MK02 Model Atomu Bohra

Część 2
Model Atomu Bohra
2.1:
2.2:
2.3:
2.4:
2.5:
Modele atomu Thomsona i Rutherforda
Model Rutherforda
Klasyczny Model Atomu
Model Bohra atomu wodoru
Liczby atomowe a rentgenowskie widma
charakterystyczne
2.6: Zasada korespondencji.
2.7: Modyfikacje i ograniczenia modelu Bohra
Niels Bohr (1885-1962)
Przeciwieństwem stwierdzenia prawdziwego jest stwierdzenie fałszywe...
Ale przeciwieństwem głębokiej prawdy może być inna głęboka prawda.
Ekspert to osoba, która zrobiła wszystkie błędy, które mogą być
wykonane w bardzo wąskiej dziedzinie.
Nigdy nie wyrażaj się jaśniej, niż jesteś w stanie myśleć.
Przewidywanie jest bardzo trudne, zwłaszcza na temat przyszłości.
- Niels Bohr
Przygotowanie Marek Szopa, na podstawie Rick Trebino, Georgia Tech, www.physics.gatech.edu/frog/lectures
Struktura atomu
W 1900 roku wiele wskazywało,
że atom nie jest cząstką elementarną:
1)
Wydawało się, że musi być zbyt wiele rodzajów atomów, z
których każda należących tworzy pierwiastek chemiczny
(więcej niż ziemia, powietrze, woda i ogień!).
2)
Atomy i zjawiska elektromagnetyczne były ściśle związane
(materiały magnetyczne, izolatory i przewodniki; różne
widma emisyjne).
3)
Pierwiastki miały cechy wspólne z innymi, ale nie z
wszystkimi, które wskazywały na wewnętrzną strukturę
atomów (wartościowość).
4)
Odkrycia promieniotwórczości, promieni X oraz
elektronów (wszystko wydawało się wskazywać
możliwość rozbicia wewnętrznej struktury atomów).
Wiedza o atomie w roku 1900
Elektrony (odkryte w 1897)
noszą ładunek ujemny.
Elektrony są bardzo lekkie,
nawet w porównaniu do atomu.
Protony nie zostały jeszcze
odkryte, ale najwyraźniej
dodatni ładunek musiał być
obecny dla uzyskania
neutralności ładunkowej.
Prymitywny obraz atom
2.1: Model atomu
Thomsona
Thomsona model „śliwek w
budyniu” miał równomiernie
rozłożony w całym obszarze
wielkości atomu ładunek
dodatni oraz elektrony
osadzone w tym jednolitym
tle.
W modelu Thomsona, gdy atom był ogrzewany, elektrony mogły
wibrować wokół równowagi, tworząc w ten sposób promieniowanie
elektromagnetyczne.
Niestety, modelem Thomsona nie można było wytłumaczyć widm
atomów.
Eksperymenty Geigera i Marsdena
Rutherford, Geiger i Marsden
wykorzystali nową technikę
badania struktury materii przez
rozpraszanie cząstek α na
atomach.
Źródło cząstek α
Płyta ołowiana
Folia
metalowa
ekran
Mikroskop
Eksperymenty Geigera i Marsdena 2
Geiger wykazał, że niektóre cząsteczki α były rozpraszane przez
cienką złotą folię wstecznie (pod kątem większym niż 90°).
Rozpraszający
nukleon
Elektrony
nie mogą
rozpraszać
wstecznie
cząstek α
Przed
Po
Obliczymy maksymalną kat rozpraszania
- odpowiadający maksymalnej zmianie pędu.
Można wykazać, że maksymalny transfer
pędu do cząstek α jest:
∆pmax = 2me vα
Wyznaczmy θmax kiedy
∆pmax jest prostopadłe do
kierunku ruchu:
θ max
∆pα 2me vα
=
=
= 0.016° O wiele za mało!
pα
M α vα
Rozpraszanie przez wiele elektronów
Jeśli cząstka α jest rozpraszana przez N elektronów: θ
calkowite
≈ Nθ
N = liczba atomów w poprzek cienkiej warstwy złota, t = 6 × 10−7 m:
n=
Liczba atomów
= [Liczba Avogadro.(atomów/mol)]
3
cm

 mol   
1
 g 
×
gęstosć

 
 3 
 cm  
 masa atomowa  g   
atomów   1mol  
g 

=  6.02 × 1023
 19.3 3 

mol   197g  
cm 

= 5.9 × 1022
atomów
28 atomów
=
5.9
×
10
cm3
m3
Odległość pomiędzy atomami, d = n-1/3, jest: d = (5.9 × 10 28 ) −1/3 m = 2.6 × 10-10 m
6 ×10-7 m
= 2300 atomów
N=t/d=
-10
2.6 ×10 m
θ
total
= 2300(0.016°) = 0.8° Ciągle za mały!
2.2: Model Rutherforda
θ
= 6.8 nawet jeśli cząstka
α jest rozproszona przez
wszystkie 79 elektronów w
każdym atomie złota.
total
Wyniki eksperymentalne nie
były zgodne z modelem atomu
Thomsona.
Rutherford zaproponował, że
atom ma niewielki dodatnio
naładowany rdzeń (jądro)
otoczony ujemnymi
elektronami.
Geiger and Marsden
potwierdzili jego ideę w 1913.
Ernest Rutherford
(1871-1937)
2.3: Klasyczny model atomu
Rozważmy atom jako układ planetarny.
2-gie prawo Newtona zastosowane do
przyciągania elektronu przez jądro daje
1 e 2 mv 2
Fe =
=
2
4πε 0 r
r
gdzie v jest prędkością ruchu orbitalnego
elektronu:
v=
e
4πε 0 mr
⇒ K = 12 mv 2 =
1
2
e2
4πε 0 r
Całkowita energia jest więc:
−e 2
−
=
E = K +V =
8πε 0 r 4πε 0 r 8πε 0 r
e2
e2
Jest ujemna więc
system jest związany,
tak jak powinno być.
A jednak…
Model planetarny jest niedobry
W/g klasycznej teorii elektromagnetyzmu, przyspieszony ładunek
elektryczny promieniuje energię (promieniowanie
elektromagnetyczne), co oznacza, że jego całkowita energia musi
się zmniejszać. Tak więc promień r musi zmniejszać!
Elektron
spada na
jądro!?
W 1900 roku za sprawą hipotezy Plancka dotyczącej kwantów
promieniowania fizyka osiągnęła punkt zwrotny, więc radykalne
rozwiązania mogły być uznane za możliwe.
2.4: Model Bohra atomu wodoru
Główne założenia Bohra
n=2
n=1
Elektrony w atomie są w stanie stacjonarnym,
w którym mają dobrze zdefiniowane energie, En
których nie wypromieniowują. Pomiędzy stanami
możliwe są przejścia, z wypromieniowaniem
kwantów światła o energii:
1.
E = En − En’ = hν
2. Klasyczne prawa fizyki nie mają zastosowania do
przejścia między stanami stacjonarnymi, ale mają
zastosowania gdzie indziej
3. Moment pędu n-tego stanu jest:
= ħ
gdzie n nazywa się główną liczbą kwantową
n=3
Moment
pędu jest
skwantowany!
Konsekwencje modelu Bohra
Moment pędu jest:
L = mvr = nℏ
Więc prędkość wynosi:
Ale:
v=
e
4πε 0 mr
Rozwiązując dla rn:
v = nℏ / mr
więc:
rn = n 2 a0
n2ℏ 2
e2
=
2 2
mr
4πε 0 mr
gdzie:
a0
4πε 0 ℏ 2
a0 ≡
me 2
a0 jest nazywane promieniem Bohra. Jest to średnica atomu
wodoru (dla najniższej energii, czyli w stanie podstawowym).
Promień Bohra
Promieniem Bohra,
4πε 0 ℏ 2
a0 ≡
me 2
Promień atomu wodoru w stanie niewzbudzonym jest równy:
4πε 0 ℏ 2
(1.055 ×10-34 J ⋅ s) 2
-10
a0 =
0.53
10
m
=
=
×
2
2
9
2
2
-31
-19
me
(8.99 ×10 N ⋅ m /C )( 9.11×10 kg )(1.6 ×10 C )
Średnica atomu wodoru w stanie podstawowym jest:
2r1 = 2a0 ≈ 10 −10 m
Energie Atomu
wodoru
Klasyczna
formuła dla
energii:
E=−
e2
8πε 0 r
4πε 0 n 2 ℏ 2
2
r
=
=
a
n
oraz: n
0
me 2
Tak więc energie stanów
stacjonarnych są:
e2
e2
En = −
=−
8πε 0 rn
8πε 0 a0 n 2
lub:
En = − E0/n2
gdzie E0 = 13.6 eV.
4πε 0 ℏ 2
a0 ≡
me 2
Atom wodoru
Emisja światła występuje wtedy, gdy atom jest w stanie wzbudzonym i
przechodzi do niższego stanu energetycznego (nu → nℓ).
hν = Eu − Eℓ
gdzie ν jest częstością fotonu:
1
λ
=
ν
c
=
e2
En = −
8πε 0 a0 n 2
 1
hν Eu − Eℓ
1 
=
= R∞  2 − 2 
hc
hc
 nℓ nu 
R∞ jest stałą Rydberga.
me4
R∞ ≡
(4π ℏ )3 cε 0 2
Przejścia w
atomie
wodoru
Energia wiązania
Energia
Seria
Balmera
Atom pozostaje w stanie
wzbudzonym przez
krótki czas przed emisją
fotonu i powrotem do
niższego stanu
stacjonarnego.
W równowadze,
wszystkie atomy wodoru
są w stanie n = 1.
Seria
Lymana
Seria
Paschena
2.5: Widma
charakterystyczne
w promieniach X oraz
liczby atomowe
Powłoki mają literowe nazwy:
dla n = 1 powłoka K
dla n = 2 powłoka L
Atom jest najbardziej stabilny
w stanie podstawowym
Elektrony z wyższych poziomów będą uzupełniały wolne stany na
niższych powłokach
Kiedy takie przejścia mają miejsce dla ciężkich atomów, powstałe
promieniowanie jest typu X
Jego energia jest E (prom. X) = Eu − Eℓ.
2.6: Zasada
Korespondencji
Zasada korespondencji Bohra
jest raczej oczywista:
W granicy, gdzie klasyczna i
kwantowa teoria powinny być
zgodne, teoria kwantowa musi
przechodzić w rezultat klasyczny.
Zasada Korespondencji
Częstotliwości promieniowania emitowanego νklasyczna jest równa
orbitalnej νorb częstotliwości elektronu wokół jądra.
e
v=
1/2
2
4
4πε 0 mr
ω v/r 1  e

1
me
ν klasyczna = ν orb = ν=classical = 
=
3 
2π  4πε 0 mr 
4πε 0 2 h3 n3
2π
2π
4πε 0 n 2 ℏ 2
rn =
Powinno się to zgadzać z częstością przejścia pomiędzy
2
me
stanami n + 1 a n (kiedy n jest bardzo duże):
ν Bohr =
E0
h
1
1 
−
 n 2 (n + 1) 2 


En = hνn = − E0 /n2
E0  n 2 + 2 n + 1 − n 2  E 0  2 n + 1 
=

=
h  n 2 (n + 1) 2  h  n 2 (n + 1) 2 
Dla dużych n: ν Bohr
2nE0 2 E0
≈
= 3
4
hn
hn
Podstawiając za E0:
ν Bohr
me 4
E0 =
8πε 0 2 h 2
me 4 1
=
= ν klasyczna
2 3
3
4πε 0 h n
Stała struktury subtelnej
Prędkość elektronu w modelu atomu Bohra:
Ln
nℏ 1 e 2
vn =
=
=
mrn mrn n 4πε 0 ℏ
W stanie podstawowym,
v1 = 2.2 × 106 m/s ~ 1% prędkości światła.
Stosunek v1 do c jest stałą struktury subtelnej.
v1
e2
1
ℏ
α= =
=
≈
c ma0 c 4πε 0 ℏc 137
2.7: Modyfikacje i ograniczenia modelu
atomu Bohra
Modyfikacja:
Elektrony i jądro
wodoru faktycznie
Nukleon
krążą wokół ich
wzajemnego środka masy.
Masa elektronów jest zastąpiona
ich masą zredukowaną:
Środek masy
Elektron
me M
me
µe =
=
me + M 1 + me
M
Stała Rydberga dla nieskończonej masy jądra, R∞, może być
zastąpiona przez R.
µe
1
µee 4
R=
R∞ =
R∞ =
3
2
me
me
4
π
c
ℏ
(
4
πε
)
0
1+
M
Ta modyfikacja zwiększa
dokładność teorii!
Ograniczenia
modelu Bohra
Model Bohra był wielkim krokiem w
nowej teorii kwantowej, ale miał swoje
ograniczenia.
Ograniczenia:
Opisuje tylko jednoelektronowy atom „wodoropodobny”
Nie można wyjaśnić intensywności struktury subtelnej linii
widmowych (np. w polu magnetycznym).
Nie może wyjaśnić wiązań atomów tworzących molekuły.