiedy weźmiemy pod uwagę różnice bezwzględne
to są one niewielkie. W przykładzie tym różnica między metodą dwumianową i ukrytą dla
n i m równych 1500 wynosi około 0.005. W przykładach 4.48 i 4.49 gamma wyznaczana
jest dla opcji amerykańskiej, patrz rys. 4.23.
Przykład 4.48 Waniliowa opcja sprzedaży, amerykańska, na instrument nie wypłacający dywidendy. Pozostałe parametry: K = 96, S0 = 98, r = 10%, Th = 93 dni,
Tr = 93 dni, σ = 12%, m = 300.
Przykład 4.49 Waniliowa opcja sprzedaży, amerykańska, na instrument nie wypłacający dywidendy. Pozostałe parametry: K = 96, S0 = 98, r = 10%, Th = 93 dni,
Tr = 99 dni, σ = 12%, m = 300.
W obu przypadkach każda z metod daje podobne wyniki. W przykładzie 4.49 różnica
między Th i Tr wynosi aż 5 dni, ale nie wpływa to znacząco na zmianę zachowania się
zbieżności Γ. Metoda dwumianowa pozostaje nieregularna, natomiast metody różnicowe
zbiegają monotonicznie.
4.2.3
Theta
Podobnie jak dla wskaźników ∆ i Γ, także wskaźnik Θ może być obliczony zarówno z
definicji, jak i z siatki lub drzewka. Przykład 4.50, zilustrowany na rysunku 4.24, pozwoli
porównać, czy i w tym przypadku zbieżność z definicji jest wolniejsza.
Przykład 4.50 Waniliowa opcja kupna, europejska, na instrument nie wypłacający dywidendy. Pozostałe parametry: K = 201, S0 = 199, r = 6%, Th = 31 dni, Tr = 31 dni,
σ = 30%, m = 300.
ROZDZIAŁ 4. WYCENA OPCJI W PRAKTYCE
60
−40
−41
Wartosci greckich wskaznikow
Wartosci greckich wskaznikow
−41
−42
−43
−44
−45
−42
−43
−44
−45
−46
−46
−47
350
400
Liczba skokow n
450
500
350
400
Liczba skokow n
450
500
450
500
9.96
−1.15
Wartosci greckich wskaznikow
Wartosci greckich wskaznikow
9.94
−1.2
−1.25
−1.3
−1.35
9.92
9.9
9.88
9.86
9.84
9.82
9.8
9.78
9.76
−1.4
350
400
450
500
350
Liczba skokow n
400
Liczba skokow n
Rysunek 4.24: Na górze waniliowa, europejska opcja sprzedaży z przykładu 4.50. Po lewej metoda dwumianowa, po prawej CN. Odpowiednio: •z siatki, •z definicji, •BS. Na dole po lewej
binarna, europejska opcja sprzedaży z przykładu 4.51, po prawej waniliowa, amerykańska opcja
sprzedaży z dywidendą stałą z przykładu 4.52. Metody odpowiednio: •ukryta, •jawna, •CN,
•dwumianowa, •BS.
.
Ponieważ dla metody dwumianowej oraz Cranka-Nicolsona widać, że Θ dużo szybciej
zbiega z siatki i drzewka, wykresy dla metod jawnej i ukrytej nie zostały zamieszczone.
Efekty są jednak dokładnie takie same. Dla każdej metody greckie wskaźniki ∆, Γ i Θ
zdecydowanie szybciej zbiegają, gdy są obliczane z siatki lub drzewka niż z definicji.
Dodatkowo czas trwania symulacji dla definicji jest dłuższy. Dlatego w kolejnych przykładach stosowana jest tylko metoda z siatki i drzewka dwumianowego. W przykładzie
4.51 (na rysunku 4.24) badana jest zbieżność dla opcji binarnej.
Przykład 4.51 Binarna opcja sprzedaży, europejska, na instrument nie wypłacający dywidendy. Pozostałe parametry: K = 150, X = 2, S0 = 148, r = 14%, Th = 70 dni,
Tr = 70 dni, σ = 15%, m = 300.
W tym przypadku, niestety wartość Θ zbiega bardzo powoli. Metoda dwumianowa jest
niemonotoniczna, i ma bardzo duże wahania. Np. dla n = 1499 różnica względna między metodą Blacka-Scholesa i metodą dwumianową wynosi jedynie 0.456%, ale już dla
4.2. GRECKIE WSKAŹNIKI
61
n = 1500 równa jest 4.225%. Metody różnicowe dają zadowalające rezultaty dla dużych
parametrów n i m, gdy są one równe np. 1500 to różnica względna między metodą CrankaNicolsona i Blacka-Scholesa wynosi 1.348%. Przykład 4.52, zilustrowany na rysunku 4.24,
przedstawia zbieżność Θ dla opcji amerykańskiej.
Przykład 4.52 Waniliowa opcja sprzedaży, amerykańska, na instrument wypłacający
dywidendę w wysokości D = 10 za τ = 10 dni. Pozostałe parametry: K = 65, S0 = 61,
r = 14%, Th = 20 dni, Tr = 22 dni, σ = 30%, m = 300.
Dla opcji amerykańskiej, dodatkowo na instrument wypłacający dywidendę o stałej wysokości, różnice (szczególnie bezwzględne) w wyznaczaniu wartości Θ w różnych metodach
są znaczne dla stosunkowo niewielkich parametrów podziału, ale gdy są one odpowiednio
duże różnice względne nie przekraczają 1%, co jest bardzo dobrym wynikiem.
Przykład 4.53 Waniliowa opcja sprzedaży, amerykańska, na instrument nie wypłacający dywidendy. Pozostałe parametry: K = 65, S0 = 61, r = 14%, Th = 20 dni,
Tr = 22 dni, σ = 30%, m = 300.
W przykładzie 4.53 wyniki zbieżności wskaźnika Θ są jeszcze dokładniejsze niż w przykładzie 4.52, co widać na rysunku 4.25. Wpływa na to brak wypłaty dywidendy przez
instrument podstawowy. W tym przypadku metoda dwumianowa zbiega podobnie jak
wcześniej niemonotonicznie w przeciwieństwie do pozostałych metod. Dla n = 1500 i
m = 1500 różnica względna między metodami Cranka-Nicolsona i Blacka-Scholesa wynosi zaledwie 0.0296%, co pokazuje jak duży wpływ na dokładność wyznaczenia tego
greckiego wskaźnika ma wypłata dywidendy.
Przykład 4.54 Binarna opcja kupna, amerykańska, na instrument wypłacający dywidendę D = 10 za τ = 30 dni. Pozostałe parametry: K = 65, S0 = 61, X = 1, r = 14%,
Th = 50 dni, Tr = 52 dni, σ = 15%, m = 300.
Wykres do przykładu 4.54 znajduje się na rysunku 4.25. Na podstawie tego przykładu
widać, że Θ dla binarnej opcji z wykonaniem typu amerykańskiego, na instrument wypłacający dywidendę procentową (dla dywidendy stałej jest podobnie) zbiega powoli i
różnice w wyznaczonej wartości za pomocą różnych metod są duże. W przykładach 4.55
i 4.56 wskaźnik theta wyznaczany jest dla bardzo podobnych opcji, ale w drugim przypadku zmienność cen instrumentu podstawowego jest cztery razy większa.
Przykład 4.55 Waniliowa opcja kupna, europejska, na instrument wypłacający dywidendę δ = 10% za τ = 80 dni. Pozostałe parametry: K = 12, S0 = 12, r = 6%,
Th = 365 dni, Tr = 365 dni, σ = 10%, m = 300.
Przykład 4.56 Waniliowa opcja kupna, europejska, na instrument wypłacający dywidendę δ = 10% za τ = 80 dni. Pozostałe parametry: K = 12, S0 = 12, r = 6%,
Th = 365 dni, Tr = 365 dni, σ = 40%, m = 300.
Dla małej zmienności cen σ = 10% wyznaczona wartość Θ za pomocą metod różnicowych
i dwumianowej jest bardzo podobnej wysokości, kiedy jednak następuje wzrost zmienności
zwiększa się różnica wartości wskaźnika dla różnych metod - rysunek 4.25. Widać stąd,
że ten czynnik ma istotny wpływ na ocenę wrażliwości opcji. Dla mniejszych wartości
parametru σ oszacowania są znacznie dokładniejsze.
ROZDZIAŁ 4. WYCENA OPCJI W PRAKTYCE
62
5.82
Wartosci greckich wskaznikow
Wartosci greckich wskaznikow
5.83
5.81
5.8
5.79
5.78
2.75
2.7
2.65
2.6
5.77
2.55
350
400
450
500
350
400
Liczba skokow n
350
400
Liczba skokow n
Liczba skokow n
450
500
0.4069
1.15
Wartosci greckich wskaznikow
Wartosci greckich wskaznikow
0.4068
0.4067
0.4066
0.4065
0.4064
0.4063
0.4062
1.145
1.14
1.135
1.13
1.125
1.12
0.4061
1.115
0.406
350
400
Liczba skokow n
450
500
450
500
Rysunek 4.25: Na górze po lewej waniliowa, amerykańska opcja sprzedaży z przykładu 4.53,
po prawej binarna, amerykańska opcja kupna ze stałą dywidendą z przykładu 4.54. Na dole
waniliowa, europejska opcja kupna na instrument wypłacający dywidendę procentową. Po
lewej z przykładu 4.55, po prawej z przykładu 4.56. Odpowiednio: •ukryta, •jawna, •CN,
•dwumianowa.
.
4.2.4
Vega
Wskaźnik vega (V ), w przeciwieństwie do trzech wcześniej opisanych greckich wskaźników, nie może zostać wyznaczony z siatki cen czy drzewka dwumianowego. Aby go
obliczyć należy zastosować definicję. W przykładzie 4.57 pokazana została jego zbieżność
w przypadku opcji europejskiej nie wypłacającej dywidendy.
Przykład 4.57 Waniliowa opcja kupna, europejska, na instrument nie wypłacający dywidendy. Pozostałe parametry: K = 5, S0 = 5, r = 7%, Th = 50 dni, Tr = 50 dni,
σ = 20%, m = 300.
Wykres do przykładu (rysunek 4.26) pokazuje, że dla opcji europejskiej, waniliowej i na
instrument nie wypłacający dywidendy wskaźnik V zbiega szybko nawet z definicji. W
przypadku jednak opcji binarnej (pozostałe parametry opcji bez zmian, w porównaniu
do poprzedniego przykładu) z przykładu 4.58 na rysunku 4.26 widać, że zbieżność ta jest
już znacznie słabsza. Szczególnie metoda dwumianowa jest bardzo nieregularna.
4.2. GRECKIE WSKAŹNIKI
63
4
3
Wartosci greckich wskaznikow
Wartosci greckich wskaznikow
0.73
0.7295
0.729
2
1
0
−1
0.7285
−2
0.728
−3
−4
360
380
400
420
440
Liczba skokow n
460
480
500
360
380
400
420
440
Liczba skokow n
460
480
0.0125
Wartosci greckich wskaznikow
Wartosci greckich wskaznikow
−0.02
−0.022
−0.024
−0.026
−0.028
−0.03
0.012
0.0115
0.011
0.0105
0.01
−0.032
360
380
400
420
440
460
480
500
360
Liczba skokow n
380
400
420
440
Liczba skokow n
460
480
500
Rysunek 4.26: Na górze po lewej waniliowa, europejska opcja kupna z przykładu 4.57, po prawej
(i na dole po lewej w powiększeniu) binarna, europejska opcja kupna z przykładu 4.58. Na dole
po prawej waniliowa, europejska opcja kupna na instrument wypłacający dywidendę stałą, z
przykładu 4.59. Odpowiednio: •ukryta, •jawna, •CN, •dwumianowa, •BS.
.
Przykład 4.58 Binarna opcja kupna, europejska, na instrument nie wypłacający dywidendy. Pozostałe parametry: K = 5, S0 = 5, X = 0.1, r = 7%, Th = 50 dni, Tr = 50 dni,
σ = 20%, m = 300.
Powiększenie wykresu z tego przykładu dowodzi dokładność wyznaczenia wskaźnika za
pomocą metod różnicowych, które dają bardzo zbliżone wyniki. W dwóch poprzednich
przykładach opcja wystawiona była na instrument nie wypłacający dywidendy, w przykładzie 4.59, na rysunku 4.26, instrument wypłaca dywidendę stałą.
Przykład 4.59 Waniliowa opcja kupna, europejska, na instrument wypłacający dywidendę stałą w wysokości D = 1 za τ = 40 dni. Pozostałe parametry: K = 5, S0 = 5,
r = 7%, Th = 50 dni, Tr = 50 dni, σ = 20%, m = 300.
Dla takiej opcji metoda dwumianowa także zbiega bardzo nieregularnie, ale daje podobne
wyniki jak pozostałe metody. Zupełnie inaczej jest w przypadku opcji z przykładu 4.60,
patrz rys. 4.27.
ROZDZIAŁ 4. WYCENA OPCJI W PRAKTYCE
64
0.285
0.28
Wartosci greckich wskaznikow
Wartosci greckich wskaznikow
0.522
0.5215
0.521
0.5205
0.52
0.275
0.27
0.265
0.26
0.255
0.25
0.245
0.5195
360
380
400
420
440
Liczba skokow n
460
480
0.24
500
360
380
400
420
440
Liczba skokow n
460
480
500
360
380
400
420
440
Liczba skokow n
460
480
500
1.493
0.175
Wartosci greckich wskaznikow
Wartosci greckich wskaznikow
1.492
1.491
1.49
1.489
1.488
1.487
1.486
1.485
0.17
0.165
0.16
0.155
0.15
1.484
360
380
400
420
440
Liczba skokow n
460
480
500
Rysunek 4.27: Na górze po lewej waniliowa, amerykańska opcja kupna z dywidendą stałą z
przykładu 4.60. Na górze po prawej (z przykładu 4.61) i na dole (po lewej z przykładu 4.62,
po prawej 4.63) waniliowa, europejska opcja kupna z dywidendą ciągłą. Metody odpowiednio:
•ukryta, •jawna, •CN, •dwumianowa, •BS.
.
Przykład 4.60 Waniliowa opcja kupna, amerykańska, na instrument wypłacający dywidendę stałą w wysokości D = 1 za τ = 40 dni. Pozostałe parametry: K = 5, S0 = 5,
r = 7%, Th = 50 dni, Tr = 50 dni, σ = 20%, m = 300.
Dla opcji amerykańskiej z powyższego przykładu metoda dwumianowa jak zawsze zbiega
nieregularnie, ale dodatkowo także każda z metod różnicowych zachowuje się w identyczny
sposób. Taka sytuacja prowadzi do pogorszenia zbieżności, znacznie ją spowalnia, chociaż
w przykładzie tym rozrzut wartości wskaźnika V nie jest duży. Przy n = 500 i m = 300
różnice są rzędu 0.002. W przykładach 4.61 i 4.62 pokazane jest porównanie zbieżności
V dla opcji, w których cena wykonania jest taka sama jak bieżąca cena instrumentu
podstawowego i gdy jest między nimi różnica.
Przykład 4.61 Waniliowa opcja kupna, europejska, na instrument wypłacający dywidendę ciągłą d = 5%. Pozostałe parametry: K = 16, S0 = 18, r = 8%, Th = 20 dni,
Tr = 26 dni, σ = 27%, m = 300.
4.2. GRECKIE WSKAŹNIKI
65
Przykład 4.62 Waniliowa opcja kupna, europejska, na instrument wypłacający dywidendę ciągłą d = 5%. Pozostałe parametry: K = 16, S0 = 16, r = 8%, Th = 20 dni,
Tr = 26 dni, σ = 27%, m = 300.
Ilustracje do dwóch powyższych przykładów znajdują się na rysunku 4.27. Różnica zbieżności jest bardzo wyraźna. W drugim przypadku kiedy K = S0 zbieżność jest lepsza,
metoda dwumianowa jest bardziej regularna. W przypadku metody Cranka-Nicolsona
dla n = m = 1500 różnica z metodą Blacka-Scholesa wynosi 0.979 dla przykładu 4.61 i
0.0782 dla przykładu 4.62, a więc także dla K = S0 zbieżność jest lepsza. Przykład 4.63
na rysunku 4.27 jest taki jak dwa poprzednie, tylko tym razem bieżąca cena instrumentu
podstawowego jest niższa od ceny wykonania.
Przykład 4.63 Waniliowa opcja kupna, europejska, na instrument wypłacający dywidendę ciągłą d = 5%. Pozostałe parametry: K = 16, S0 = 14, r = 8%, Th = 20 dni,
Tr = 26 dni, σ = 27%, m = 300.
Okazuje się, że tak samo jak w przykładzie 4.61 zbieżność jest wolniejsza. Wynika z tego,
że grecki wskaźnik V jest szybciej zbieżny w przypadku opcji, których cena wykonania
równa jest bieżącej cenie instrumentu podstawowego.
4.2.5
Rho
Grecki wskaźnik rho (ρ), podobnie jak V nie może być obliczony z siatki, ani drzewka.
Pozostaje w takim przypadku jedynie uzyskać jego wartość stosując definicję.
Przykład 4.64 Waniliowa opcja sprzedaży, europejska, na instrument nie wypłacający
dywidendy. Pozostałe parametry: K = 325, S0 = 320, r = 14%, Th = 157 dni, Tr =
157 dni, σ = 15%, m = 300.
W przypadku opcji waniliowej, nie wypłacającej dywidendy, jak w przykładzie 4.64 (na
rysunku 4.28), zbieżność ρ jest szybka dla każdej metody. Różnice względne między metodą Cranka-Nicolsona i Blacka-Scholesa przy użytych wartościach parametrów podziału
siatki wynoszą około 0.05%. Przypadek opcji amerykańskiej zaprezentowany został w
przykładzie 4.65, na rysunku 4.28.
Przykład 4.65 Waniliowa opcja sprzedaży, amerykańska, na instrument nie wypłacający dywidendy. Pozostałe parametry: K = 325, S0 = 320, r = 14%, Th = 157 dni,
Tr = 157 dni, σ = 15%, m = 300.
Dla opcji amerykańskiej z powyższego przykładu zbieżność jest wolniejsza niż dla identycznej opcji z wykonaniem typu europejskiego z przykładu 4.64. Różnica względna wartości ρ wyznaczonej za pomocą metody dwumianowej i Cranka-Nicolsona wynosi blisko
1.9%, dla takich samych parametrów n i m, co w przykładzie 4.64. Dwa kolejne przykłady pokazują zachowanie się rho dla opcji na instrument wypłacający dywidendę w
określonym dniu trwania opcji.
Przykład 4.66 Waniliowa opcja sprzedaży, europejska, na instrument wypłacający dywidendę procentową δ = 8% za τ = 80 dni. Pozostałe parametry: K = 14, S0 = 13,
r = 10%, Th = 112 dni, Tr = 112 dni, σ = 18%, m = 300.
ROZDZIAŁ 4. WYCENA OPCJI W PRAKTYCE
66
−26.2
Wartosci greckich wskaznikow
Wartosci greckich wskaznikow
−45.04
−45.05
−45.06
−45.07
−45.08
−45.09
−26.6
−26.8
−27
−27.2
−27.4
−45.1
−27.6
420
440
460
Liczba skokow n
480
500
420
440
460
Liczba skokow n
480
500
440
460
Liczba skokow n
480
500
−3.957
−3.7745
−3.775
−3.958
Wartosci greckich wskaznikow
Wartosci greckich wskaznikow
−26.4
−3.7755
−3.776
−3.7765
−3.777
−3.7775
−3.778
−3.7785
−3.959
−3.96
−3.961
−3.962
−3.963
−3.964
−3.779
−3.7795
−3.965
420
440
460
Liczba skokow n
480
500
420
Rysunek 4.28: Na górze po lewej waniliowa, europejska opcja sprzedaży z przykładu 4.64, po
prawej waniliowa, amerykańska opcja sprzedaży z przykładu 4.65. Na dole waniliowa, europejska
opcja sprzedaży na instrument wypłacający dywidendę. Po lewej procentową z przykładu 4.66,
po prawej stałą z przykładu 4.67. Metody odpowiednio: •ukryta, •jawna, •CN, •dwumianowa,
•BS.
.
Przykład 4.67 Waniliowa opcja sprzedaży, europejska, na instrument wypłacający dywidendę stałą w wysokości D = 1.04 za τ = 80 dni. Pozostałe parametry: K = 14,
S0 = 13, r = 10%, Th = 112 dni, Tr = 112 dni, σ = 18%, m = 300.
W przykładzie 4.66 dywidenda jest procentowa, natomiast w przykładzie 4.67 stała. Wykresy w obu przypadkach znajdują się na rysunku 4.28. Zbieżność ρ nie różni się znacząco
dla opcji na instrument wypłacający dywidendę w określonym dniu i określonej wysokości, tylko metoda dwumianowa w pierwszym przypadku jest bardziej regularna. W
przykładzie 4.68, do którego ilustracja znajduje się na rysunku na rysunku 4.29, wskaźnik obliczany jest dla opcji binarnej.
Przykład 4.68 Binarna opcja sprzedaży, z wykonaniem typu europejskiego, na instrument nie wypłacający dywidendy. Pozostałe parametry: K = 100, S0 = 101, X = 1,
r = 6.5%, Th = 79 dni, Tr = 80 dni, σ = 20%, m = 300.
4.2. GRECKIE WSKAŹNIKI
67
−0.1
−0.2
Wartosci greckich wskaznikow
Wartosci greckich wskaznikow
−0.985
−0.99
−0.995
−1
−1.005
−0.3
−0.4
−0.5
−0.6
−0.7
−0.8
−0.9
−1.01
−1
420
440
460
Liczba skokow n
480
500
420
440
460
Liczba skokow n
480
500
Rysunek 4.29: Binarna, europejska opcja sprzedaży z przykładu 4.68. Po lewej zastosowana została metoda dwumianowa, po prawej metoda dwumianowa( 12 ). Metody odpowiednio: •ukryta,
•jawna, •CN, •dwumianowa, •BS.
.
Dla opcji binarnej bardzo nieregularna jest zbieżność ρ dla metody dwumianowej.
Bardzo dobrze obrazuje to porównanie różnic między metodą dwumianową i BlackaScholesa dla n = 1499 i n = 1500. W pierwszym przypadku różnica ta wynosi 1.2%,
podczas gdy w drugim już tylko 0.45%. Nie świadczy to jednak o lepszej zbieżności dla
parzystej liczby kroków n (patrz przykład 4.58 - dla wskaźnika V ). Dla różnych opcji
zbieżność ta może mieć inny charakter. W przypadku metod różnicowych aby uzyskać
dobre wyniki konieczne jest użycie dużych wartości dla parametrów n i m. Kiedy są one
równe 1500 różnica względna pomiędzy wartościami rho w metodzie Cranka-Nicolsona i
Blacka-Scholesa dla powyższego przykładu wynosi zaledwie 0.84%. Na rysunku 4.29, na
górze po prawej, znajduje się wykres pokazujący zbieżność ρ dla opcji z przykładu 4.68,
tylko zamiast metody dwumianowej użyta została metoda dwumianowa( 12 ). Dla metody
dwumianowej ze stałym prawdopodobieństwem przejścia na drzewku wyniki zbieżności
wskaźnika ρ dla opcji binarnej są fatalne.
4.2.6
Podsumowanie
Wszystkie przykłady dotyczące greckich wskaźników pokazują, że także ocena wrażliwości
wycenianej opcji jest możliwa. Dla niektórych typów opcji, bądź na bardziej skomplikowane instrumenty podstawowe, ocena ta jest mniej dokładna, tzn. greckie wskaźniki zbiegają wolniej. Wskaźniki ∆, Γ oraz Θ należy obliczać wprost z siatki cen opcji, ponieważ
kiedy użyjemy definicji by znaleźć ich wartość, dokładność jest znacznie mniejsza. Dla
pozostałych wskaźników V i ρ, nie ma możliwości wyznaczenia ich wysokości z siatki lub
drzewka dwumianowego i w tej sytuacji pozostaje znaleźć ich wartość jedynie z definicji.
Do wyznaczania wskaźników Θ i Γ należy używać metod różnicowych lub dwumianowej. W tych przypadkach metoda dwumianowa( 21 ) jest bardzo niedokładna, podobnie
jak dla pozostałych wskaźników dla opcji binarnej (patrz przykład 4.68). Podobnie jak
przy wycenie opcji, także przy ocenie jej wrażliwości metody jawna, ukryta i CrankaNicolsona zawsze dają bardzo zbliżone wyniki. Wartość wskaźnika uzyskana metodą
68
ROZDZIAŁ 4. WYCENA OPCJI W PRAKTYCE
Cranka-Nicolsona jest zawsze pomiędzy wartościami uzyskanymi za pomocą pozostałych
dwóch metod różnicowych, oczywiście w przypadku kiedy metoda jawna jest zbieżna
(przykład 4.59). Jeżeli metoda jawna jest rozbieżna w przypadku wyceny opcji, to także
przy wyznaczaniu wartości wskaźników jest rozbieżna. Zbieżność metod różnicowych jest
monotoniczna, inaczej niż metody dwumianowej, czy dwumianowej( 21 ), które zawsze zbiegają nieregularnie.
Dla wskaźników Γ i V zbieżność metody dwumianowej jest inna niż w pozostałych
przypadkach. Dla niektórych wartości parametrów n ich wartości są bardzo bliskie rzeczywistości, w innych znacznie od niej odbiegają, patrz przykład 4.58. Dlatego do obliczania
wartości tych wskaźników należy używać metod różnicowych lub jeśli to możliwe metody
Blacka-Scholesa.
Ocena wrażliwości opcji z wykonaniem typu amerykańskiego jest nieco trudniejsza,
niż dla opcji z wykonaniem europejskim (patrz przykład 4.65). W pierwszym przypadku
wymagane są znacznie większe wartości parametrów podziału siatki i drzewka (n i m).
Podobnie jest dla opcji na instrument wypłacający dywidendę w ex-dividend date.
Rozdział 5
Zakończenie
W pracy opisanych zostało pięć metod numerycznych, za pomocą których można wyceniać opcje na różne instrumenty podstawowe, np. akcje, walutę czy kontrakty futures.
Każdą z tych metod można również wykorzystać do badania wrażliwości wycenianych
opcji. Wielką zaletą metod różnicowych (ukrytej, jawnej i Cranka-Nicolsona) oraz metody dwumianowej jest możliwość wyceny i oceny wrażliwości opcji amerykańskich oraz
opcji na instrument podstawowy wypłacający dywidendę (np. dywidenda przysługująca
posiadaczowi akcji) podczas ważności opcji w jednym, wcześniej ustalonym terminie.
Wykorzystane w pracy przedstawienie metody Cranka-Nicolsona opracowane zostało
na podstawie Options, futures and other derivatives J. Hulla [6]. Znajduje się tam jednak
niepoprawne wyprowadzenie metody. Prowadzi ono do błędnego algorytmu. Błąd Hulla
polega na tym, że w momencie porównywania metody jawnej i ukrytej przyrównuje on
wartości opcji nie zwracając uwagi na czas w którym opcja osiąga określoną wartość.
Zatem zamiast równania postaci:
fi,j + ai fi−1,j + bi fi,j + ci fi+1,j = fi,j+1 + a∗i fi−1,j+1 + b∗i fi,j+1 + c∗i fi+1,j+1 ,
otrzymuje równanie postaci:
fi,j+1 + fi,j = ai fi−1,j + bi fi,j + ci fi+1,j + a∗i fi−1,j+1 + b∗i fi,j+1 + c∗i fi+1,j+1 ,
czego konsekwencją jest zły algorytm metody Cranka-Nicolsona. Prowadzi on do fałszywych wyników, w efekcie otrzymane ceny nie są zbieżne do cen uzyskiwanych za pomocą
wzorów typu Blacka-Scholesa.
Dla wszystkich przedstawionych metod różnicowych wycenę opcji dla instrumentów
wypłacających dywidendę procentową lub stałą opracowałem w oparciu o wyprowadzenie
wyceny opcji na takie instrumenty dla metody dwumianowej [6].
Metody opisane w pracy zostały zilustrowane przy pomocy 68 przykładów. Pozwala
to na dokładne prześledzenie ich zalet i wad. Pokazują one możliwość wyceny opcji z wykonaniem typu amerykańskiego i na instrumenty wypłacające dywidendę. Jednocześnie
widać, że aby dokładność wyceny tych opcji była zadowalająca, to bardzo istotnym jest
stosowanie w symulacjach odpowiednio dużych wartości parametrów podziału siatki lub
drzewka dwumianowego. Najlepiej by wartości n i m były większe od 1000. Podobne problemy napotkać można przy wycenie opcji binarnych. Także w tym przypadku jedynym
rozwiązaniem jest użycie odpowiednio dużych podziałów siatki cen opcji lub drzewka cen
opcji dla metod dwumianowych.
69
70
ROZDZIAŁ 5. ZAKOŃCZENIE
Kłopoty z wyceną wyżej przytoczonych opcji przekładają się oczywiście także na
ocenę ich wrażliwości. Wyjście z tej sytuacji jest dokładnie takie samo. Przy obliczaniu
greckich wskaźników nie należy stosować jednak metody dwumianowej ze stałym prawdopodobieństwem przejścia p = 21 , ponieważ bardzo często wyniki otrzymane za jej pomocą
nie są zbieżne, natomiast w przypadku kiedy są zbieżne, to wyniki są bardzo zbliżone do
uzyskanych za pomocą metody dwumianowej.
Opisane w pracy metody numeryczne, wraz z załączonym na płycie CD narzędziem
Numerical Option Pricer, pozwalają w praktyce wyceniać opcje. Dodatkowo Toolbox
NOP w Matlabie pozwala badać zbieżność cen opcji oraz greckich wskaźników. Dokładny
opis zawartości płyty CD znajduje się w dodatkach A i B.
Dodatek A
Numerical Option Pricer (NOP)
Do pracy dołączona jest płyta CD, na której znajduje się narzędzie Numerical Option
Pricer (NOP). NOP został napisany w środowisku Java. Aby go uruchomić niezbędne
jest zainstalowanie na komputerze programu Java w wersji 1.3.0 02 lub wyższej. Samo
uruchomienie polega na podwójnym kliknięciu na plik NOP.jar. Rysunek A.1 przedstawia
widok po uruchomieniu aplikacji.
Rysunek A.1: NOP bezpośrednio po uruchomieniu.
.
71
72
DODATEK A. NUMERICAL OPTION PRICER (NOP)
Rysunek A.2: NOP - po lewej wybór metody do porównania, po prawej obliczenia.
.
NOP umożliwia obliczenie wartości dowolnej opcji opisanej w pracy za pomocą metod
numerycznych: Blacka-Scholesa, dwumianowej, dwumianowej( 21 ), schematu różnicowego
jawnego, schematu różnicowego ukrytego oraz Cranka-Nicolsona. Za pomocą NOP można
także obliczyć greckie wskaźniki dla opcji, a więc zbadać jej wrażliwość.
Dane parametryzujące opcję wpisywane są w aktywnych polach tekstowych. Liczba
pól ulega zmianie zależnie od wybranej metody lub rodzaju opcji. Dla liczb w postaci
ułamka dziesiętnego stosuje się zapis z kropką np. 10.43. Po prawej stronie wybieramy czy
opcja ma być typu amerykańskiego, czy europejskiego, waniliowa, czy binarna, w końcu
kupna, czy sprzedaży. Jeśli instrument podstawowy na jaki opcja jest wystawiona wypłaca
dywidendę, to wybieramy w jaki sposób dywidenda jest płatna: ciągły, procentowa w określonym dniu albo stała w określonym dniu. Jeżeli instrument podstawowy nie wypłaca
dywidendy w polu tekstowym przy parametrze d należy wpisać 0. Nie ma wówczas znaczenia jaka dywidenda została wybrana. Dla metody dwumianowej mamy dwa sposoby
konstrukcji drzewka dwumianowego. Dla stałego prawdopodobieństwa przejścia p = 12
wybrać należy Const=0.5 w polu PROBABILITY (jest to metoda dwumianowa( 21 )), dla
opcji Different mamy zwykłą metodę dwumianową.
W górnej części aplikacji wybieramy metodę, którą opcja będzie obliczana. Istnieje
także możliwość porównania dwóch dowolnych metod. W takim przypadku w polu Compare with należy ustawić metodę, z którą porównywane będą obliczenia wykonane dla
metody podstawowej. Poza ceną opcji dla obu metod pojawią się również dwa pola porównujące różnice względne1 (w procentach) i bezwzględne między wybranymi metodami.
Ilustruje to rysunek A.2.
W dolnej części programu znajdują się przyciski funkcyjne. Przycisk Start uruchamia
1
Zawsze różnica cen uzyskana za pomocą porównywanych metod jest dzielona przez wartość opcji
uzyskanej za pomocą metody z pola Compare with.
73
Rysunek A.3: NOP - na górze drzewko cen akcji, na dole greckie wskaźniki.
.
program, efektem jest obliczenie ceny opcji dla wybranej metody lub dwóch metod oraz
wyświetlenie pól porównań błędów. Przycisk Tree (lub Grid dla schematów różnicowych i
metody Cranka-Nicolsona, dla metody Blacka-Scholesa opcja ta jest niedostępna) wyświetla dodatkowe okno z drzewkiem dwumianowym dla wybranej opcji. Istnieje możliwość
podglądu rozłożenia cen instrumentu podstawowego na drzewku - przycisk StockTree
(lub StockGrid jeżeli wcześniej wybrany został przycisk Grid ). Pomarańczowym kolorem wyróżnione są momenty optymalnego wykonania opcji typu amerykańskiego. Efekty
działania tego przycisku ilustruje rysunek A.3. Przycisk Greeks powoduje otwarcie dodatkowego okna z obliczonymi wartościami greckich wskaźników dla wybranej opcji. Jeżeli
została wybrana metoda porównawcza (w polu Compare with), wówczas także greckie
wskaźniki obliczone za pomocą obu metod zostaną porównane, patrz rys. A.3. Przycisk
Help otwiera okno pomocy, w którym dokładnie zostały opisane wszystkie pola i elementy wyboru w programie NOP. Pomoc dostępna jest w języku polskim i angielskim.
Przycisk About zawiera informacje o autorze programu, natomiast przycisk Exit służy do
zakończenia pracy z NOP.
74
DODATEK A. NUMERICAL OPTION PRICER (NOP)
Dodatek B
Toolbox NOP w Matlabie
Na załączonej do pracy płycie CD znajdują się zaimplementowane w Matlabie funkcje
umożliwiające badanie zbieżności cen opcji, jak również ich wycenę. Opcje te pozwalają także obserwować zachowanie zbieżności greckich wskaźników. Istnieje możliwość
uzyskania zamieszczonych w pracy wykresów. Dla ułatwienia dołączone zostały skrypty,
których numeracja odpowiada numeracji przykładów z pracy. Przykładowo za pomocą
skryptu Skrypt 4 20 uzyskany zostanie wykres z przykładu Przykład 4.20. Jeżeli dla przykładu jest więcej niż jeden wykres, to skrypty są dodatkowo numerowane np. Skrypt 4 1b
pozwoli uzyskać drugi wykres z przykładu Przykład 4.1. Ponieważ w wielu funkcjach
używane są takie same parametry, to jeżeli ich znaczenie nie ulega zmianie, zostały one
opisane tylko raz.
Załączone funkcje:
• ZbieznoscCOE(K, S0, X, r, d, Th, Tr, sigma, tau, kupna, amerykanska, dywidenda,
binarna, bledy, kb, od, ile) - zbieżność ceny opcji za pomocą metod dwumianowej
i dwumianowej( 12 ), porównanie różnic między tymi metodami i metodą BlackaScholesa.
- K - cena wykonania opcji
- S0 - cena instrumentu podstawowego w chwili t = 0
- X - wysokość wypłaty A dla opcji binarnej, patrz p. 3.1.2
- r - stopa procentowa w skali rocznej (np. 0.21 = 21%)
- d - dywidenda (dywidenda w %, albo wysokość dywidendy)
- Th - liczba dni obrotu opcją między nabyciem i wygaśnięciem opcji
- Tr - liczba dni między przepływami pieniężnymi związanymi z przyszłymi terminami
- sigma - zmienność cen akcji w skali rocznej (np. 0.1 = 10%)
- tau - liczba dni do wypłaty dywidendy
- kupna - „tak” - dla opcji kupna, „nie” - dla opcji sprzedaży
- amerykanska - „tak” - dla opcji amerykańskiej, „nie” - dla opcji europejskiej
- dywidenda - 1 - ciągła, 2 - procentowa, 3 - stała
- binarna - 1 - dla opcji binarnej, 2 - dla opcji waniliowa
75
76
DODATEK B. TOOLBOX NOP W MATLABIE
- bledy - „tak” - porównuje różnice wartości, „nie” - porównuje wartości opcji
- kb - 1 - porównanie różnic dla metody dwumianowej z p = 21 i p 6= 12 , 2 porównanie różnic między BS i metodą dwumianową z p 6= 21 , 3 - porównanie
różnic między BS i metodą dwumianową z p = 21
- od - od jakiej liczby kroków rozpocząć obliczenia
- ile - do jakiej liczby kroków prowadzić obliczenia
• ZbieznoscCOExplicit(K, S0, X, r, d, Th, Tr, sigma, tau, kupna, amerykanska,
dywidenda, binarna, bledy, od, ile, m) - zbieżność ceny opcji w metodzie jawnej,
porównanie różnic z metodą Blacka-Scholesa
- od - od jakiej liczby kroków na osi czasu rozpocząć obliczenia
- ile - do jakiej liczby kroków na osi czasu prowadzić obliczenia
- m - liczba skoków na osi wartości instrumentu podstawowego
• ZbieznoscCOImplicit(K, S0, X, r, d, Th, Tr, sigma, tau, kupna, amerykanska,
dywidenda, binarna, bledy, od, ile, m) - zbieżność ceny opcji w metodzie ukrytej,
porównanie różnic z metodą Blacka-Scholesa
• ZbieznoscCOCrankNicolson(K, S0, X, r, d, Th, Tr, sigma, tau, kupna, amerykanska, dywidenda, binarna, bledy, od, ile, m) - zbieżność ceny opcji w metodzie
Cranka-Nicolsona, porównanie różnic z metodą Blacka-Scholesa
• ZbieznoscCO_E_I_CN_BINO(K, S0, X, r, d, Th, Tr, sigma, tau, amerykanska, kupna,
stalePrawdopodobienstwo, dywidenda, binarna, od, ile, m) - zbieżność ceny opcji
jednocześnie za pomocą metod: Blacka-Scholesa, dwumianowej (albo dwumianowej( 21 )),
jawnej, ukrytej, Cranka-Nicolsona
- stalePrawdopodobienstwo - „tak” - używa metody dwumianowej( 21 ), „nie” używa metody dwumianowej
• ZbieznoscDeltaSiatkaDefinicja(K, S0, X, r, d, Th, Tr, sigma, tau, amerykanska,
kupna, dywidenda, stalePrawdopodobienstwo, binarna, metoda, od, ile, m) - zbieżność wartości ∆ dla wybranej metody, obliczonej z definicji i drzewka (ewentualnie
siatki), do wartości obliczonej metodą Blacka-Scholesa.
- metoda - „B” - używa metody dwumianowej, „E” - używa metody jawnej, „I”
- używa metody ukrytej, „CN” - używa metody Cranka-Nicolsona
• ZbieznoscDelta(K, S0, X, r, d, Th, Tr, sigma, tau, amerykanska, kupna, dywidenda, stalePrawdopodobienstwo, zSiatkiOpcji, od, ile, m) - zbieżność wartości ∆
dla wszystkich, możliwych dla danej opcji, metod jednocześnie
- zSiatkiOpcji - „tak” - oblicza ∆ z siatki lub drzewka, „nie” - oblicza ∆ z definicji
• ZbieznoscGammaSiatkaDefinica(K, S0, X, r, d, Th, Tr, sigma, tau, amerykanska,
kupna, dywidenda, stalePrawdopodobienstwo, binarna, metoda, od, ile, m) - zbieżność wartości Γ dla wybranej metody, obliczonej z definicji i drzewka (ewentualnie
siatki), do wartości obliczonej metodą Blacka-Scholesa
77
• ZbieznoscGamma(K, S0, X, r, d, Th, Tr, sigma, tau, amerykanska, kupna, dywidenda, stalePrawdopodobienstwo, zSiatkiOpcji, od, ile, m) - zbieżność wartości Γ
dla wszystkich, możliwych dla danej opcji, metod jednocześnie
• ZbieznoscThetaSiatkaDefinicja(K, S0, X, r, d, Th, Tr, sigma, tau, amerykanska,
kupna, dywidenda, stalePrawdopodobienstwo, binarna, metoda, od, ile, m) - zbieżność wartości Θ dla wybranej metody, obliczonej z definicji i drzewka (ewentualnie
siatki), do wartości obliczonej metodą Blacka-Scholesa
• ZbieznoscTheta(K, S0, X, r, d, Th, Tr, sigma, tau, amerykanska, kupna, dywidenda, stalePrawdopodobienstwo, zSiatkiOpcji, od, ile, m) - zbieżność wartości Θ
dla wszystkich, możliwych dla danej opcji, metod jednocześnie
• ZbieznoscVega(K, S0, X, r, d, Th, Tr, sigma, tau, amerykanska, kupna, dywidenda,
stalePrawdopodobienstwo, od, ile, m) - zbieżność wartości V dla wszystkich, możliwych dla danej opcji, metod jednocześnie
• ZbieznoscRho(K, S0, X, r, d, Th, Tr, sigma, tau, amerykanska, kupna, dywidenda,
stalePrawdopodobienstwo, od, ile, m) - zbieżność wartości ρ dla wszystkich, możliwych dla danej opcji, metod jednocześnie
Wyżej wymienione funkcje są używane do oceny zbieżności ceny lub greckich wskaźników,
ale wykorzystują one także kilka funkcji pomocniczych, które muszą być umieszczone w
tym samym katalogu co funkcja wywoływana lub skrypt. Funkcje pomocnicze:
• In
• PseudoMacierz
• RozwiazanieUkladuRownan
• SiatkaAkcjiSR
• WarunkiBrzegoweSR
• WycenaOpcji
• WycenaOpcjiCN
• WycenaOpcjiExplicit
• WycenaOpcjiImplicit
• ZbieznoscCO_E_I_CN_BINOskr
• ZbieznoscCOExplicitSkrypt
• ZbieznoscCOImplicitSkrypt
• ZbieznoscDeltaSkrypt
• ZbieznoscGammaSiatkaDefinicaSkr
• ZbieznoscThetaSkrypt
78
DODATEK B. TOOLBOX NOP W MATLABIE
Toolbox NOP w matlabie jest narzędziem pozwalającym na szeroką gamę eksperymentów z wyceną opcji na różne instrumenty podstawowe, różnymi metodami numerycznymi.
Jest to bardzo cenne uzupełnienie do teoretycznego opisu metod zawartego w pracy.
Bibliografia
[1] M.J. Brennan, E.S. Schwartz, (1978), Finite Difference Methods and Jump Processes
Arising in the Pricing of Contingent Claims: A Synthesis, Journal of Financial and
Quantitative Analysis, 13, 462-74.
[2] J.C. Cox, J.E. Ingersoll jr., S.A. Ross (1981), The relationship between forward prices
and futures cprices, J. Financial Economics 9, 321-346.
[3] J.C. Cox, S.A. Ross, M. Rubinstein, (1979), Option pricing: A simplified approach,
J. Financial Economics 7, 229-263.
[4] J. Crank, P. Nicolson, (1947), A practical method for numerical evaluation of solution of partial differential equations of the heat conduction type. Proceedings of the
Cambridge Philosophical Society, 43, 50-67.
[5] J. Hull, (1997), Kontrakty terminowe i opcje wprowadzenie, WIG-Press, Warszawa.
[6] J. Hull, (1997), Options, futures and other derivatives, Printice HALL, Upper Saddle
River.
[7] J. Hull, A. White, (1990), Valuing Derivative Securities Using the Explicit Finite
Difference Method, Journal of Financial and Quantitative Analysis, 25, 87-100.
[8] R.W. Kolb, (1997), Wszystko o instrumentach pochodnych, WIG-Press, Warszawa.
[9] A.R. Mitchell, D.F. Griffiths, (1980), The Finite Difference Method in Partial Differential Equations. John Wiley.
[10] K.W. Morton, D.F.Mayers, (1994), Numerical Solution of Partial Differential Equations, Cambridge.
[11] A. Weron, R. Weron, (1999), Inżynieria finansowa, WNT, Warszawa.
[12] A. Weron, R. Weron, (2000), Giełda Energii, CIRE, Wrocław.
[13] P. Wilmott, (2000), Paul Wilmott on Quantitative Finance, WILEY, Chichester.
[14] Materiały edukacyjne - opcje, www.gpw.com.pl
[15] Regulamin Giełdy Papierów Wartościowych w Warszawie SA
79