hedging opcji

DERYWATYWY HEDGING
Literatura uzupełniająca
W.Tarczyński, Instrumenty pochodne na rynku
kapitałowym, PWE, 2003
A.McDougall, Swapy, Dom Wyd.ABC, Kraków 2001
F.Taylor, Rynki i opcje walutowe, Dom Wyd.ABC, Kraków 2000
George Crawford, Bidyut Sen, Instrumenty pochodne,
narzędzia podejmowania decyzji, Liber, Warszawa, 2002
ZASTOSOWANIA POCHODNYCH
•
•
•
•
Subsytut innych inwestycji (np..indeksy)
Zabezpieczenie inwestycji
Spekulacja
Inżynieria finansowa
• Dźwignia finansowa odgrywa dużą rolę w
transakcjach pochodnych
HEDGE ? - EKSPOZYCJA;
POZIOM TOLERANCJI
• Można dostarczyć wiele instrumentów
zabezpieczających pod warunkiem, że zna się
własną ekspozycję na ryzyko
• “Określ swoją ekspozycję (profil ryzyka) a
powiem Ci, jakich instrumentów należy użyć”
• Trzeba mieć prawidłowe oczekiwania zmian cen
i czasu, w jakim się one dokonają
• Mieć świadomość motywacji i tolerancji na
ryzyko (jakim kapitałem może ryzykować)
ZASTOSOWANIA POCHODNYCH
•
•
•
•
Substytut innych inwestycji (np.indeksy)
Zabezpieczenie inwestycji
Spekulacja
Inżynieria finansowa
• Dźwignia finansowa odgrywa dużą rolę w
transakcjach pochodnych
DERYWATY - INSTRUMENTY
POCHODNE
• Derywaty (instrumenty pochodne)
• definicja: kontrakty, których wartość zależy od
wartości instrumentu (primary instruments), na
które są wystawione. Wartość zależy od cen
(obligacje, akcje, towary) lub nominalnej wartości
kontraktu (np.kursy walut). Instrumenty pochodne
zawsze mają jakąś wartość (dodatnią lub ujemną).
Rozliczenie jest odnoszone do przyszłości
• Wartość zmienia się w sposób ciągły w zależności
od rynku. Służą zabezpieczeniu lub spekulacji,
dostosowanie do potrzeb inwestorów (zwiększają
kompletność rynku)
DERYWATY - INSTRUMENTY
POCHODNE
• Istnieją w zasadzie dwa główne typy
transakcji pochodnych: forward i opcje
(inne to kombinacje tych podstawowych).
• Derywaty wypełniają paletę instrumentów
(kompletność rynku) i mają najniższe
koszty transakcyjne.
• Podstawą decyzji jest zysk & ryzyko.
• Transakcje derywatywne są grą o sumie
zerowej
DERYWATY - INSTRUMENTY
POCHODNE
• Fundamentalne założenie, że rynek powoduje brak istnienia
możliwości bezkosztowego arbitrażu (Modigliani Miller 1958 efektywność rynków – prawo jednej ceny u klasyków) – ta
sama cena dla tych samych cashflow, ryzyka i zysku !!!
• Valuation by replication – czyli nawet skomplikowany
instrument można replikować na cash flow dający ten sam
efekt.
• Założenie frictionless market – dla uproszczenia brak kosztów
transakcyjnych, podatków, nieograniczone możliwości
pożyczkowe po stopie wolnej od ryzyka, wolno sprzedawać
short, ciągłość handlu
• Mogąc wycenić cash flow – można wycenić ryzyko instrumentu.
• Dla derywatów kluczową koncepcją jest net cost of carry
• Silna korelacja między cenami forward i przyszłymi cenami spot
WARTOŚĆ DERYWATÓW
• Wartość derywatów jest funkcją wartości
nominalnej lub ceny instrumentu (też
indeksu) pochodnego.
• Szeroki podział to instrumenty:
• Linearne – forward, future, swaps
• Nielinearne: opcje, warranty,
• Suma gry zysków i strat jest w samych
kontraktach zerowa
DERYWATY SEPARACJA
WOLUMENU I CEN
Innowacyjne zarządzanie
Zarządzanie ceną
Zarządzanie wolumenem

Stała cena w okresie


Wykorzystanie cen
rynkowych
Zakupy dostosowane
do popytu

Zarządzanie zapasami

Wybór właściwego
instrumentu
hedgującego
ZARZĄDZANIE RYZYKIEM
instrumenty
Zarządzanie
ryzykiem
hedging
strategie
ZARZĄDZANIE RYZYKIEM
instrumenty
hedging
strategie
asset liability
Zarządzanie
ryzykiem
mapowanie ekspozycji
ekspozycja
wycena ryzyka
Var/stress test
Ryzyko
środowisko
organizacja
procedury
systemy
polityka
HEDGING ZEWNĘTRZNY
• Produkty hedgujące symetryczne i
asymetryczne
• Produkty proste i złożone
• Doskonałe zabezpieczenie dają tylko
instrumenty symetryczne - tu korelacja = -1
•
•
•
•
•
Produkty rynków dewizowych
Produkty bazujące na stopach procentowych
Commodities
Produkty kredytowe
Pogoda, indeksy ekonomiczne
INSTRUMENTY POCHODNE
• O ryzyku
symetrycznym:
– kontrakty terminowe
(outright, FRA),
– kontrakty terminowe
(futures),
– kontrakty wymiany
(swap)
• O ryzyku niesymetrycznym:
– opcje
– (cap, floor, collar)
– warranty (prawo subskrypcji
np.akcji po ustalonej cenie; rodzaj
opcji, trochę jak długi call)
– Egzotyczne (power option, cliquet,
reset, compound, lookback,
barrier&binary…)
Instrumenty pochodne w każdym momencie mają
wartość
Mogą służyć hedgowaniu, spekulacji, arbitrażowi,
tworzeniu pozycji syntetycznych
HEDGING SYMETRYCZNY
Hedge symetryczny ma doskonałą korelację negatywną dla krótkiej
i długiej pozycji
Zyski i straty z pozycji pierwotnej pokrywane są przez symetryczny hedge
Pozycja pierwotna
Symetryczny hedge
ZYSK
Pozycja netto
STRATA
INSTRUMENTY POCHODNE
ROZWÓJ RYNKU
• Pozagiełdowe OTC
–
–
–
–
opcje
forwards
swaps
strukturyzowane
• Giełdowe
– opcje
– financial futures
– warranty
Forwardy stosowane były już w XII w
Giełdy towarowe XVII w
futures stosowane były już w XVI w
opcje stosowane były już w XVII w
swap dopiero od 1981 roku
INSTRUMENTY POCHODNE
GIEŁDOWE
IZBA
ROZLICZ.
BROKER
KLIENT
GIEŁDA
BROKER
KLIENT
RYNEK GIEŁDOWY
• Brak ryzyka kredytowego - Izba rozrachunkowa
gwarrantuje wykonanie kontraktów
• Instrumenty standardyzowane
• Jawność obrotu
• Jednorodność klientów
• Notowania cen
• Zamykanie transkacji z Izbą
• Płynność
• Depozyty zabezpieczające (initial margin,
maintenance margin, przyrost variation margin)
INSTRUMENTY POCHODNE
POZAGIEŁDOWE
BANK
KLIENT
BROKER
BANK
KLIENT
RYNEK POZAGIEŁDOWY
•
•
•
•
•
•
Ryzyko kredytowe
Instrumenty niestandardowe
Mała jawność obrotu
Ograniczona symetryczność stron
Ceny indywidualne
Transakcje rzadko zamykane przed
maturity
• International Swaps and Derivatives
Association ISDA (1985)
KLIENCI
• RYNEK GIEŁDOWY
– Fundusze
inwestycyjne
– Fundusze
emerytalne
– Firmy
ubezpieczeniowe
– Klienci
indywidualni
• RYNEK
POZAGIEŁDOWY
– Przedsiębiorstwa
– Firmy
ubezpieczeniowe
– Fundusze
niepubliczne
– Klienci
indywidualni
– Banki
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
GENEZA
1750 B.C. Kodeks Hamurabiego opcja defaultowania odsetek, gdy zbiór wyschnie lub zmyje go woda
350 b.c. Opcja na dostawy oliwy Arystoteles Polityka
Rzym rynki towarowe - zorganizowane
XI/XII w targi sformalizowane
1600 forwardy i opcje na cebulki tulipanów
1848 CBOT forward na zboże
1865 CBOT forwardy na rolne i surowce, standardowe kontrakty, izba rozliczeniowa
1870 NY Cotton Exchange futures na bawełnę
1878 Londyn Corn Trade futures
1882 Futures na kawę
1904 Winningpeg Canada futures na commodities
1919 San Paolo, Chicago Mercantile Exchange, 1933 Comex futures na srebro,1952 London Metal
Exchange, 1960 Sydney Futures Exchange wełna,
1972 CME futures na FX
1973 Chicago Board Options Exchange na 16 akcji NY
1975 CBOT futures na stopę %, opcje na akcje Kanada, Amex, Philadelphia
1978 Opcje w Londynie, Holansii, NY futures na olej opałowy
1980 Londyn futures na ropę
1981 OTC interest rate swap
1982 powstaje LIFE futures na instrumenty finansowe, CME futures na S&P500, CBOT opcje na T-bondy, Tbills, Comex opcje na futures na złoto
1984 Singapore International Monetary Exchange futures w Azji, 1986 Hong Kong
1992 credit derivative na OTC
1996 NYMEX futures na prąd
2004 CBOT futures na volatility index i warianancję S&P500
HEDGING
• Ryzyko, które jest mierzalne może podlegać
zarządzaniu
• Hedging:
– Statyczny – polega na przyjmowaniu lub
wychodzeniu z pozycji w odpowiednim horyzoncie
(forward, futures…)
– Dynamiczny – polegający na ciągłej zmianie sald
struktury portfela (opcje…)
POCHODNE - RYZYKO KURSOWE
INSTRUMENTY
RYZYKO KURSOWE
Źródłem ryzyka jest czas, który upływa od momentu
podjęcia decyzji do momentu jej realizacji - ostatecznego
rozliczenia (transakcyjne, translacyjne, ekonomiczne,
podatkowe)
data
wystawienie
faktury
przygotowanie
kontraktu
podpisanie
kontraktu
zrealizowanie
kontraktu
Okresowe
sprawozdanie
data
platnosci
sprzedazy
waluty
RYZYKO KURSOWE
• Zdefiniowanie pozycji (aktywa, pasywa,
terminy zapadalności, wymagalności…)
• Określenie poziomu dopuszczalnego
ryzyka (np.bpv, luka, duracja, greeks, VAR,
stress test, crash test...)
• Wybór narzędzi i strategii
zabezpieczających
PROFIL RYZYKA W EKSPORCIE
zysk
P
e
strata
kurs wymiany
PROFIL RYZYKA W IMPORCIE
zysk
kurs wymiany
strata
TRANSAKCJE DEWIZOWE
Currency
swaps
spot
forward
NDF
financial
futures
FX
opcje
strategie
produkty
strukturalne
Fade-In Forw.
Conditional
Forward.etc
SPOT: WYMIANA WALUT FX
• SPOT fizyczna dostawa instrumentu lub towaru w
ciągu 2 dni roboczych (niekiedy dawniej 7 dni)
• Banki zapewniają swoim klientom możliwość
dokonywania transakcji dewizowych. Transakcje
opiewające na kwoty przewyższające
równowartość EUR 100 000 zawierane są
bezpośrednio z dealerami Interest and Currency
Management , Corporate Desk etc..
• Oferuje się wówczas kwotowania oparte o
aktualne ceny na międzybankowym rynku
walutowym. Dzięki temu klienci otrzymują
najlepsze kwotowania, aktualizowane z każdą
zmianą na rynku międzybankowym.
TRANSAKCJE SPOT
Standardowo transakcje na rynku walutowym s¹ rozliczane na
datê waluty SPOT, tzn na drugi dzieñ roboczy od momentu
zawarcia transakcji
Data transakcji
Zawarcie
transakcji
Pierwszy
dzieñ
Drugi
dzieñ
Rozliczenie
transakcji
Jeżeli klient nie posiada linii kredytowej waluta musi być
najpóźniej na koncie w dniu rozliczenia
(overnight (od dziś do jutra), tomnext (od jutra do dnia następnego),
spot (za dwa dni), spot next (od pojutrza do następnego), forward)
HEDGING WALUTOWY
FORWARD, FUTURES, NDF
Zapłacę za szczeniaka 1000 PLN, jak tylko przestanie ssać sukę
RYNEK FORWARD
• Definicja: Transakcja kupna/sprzedaży ustalona w dniu
dzisiejszym na określoną datę w przyszłości (nie mniej
niż 2 dni - spot), po ustalonym kursie określonej kwoty
(outright) – czyli ilość, cena, data.
• Forward outright vs NDF (rozliczenie różnicą)
• Obowiązek dostarczenia, odbioru, rozliczenia,
symetryczny obowiązek dla obu stron kontraktu
• Standardowe terminy FX: {tom/next, spot,} 1 tydz., 1
mies., 2 mies, 3 mies, 6 mies, 12 mies.
• Przy płynnym rynku można wyjść z forward zawierając
kontrtransakcję. Hedge a spekulacja na rynku forward.
• Nieduże ryzyko kredytowe - settlement risk
• Forward może dotyczyć też stóp %, towarów, indeks etc
MOTYWY TRANSAKCJI
FORWARD, FUTURES
• Zabezpieczające, spekulacyjne, arbitrażowe
• Instrumenty: waluty, papiery dłużne, akcje,
indeksy giełdowe, towary
• XVII w Holandia cebulki tulipanów, Japonia
ryż
• 1859 CBOT (utworzona 1848) pierwsze
futures oraz Chicago Mercantile Exchange
(1911)
• 1972 CBOT rynek futures International
Money Market (IMM)
Kontrakt Forward long - zakup
At the money forward
Spot Ref. = 4.9000
Koszt zerowy at the money forward
Klient:
kupuje EUR
sprzedaje PLN
Wartość:
EUR 10m
Strike:
5.06
Maturity:
12m
SPOT
ATMF
EURPLN
Warunki wymiany
W dniu realizacji klient zobowiązany jest dokonać
wymiany wartości nominalnych.
Klient jest związany kursem forward ale też jest
zabezpieczony przed aprecjacją Euro.
To jednak też nie pozwala klientowi partycypować w
aprecjacji PLN.
Notes
 Elimiminuje ryzyko FX
 Klient ponosi koszty negatywnego carry,
ponieważ stopa % dla PLN jest wyższa niż stopa %
dla EUR.
 Klient nie partycypuje w aprecjacji PLN .
16
FORWARD
• Wypłata z transakcji forward
WYPŁATA Z TRANSAKCJI FORWARD
Zysk
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
0
Strata
1
2
3
4
FORWARD=4
5
6
7
8
KURS
SYNTETYCZNY FORWARD
• SYNTETYCZNIE FORWARD SHORT: TO
SHORT (POŻYCZKA,KREDYT) W
OBLIGACJI ZAGRANICZNEJ I LONG
(LENDING) W OBLIGACJI KRAJOWEJ
• SYNTETYCZNIE FORWARD LONG: TO
LONG (INWESTYCJA) W OBLIGACJI
ZAGRANICZNEJ I SHORT (POŻYCZKA) W
OBLIGACJI KRAJOWEJ
FORWARD – ZAŁOŻENIA WYCENY
• Zakłada się brak istnienia bezkosztowego
arbitrażu (zasada jednej ceny dla dwóch
doskonałych substytutów)
• Substytut forward/futures to replikacja
transakcji polegającej na kupnie na kredyt i
przetrzymaniu aktywu (buy and hold, cost of
carry)
• Albo kupuję aktyw na kredyt (odsetki) albo
kupuję forward = ta sama wycena
FORWARD
MODEL COST OF CARRY
• Cena forward bazuje nie na zgadywaniu czy
oczekiwaniach ale na cenie dostawy towaru w
przyszłości = spot + cost of carry
• Cost of Carry = Cena zakupu towaru + koszt
finansowania pozycji do terminu realizacji
• FORWARD PRICE = SPOT + COST OF CARRY
• Zakup kury na termin za np. 3 miesiące (karmienie
przez 3 miesiące)
• Kurs terminowy = spot+/-punkty swapowe (można
wyliczyć stopę implikowaną)
• Forward na $ = zakup USD za PLN (w kredycie) i
złożenie depozytu w USD (lokata)
WYCENA FORWARD
Strategia
Wartość dziś
Wartość w t
Strategia I
Wartość Spot =Kes
Spot +cost of carry
= es (1+c)
Strategia II
-
Zainwestowanie kwoty
K*es
Koszt finansowania
Łącznie strategia II
K oraz zabezpieczenie
kursem forward ef
Kupno Forward
Zarobek (Kef-Kes)/Kes
Kes (1+i )/ef
Jeżeli równowaga to
zarobek = kosztowi
Cost of carry wynika z:
Premia forward
es (1+c)=ef=es (1+i)/(1+i‘) (1+i)/(1+i‘)-1>0
1+c=(1+i)/(1+i‘)
Dyskonto forward
(1+i)/(1+i‘)-1<0
K(1+i‘)
Kes (1+i)/ef-K(1+i’)=0
(1+i)
-------------=ef/es
(1+i‘)
TRANSAKCJA FORWARD
• Alternatywa sekwencji operacji:
–
–
–
–
pożyczka na rynku krajowym
kupno dewiz
COST
lokata za granicą
sprzedaż dewiz na termin
• Wzór:
–
–
–
–
–
e sub f - kurs forward
e sub s - kurs spot
e podstawa ln
i - stopa krajowa (risk free)
i‟- stopa zagraniczna
e
f
OF CARRY
1 i
 es *
1  i'
i i '
e  e *e
f
s
•
Terminy dotyczące transakcji
terminowych
KURS TERMINOWY - kurs rozliczenia ewentualnej transakcji terminowej,
powstały jako suma:
KURS SPOT + PUNKTY SWAPOWE = KURS TERMINOWY
PUNKTY SWAPOWE - różnica między kursem terminowym, a kursem spot,
wyliczana na podstawie różnicy w oprocentowaniu dwóch wymienianych
walut.
dni
))
baza
Forward  spot
dni
(1  (r2 *
))
baza
(1  (r1 *
• r1 – oprocentowanie waluty terminowej
• r2 – oprocentowanie waluty bazowej
• Baza – baza dni (większość walut 360, wyjątek – GBP i PLN – 365)
TRANSAKCJA SHORT FORWARD
W EKSPORCIE
Zabezpieczenie transakcją terminową.
Profil ryzyka
zysk
kurs wymiany
strata
Profil przychodu z forward
RYZYKO W TRANSAKCJI
EKSPORTOWEJ
Zabezpieczenie transakcją terminową.
zysk
F
Je¿eli w dniu płatności kuponu euro
na rynku pieniężnym kosztuje mniej niz F,
wówczas wynikające z tego korzyści
są zbilansowane stratą poniesioną
na transakcji forward
brak ryzyka
kurs wymiany
Jezeli w dniu platnosci kuponu euro na
rynku pienieznym kosztuje powyzej F,
wowczas straty z tytulu nadmiernej
strata
dewaluacji zlotego zostaja pokryte zyskie
wypracowanym na transakcji forward
Transakcja forward polega na ustaleniu w dniu dzisiejszym kursu walutowego,
po jakim dokonana zostanie wymiana określonych sum
dwóch walut w ustalonym dniu w przyszłości (w dniu płatności kuponu).
FORWARD PLN
3000
2000
1000
0
zysk forward
-1000
-2000
-3000
-4000
0
2
3
4
5
6
7
KUPNO (LONG) FORWARD 4 PLN/$, KUPNO 1000$
DZIAŁANIE FORWARD JAKO HEDGE
•
Zabezpieczenie ryzyka spadku kursu waluty polega na ustaleniu jej ceny przed datą wymiany.
•
Daje to pewność korzyści, gdy kurs rynkowy waluty w dniu zapadnięcia forwarda jest niższy
niż kurs terminowy z dnia zawarcia transakcji.
•
Odbiera to możliwość sprzedaży waluty na rynku, gdy kurs rynkowy waluty w dniu zapadnięcia
forwarda jest wyższy niż kurs terminowy z dnia zawarcia transakcji.
Rzeczywisty kurs
sprzedaży
EUR/PLN
Forward
4.32
4.26
4.20
4.14
• kurs rozliczenia transakcji
dewizowej w powyższym
przykładzie nie zależy od kursu
rynkowego i wygląda następująco:
4.08
4.02
3.96
3.90
3.84
3.78
3.72
3.72 3.78 3.84 3.90 3.96 4.02 4.08 4.14 4.20 4.26 4.32
Kurs spot w dniu wygaśnięcia transakcji
Bez zabezpieczenia
Forward
RYNEK FORWARD - WYCENA
• Zastosowanie: hedging, spekulacja
i  i'
ef  e s

(1  i')
es
i es  i' es  ef (1  i')  es  i' es
( es 1  i)  ef (1  i')
1 i
ef

es 1  i'
i:stopa% krajowa
i’:stopa% za granicą
es:kurs spot
ef:kurs forward
• Pokryty arbitraż stóp procentowych
– np kurs 4
– i=5%
– i’=2%
spot * %i * dni
100 * 360
punk tyswap 
 spot
%i'*dni
1
100 * 360
4 * 5 * 180
4
100 * 360  4  0.0599
 punk tyswap 
2 * 180
1
100 * 360
spot 
FORWARD - PRZYKŁAD
9,1% PLN p.a.
Wartość po 180 dniach 1,0455
PLN 4,4450
USD/PLN 4,3000
WartoϾpo 180 dniach 1.011375
1.0455/1.011375=1.0337412
1.0337412*4.3=4.4450871
180 dni
2.275% USD p.a.
1 USD
FORWARD - PRZYKŁAD
Obliczenie kursu terminowego (1)
Kurs Terminowy = Kurs Spotowy x 1 + PLN stopa procentowa
1 + USD stopa procentowa
Zalozenia:
6 mies. PLN WIBOR
6 mies. USD LIBOR
Kurs Spotowy
a wiec punkty swap’owe = 4,3000 x
= 0.1451
=
=
=
9,1%
2,275%
4,3000
1 + (0.091x (180/360))
1 + (0.02275 x (180/360))
- 4.3
Forward może być traktowany jako para pożyczek 0-kuponowych
PRZYKŁAD WYCENY FORWARD
 Polski importer musi zapłacić 130 mln EUR za 2 miesiące (62 dni po dacie spot). Proszę
skalkulować kurs forwardowy wykorzystując poniższe kwotowania rynkowe:
SPOT EUR/PLN
Money Market
EUR
PLN
4.00
2 miesiące
1.90% - 1.95%
4.5% - 4.6%
 Co musi zrobić bank aby zagwarantować klientowi już dziś kurs zakupu EUR/PLN za dwa
miesiące?
Już dziś musi pożyczyć PLN po stawce 4.6%
 Następnie za pożyczone PLN kupuje na rynku EUR po 4.00
 Zakupione EUR lokuje po stawce 1.9%
 Trzy powyższe operacje obrazuje następujące równanie:
62
))
365
Forward  4.00
 4.0181
62
(1  (0.019 *
))
360
(1  (0.046 *
 PUNKTY SWAPOWE = kurs Outright Forward – kurs spot. W Naszym przypadku:
4.0181 – 4.00 = 0.0181 czyli 1,81 grosza
BAZA W TRANSAKCJI FORWARD
• Wartość wewnętrzna forward S-X ;
deterministyczna bo stopy % są znane ex ante
FORWARD
BAZA
SPOT
X, S
FORWARD
-3
-2
-1
0
FRANKFURT
-2
2
-1
1
0
0
1
-1
2
-2
RÓZNICE W STOPACH %
NY
0
1
2
3
R
Ó
Z
N
I
C
E
W
K
U
R
S
A
C
H
EFEKTYWNE KURSY
BEZ HEDGU
KURS
EFEKTYWNY
4.0
FORWARD
3.9
3.8
3.7
3.7
3.8
3.9
4.0
4.1
4.2
4.3
PRZYSZŁY KURS SPOT
WPŁYW HEDGINGU NA CASH
FLOW
KURS FUNT/EURO
0.5 0.55 0.6 0.61 0.65
SPRZEDAŻ
KOSZT OPERACYJNY
500
550
DOCHÓD
ZYSK Z FORWARDU 0.61
-50
110
0
60
60
60
ZYSK PO
FORWARD
550 600
550 550
610
550
650
550
50
10
60
0
100
-40
60
60
60
Hedge, forward po 0.61 Ł/EUR, przychód 1000 M euro
EKRAN Z BLOOMBERG
PREMIA DODATNIA RÓŻNICA MIĘDZY KURSEM TERMINOWYM A KASOWYM
DLA WALUTY KWOTOWANEJ (premia dla waluty o niższym oprocentowaniu
może być ze znakiem (-)) np. $ 9,3% (-174bps)
kurs terminowy 1/4.3 $/PLN-1/4 $/PLN
DYSKONTO - UJEMNA RÓŻNICA MIĘDZY KURSEM TERMINOWYM
A KASOWYM DLA WALUTY KWOTOWANEJ (dyskonto dla waluty
o wyższym oprocentowaniu) PLN 7,5% (+3000) KT 4.3- KK 4
ZNAK + DO WALUTY KWOTOWANEJ
• Spot, dyskonto, kurs terminowy PLN
• 3,1780 - 3,1800 spot marża kupno/sprzedaż 20 bps
•
220 250 dyskonto PLN/premia USD
• 3,2000 - 3,2050 kurs terminowy marża 50 bps
•
•
•
•
Spot, premia, kurs terminowy USD
0,3144 - 0,3147 spot USD/PLN marża 3 bps
-24 -22 premia USD
0,3120 - 0,3125 kurs terminowy marża 5 bps
WYCENA FORWARD
OGÓLNIE
Vt wartosc rynkowa f orward ( kontraktunetto)
Ke i (T t ) inwestycja dokonanaw f orward PV
S t cena spot
Vt  S t  Ke i (T t ) dla pozycji dlugiej
DLA WALUT
Vt  S ti '(T t )  Ke i (T t ) dla pozycji dlugiej
Wycena wartości forwardu
St
4,1
K
4
i
0,05
T-t
1
Vt
0,295082
PREMIA;DYSKONTO
• Jeżeli i‟<i to Ft>St i jest premia forward
• Jeżeli i‟>i to Ft<St i jest dyskonto forward
FORWARD
26.325 M EUR
spot 3.5324
14.03.02
3.89
102404250
14.03.03
4.16
109512000
14.03.04
4.47
117672750
14.03.05
4.78
125833500
Kursy wyliczone z różnicy oprocentowania na powyższe terminy
FORWARD KOSZT
•
•
•
•
Formalnie forward jest bez kosztu ale są koszty ukryte w kursie:
- prowizja – mark-up
- różnica w bid-ask spread w stopach i kursach walut
- potencjalnie oportunity cost, gdy wymagane jest
zabezpieczenie rozliczenia forwardu
• - może też wystąpić forward rate biased, obserwuje się, że
rynek systematycznie wyżej wycenia kursy forward niż jest
przyszłu kurs spot (implicit premium)
• Korzyść eliminacja ryzyka kursu walutowego
FORWARD
ZALETY
WADY
• Klient zna z góry swój
kurs walutowy
• Nie można spekulować,
czy wycofać się z transakcji
• Klient jest zabezpieczony
przed zmiennością kursu
• Klient nie może
partycypować w korzstnych
dla niego zmianach na
rynku
•Klienci biorą poważne
ryzyko kredytowe,
ponieważ forward oznacza
lewarowanie transakcji
• W szczególności, gdy
wybucha spekulacja
walutowa
FINANCIAL FUTURES
• Kontrakt futures jest standaryzowanym, giełdowym, kontraktem
terminowym (ilość, termin, miejsce dostawy, rozliczenie).
Elementem zmiennym jest tylko cena kontraktu. Przedmiotem
obrotu jest kontrakt. Kupując lub sprzedając futures przyjmuje
się ekspozycję na ryzyko rynkowe. Wartość dodana giełdy to
większa płynność, niższe koszty i ryzyko rozliczenia.
Rozliczenie cashowe.
• CURRENCY FUTURES
• INTEREST RATE FUTURES
• INDEX FUTURES
• COMMODITY FUTURES
• Cena futures – spot = swap
• Convergence= czyli pozytywne zbliżanie się futures do
przyszłego spot – (tak nie jest dla commodities)
• Właściwie wyceniony futures powinien dawać neutralną pozycję
– kupić i przetrzymać instrument albo kupić futures.
FINANCIAL FUTURES
• Różnice futures i forwards:
–
–
–
–
–
–
–
–
Handel na zorganizowanych giełdach
Standaryzowane kontrakty, terminy, kwotowania,
Aktywny rynek wtórny
Zyski i straty na futures są wykazywane
codziennie (sposób ciągły)
Izba rozliczeniowa gwarrantuje rozliczenie
Wycena mark to market
Margin jako bufor up-front collateral
Suma pozycji long musi się równać sumie pozycji
short
FINANCIAL FUTURES
• Kontrakty futures na dostawy towarów były notowane na
giełdach towarowych od lat 60-tych XIX stulecia. Chicago
Board of Trade 1842
• Financial Futures pojawiły się na giełdach dopiero w 1972
roku (Chicago Mercantile Exchange).1982 futures na
index S&P (open outcry na otwartym parkiecie, 67 giełd)
• Profil ryzyka jest taki sam jak w forward ale
wyeliminowane jest ryzyko kredytowe (initial margin zróżnicowany od instrumentu, jeżeli przekroczy wartości
graniczne musi być uzupełnione – variation margin,
roszczenie do giełdy)
• Kontrakty futures są rozliczane w sposób ciągły (każdego
dnia) według rynku (można w uproszczeniu powiedzieć rozliczane w gotówce) mark to market
GIEŁDA:FINANCIAL FUTURES
• Wystandaryzowany kontrakt kupna lub sprzedaży,
na określony termin np 12.09,
• Kupno 1.VI
1.IX
12.IX
• spot 1.5$/Ł
1.59 $/Ł spot ?
• Futures 1.52
1.61
• strata spot 9c zysk na futures 9c
• initial margin 10-20%, maintaining margin 75%
initial margin, variation margin, izba rozliczeniowa
• F(aktyw, cena kontraktu, ilość kontraktów, termin)
INNY PRZYKŁAD
FX. Np $/Fs=0.4220
0.4220*125000Fs=52750$ za kontrakt, gdy Fs drożeje 0,4240
To wartosc kotraktu wyniesie 0,4240*125000=53000$ zysk 250$
Index
np.500$* indeks np 300,5=150250$
Surowce
• Styczeń cena surowca 500 kontrakt futures 500
• Czerwiec cena surowca 800.
• Strata na zakupie 300 ale zysk na futures 300
Obligacje
• 10 po 1000=1000 futures sprzedaje na czerwiec po 90 czyli za
900
• Cena spada czerwiec do 800
• Traci 200 a z futures odzyskuje 100
CURRENCY FUTURES
• Kalkulacja futures walutowego:
• es=4, i=8%, i‟=4% T=365
• eF=1.0408108*4=4.1632431
( i i ') T
e F  eS * e
• Futures towarowy:
F
 S  PV (k osztysk ladu)  PV (convenience yield)
t
(1  i f )
• Futures index
F
 S  PV (dywidendy )  PV (k osztodsetek)
t
(1  i f )
FINANCIAL FUTURES
• Wycena – generalnie jak przy forward, ale tu
zmiana wartości realizowana jest codziennie,
a nie na koniec okresu jak w forwardzie
• Wysoka korelacja cen futures i forwardów
• Zależność jest dwukierunkowa – wzrost
futures zależy od stóp%, ale i wzrost futures
jest zapowiedzią wzrostu stóp%
FINANCIAL FUTURES
•
•
•
•
•
KALKULACJA KORZYŚCI Z FF
SPOT 0.9800 10.10.02
FF
0.9805 10.10.02 KUPNO 21.XII (LONG)
FF (10.11.02)
0.9880 NA XII
(0.9880-0.9805)*100000=750$
•
•
Kontrakty F<lub=spot+cost of carry
E(Spot t)=Ft jeżeli model oczekiwań poprawny
FUTURES -> RISK FREE RATE
r
(1  i f ) P0  ( F t  P0)
P
P
F
E (r )  i 
P
t
0
f
0
t
P
F
1  i 
P
0
0
f
0
E ( Ft )  P0   E (r )  i f
r:stopa przychodu
if:risk free rate
P0:wartość bieżąca instrumentu
Ft:wartość przyszła instrumentu
Stopa przychodu wynika z zabezpieczenia kontraktu futures
w obligacjach skarbowych oraz przychodu z kontraktu futures.
Oczekiwana stopa przychodu z racjonalnymi oczekiwaniami = risk
free rate
deterministyczny charakter wartości
FINANCIAL FUTURES
• International Monetary Market IMM Chicago 1972 7 walut (część
Chicago Mercantile Exchange CME),
• od 1985 łącznie z Singapurem SIMEX
• od 1987 Post(pre) market trade razem 24h
• NY Future Exchange, London LIFE, 30.09.82 4 waluty, Kanada,
Australia, Hong-Kong, Amsterdam….Polska
• Transakcje nierzeczywiste
• IMM 125000DM, 100000CAD, 250000FF,125000 FS, 62500 Ł,
initial margin 900-2000$, gwarancja wykonania
• Futures na złoto 100 uncji, T-bills, S&P (500$*index)…
• termin 3 środa III,VI,IX,XII, open outcry, clearing
• tick 10$,LIFE 2,5$
• 5% fizyczne dostawy,currency futures 14% wszystkich
transakcji futures, najczęściej nierzeczywiste
BAZA DLA FINANCIAL FUTURES
Contango-spadek cen futures
SPOT
FUTURES
SPOT
Backwardation-wzrost cen futures
Kierunek zale¿y
od nachylenia
krzywej stóp
Cena futures
Ryzyko bazy (F-Spot),gdy termin zapadalności futures
inny od terminu rzeczywistego kontraktu
CZAS
NON-DELIVERABLE FORWARD
Różnica pomiędzy „zwykłym-outright” FORWARDEM a NDF
polega przede wszystkim na sposobie rozliczenia transakcji.
W przypadku FORWARD’u następuje fizyczny przepływ
waluty.
W przypadku NDF’u następuje rozliczenie różnic kursowych
pomiędzy kursem terminowym a kursem referencyjnym
(kurs fixing’owy NBP) z dnia rozliczenia.
Nierzczywista transakcja typu forward - rozliczenie dokonywane jest w dacie waluty poprzez
zapłatę iloczynu różnicy między kursem referencyjnym a kursem oraz kwoty nominalnej
transakcji
NDF - ROZLICZENIE
• Płatność netto, mniejsze ryzyko kredytowe,
mniejsze ryzyko płynności
• Przykład
– klient kupił forward ef = 4.2
4.1 kontrakt 10M USD
– bank uzyska:
obecny kurs spot es =
– (4.2-4.1)/4.1 * 10 M USD = 243902.44 USD = 1 MPLN
NDF
• Deutsche Bank Polska oferuje również możliwość zamknięcia transakcji terminowych
bez dostawy, w której następuje jedynie płatność kompensacyjna między stronami
transakcji.
• Transakcja taka nosi nazwę NON-DELIVERY FORWARD (NDF)
• Płatność kompensacyjna NDF równa jest różnicy pomiędzy znanym wcześniej
kursem terminowym, a fixing„iem NBP z dwóch dni roboczych przed dniem
rozliczenia transakcji.
• Efektywny kurs sprzedaży
waluty jest wynikiem
wyrównania między
bankiem a klientem różnicy
kursu ustalonego i kursu
spot w dniu realizacji
• Rekompensaty ze znakiem
ujemnym oznaczają kwoty,
jakie klient zapłaci na rzecz
banku, w przypadku gdy w
dniu realizacji kurs spot
znajdzie się na żądanym
poziomie
ARF
• AVERAGE RATE FORWARD (ARF) polega na zawarciu kilku transakcji terminowych
na różne daty rozliczenia po TYM SAMYM KURSIE TERMINOWYM.
• Sytuacja wyjściowa:
Nabywca chce sprzedać walutę - znane z góry kwoty w określonych terminach - od
T1 do T9.
Kurs terminowy
Kursy rozliczenia
poszczególnych
transakcji terminowych
Kurs w transakcji
AVERAGE RATE
FORWARD
Czas
T1
T2
T3
T4
T5
T6
T7
T8
T9
MECHANIZM ARF - PRZYKŁAD.
• Zawierając transakcję AVERAGE RATE FORWARD sprzedawca waluty
rozlicza poszczególne transakcje po jednym kursie terminowym - w każdym
terminie od T1 do T9 .
• Daje to możliwości przejrzystego księgowania, a przez to efektywnego
zarządzania
przepływami walutowymi. • W przypadku transakcji AVERAGE
Rzeczywisty
kurs
sprzedaży
RATE FORWARD możliwe jest
EUR/PLN
rozliczenie rzeczywiste jak również
rozliczenie NDF.
Parforward
4.34
4.28
4.22
4.16
4.10
4.04
3.98
3.92
3.86
3.80
3.74
3.74 3.80 3.86 3.92 3.98 4.04 4.10 4.16 4.22 4.28 4.34
Kurs spot w dniu wygaśnięcia transakcji
Bez zabezpieczenia
Parforward
SWAP
• Wymiana przyszłych cash flow np. vanilla
swap to wymiana flow o stałej stopie% na
flow o zmiennej stopie%.
• Przedmiotem wymiany może być każdy aktyw
• Np. waluty, akcje, obligacje, ropa etc.
• Alternatywą transakcji swap jest seria
forwardów
SWAP WALUTOWY
• Transakcja walutowa swap oznacza wymianę przez
dwie strony cash flows w różnych walutach wg
ustalonej formuły
• Transakcja swap walutowy składa się z transakcji
spot i forward zawartych w tym samym momencie
jako transakcje powiązane
• Klient kupuje walute spot i bank odsprzedaje walutę
forward
• Transakcja dwuwalutowa, dwukrotna wymiana
kapitałów, brak płatności odsetek
SWAP
• Swap np. walutowy polega na wymianie
przepływów gotówkowych denominowanych
w dwóch walutach w oparciu o zmienne lub
stałe stopy procentowe
• Podstawą swapów jest wycena przepływów
gotówkowych przyszłych okresów, gdzie
wartość bieżąca tych przepływów powinna
być sobie równa.
• Metodologia wyceny swapa jest taka sama
jak innego instrumentu finansowego
SWAP WALUTOWY
• Strona A kontraktu
swapowego:
• Płaci: R(PLN)=i*Kwota(PLN)
• Otrzymuje:
• R(EUR)=i‟*Kwota (EUR)
• Strona B kontraktu
swapowego
• Płaci:
• R(EUR)=i‟*Kwota (EUR)
• Otrzymuje:
• R(PLN)=i*Kwota(PLN)
ODSETKI PLN
A
BANK
ODSETKI EUR
KAPITAŁ EUR
A
BANK
KAPITAŁ PLN
SWAP WALUTOWY
• Wykorzystuje się, gdy:
• bezpośredni dostęp do rynku jest
ograniczony,
• w celu wyrównania pozycji A/P,
• w celu obniżenia kosztów finansowania,
• dywersyfikacji ryzyka walutowego,
• dywersyfikacji bazy inwestorów
• ryzyko kredytowe - settlement risk
STOPA SWAPOWA
• Rynkowa stopa procentowa po stronie stałej
stopy procentowej swapa (payer swap = płaci
fixed rate)
• LUB:
• punkty swapowe doliczane do kursu
kasowego kompensujące różnicę parytetu
stóp procentowych dwóch walut
SWAP CENA
• Wartość swapa
• Wartość forwardu
• Wartość sumy
forwardów
$
V  S   P' (Y )  P($)
Y 
V forward  ( S  FT )e ii i
dla wielu okresów
V forward   ni ( S  FT )e ii i
i
SWAPY WALUTOWE
FORWARD-FORWARD
• Transakcja wymiany między dwoma terminami w
przyszłości.
• Np. Sprzedaż $ za 2 miesiące i odkupienie za 3
miesiące
• Może chce zamknąć wcześniejszą niekorzystną
transakcję oraz przesunąć forward o miesiąc
• Np.Kurs EUR.$ 1.1525-1.1555 EUR i= 4%
$ i=1.72%
• 1 mies
65
61
• 3 mies
165
181
• efekt
165-65=100 181-61=120
HEDGING
OPCJE
optio łac. Prawo, nie obowiązek
OPCJE – PLAIN VANILA
• DEFINICJA: Prawo kupna (holder,buyer) lub sprzedaży (writer, seller)
po określonym kursie, w określonym czasie (do expiration
amerykańskie; w maturity europejskie, atlantyckie, Bermuda - kilka
terminów, azjatyckie średnia premia w danym okresie) aktywu (w tym
walut).
• Zobowiązanie niesymetryczne i nielinearne- można ale nie trzeba
korzystać z prawa, prawo do nieograniczonego zysku i
ograniczonego kosztu, opcja = ubezpieczenie
• Option writer (sprzedawca, wystawca) cena = premii, strike price
(zmiana ceny co 5c), premia jako % w danej walucie NPA(Notional
potential am.) Opcje na OTC lub giełdowe, opcje pokryte i niepokryte
(posiadanie przedmiotu opcji)
• Instrument bazowy - underlying (waluta, stopy%, papiery, indeksy)
• Cena bazowa, rozliczeniowa, wykonania (exercise, strike price)
• Opcje stosuje się, gdy kierunek zmian nie jest znany
•
(greenshoe option- manager emisji ma krótką pozycję, którą pokrywa opcją na nową
emisję)
POJĘCIA DOTYCZĄCE OPCJI
•
•
Plain Vanilla – zwykła opcja
Strike/ exercise price– kurs rozliczenia, kurs po którym nabywca opcji może kupić (sprzedać) walutę
•
Premia - cena, jaką nabywca płaci za opcję- wyrażona kwotowo, w postaci kursu walutowego lub
procentowo do kwoty nominału.
•
Opcja Call – nabywca opcji Call ma prawo (nie obowiązek) kupienia waluty w przyszłości, po kursie
Strike
Przykład: Opcja USDCallPLNPut - nabywca ma prawo kupienia USDPLN po kursie Strike
•
Opcja Put – nabywca opcji Put ma prawo (nie obowiązek) sprzedania waluty w przyszłości,
po
kursie Strike
Przykład: Opcja USDPutPLNCall - nabywca ma prawo sprzedania USDPLN po kursie Strike
Opcja europejska:
• Opcja At-the-Money Forward (ATMF) - opcja, w której kurs Strike = kurs terminowy (Forward)
• Opcja Out-of-the-Money Fwd (OTMF) - opcja, w której kurs Strike jest gorszy niż kurs terminowy
• Opcja In-the-Money Forward (ITMF) - opcja, w której kurs Strike jest lepszy niż kurs terminowy
•
•
Expiry - data wygaśnięcia opcji
Delivery - data rozliczenia opcji
OPCJE
• Zabezpieczającym opcja pozwala redukować efekty
pogorszające wynik pod wpływem czynnika ryzyka
(downside protection).
• Spekulanci używają natomiast opcji do zlewarowania
ryzyka. Premia za nabycie opcji jest zawsze tańsza
od samego instrumentu.
• Kupione opcje nie dają nigdy negatywnej wypłaty –
albo dodatnia, albo 0.
• Sprzedający opcję ma nieograniczone zobowiązanie.
• Opcje mogą być wpisywane w wiele produktów
finansowych – depozyty, obligacje…
OPCJE
•
•
•
•
Dzień transakcji – trade date
Dzień płatności premii – premium date
Dzień wygaśnięcia – expiry date
Dzień dostawy – delivery date
•
•
•
•
•
Rozliczenie
Dostarczenie – deliverable
Rozliczenie różnicowe – cash settled
Bez zabezpieczenia no hedge=live price
Zabezpieczenie – delta hedge – vol price
OPCJE CALL & PUT
OPCJE
OPCJA
CALL
OPCJA
PUT
BUY
SELL
BUY
SELL
prawo kupna
zobowiazanie
dostarczenia
prawo sprzedazy
obowiazek kupna
OPCJE
• Zakup opcji to jak kupno ubezpieczenie
• Rzeczywiste - rozliczenie dokonywane jest
przez wymianę kwot w walutach i np. w PLN
• Nierzeczywiste - rozliczenie w dacie jest
dokonywane jedynie przez zapłatę iloczynu
różnicy kursowej między kursem spot a kursem
referencyjnym oraz kwoty nominalnej transakcji
w walucie
• Ograniczona strata, nieograniczony zysk
• Efekt dźwigni, przy małym kapitale duże zyski
OPCJE - GENEZA
• Pierwowzory Grecja/Rzym - transakcje - opcja na
zakup lub sprzedaż - głównie produktów rolnych
XVII w Holandia np. Cebulki tulipanów - przed
przybyciem statków
• CBOT (Chicago Board Of Trade) akcje 26.04.1973
Chicago Board Option Exchange, do 1977 tylko call
• 1981 instrumenty dłużne
• X 1982 pierwsze opcje obligacje rządowe
• 1984 opcje na futures (Chicago)soja 1985
kukurydza
• 1992 Filadelfia opcje walutowe na Ł
OPCJE - GENEZA
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Koniec XIX w poszukiwania reguł opcji – Russel Sage opisał
parytet opcji call-put
1973 Fischer Black i Myron Scholes opisali mechanizm wyceny
opcji europejskiej n a akcje bez wypłaty dywidendy
Rozszerzenie modeli Garman- Kollhagen oraz Grabbe
Merton opcje na akcje spółek wypłacających dywidendę
Thorpe model znoszący ograniczenie krótkiej sprzedaży
Cox i Ross wprowadzili model z nieciągłymi zmianami
instrumentu bazowego
Jarrow Rudd odejście od założeń rozkładu log-normalnego
Merton wprowadzenie zmiennej stopy procentowej
1973 Merton zbudował pierwszy model do wyceny opcji
barierowych dla opcji kupna w barierą wyjścia w dół
Opcje złożone model Geske
Opcje wsteczne model Goldman, Sosin, Gatto
Lata 80. model Stulza – model na maksimum lub minimum dwóch
instrumentów bazowych
Ingersoll model opcji azjatyckich
PODSTAWOWE SKŁADNIKI OPCJI
• Typ opcji (Put/Call)
• Sposób wykonania opcji (europejskie
oznaczenia c,p (małe litery), amerykańskie
oraz C,P (duże litery), atlantyckie...)
• Rodzaj instrumentu bazowego (waluty,
akcje, bony skarbowe, CD, …underlying)
• Cena bazowa, cena wykonania (exercise,
strike price)
• Czas
• Premia za opcję – cena opcji czyli koszt dla
nabywcy
OPCJA PRZYKŁAD
• Notowania premii
FX
forwar
d
Baza
II
V
VIII
II
V
VIII
c
c
c
p
p
P
3,4000
4500
5300
5900
300
800
1400
3,6000
2500
3500
4100
1000
2000
2300
3,8000
1500
2500
3200
1600
2600
3200
4,0000
1000
1500
2400
2500
3500
4100
4,3000
200
900
1400
4500
5500
6000
3,8
MECHANIZM WYNIKU NA OPCJI
OPCJE
ROZKŁAD PRAW I OBOWIĄZKÓW W TRANSAKCJI FORWARD
zysk
prawa
kurs wymiany
obowiazki
strata
OPCJE
• Geneza - syntetycznie opcja to połączenie jakby w
portfelu kontraktu forward ze zobowiązaniem z
instrumentu nieobciążonego ryzykiem (risk free
Zakup forward
rate)
Wartość opcji =0
koszt spłata długu
Instrument bazowy
emitowany
bez ryzyka P=const
OPCJA BUY CALL
Wartość opcji S-X
oraz koszt długu
OPCJE
Opcja
Premia opcyjna
=
=
Ubezpieczemie
danej
transakcji
Premia za
ubezpieczenie
OPCJE
•IMPLIKACJE:
•Nabywca opcji ma prawo, lecz nie obowiązek - zakupu lub
sprzedży waluty po określonej z góry cenie w określonym
terminie
•Nabywca opcji płaci za to prawo premię
Sprzedawca opcji ma obowiązek kupić lub sprzedać dany
instrument, jeżeli nabywca opcji zdecyduje się ją wykonać
•Efektywny kurs call ze względu na premię jest wyższy niż
forward
•Efektywny kurs put ze względu na premię jest niższy niż
forward
KALKULACJA OPCJI
• Przychód z opcji Buy Call:
– long call=max(S-X;0)
• Przychód z opcji Buy PUT:
– long put=max(X-S;0)
• Przychód z opcji Sell Call
– short call=max(S-X;0)
• Przychód opcji Sell PUT
– short put=max(X-S;0)
• Obliczając efektywny payoff korygujemy o
premię (+lub-)
Vanilla Options – ochrona upside
ATM Vanilla Option
At the money vanilla option - Call Option
Klient:
kupuje EUR Call / PLN Put
Nominał:
Strike:
Maturity:
EUR 10m
5.0600 (at-the-money forward)
12m
Premia
4.35% od nominału
SPOT
ATMF
EURPLN
Warunki wymiany:
Na koniec okresu klient ma prawo ale nie
obowiązekwymienić naminał po kursie striek
Klient jest całkowicie zabezpieczony przed wprecjacją
EUR ponad poziom strike (atmf) I może
partycypować w możliwej aprecjacji PLN
Notes
 Premia płatnad upfront
 Eliminuje ryzyko FX.
 Potencjalnu udział w aprecjacji PLN.
17
Vanilla Options – Zabezpieczenie
downside
ATM Vanilla Option
At the money vanilla Option - Put Option
Klient:
kupuje EUR Put / PLN Call
Nominałl:
Strike:
Maturity:
EUR 10m
5.0600 (at-the-money forward)
12m
Premia
4.35% od nominalnej wartości
ATMF
EURPLN
SPOT
Warunki wymiany:
Na koniec okresuklient ma prawo ale nie obowiązek
wymienić wartość nominalną po kursie strike
Klient jest w pełni zabezpieczony przed możliwą
aprecjacją PLN poniżej poziomu Strikel (atmf) i może
partycypować w przypadku wprecjacji EUR
Uwagi
 Premia płatna upfront
 Eliminuje ryzyko FX downside
 Potencjalna partycypacja gdy EUR się
aprecjonuje
18
OPCJA CALL / PUT: PAYOFF
•USD - Call
= prawo do kupna USD
importer

USD - Put= prawo do sprzedaży USD
eksporter
 czyli
IMPORTER ->USD - Call / PLN - put
EKSPORTER ->USD - Put / PLN - call
Opcje europejskie:
WARTOŚĆ KUPNA OPCJI KUPNA
C=max[0,(forward (S)-Strike (X))]
WARTOŚĆ SPREDAŻY OPCJI KUPNA -C=max[0,(Strike (X)-forward (S))]
Układ wypłaty nielinearny (hockey stick)
C
C
C=0
C=SPOT-STRIKE
C=0
spot
spot
-C=-SPOT +STRIKE
OPCJA CALL LONG (BUY):
Zysk/strata
Wstępny kurs call=strike
np.forward 3M 4.1550
premia 250bps
4.1550+0.0250=4.1800
RISK-REWARD - za 250 bps
może partycypować w up-side
BIZNES
Zysk
ATMF
punkt
przelomu
Koszt 0
PREMIA
zysk
SPOT
REZULTAT
Strata
4
OUT
4.1
4.2
AT
IN
kursy
4.3
ZWIĄZEK CENY OPCJI I RYZYKA
X
S
X
S
OPCJA SHORT CALL (SELL):
zysk/strata
Zysk
strata
zysk
strata
X
4.0
4.1
4.2
4.3
OPCJA LONG PUT (BUY):
zysk/strata
Zysk
strata
ATMF
zysk
Koszt-premia
SPOT
4.0
4.1
4.2
4.3
OPCJA SHORT PUT(SELL):
zysk/strata
Zysk
strata
zysk
strata
4.0
4.1
4.2
4.3
OPCJE - POWTÓRZENIE
Kombinacje opcji
•
Opcja jest dla właściciela
prawem (ale nie
obowiązkiem) zakupu lub
sprzedaży aktywów, po
określonej cenie, w
określonej przyszłości
– kupujący płaci premię
nabywcy
– sprzedawca (“writer”)
ma obowiązek zakupu
lub sprzedaży
aktywów, jeżeli
właściciel opcji zechce
ją wyegzekwować
Long Call
Short Call
Long Put
Short Put
DIAMENT Z OPCJI
ZYSK
LONG PUT
SHORT PUT
STRATA
LONG
CALL
SHORT CALL
ZABEZPIECZANIE RYZYKA
EKSPORT
+
kurs
wymiany
premium
-
Tu pokazuje się jak z put i otwartej
pozycji dewizowej (lub forward)
powstaje syntetyczna opcja call
ZABEZPIECZANIE RYZYKA
IMPORT
+
kurs
wymiany
premium
Tu- pokazuje siê jak z call i otwartej pozycji (lub forward)
powstaje syntetyczna opcja put (daje udział w zyskach kursowych)
OPCJA UZGODNIENIE
• Typ opcji (plain vanilla, azjatycka,
egzotyczna)
• Sprzedający/ kupujący
• Rodzaj opcji (europejska, amerykańska,
atlantycka)
• Typ opcji (call, put)
• Waluta, kwota, cena realizacji, data,
realizacji, data rozliczenia, premia, dzień
zapłaty premii
OPCJE
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Callable, putable, extendable..
Cap, floor, spread
Opcje odroczone (forward start options)
Opcje na opcję na instrument pierwotny (copound
options)
Opcje z wyborem typu buy/call (chooser options)
Opcje z pułapami (barrier options, knock-in/out options,
digital)
Opcje z wypłatą lub bez (binary, cash or nothing, gap
options, supershares)
Opcje z premią zależną od minimalnej ceny (look back
options) ), opcje różnicowe (Qanto)
Opcje azjatyckie (average options), bermudzkie
OPCJA A FORWARD
+
kurs
wymiany
-
Long call _+ short put = syntetyczny long forward
Ten sam strike oraz ten sam czas do wygaśnięcia opcji.
OPCJA A FORWARD
Short call + long put = syntetyczny short forward
Ten sam strike oraz ten sam czas do wygaśnięcia opcji.
OPCJA KOSZT
Im agresywniejszy kurs tym wyższa cena opcji, im dłuższy okres, im większe
volatility
opcja call na 14.03.02 dla 3.89 wyniesie 4% od 26,325 M EUR
DZIEŃ
FORW.
PREMIA
14.03.02
3.89
4%
14.03.03
4.16
6%
14.03.04
4.47
8%
14.03.05
4.78
9%
WARTOŚĆ OPCJI
•
•
•
•
•
•
Intrinsic (wewnętrzna) = reference - strike
czyli cena instrumentu bazowego - cena wykonania
Wartość wewnętrzna call
max{0,max(spot-strike) amerykańskie * (czasami futures)
lub max(futures-strike)} europejskie
Premia opcji (cena opcji) = time value + intrinsic value
(wewnętrzna, nieodłączna)
• Time value = premia - wartość wewnętrzna opcji
• Zawsze istnieje time value ze względu na niepewność
do wygaśnięcia opcji (w dniu wygaśnięcia =0)
• Cena opcji zależy od prawdopodobieństwa, że zostanie
ona zrealizowana, używa się modeli rozkładów gęstości
dla oceny prawdopodobieństwa
OPCJE - WARTOŚĆ
• Wartość wewnętrzna opcji:
Call
Max(0, e  estrike)
Put
Max(0, estrike  e)
• Wartość opcji jest nieujemna
• Wartość opcji amerykańskiej jest co najmniej
taka jak europejska
• In-the-money, at-the-money, out-of-the-money
OPCJE - WARTOŚĆ, WARTOŚĆ
CZASOWA & WEWNĘTRZNA
• Opcja out of the money; at the money; in the
money
• Wartość opcji - intrinsic value= time value
• Intrinsic = ref.(spot lub forward) - strike price
• Time value wynika z możliwości zmian ceny
waluty do maturity - zawsze time value powiększa
intrinsic value
• Volatility nie jest zupełnie obiektywne na rynku bierze się pod uwagę przeszłe (hist.), bieżące i
przyszłe (implied)
• Niższe volatility dla buyer, wyższe jako seller opcji
OPCJE
Opcje europejskie: at the money strike=futures/forward
Opcje amerykańskie: zależy od relacji spot i forward:
Forward > spot
Forward < spot
CALL
forward
spot
PUT
spot
forward
Dwa dni po dacie transakcji zapłata premii oraz dwa
dni po dacie ekspiracji opcji value date
OPCJE
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
A) EUR call /Ł put
spot EUR 1 = 0.6 Ł
forward EUR 1 = 0.6175
Czy strike 0.625 jest in, at, out of the money
B) USD put/CHF call
spot USD 1=CHF 1.7100
forward USD 1=CHF 1.6855
Czy strike 1.650 jest in, at, out of the money
A) out, bo europejska i porównanie z forward
B) out, bo amerykańska tu: do spot
WYCENA OPCJI
• Założenia, że no-arbitrage price relations (prawo jednej ceny),
czyli cena rynkowa bez możliwości bezkosztowego arbitrażu
(albo opcja albo replikacja)
• Opcja to tylko prawo a nie obowiązek
• Złożenie cen dla call i put daje forward a więc daje net cost of
carry
• Istnieje parytet call i put
• Wycena opcji wychodzi z równości między zdyskontowaną
wartością cash flow opcji a zdyskontowaną wartością różnicy
instrumentu w przyszłości do ceny i spot (BS pokazali, że risk
free rate wyłącza problem indywidualnych oczekiwanych stóp
zwrotu (o ile jest neutralne podejście do ryzyka)
•
WYCENA OPCJI
• Balck, Scholes 1973, Merton 1973 – model
jednookresowy, wartość opcji jest taka sama bez
względu czy założymy risk neutral, czy risk averse
individual. Rozkład zwrotu jest lognormal. Opcja
europejska.
• Cox, Ross, Rubinstein 1979 opcje amerykańskie,
discret jump,
– Binominal
– Trinominal
– Monte Carlo simulation
• Dyskrecjonalne wersje geometrycznych ruchów
Browna
WYCENA OPCJI PARYET PUT-CALL
• Dla opcji europejskiej premia put może być wyceniona
jako premia call + wartość zdyskontowana strike price –
cena instrumentu.
• Parytet put-call
premia
put

premia
call
i  stopa wo ln a od ryzyka
t  czas do wygasniecia opcji
 it
 spot  strike * e
WYCENA OPCJI PARYET PUT-CALL
Pozycja
Wyplata t 0
Wyplata t1
ST  X ST  X

Buy call
c
Sell put
p
0
ST  X
 ( X  ST )
0
Inwestycja
 XeiT
X
X

RAZEM
 c  p  XeiT
ST
ST
Bardziej generalna zależność put-call w opcji europejskiej:
c  p  SeiT  Xe iT  ( F  X )e iT
WYCENA OPCJI
• Przykład: strike call 3.9250 PLN/$ , premia 1500, break-even
= 3.9875, czas do wygaśnięcia opcji 180 dni, stopa wolna
od ryzyka 2%, S= 4 PLN/$ (oczekiwany spot = futures)
• Put-call parity opcja at the money put oraz call mają tę
samą premię (symetria put-call)
premia
call

premia
put
 it
 spot  strike * e
i  stopa ; wo ln a; od ; ryzyka
t  czas; do; wygasniecia; opcji
P=
S
0,035946
C
-4
X
0,15
e^iT
3,925 0,99005
• P=-4+0.1500+3.9250*e^(0.02*180/360)=0.0359
• Tu premia w punktach bazowych,
• Gdy nierównowaga -arbitraż (patrz syntetyczny call i put)
prowadzą do wyrównania się premii at the money
SKŁADNIKI TWORZĄCE WARTOŚĆ
OPCJI
• Cena opcji składa się z następujących
komponentów:
• Cena opcji = wartość wewnętrzna + czasowa
• Dla wyższych cen premia zmienia się convex
##### 100
83,00
##### 100
84,00
##### 100
85,00
##### 100
86,00
##### 100
87,00
##### 100
88,00
##### 100
89,00
CENA
#####
100OPCJI
90,00
##### 100
91,00
##### 100
92,00
##### 100
93,00
##### 100
94,00
##### 100
95,00
##### 100
96,00
##### 100
97,00
##### 100
98,00
##### 100
99,00
##### 100 100,00
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
10,00%
10,00%
10,00%
10,00%
10,00%
10,00%
10,00%
10,00%
10,00%
10,00%
10,00%
10,00%
10,00%
10,00%
10,00%
10,00%
10,00%
10,00%
###
###
###
###
###
###
###
###
###
###
###
###
###
###
###
0,10
0,25
0,39
###
###
###
###
###
###
###
###
###
###
###
###
###
###
###
0,03
0,18
0,32
0,02
0,04
0,06
0,10
0,15
0,21
0,30
0,42
0,58
0,77
1,01
1,29
1,64
2,03
2,49
3,00
3,57
4,19
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
Time
Intrinsic
WARTOŚĆ RYNKOWA OPCJI
OPCJA CALL
Wartość rynkowa
opcji
Pay-out
TOTAL VALUE (PREMIA)
Time value (premia-intrinsic)
Intrinsic value Max(S-X,0)
Strike ! price
OUT
AT
IN
kurs
WARTOŚĆ WEWNĘTRZNA
• Realizacja opcji
• Wartość wewnętrznaCall = max[S-X,0]
• Wartość wewnętrznaPut = max[X-S,0]
Call
Put
kurs > ceny bazowej In-the-money
Wartość wew. > 0
Out-of-the-money
Wartość wew. = 0
kurs = cenie
bazowej
At-the-money
Wartość wew. = 0
At-the-money
Wartość wew. = 0
kurs < cena bazowa Out-of-the-money
Wartość wew.= 0
In-the-money
Wartość wew. > 0
WARTOŚĆ CZASOWA
• Wartość czasowa (time value) – funkcja
prawdopodobieństwa wystąpienia korzystnych dla
nabywcy zmian cen instrumentu.
• Wartość czasowa = Cena opcji - wartość
wewnętrzna
• Wartość czasowa jest składnikiem, jaką płaci nabywca
za szansę, że przez pozostałą część czasu kurs
instrumentu bazowego rozwinie się pozytywnie dla
niego.
• Z reguły wartość czasowa jest dodatnia.
• Wyjątek: gdy głęboko (deep-in-the-money Puts)
WARTOŚĆ OPCJI W CZASIE
EROZJA WARTOŚCI
Wartość opcji
w czasie
Czas do umorzenia
Data zapadalności
TIME VALUE - PRZYKŁAD
OPCJE KUPNA
Kurs wyk. cena kurs opcji wartosc wewnetrzna wartosc czasowa
1.5
1.6 0.165
0.1
0.065
1.3
1.25 0.074
0
0.074
OPCJE SPRZEDAZY
kurs opcji wartosc wewnetrzna wartosc czasowa
0.05
0
0.05
0.108
0.05
0.058
• Wartość czasowa tym większa im większe
jest prawdopodobieństwo znaczącej zmiany
instrumentu bazowego
OPCJE
• Koszt opcji - premia zależy od: kwota, call czy
put, spot, strike, volatility, i,i’, data,
• Volatility: historyczna, zakładana, oczekiwana,
ocena pozycji przez dealera
• Motywy: ostrożnościowy, spekulacyjny,
rentowności
• Opcje inter-bank 5-10 mln$ zwykle do 3 lat
• Opcje walutowe, na stopy%, papiery
wartościowe, indeksy, commodities, futures
• Np.koszt opcji call można sprowadzić
syntetycznie do zakupu waluty na kredyt
NON-DELIVERABLE OPTION
• PRZYKŁAD:
• Rozliczenie dla opcji call: strike $3.9000,
referencyjny $4.0000
• 1000000$*(4.0000-3.9000)=10000PLN
• Rozliczenie opcji put: strike $4.1000,
referencyjny $4.0000
• 1000000$*(4.1000-4.0000)=10000PLN
GŁÓWNE CZYNNIKI
WYZNACZAJĄCE CENĘ OPCJI
Zmiana ceny
Wzrost
Call
Put
Kurs (S)


Ceny bazowej (X)


Reszta czasu ()


Stopa wolna
ryzyka (r)




Volatility ()
od
ZMIENNOŚĆ
ZMIENNOŚĆ
• Zmienność ceny aktywu jest miarą ryzyka
dotyczącego jego ceny w przyszłości
• Różne rodzaje zmienności powoduję, że cena opcji z
modelu może się różnić od rzeczywistej ceny opcji
(historyczna, z symulacji, zakładana, implikowana)
• Odchylenie standardowe jest dobrą miarą ale też z
wadami. Mierzy rozrzut wokół wartości oczekiwanej i
często przyjmuje się, że ma on rozkład normalny
• Tymczasem to nie rozkład cen ma charakter
normalny lecz rozkład naturalnych logarytmów stóp
wzrostu
ZMIENNOŚĆ
•
•
•
•
•
W rozkładach symetrycznych = odchylenie standardowe
Pozwala mierzyć prawdopodobieństwo
Mierzy się ryzyko, aby zakończyć transakcję in the money
Zmienność jest postawą wyceny opcji
Mierzy jak wartość danego aktywu może fluktuować
(market confusion),
• Determinuje premię opcji
• Im większa zmienność tym większa szansa, że opcja stanie
się zyskowna i skończy in the money
• Dla rozkłądów niesymetrycznych modele binominalne,
trinominalne
TYPY ZMIENNOŚCI (VOLATILITY)
• ZAKŁADANA:
– Trzeba znać: cenę rynkową,
stopę %, dzień ekspirowania,
cenę strike
– Model Black-Scholes
• Zakładana zmienność jest
miarą raczej zmienności
opcji niż aktywu
• HISTORYCZNA:
– Zmienność statystyczna,
obserwacja przeszłości,
– Miarą zmienności jest
odchylenie standardowe
ceny aktywu (często 21-23
dni)
KWANTYFIKACJA ZMIENNOŚCI
VOLATILITY
• Ponieważ zmienność jest wartością
nieobserwowalną nie może być mierzona, a
jedynie szacowana.
• Zazwyczaj stosuje się dwie metody szacowania
zmienności:
– Zmienność historyczna:
• Zmienność szacuje się za pomocą historycznych danych o kursach.
– Zmienność zakładana (implied Volatility):
• Zmienność bazuje na cenach rynkowych instrumentów
derywatywnych.
ZMIENNOŚĆ
EUR/$=1.1
EUR/$=1
EUR/$=0.9
Zmienność = 10%, średnia kursu = 1
VOLATILITY PRZY GEOMETRYCZNYCH
RUCHACH BROWN’A
• Te kursy wskazują na tę samą zmienność
równą 0 (=0).
a)
b)
c)
• Te kursy mają tę samą zmienność (=/0).
d)
e)
f)
PROCES STOCHASTYCZNY
• Random walk (opisuje
B(t  1)  B(t )   (t  1), B(0)  Bo
błądzenie losowe, zakłócenie
losowe ma rozkład normalny (t )  zakłakłócelosowe
(0;1), dla procesu ciągłego
white noise)
B(t  dt )  B(t )  z (t  dt ), B(0)  Bo
• Geometryczne ruchy
Odmiana geometryczna
Browna,
dX (t )  Xdt  XdB(t )
z (t )  proces Gaussa  Wienera(0,1)
  dryft wartosci zmiennej losowej
  zmiennosc ceny
X  zmienna losowa
SZACOWANIE HISTORYCZNEJ
ZMIENNOŚCI
• Jeżeli zmiany kursu
• Szacunek średniej :
odpowiadają
1 n
geometrycznym ruchom
m   ri
n i 1
Brown‟a (1905 teoria), to
rentowności w stałych
interwałach (z próby)
i wariancji: 1 n
2
2




r

m

i
mają rozkład normalny
n  1 i 1
Średnia
Wariancja
=
m
= 
2
lub odchylenie
standardowe (Volatility)
 
1 n
ri  m 2

n  1 i 1
ANNUALIZACJA VOLATILITY
• Dla obliczenia zmienności   oznacza ilość obserwacji
stosuje się różne przedziały
w roku:
czasu - dzień, miesiąc,
kwartał.
4 rentowność kwartalna
• Aby uzyskać
12 rentowność miesięczna
porównywalność dokonuje
52 rentowność
się anualizacji odchylenia
tygodniowa
standardowego
250 rentowność dzienna
• dla historycznej zmienności:
 2  1 *
T2
T1
lub
 ann.   
VOLATILITY - IMPLICITE
• Przy szacowaniu pojawiają się następujące
problemy:
– Jak długi ma być czas obserwacji?
– W jakich interwałach obserwować kursy? (dziennie,
tygodniowo, miesięcznie ...)
• Każdy trader ma inną odpowiedź. A więc pogląd
odzwierciedla się w volatility.
• W centrum uwagi rynku jest przyszła
zmiennność rynku aby zweryfikować własne
oszacowania.
• Implicite zawarta zmienność w oferowanych
cenach jest tą implicite Volatility.
KWOTOWANIA, ROZLICZENIE
OPCJI
KWOTOWANIE OPCJI FX
• Czasami premia kwotowana jako % od
strike price
• Np. EUR call/Ł put, strike 0.625, call
Ł=0.025, czyli 0.025/0.625=4%, lub od
spotu 0.025/0.6=4.17%
• USD put/CHF call strike 1.6855, premia
0.0783 CHF/$, stąd 0.0783/1.6855=4.65%
• lub 0.0783/1.71=4.58% od spot (1.71)
KWOTOWANIA OPCJI
USD/PLN
1M
2M
3M
6M
1Y
KURS
4.0842
4.1224
4.1546
4.2459
4.3231
CALL
435/482
643/709
840/918
1266/1378
1825/1982
1 punkt bazowy 10 pln
Np. 1 000 000 usd, koszt opcji call 643/10000*1000000=64300 pln
OPCJA BREAK-EVEN
•
•
•
•
•
•
•
•
CALL
BREAK-EVEN=STRIKE + PREMIA BPS
PREMIA BPS=SPOT*PREMIA%
PUT
BREAK-EVEN=STRIKE-PREMIA BPS
PREMIA BPS=SPOT*PREMIA %
np.0.625 Ł/EUR+0.025=0.650, bo 0.6*4.17%=0.025
np.1.71CHF/$*4.58%=-0.0783+1.6855=1.6072
OPCJE ROZLICZENIE
• CALL, strike 105, wartość aktywu 110 at
maturity, premia 10,
• nabywca może kupić po 105 i sprzedać po
110,
• zysk z realizacji opcji 110-105=5 ale,
• koszt opcji 10, a więc efektywnie 5-10=-5
• opcje kwotowane np. jako np. 5c od 1$ a
więc można łatwo wyliczyć premię
OPCJE ROZLICZENIE
• Sprzedawca opcji tworzy ryzyko
kredytowe, kupujący tego ryzyka jest
pozbawiony
• Istnieją przy strategiach opcyjnych net
settlement options, gdzie rozlicznie
następuje różnicą
• Ryzyko kredytowe - potencjalne ryzyko:
( t *1.645*(  / 1))
Stress, price  spot * e
call  1
put  1
• Potencjalne ryzyko = stress spot - strike
RYZYKO KREDYTOWE
• Opcja call 3 miesiące, strike 54$, spot 52$,
odchylenie standardowe na rok 26,5%
• Stress
price=52*e^(26,5%(3/12)^0.5*1.645=64.68
• Potencjalne ryzyko 64.68-54=10.68
• stress kurs $= 4*e^(15%(3/12)0.5*1.645=4.52
• potencjalne ryzyko 4.52-4=0.52
• W przypadku put różnica między strike - stress
=potencjalne ryzyko
Efektywny kurs w hedgu
EFEKTYWNY KURS FX BUY PUT
EUR
.65
.64
.63
.62 FORWARD
.61
.60
collar
.59
.58
BUY PUT
.57
.55 .56 .57 .58 .59
BEZ HEDGU
collar
.60
.61
.62
.63
.64
Aktualne przysz³e kursy
Czerwona linia pokazuje złożenie buy put EUR i forward - efektywne
i przekształcenie się ich w collar na kurs walutowy
OPCJE
• UPROSZCZONA CENA OPCJI
EUROPEJSKIEJ AT THE MONEY:
• CENA
OPCJI=0,4**T/365*(1/(1+i*(DNI/365))
• lub pierwiastek z 256 dni roboczych
• np. Volatility roczne 10%, 183 dni, i=10%
• 0,4*10%(0,5^0,5)*(1/(1+0,05))=2,69374%
•
lub volatility dzienne * dni^0.5
WYCENA OPCJI
OPCJE
CENA OPCJI A CENA BAZOWA
CENA OPCJI BUY
CENA OPCJI SELL
CENA INSTRUMENTU
CENA INSTRUMENTU
CENA OPCJI BUY
CENA OPCJI SELL
CENA WYKONANIA
CENA WYKONANIA
WYCENA OPCJI
MODELE DWUMIANOWE
OPCJE – GENEZA WYCENA
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Koniec XIX w poszukiwania reguł opcji – Russel Sage opisał
parytet opcji call-put
1973 Fischer Black i Myron Scholes opisali mechanizm wyceny
opcji europejskiej n a akcje bez wypłaty dywidendy
Rozszerzenie modeli Garman- Kollhagen oraz Grabbe
Merton opcje na akcje spółek wypłacających dywidendę
Thorpe model znoszący ograniczenie krótkiej sprzedaży
Cox i Ross wprowadzili model z nieciągłymi zmianami
instrumentu bazowego
Jarrow Rudd odejście od założeń rozkładu log-normalnego
Merton wprowadzenie zmiennej stopy procentowej
1973 Merton zbudował pierwszy model do wyceny opcji
barierowych dla opcji kupna w barierą wyjścia w dół
Opcje złożone model Geske
Opcje wsteczne model Goldman, Sosin, Gatto
Lata 80. model Stulza – model na maksimum lub minimum dwóch
instrumentów bazowych
Ingersoll model opcji azjatyckich
WYCENA OPCJI
• Z kalkulatorem i rozkładem prawdopodobieństwa
inteligentna osoba mająca dobre rozumienie finansów
może wykalkulować cenę opcji - mimo, że model
matematyczny wyceny opcji jest skomplikowany
• Istnieje jednak wiele modeli wyceny opcji (założenia,
metoda)
• Podstawowe założenie racjonalności:
– Prawo jednej ceny oznacza, że jeżeli istnieją 2 instrumenty dające tę
samą wypłatę w przyszłości to aby nie wystąpił wolny od ryzyka
arbitraż to bieżące ceny tych instrumentów muszą być równe.
Cana opcji call musi :
c  C  St
oraz
c  St  Xeit
WYCENA OPCJI
• Rozważmy alternatywę:
• Zakup opcji call
• Zakup na kredyt instrumentu X
POZYCJA
POCZATEK KONIEC
ST  X ST  X

c
Zakupcall
0
STX

Zakupaktywu
z kredytu
St
ST
ST
 XeiT
X
X

RAZEM
 S  XeiT ST  X  0 ST  X
poniewaz e iT  1 to trzeba miec :
St  XeiT  St  X
WYCENA OPCJI
• Tu założenie tzw. niższego poziomu, gdzie konstrukcja polega
na przyjęciu, że bez względu co się stanie w przyszłości wartość
call nigdy nie spadnie poniżej wartości portfela. Czyli albo 0 albo
Vt-Vo (wtedy nie ma arbitrażu wolnego od ryzyka)
• Jeżeli wypłata z opcji da się replikować portfelem = instrument
oraz jego finansowanie, to przy założeniu jednej ceny, cenę
opcji determinuje aktualna wartość portfela (replikacja).
• Portfel będzie pozbawiony ryzyka bez względu na zmiany ceny
instrumentu podstawowego (neutralne ryzyko)
• Tu jednak opcja nie spełnia swojej roli a jedynie replikuje
wypłaty, które już zostały osiągnięte przez utrzymanie
istniejącego instrumentu.
Tu założenie tzw. Niższego poziomu, gdzie konstrukcja polega na przyjęciu, że bez
względu co się stanie w przyszłości wartość call nigdy nie spadnie poniżej wartości
portfela. Czyli albo 0 albo Vt-Vo (wtedy nie ma arbitrażu wolnego od ryzyka)
WYCENA OPCJI (ARBITRAŻ)
Przykład wyniku założenia o arbitrażu bez ryzyka między instrumentami
OKRES 0
OKRES T
120
Akcja A
70
60
Ile powinna kosztować akcja B
100
Akcja B
b?
50
Analiza:
120-100=20
A-B=
b=
70-b
60-50=10
Inwestor skalkuluje wynik pewny co najmniej 10
Czyli w warunkach arbitrażu cena bieżąca b<60,99
stąd b=
b=
70-10/1.11
60,99099
WYCENA OPCJI
• Wycena opcji przeprowadzona na podstawie
drzew dwumianowych może się odbywać
poprzez wykorzystanie:
– techniki portfela replikującego wypłaty z opcji
(replicating portfolio)
– lub prawdopodobieństw w warunkach
powszechnej neutralności na ryzyko (risk neutral
approach)
WYCENA OPCJI - REPLIKACJA
PRZEPŁYWÓW
• I.Metoda portfela replikującego przepływy z opcji
oznacza budowę portfela złożonego z instrumentów
wolnych od ryzyka oraz określonej liczby
instrumentów bazowych, których wartość
oszacowano na moment wykonania opcji. (np.portfel
z akcji kupionych z kredytu) Z założenia taki portfel
ma generować dokładnie taki sam strumień
pieniędzy, jaki przynosi wyceniona w każdym
scenariuszu rozwoju sytuacji opcja.
• Z arbitrażu wynika, że wartość opcji call może być 0
lub nie mniej niż So-xBo(0,T), czyli niż zakup akcji
(pozycja długa) powiększonej o finansowanie
(pozycja krótka) (dlatego tu znak -)
MODEL DWUMIANOWY
• Założenia
–
–
–
–
–
Istnieje określona dyskretna ilość prób
Z każdej próby dwa rezultaty (up, down)
Prawdopodobieństwo trwałe w czasie
Próby są niezależne
Nie jest potrzebne założenie o preferencjach ryzyka inwestorów
• J.C.Cox, S.Ross, M.Rubinstein 1978
• Proces:
– Skonstruowanie portfela o zerowym ryzyku
– Długa pozycja np. w akcjach, krótka w opcji (risk neutral) lub replikacja
wartości opcji przez portfel akcje i krótka w kredycie
– Proporcja akcji wynika z delta – hedge ratio
WYCENA OPCJI PORTFEL
REPLIKUJĄCY
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Warunki konstrukcji portfela replikującego
m ilość instrumentów,
B wartość instrumentów wolnych od ryzyka
tworzących portfel replikujący przepływy z opcji
rf stopa wolna od ryzyka
Cu wartość opcji w dniu jej wygaśnięcia przy
założeniu wzrostu wartości instrumentu
bazowego
Cd wartość opcji w dniu jej wygaśnięcia przy
założeniu spadku wartości instrumentu
bazowego
m wyznacza ilość instrumentów (czyli delta
zmiana wartości opcji do zmiany wartości
instrumentu bazowego)
Bo wzór na wartość instrumentów wolnych od
ryzyka
Znajomość m oraz Bo pozwala na kalkulację
dzisiejszej wartości portfela doskonale
replikującego przepływy z opcji i zastosowania
prawa jednej ceny.
•
PORTFEL REPLIKUJĄCY
mSu  B0 (1  rf )  Cu
mS d  B0 (1  rf )  Cd
Cu  C d
m
Su  S d
B0 
Cu  mSu
1  rf
Cd  mS d
B0 
1  rf
C  mS0  B0
MODEL DWUMIANOWY
PRZYKŁAD REPLIKACJA
• Opcja call na akcje w procesie dwumianowym (model drzewa
Su=150
Założenie akcja może wzrosnąć o 50
dwumianowego)
Cena spot So=100
cena opcji Co?
•
Stopa wolna od ryzyka 25%
Cu=50
Sd=50
Cd=0
lub spaść o 50%
Z określonym prawdopodobieństwem
P(ω)=0,5=1-P(ω)
So=[p*Su+(1-p)Sd]/(1+i)
• Replikacja opcji w postaci portfela. Zastępujemy płatność opcji przez
portfel złożony z akcji kupionych za pożyczone pieniądze. Wartość obu portfeli
musi być równa C1 lub C2. Portfel składa się z m akcji i B wydatku
Cu=m*Su+B
50=m*150+B
inwestycyjnego.
B=-m*50
Cd=m*Sd+B
0=m*50+B
50=m*150-m*50->50=100*m->m=0.5 stąd B=-0.5*50=-25
czyli portfel składa się z 1/2 akcji i pożyczki 25
wartość zdyskontowana pożyczki Bo=B/(1+i) czyli -25/(1.25)=-20
wartość opcji Co=Bo+m*So=-20+0.5*100=50-20=30
MODEL DWUMIANOWY PRZYKŁAD
mSu  B0 (1  rf )  Cu
mS d  B0 (1  rf )  Cd
Cu  C d
m
Su  S d
Cu  mSu
B0 
1  rf
B0 
Cd  mS d
1  rf
C  mS0  B0
So
Su
Sd
Cu
Cd
rf
100,00
150,00
50,00
50,00
0,00
0,25
m=
0,50
Bo=
-20,00
Bo=
-20,00
Call C=
30,00
MODEL DWUMIANOWY – RISK
NEUTRAL
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Protfel składa się z akcji oraz opcji na akcje
Założenie akcja może wzrosnąć o 50
lub spaść o 50%
Z określonym prawdopodobieństwem
P(ω)=0,5=1-P(ω)
So=[p*Su+(1-p)Sd]/(1+i)
Założenie neutralności na ryzyko:
Zdyskontowana wartość akcji musi =100 stąd p=0,75:
100=[p*150+(1-p)*50]/1.25 p=0.75
Przy p=75% wartość zdyskontowana opcji:
c=[0.75*50+0.25*0]/1.25=30
REPLIKACJA/POWIELANIE
POCHODNYCH ZA POMOCĄ
PORTFELA
•
•
•
•
Np.T-t=4, volatility 0.4, S=140, I=12.47%, X=160.
Black Scholes: Cena call wynosi 60.34 $, Delta 79%
To można kupić opcję call za 60.34$
Lub replikować przez portfel składający się z 79%
akcji od 140$=110.60$ oraz pożyczki z banku
110.60$-60.34$=50.26$
• Delta to pierwsza pochodna opcji względem ceny
akcji, czyli jak zmieni się cena opcji, gdy cena akcji
zmieni się o 1%
•
•
•
•
•
MODEL DWUMIANOWY –
NEUTRALNOŚĆ
NA RYZYKO
Popularny
model wyjaśnienia wyceny
opcji (J.C.Cox,
S.Ross, M.Rubinstein, 1976)
Przyjmuje się, że sprzedaż opcji nie wynika ze spekulacji
lecz kalkulacji kosztów (awersja do ryzyka oraz
neutralność na ryzyko)
Dążenie do wykorzystania dźwigni finansowej –
finansowanie obligacjami zakupu.
Dwa instrumenty - kasowy i opcja tak dobrane, aby ruch
cen był przeciwstawny, a przychód równy stopie wolnej
od ryzyka. Kupno ackji oraz pożyczka z banku
Np. Długa kasowa i krótka na opcji kupna lub długa opcja
oraz krótki instrument. Taka proporcja aby dała i.
– wart.końc.portfela=wart.końc.walorów spot-wart.koń.opcji
– wart.pocz.portfela=wart.pocz.walorów spot-war.pocz.opcji
=i
WYCENA OPCJI – NEUTRALNOŚĆ NA
RYZYKO
• II.Metoda a/ portfela bez ryzyka oraz b/prawdopodobieństw w warunkach
powszechnej neutralności wobec ryzyka:
• A/Budowany jest portfel złożony z jednej opcji w pozycji krótkiej oraz
określonej liczby instrumentów bazowych. W założeniu portfel ten ma
być wolny od ryzyka, a więc bez względu na przewidywane zmiany
wartości instrumentu bazowego, wartość końcowa całego portfela musi
pozostać na stałym poziomie. Taki portfel powinien dawać stopę wolną
od ryzyka.
• B/Neutralny na ryzyko portfel daje stopę wzrostu = risk free. Stąd cena
dzisiejsza aktywu = zdyskontowanej cenie przyszłej. Ale wartość
przyszła oczekiwana aktywu zależy od „risk neutral”
prawdopodobieństwa tego, że z „p” cena wzrośnie oraz, że z (1-p)
spadnie.
• W obu przypadkach wyliczona wartość opcji w to jest taka sama
•
•
•
•
•
•
•
•
•
MODEL DWUMIANOWY – NEUTRALNY
NA RYZYKO
MODEL MOŻNA ZAPISAĆ:
Instrument pierwotny So zabezpiecza się wystawieniem h
opcji call C.
B - wartość wypłaty stała bez względu
na zmianę wartości instrumentu
Ilość h musi być taka aby wypłata była B bez względu na
kierunek zmian cen (u wzrost, v spadek)
Współczynnik zabezpieczenia h=
Portfel WP złożony z instrumentu pierwotnego oraz
sprzedanych h opcji call trzeba porównać ze stopą wolną
od ryzyka
stąd z prównania obu stron
wylicza się wartość opcji call
gdzie p oznacza tzw. Prawdopodobieństwo arbitrażowe
Cu,Cv-max i min wartość opcji w T, Su,Sv-max,min cena
wygaśnięcia instrumentu,S-Oczekiwana cena bieżąca
instrumentu, C- bieżąca cena opcji, wp- wartość portfela
B0  S 0  hC
B  S u  hCu  S d  hCd
h
u S d
Cu  Cd
 (S
)
 it
WP  S u  ( h C u ) * e
KosztP  S  hC
WP  kosztP
 it
S u  (h C u ) * e
 it
 S  hC
C  e ( p * C u  (1  p ) * C d )
 it
p
s0 *e
 Sd
Su  S d
•
MODEL DWUMIANOWY
PRZYKŁAD B  S  hC
Cena instrumentu w to 100, w t1 może być 120
0
lub 90, strike 110, wtedy cena wykonania opcji
wyniesie 10 lub 0. Czas opcji 1 rok, stopa wolna
od ryzyka 10%. Ile wyniesie cena opcji w modelu
dwumianowym?
Cena kasowa So
Cena wykonania
Su
Sd
Cu
Cd
h=
i=
t
WP=
Koszt P=
p=
C=
B=B1=
B=B2=
100
110
120
90
10
0
-3
0,1
1
92,85488
?
0,016125
0,145903
0
B  S u  hCu  S d  hCd
h
u S d
Cu  Cd
 (S
)
 it
WP  S u  ( h C u ) * e
KosztP  S  hC
WP  kosztP
współczynnik zabezpiecznia
stopa wolna od ryzyka
czas 1 rok
 it
S u  (h C u ) * e
 it
prawdopodobienstwo arbitrazowe
cena call
90 sprawdzenie dla SuCu
90 sprawdzenie dla SvCv
 S  hC
C  e ( p * C u  (1  p ) * C d )
 it
p
s0 *e
 Sd
Su  S d
MODEL DWUMIANOWY CD
S=187.5
S=175
S=150
Cena
spot 100
S=50
S=25
S=12.5
Model dla zmiennych nieciągłych (skokowych)
a co gdy ilość okresów -> nieskończoności - to ten dąży do modelu Black-Scholes
•
•
•
•
•
•
•
•
•
WYCENA OPCJI – NEUTRALNOŚĆ NA
RYZYKO
ustalenie m pozwala określić ilość instrumentów bazowych
(delta)
taki portfel jest wolny od ryzyka a więc stopa zwrotu z tego
portfela musi być równa stopie wolnej od ryzyka.
Ze wzoru trzeciego wyliczamy wartość bieżącą opcji C, do wzoru
3 podstawia się formułę m z wzoru 2 I przekształca się
Wartość instrumentu bazowego jest sumą zdyskontowanych
stopą wolną od ryzyka nieobarczonych ryzykiem przyszłych
wartości instrumentu bazowego (certainty equivalent values)
Wyznaczenie nieobarczonych ryzykiem przyszłych wartości
instrumentu bazowego jest możliwe poprzez przemnożenie
przyszłych obarczonych ryzykiem wartości tego instrumentu
przez prawdopodobieństwa właściwe dla warunków
powszechnej neutralności wobec ryzyka ( risk neutral
probabilities), u: wzrost indkesu akcji, d: spadek indeksu akcji
Daje to wzór na V
P – prawdopodobieństwo w warunkach neutralności na ryzyko.
Stąd można wyliczyć wartość bieżącą opcji C.
Przemnożenie wartości opcji w momencie jej wygaśnięcia przez
prawdopodobieństwa w warunkach neutralności na ryzyko
pozwala wyznaczyć wolną od ryzyka wartość opcji, która po
zdyskontowaniu daje jej wartość bieżącą.
mVu  Cu  mVd  Cd
m
Cu  C d
Vu  Vd
mV  C 
mVu  Cu
1  rf
u  1   dt
C
V
p
Cu
d  1   dt
(1  rf )  d
ud
 Cd
1  rf
Vu p  Vd (1  p )
1  rf
(1  rf )  d
1 p 
ud
u  (1  rf )
ud
( pCu  (1  p )Cd )
C
1  rf
u  (1  rf )
ud
ROZKŁAD LOGNORMAL
• Jeżeli rozkład jest normalny o parametrach μ oraz σ to dla
lognormalnego rozkładu prametry μ‟ oraz σ‟ są:
2

2
' e
 ' e

2
2
e
2
1
Powstały różne modele oparte o różne założenia:
• Black-Scholes, rozkład log normal
• Black-Derman-Toy, binary interest tree
• Heat-Jarrow-Morton, techniki Monte Carlo
GENEZA
• Fischer Black- Myron Scholes 1973 zrobili dla opcji to co
Einstein dla teorii względności
• Podstawa matemetyczna wyceny opcji to identyfikacja
prawdopodobieństwa realizacji opcji
• Premia za opcję musi być równa oczekiwanemu zyskowi
• Podstawowy pomysł to specyfikacja warunków dla
dynamicznego hedgowania ceny instrumentu oraz że
portfel nie obciążony ryzykiem daje stopę przychodu
wolną od ryzyka
• Rozwiązanie równań dla tych warunków, dla przyjętych
granic wartości opcji w dniu ekspirowania, daje fair value
opcji w każdym czasie
• Zakłada się, że cena instrumentu zmienia się według
MODEL B-S
• To formuła wyceny zwykłych opcji europejskich
• Założenie, że logarytmy stóp zwrotu (z akcji) mają
rozkład normalny
• Zysk z opcji kupna max(St-X,0)
• Cena akcji podlega procesowi stochastycznemu z
multiplikatywnym ciągiem zmian – geometryczne
procesy ruchów Browna
• Czyli St=Sexp(lnSt/S)=Sexp(µt+εσt), gdzie zmienna
losowa ma rozkład normalny
• Rozwiązanie różniczkowe to model B-S
B-S
• Stochastyczny proces
opisują geometryczne ruchy
Browna o małych zmianach
w czasie dt
• Logarytmiczny zwrot z
aktywu ma rozkład normalny
o nadziei dt i wariancji
^2dt
• Całkowity zwrot wynosi
• Proces zakłada, że końcowa
wartość aktywu ma rozkład
gdzie N(0,1)
• Z tego procesu B-S
zbudowali model
dS / S  dt  dz
dz o norma ln ym rozkladzie mean  0 i wariancji  dt
ln( ST )  ln S 0  (    2 / 2)    
BLACK-SCHOLES - ZAŁOŻENIA
• Opcja jest opcją europejską
• Nie istnieją podatki, koszty transakcyjne, depozyty
zabezpieczające, podatki, rynki kapitałowe doskonałe
• Udzielanie oraz zaciąganie pożyczek jest możliwe po stałej
stopie wolnej od ryzyka, kapitalizowanej w sposób ciągły
• Instrument bazowy może być w krótkiej sprzedaży
• Instrument bazowy w okresie opcji nie przynosi żadnego
dochodu/dywidendy
• Cena instrumentu jest ciągła w czasie
• Zmienność ceny oraz stopy zwrotu z aktywu w okresie opcji
są stałe (stała wariancja) i rozwija się jak proces Wiener‟a
• Stopa procentowa jest znana i stała
• Lognormalny rozkład przyrostu cen
SPECYFIKA MODELU DLA OPCJI
EUROPEJSKICH (BLACKSCHOLES)
• The Option Pricing Model
• Dwie statystyki - wartość oczekiwana oraz odchylenie standardowe =
volatility. Rozkład log-normalny prawdopodobieństwo - to pole pod krzywą
Gaussa
Wartosc oczekiwana   * t Volatility  t
c  Se i* N (d1 )  Xei N (d 2 )
d
1
N (d )    ( x)dx 
2

PGaussa (ln S t1 / S t 0 ) 
1
d
e
1
 x2
2
dx

(ln S t 1 / S t 0   ) 2
e
2 2
2
2

Założenie godziwej wartości rynkowej opcji (fair market price)
•
• Model ten jest rozwinięciem wielookresowego modelu dwumianowego dla
bardzo dużej ilości okresów
B-S
(d)
N(d1)
FUNKCJA GĘSTOŚCI
PRAWDOPODOBIEŃSTWA
1
DELTA
0,5
0
d1(S)
d1
•
•
•
•
•
SKŁADNIKI KALKULACJI OPCJI W
B-S
C = Call-cena wartość
P = Put-cena wartość •
S = Kurs spot
X = Cena bazowa, strike
•
i
= Stopa wolna od
ryzyka p.a.
•
  = Volatility p.a.
zmienność implikowana
• T = Czas ekspiracji
• t
= Czas obserwacji
(dziś) stochastyczny od dziś
do daty
 =T-t= Reszta czasu do
ekspiracji (w latach)
N(.) = Funkcja rozkładu
Rozkład normalny
standaryzowany
n(.) = Funkcja gęstości
rozkładu normalnego
e = liczba e
podstawa
ln
BLACK-SCHOLES - OPCJA
EUROPEJSKA
1973
Black-Scholes Option:
•
PV (call) = [FT N(d1) - X N(d2)] * e-rT
PV (put) = [X N(-d2) - FT N(d1)] * e-rT
 r (T  t )

*
N
(
)

X
*
*
N
(
)
Ct S t d1
e
d2
gdzie: N(.) dystrybuanta rozkładu normalnego
2
S

t
ln
 (b 
)(T  t )
d1 ={ln (FT/X) + (r+σ2 / 2) * (T-t)} / (σ (T-t) )
X
2

d1
 T t
d2 = d1 - (σ (T-t) )
2
ln( S / X )  (b   / 2)(T  t )
• Cena zależy od następujących parameterów:
d 2  d1  T  t 
 (t  t )
FT
Forward rate at maturity (funkcja spot i
 S t  spot / futures  FT
stóp %)
X  strike
X
strike
r  riskfree%
  zmiennośm
T- t time to maturity
T  t  reszta `czasu `opcji
σ
volatility
N (.)  rozkłozk ' norma ln y
r
discount rate (stopa % zagranicy)
d St
 dt  d z1
• Ilustracja d1 and d2:
St
  rentownośe`momentu

z1  proces / Wiener /
b  r  zmienna / użżyt / w / analizie
N(d1)- prawdopodobieństwo, że nie przekroczy d1 czyli,
prawdopodobieństwo, że rentowność inwestycji nie zwiększy się
o więcej niż d1 od wartości oczekiwanej
• N(d2)- prawdopodobieństwo, że nie przekroczy d2
•
- N (d2) Prowdopodobieństwo egzekucji opcji
FTx N(d1) / N(d2)
wartość aktywów
Najbardziej prawdopodobna
BLACK-SCHOLES - PRZYKŁAD
DLA OPCJI EUROPEJSKIEJ St TO CENA
BEZWARUNKOWEJ TRANSAKCJI TERMINOWEJ
OBLICZENIE WARTOSCI OPCJI CALL
cena akcji
zmiennosc
okres do wygasniecia
strike
stopa %
100
0,2
0,2
98
0,1
$
20%
T-t
$
r=10%
ROKU
* N (d 2)
ln S t  (r   )(T  t )
d 1  X  T 2t
2
ln S/X
0,020203
LN
skorygowany dochod
0,016
(r-0.5wariancji)*(T-t)
skorygowana zmiennosc
0,089443
od.standar(T-t)
d2=
0,404759
N(d2)=
0,657172 dystrybuanta
prawdopodbienstwo
wykonania opcji
65%bo opcja in the m
d1=
0,494201
d1=d2-skor.zmiennosc
N(d1)=
0,689418 dystrybuanta
wspol.delta
wspolczynnik dyskontujacy
0,980199
WAROSC OPCJI CALL 5,81416
 r (T t )
C t  S t * N (d 1)  X * e
ln( S / X )  (r   / 2)(T  t )
2
d d
2
1
 T  t 
 (T  t )
$
P   S t * N (  d 1)  X * N ( d 2 ) e
 r (T t )
BLACK-SCHOLES – OPTION ON
FUTURES
• Zastępuje się S przez
futures F i wtedy opcja
call=
• W świecie neutralnego
ryzyka formuła =
• Zmienna d2 zależy
rzeczywiście od ceny
wykonania opcji
• Przekształcając
dochodzimy do
wniosku, że
c  [ F * N (d1 )  K * N (d 2 )]e i (T t )
c  E[e
 i (T  t )
Max( ST  K ,0)  e
 i (T  t )

[  Sf ( S )dS  Ke
K
Risk  neutral wykonania N (d 2 )
ln( K )  ln( S 0 )  (i   2 / 2)(T  t )   (T  t ) *
 *  d 2
 i (T  t )

[  f ( S )dS ]
K
BLACK-SCHOLES – PORTFEL
ZABEZPIECZAJĄCY
 r (T  t )
•
•
Formułę B-S można przekształcić
w portfel replikujący: opcja C daje
dokładnie ten sam efekt co portfel
akcji oraz pożyczki. Wartość opcji
kupna równa się inwestycji netto w
akcje na kredyt.
Drugie przekształcenie pokazuje
warunek neutralności na ryzyko –
definiuje portfel zabezpieczający
dla opcji zakupu. Kupując h akcji i
sprzedając opcję kupna tworzymy
portfel o zdefiniowanej wartości B,
która musi dać nam stopę wolną
od ryzyka. N(d1)=h=delta
C  S t * N (d1 )  X * N (d 2) e
przekształcenie
 r (T  t )
C  hS  B gdzie h  N (d1 ) oraz B  X * N (d 2) e
Portfel replikująey opcję C to prawa strona
B  hS  C
portfel zabezpieczająją h  N (d1 )
h : iloraz zabezpieczenia
OPCJA DYNAMIKA
BLACK SCHOLES OPTION PRICING
Dynamic Chart
Inputs
Dynam ic Chart of Black Scholes Option Pricing
Call
$100
Option Type: 1=Call, 0=Put
1
1
Standard Dev - Annual ()
Riskfree Rate - Annual (R)
Exercise Price (E)
Time To Maturity - Yrs (T)
20%
2
8.0%
8
$98.00
98
0.20
2
Option Price
$80
$60
$40
$20
$0
$0
Dynamic Chart Outputs
Stock Price Now (P s )
Option Price
Intrinsic Value
$0.01 $20.00 $40.00
$0.00 $0.00 $0.00
$60.00
$0.00
$50
$80.00
$0.06
$100
Stock Price Now
$100.00
$5.59
$120.00
$23.59
$150
$140.00
$43.56
$200
$160.00
$63.56
$180.00
$83.56
$200.00
$103.56
$0.01
$98.00
$200.00
$0.00
$0.00
$102.00
d1
d2
N(d1)
N(d2)
Call Price (V c )
-101.760 -17.412 -9.720
-101.850 -17.502 -9.811
0.000 0.000 0.000
0.000 0.000 0.000
$0.00 $0.00 $0.00
-5.221
-5.311
0.000
0.000
$0.00
-2.029
-2.119
0.021
0.017
$0.06
0.448
0.358
0.673
0.640
$5.59
2.471
2.381
0.993
0.991
$23.59
4.182
4.091
1.000
1.000
$43.56
5.663
5.573
1.000
1.000
$63.56
6.970
6.880
1.000
1.000
$83.56
8.140
8.049
1.000
1.000
$103.56
-101.760
-101.850
0.000
0.000
0.223
0.133
0.588
0.553
8.140
8.049
1.000
1.000
-d1
-d2
N(-d1)
N(-d2)
Put Price (P p)
101.760 17.412 9.720
101.850 17.502 9.811
1.000 1.000 1.000
1.000 1.000 1.000
$96.43 $76.44 $56.44
5.221
5.311
1.000
1.000
$36.44
2.029
2.119
0.979
0.983
$16.49
-0.448
-0.358
0.327
0.360
$2.03
-2.471
-2.381
0.007
0.009
$0.02
-4.182
-4.091
0.000
0.000
$0.00
-5.663
-5.573
0.000
0.000
$0.00
-6.970
-6.880
0.000
0.000
$0.00
-8.140
-8.049
0.000
0.000
$0.00
101.760
101.850
1.000
1.000
$96.43
-0.223
-0.133
0.412
0.447
$2.77
-8.140
-8.049
0.000
0.000
$0.00
FORMUŁY OPCJI
Założenia
Formuła opcji
b=r
Tradycyjny Black-Scholes
b=r-q
q=-(1/T)ln[1NPV(dywidendy)/S]
b=0
Merton 1973 – model opcji akcji
z dywidendą q
b=r-rf
Garman & Kohlhagen 1983
opcje na waluty
Black 1976 model dla opcji na
futures, cap, floor
ROZKŁAD DWUMIANOWY DRZEWO
Jarrow-Rudd (uproszczone)
Rozkład dwumianowy Drzewo JR
liczba krokow
rozmiar kroku
o
0
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
9
0,33 czyli 1/9-½
0,5
1
0,33
-0,33
2
0,67
0
-0,67
3
1
0,33
-0,33
-1
4
1,33
0,67
0
-0,67
-1,33
5
1,67
1
0,33
-0,33
-1
-1,67
6
7
8
2
1,33
0,67
0
-0,67
-1,33
-2
2,33
1,67
1
0,33
-0,33
-1
-1,67
-2,33
2,67
2
1,33
0,67
0
-0,67
-1,33
-2
-2,67
SREDNIA
Odchyle Std
p(A)
cena końcowa
liczba ścieżek
9
3,000
1
0,002
2,330
9
0,018
1,670
36
0,07
1,000
84
0,164
0,330
126
0,246
-0,330
126
0,246
-1,000
84
0,164
-1,670
36
0,07
-2,330
9
0,018
-3,000
1
0,002
0,0000
1
UŚMIECH ZMIENNOŚCI
• Uśmiech zmienności to wykres wewnętrznej
zmienności opcji będącej funkcją jej
wykonania. Gdyby prawdziwe było założenie
Balck-Scholes dotyczące normalności
rozkładu to uśmiech zmienności byłby linią
prostą
• Natomiast w rzeczywistości na krańcach
wyraźnie implikowana zmienność rośnie,
ponieważ rynek spodziewa się większych
zmian
UŚMIECH VOLATILITY
IMPLIED VOLATILITY
ZMIENNOŚĆ OPCJI ROŚNIE WRAZ Z
RUCHEM IN LUB OUT OF THE MONEY
IN THE MONEY PUT
OUT OF THE MONEY CALL
WYKRES STRIKE PRICE
I ZMIENNOŚCI GRUP OPCJI
O TEJ SAMEJ DACIE EKSPIRACJI
IN THE MONEY CALL
OUT OF THE MONEY PUT
AT-THE-MONEY CALL/PUT
Im dalej od punktu at-the-money tym większa szansa, że cena się zmieni
Implied volatility
Implied volatility
Dla pln call dro¿szy ni¿ put
Delta
PUT
at
CALL
GIEŁDA: OPCJE
• XII 1972 Philadelphia, później Chicago 73,
ale walutowe od 1882 Londyn IFFE 1985..
• Model wyceny opcji F.Black & M.Scholes
1973 (univ.Chicago)
• Opcje giełdowe - regulowany rynek: kontrakt,
przedmiot, kurs bazowy, tic, termin
rozwiązania opcji, open out cry, initial margin,
clearing, gwarancja wykonania, realizator
przypadkowy
• opcje na futures
OPCJE - WPŁYW ZMIENNYCH NA
PREMIĘ
Long
call
Short
call
Long
put
Short
Put
Wzrost ceny bazowej (SPOT)
>
<
<
>
Wzrost zmienności implikowanej
>
<
>
<
Wzrost stopy procentowej waluty bazowej
<
>
>
<
Wzrost stopy procentowej waluty kwotowanej
>
<
<
>
Upływ czasu
<
>
<
>
 >Wzrost
 <spadek
OPCJE
GREEKS
WRAŻLIWOŚĆ
HEDGING OPCJI
HEDGING OPCJI
• Opcje zmieniają się nieliniowo i mają
nielinearną wypłatę
• Strata na opcji jest kombinacją dwóch
czynników:
– Ekspozycji
– Czynnika ryzyka
• A więc nie tylko ważny jest czynnik ryzyka ale
i ekspozycja nominalna (często to wygląda
jak sprzedaż instrumentu short)
HEDGING OPCJI
• Np.wartości instrumentu jest funkcją czynników ryzyka
• Korzystając z rozwinięcia Taylora można pokazać wpływ
pochodnych cząstkowych na zmianę ceny instrumentu
f t  f ( St , it , i 't X t ,  t , )
Spot, stopa krajowa, stopa zagraniczna,
cena wykonaniaopcji, zmiennosc, czas do ekspiracji
2
f
12f

f
1

f 2
2
df 
dS 
dS

di

di 
2
2
S
2 S
i
2 i
f
1  2 f 2 f
12f
f
12f
2
2
di'
di
'

d


d


d


d

...
2
2
2
i '
2 i '

2 

2 
HEDGING OPCJI
• Aproksymacja ceny opcji przy delta-gamma opcji
10
Rzeczywista cena
Wartość
opcji
delta
5
Delta-gamma
0
90
100
Cena aktywu
110
GREEKS-MIERNIKI
WARAŻLIWOŚCI
• Cena opcji ulega zmianie do jej ekspiracji
• Do momentu realizacji cena opcji jest wrażliwa na
zmianę wielu czynników
• Dealerzy posługują się podziałem ryzyka w opcji na
elementy cząstkowe - ułatwiające budowanie
oczekiwań i starają się uodpornić na zmiany
• Greeks pokazują zależności między założeniami
teoretycznymi a zmianami na rynku
• Mierzą siłę wpływu czynników na wartość opcji
• Są to współczynniki wrażliwości ceny opcji – dają
podstawy do szukania sprawiedliwej ceny opcji
GREEKS – POCHODNE CZĄSTKOWE
• Pochodne cząstkowe w pojedynkę pokazują
wrażliwość ceny opcji na czynniki ryzyka
WRAŻLIWOŚCI (GREEKS)
• Grupa współczynników
• Ceny opcji call (ż) & put (z)
• Wyprowadzenie modelu
3000
ceny opcji każdorazowo
2500
Call
z jednego czynnika
Put
2000
• Analiza dokonywana jest
1500
przy izolowaniu od
innych czynników
1000
500
10000
9000
8000
7000
6000
5000
4000
3000
0
DELTA OPCJI
Delta opcji pokazuje stopę zmiany premii (ceny opcji) względem zmiany
ceny instrumentu bazowego (spot np. o 1%)
Delta pokazuje wrażliwość ceny opcji na zmianę ceny spot instrumentu
Delta może też być definiowana jako prawdopodobieństwo, że opcja
ekspiruje in-the-money lub teoretyczna ilość transakcji futures, przy
których holder jest długi (przy call option)
Delta matematycznie jest pierwszą pochodną ceny opcji w punkcie
Delta zmienia się od -100% do 0% dla put i od 0% d0 100% dla call
Wartość wewnętrzna
Cena opcji
Cena opcji
tu: call Pc
tan=delta=δPc/δS
Cena aktywu Spot (dla opcji europejskiej forward)
DELTA OPCJI
CENA
DELTA
1
0,5
0.25
-1
CENA
premia
premia
strike
cena
strike
cena
ZMIANA DELTA W OPCJI CALL
I
PUT
DELTA DLA OPCJI AT THE MONEY =0.5 CALL I -0.5 PUT
DELTA
• Put ma negatywne delta “negative relationship” bo
premia maleje, gdy rośnie cena danego aktywu
• Call ma pozytywny stosunek bo premia rośnie,
gdy rośnie cena danego aktywu
• At the money - delta 0.5, co znaczy, że premia
zmieni się o 0.5% na zmianę ceny o 1%
• Jeżeli delta zbliża się do 1 (call) lub -1 (put) to
oznacza, że procentowa zmiana premii jest taka
sama jak ceny tzn. Że nie ma time value i jest tylko
intrinsic value
DELTA
• Delta to zmiana w procentach ceny opcji na każdy
procent zmiany ceny danego aktywu
• Delta pokazuje wrażliwość premii opcji w stosunku
do zmiany spot
• Delta np.100% dla underlying czyli pozycji długiej i
minus 100% dla krótkiej
• Dla każdej zmiany ceny aktywu o 1% cena opcji
zmienia się o 1%*Δ
• Np.USD/YEN spot 100, cena opcji call 5%, delta
=50%, gdy spot wzrośnie do 101 (1%) cena opcji
wzrośnie do 5%+1%*50%=5,5%
• Δcall=Δ*ΔSpot ile trzeba kupić spot aby pokryć
DELTA
•
Delta hedging:
- Zabezpiecza wystawcę opcji przed
ryzykiem strat
– strategia hedgingu z użyciem portfela
opcji, które są niewrażliwe na zmiany
cen aktywu
– Kupno lub sprzedaż aktywu w proporcji
delta
– Strategia dynamiczna lub statyczna:
– dynamiczna: zmiana okresowa portfela
aby utrzymać zakładaną deltę
– statyczna: tylko przyjęcie delty na
początku
– Dodatnia korelacja ceny aktywu z
wartością opcji call i ujemna z opcją put
•
Neutralna delta
– Portfel, gdzie delty dodatnie i ujemne
się znoszą. Zbilansowanie powoduje
zmianę netto =0
– Strategie: short & long straddle, short &
long strangle …
– Można zarobić bez względu na
kierunek ruchu ceny aktywu
DELTA HEDGING
•
•
•
•
•
•
•
Wielkość zabezpieczona H=Δ*Notional przy sprzedaży CALL
Dla Δ=50% Notional=100$ Strike 400
H=50%*100$=50$ przy cenie 400
Przy wzroście ceny do 480 pozycja =-80
Zmiana wartości opcji = Δ* Δceny=50%*-80=-40$
Ale zmienia się też wartość akcji =50%*80=+40
Czyli strata na cenie opcji -40=+40 zysk na zmianie ceny spot
(czyli offset)
• Gdy Δ rośnie trzeba dokupić aktywów, gdy Δ maleje
sprzedajemy aktywa
DELTA JAKO CZYNNIK HEDGE
• Delta jest hedge factor dla opcji:
– Reprezentuje ona, jaka jest potrzebna pozycja spot, aby
pokryć zmianę w cenie opcji na skutek ruchu spot
– np. Jeżeli kupujemy opcję o delta +32% to musimy
sprzedać 32% wartości nominalnej
– np. Jeżeli kupujemy opcję o delta -25% wtedy musimy o
25% zwiększyć nominał
• Tak więc, jeżeli sprzedamy $10m, 35 delta EUR
call/USD put musimy kupić $3.5m EUR/$, aby się
zabezpieczyć
DELTA JAKO CZYNNIK HEDGE
• Inny przykład: Wystawca opcji w dniu zakupu
sprzedał 10 mln eur za usd. Delta opcji była
0.5 (50% szans). Dziś delta opcji wynosi 0.6
(60% in the money). Tak więc sprzedawca
aby się zabezpieczyć na dzień realizacji opcji
musi dokupić 10% z kwoty 10 mln eur.
• To jest tzw. Procedura zabezpieczania delty,
czyli delta-zabezpieczona lub delta-neutral.
Wtedy małe ruchy instrumentu bazowego są
zabezpieczone dla sprzedawcy opcji
DELTA
• Delta rośnie im bliżej ekspiracji w pobliżu
ceny at the money
• Delta zmienia się silnie
• Delta zmienia się wraz ze zmiennością
• Dla obligacji: delta to zmiana duration pod
wpływem zmian stopy %, a gamma to
convexity, mierzy stopę zmiany duration
DELTA
W opcji delta zmiania się przy
różnych wartościach zmiennej
Forward delta zawsze = 1
DELTA
P
 P    N  d1 eit  eit [ N d1   1]
S
• 0 <= C <= 1
• -1 <= P <= 0
 C - P = 1
1
0.8
0.6
Call
0.4
0.2
-0.6
-0.8
10000
9000
8000
7000
6000
5000
-0.4
4000
0
-0.2
3000
• 1. Wyprowadzenie z
kursu
• Wskazuję jak zmienia się
cena opcji przy zmianie
instrumentu bazowego o
jednostkę. Dla krótkiego
czasu pomija się czynnik
dyskontujący
C
 C   N d1 eit
S
Put
-1
Gdy zmienia się spot bardzo rosną d1 oraz d2 a delta dąży dla call do 1 dla put do -1
DELTA; WRAŻLIWOŚĆ I
LEVERAGE
• Jeżeli spot się zmienia opcja o wysokiej delta
ma większą wartość absolutną niż opcja o
małej delta
• Jednakże opcje o małej delta mają większą
zmianę relatywnie do ceny opcji (wyższy
leverage) niż opcje z wysoką delta
DELTA PRZYKŁAD
Pozycja
Spot 1.40 Delta
Cena
opcji
2mies 1.4 1.64%
51%
USD call
CHF put
2mies1.45 0.53%
24%
USD call
CHF put
Spot 1.41 Zmiana
Zmiana
Wartośc absolutna względna
opcji
2%
0.36%
22%
0.70%
0.17%
32 %
DELTA EUR CALL/USD PUT: DNI
DO EKSPIRACJI
DELTA
1 DZIEŃ
100%
30 DNI
45 DNI
50%
0%
90
100
110
FORWARD
INTERPRETACJA
• Opcje mogą być dynamicznie hedgowane
• Kiedy zmienność jest wysoka, hedging
dynamiczny jest kosztowny a ceny opcji
wysokie
• Kiedy zmienność jest mała, dynamiczny
hedging jest tani a ceny opcji niskie
• Implied volatility reprezentuje oczekiwane
koszty dynamicznego hedgingu opcji
DELTA - PODSUMOWANIE
• Delta jest wrażliwościa ceny opcji na zmianę
spot
• Delta reprezentuje prawdopodobieństwo, że
opcja będzie in-the-money w maturity
• Delta jest czynnikiem hedgu do hedgowania
ceny opcji w stosunku do małych ruchów w
cenie spot
Volatility Smile
The volatility
smile
reprezentuje
pogl¹d rynku
opcji na Spot
Volatility
silnie rz¹dzi
cen¹ opcji
Volatility Smile
“Insurance” options (opcja ze strike dalekow out-ofthe-money) kosztuje proporcjonalnie więcej niż
opcja at-the-money. Opcja out-of-the-money jest
wyceniana przy uzyciu wyższegowkładu implied
volatilityniż volatility dla opcji at-the-money
Jeżeli spot porusza się w kierunku ekstremów, rynek
bedzie w unchartered / unfamiliar territory. Warunek
osiągnięcia przez spot poziomu strike out-of-themoney, ktoś jest bardziej niepewny poziomu
przyszłego spot niż ja mam obawy dotyczące zmian
spot obecnie
Volatility
X Delta Put
Atm
X Delta Call
Tak więc większe volatility jest stosowane kiedy
strike opcji porusza się poza poziom at the money.
Volatility Skew
Volatility
Dodatkowo, uczestnicy rynku mogą mieć większe
obawy gdy spot porusza się w kierunku jednego
ekstremum.
Ta duza obawa odzwierciedla się w większej
zmienności przy zabezpieczeniu się w jednym
kierunku niż w drugim w stosunku do poziomu at
the money. Krzywy uśmiech. Np. Obawa, że
waluta sie łatwiej zdeprecjonuje niż aprecjonuje
X Delta Put
Atm
X Delta Call
11
GAMMA
• Gamma (γ ) mierzy zmianę delty względem spot
• a więc nie mierzy wrażliwości opcji, lecz wrażliwość
delty opcji
• Δ(ΔC/ΔS)=γ np. Δ=50%,Δ=70% γ=(70%-50%)=20%,
czyli zmiana ceny powoduje zmianę Δ o 20 pkt%
• Gamma ma się tak do delty jak przyspieszenie do
prędkości- tzw. Krzywizna opcji
• A więc sprzedawca opcji musi tym częściej
dokonywać zabezpieczenia im gamma jest wyższa.
• Wysokie gamma trudniej zabezpieczać opcje
• Dla tej samej delty: call gamma=put gamma
GAMMA OPCJI
•
•
•
GAMMA (wrażliwość ) zmiana delta ceny opcji w stosunku do zmiany ceny
instrumentu bazowego
Pokazuje jak delta jest wrażliwa na zmianę instrumentu bazowego
im większa gamma tym większe ryzyko
•
Matematycznie jest to druga pochodna ceny opcji
Błąd gamma
Cena opcji
tan=delta
Cena aktywu
GAMMA
0.0006
0.0005
0.0004
0.0003
0.0002
0.0001
10000
9000
8000
7000
6000
5000
4000
0
3000
• 2. Wyprowadzenie z
kursu
• Wyprowadzenie Delta
względem zmiany kursu
• Pokazuje jak zmienia się
Delta przy zmianie ceny
instrumenu o jednostkę.
• Krzywizna funkcji opcji
• Dla opcji at-the-money
jest gamma najwyższa
 2C e  it nd1 
C  P 

2
S
S t
Wrazliwosc na delta
d
( 1 )
1  1
e 2  e  i

S T  2

2
GAMMA OPCJI
Gamma=Δ Δc/ΔS
• Możliwe wartości gamma mają kształt rozkładu o
normalnej gęstości i pokazują jak szybko zmienia się
delta względem ceny aktywu
Cena
Gamma najmniejsza dla głęboko out lub in the money
gamma najwyższa wokół at the money
gama dodatnia dla long option i negatywna dla short option
GAMMA
gamma
30%
20%
7 dni
10%
30 dni
0%
45 dni
forward
Kurs
odchyl.standardowe 10%
GAMMA
• Kiedy kupuje się opcję ma się dodatnią
pozycję gamma
• Kiedy sprzedaje się opcję ma się ujemną
pozycję gamma
• Opcje z wysokim gamma wymagają
częstszego hedgu dostosowawczego niż
opcje o małym gamma
GAMMA - HEDGE
•
•
Przypadek 1. Trzeba kupić tylko 5% (29%-24%) nominału spot aby
utrzymać pozycję hedge delta
Przypadek 2. Trzeba kupić 20% (71%-51%) nominału spot aby
utrzymać pozycję delta hedge
Pozycja
Spot 1.40
Delta
Gamma
2mies
24%
1.45 USD
call CHF
put
1 tydz.1.4 51%
USD call
CHF put
Spot 1.41
Delta
Gamma
7.34%
29%
8.11%
28.58
71%
25.53%
GAMMA - PRZYKŁAD OBLICZEŃ
cena akcji
zmiennosc
okres do wygasniecia
strike
stopa %
100
0,2
0,2
98
0,1
ln S/X
0,020203
skorygowany dochod
0,016
skorygowana zmiennosc
0,089443
d2=
0,404759
N(d2)=
0,657172
d1=
0,494201
N(d1)=
0,689418
wspolczynnik dyskontujacy
0,980199
WAROSC OPCJI CALL 5,81416
wspolczynnik
(d1^2/2)
EXP(d1^2/2)
N'(d1)=
gamma=
0,398942
0,122117
0,885044
0,353081
0,039476
$
20%
T-t
$
r=10%
ROKU
LN
(r-0.5wariancji)*(T-t)
od.standar(T-t)
prawdopodbienstwo
wykonania opcji
65%bo opcja in the m
d1=d2-skor.zmiennosc
wspol.delta
$
INTERPRETACJA:
JEŻELI CENA AKCJI WZROŚNIE O 1$
TO DELTA WZROŚNIE O 0,0395
GAMMA
• Gamma jest zmianą delty ze względu na zmianę spot
i mierzy wrażliwość ceny opcji przy większych
ruchach spot.
• Gdy się kupuje/sprzedaje opcję ma się
pozytywne/negatywne gamma
• Gamma mierzy jak dostosować hedge aby być deltaneutral, gdy zmienia się spot
• Gamma jest wysoka, gdy opcja jest bliska ekspiracji,
bliska strike price lub ma małe volatility
VEGA OPCJI
Vega - stopa zmiany ceny opcji ze względu na zmianę volatility
Vega może się zmieniać nawet bez zmian
ceny aktywu (zmiana implied volatility)
Vega może szybko rosnąć na skutek np.
szybkiego spadku lub wzrostu ceny aktywu
Vega spada w pobliżu ekspiracji opcji
vega
•
strike
Cena
VEGA
1200
1000
800
600
400
200
10000
9000
8000
7000
6000
5000
4000
0
3000
• Wyprowadzenie z
Volatility
• Pokazuje,jak zmienia się
cena opcji przy zmianie
volatility o jednostkę.
• Dla opcji at-the-money
wartość najwyższa
• Vega ma normalną
funkcję gęstości
C
 C  P 
 e it   t  nd1 

Wrazliwosc na1% zmiany zmiennosci
d
S   1 ( 21 )  it
e

e
100  2

2
VEGA - PRZYKŁAD
cena akcji
zmiennosc
okres do wygasniecia
strike
stopa %
100
0.2
0.2
98
0.1
ln S/X
0.020203
skorygowany dochod
0.016
skorygowana zmiennosc
0.089443
d2=
0.404759
N(d2)=
0.657172
d1=
0.494201
N(d1)=
0.689418
wspolczynnik dyskontujacy
0.980199
WAROSC OPCJI CALL 5.81416
wspolczynnik
(d1^2/2)
EXP(d1^2/2)
N'(d1)=
gamma=
0.398942
0.122117
0.885044
0.353081
0.039476 VEGA=
$
20%
T-t
$
r=10%
ROKU
LN
r-0.5wariancji+(T-t)
od.standar(T-t)
prawdopodbienstwo
wykonania opcji
65%bo opcja in the m
d1=d2-skor.zmiennosc
wspol.delta
$
15.79027
JEDNOPROCENTOWY PRZYROST
ZMIENNOŚCI SKUTKUJE WZROSTEM
WARTOŚCI OPCJI O 0.1579
VEGA
• Vega mierzy wrażliwość ceny opcji ze
względu na zmiany volatility
• Vega jest więc zmianą w procentach wartości
opcji na 1% zmiany implikowanej zmienności
• Vega call=vega put (dla danego strike)
• Vega jest duża, jeżeli opcja ma dużo czasu
do ekspiracji, bliska at-the- money, lub ma
wysoką absolutną zmienność
• Vega zmienia się jak pierwiastek z czasu
VEGA
VEGA
0,2
90 dni
60 dni
30 dni
0,1
10 dni
0
90
100
110
SPOT
THETA LUB TIME DECAY
• Theta jest wrażliwością ceny opcji względem zmian w
czasie (ceteris paribus)
• Na początku opcja ma 100% swojej wartości w czasie
i maleje ta wartość z każdym upływającym dniem
(time decay)
• Wartość opcji neutralnej jest największa przed
wygaśnięciem
• Zwykle mierzy się theta na 1 dzień bazowy
• Gdy kupuje się opcję ma się negatywną pozycję theta
- płaci się za time decay
• Gdy sprzedaje się opcję ma się pozytywną pozycję
THETA
• Theta zmiana procentowa ceny opcji ze względu
na zmianę czasu - time decay of a portfolio
• Miara reakcji ceny opcji na zmianę okresu do
terminu wygaśnięcia Theta= dC/dt
• Wartość zmienia się od 0 do ceny opcji kupna
• Theta może być wysoka dla opcji out of the  dc
c
d
money, jeżeli zawiera dużo oczekiwanej
zmienności
 Se i  N (d 1)

• Theta jest zwykle najwyższa dla opcji at the
2 
money
1 x /2
N ( x) 
e
• Theta zwykle rośnie w ostatnim okresie przed
2
ekspiracją i może wpłynąć na posiadaczy opcji,
szczególnie gdy spada volatility
t
2
THETA
• Call/put theta: theta call=theta put (dla tej
samej delta)
• Im większa zmienność tym wyższa theta
• Im bliżej do “the money” tym wyższa theta
THETA
•
Theta EUR call USD put zgodnie z volatility
theta
15 dni
10 dni
5 dni
spot
THETA/GAMMA
• Gdy się zmienia spot gamma oraz theta
poruszają się w tę samą stronę
• Relacja gamma/theta są stałe
• To co otrzymuje się lub płaci za time decay
jest uzależnione od ryzyka jakie się
podejmuje
THETA - PRZYKŁAD
cena akcji
zmiennosc
okres do wygasniecia
strike
stopa %
100
0.2
0.2
98
0.1
ln S/X
0.020203
skorygowany dochod
0.016
skorygowana zmiennosc
0.089443
d2=
0.404759
N(d2)=
0.657172
d1=
0.494201
N(d1)=
0.689418
wspolczynnik dyskontujacy
0.980199
WAROSC OPCJI CALL 5.81416
wspolczynnik
(d1^2/2)
EXP(d1^2/2)
N'(d1)=
gamma=
0.398942
0.122117
0.885044
0.353081
0.039476 theta
$
20%
T-t
$
r=10%
ROKU
LN
(r-0.5wariancji)*(T-t)
od.standar(T-t)
prawdopodbienstwo
wykonania opcji
65%bo opcja in the m
d1=d2-skor.zmiennosc
wspol.delta
$
PO UPŁYWIE 1/100 ROKU PREMIA
OPCYJNA MALEJE O 0,0789 $
-7.89514
THETA
• Theta jest wrażliwością ceny opcji na
jedniodniową zmianę w czasie - znana jako
time-decay
• Kiedy się kupuje/sprzedaje opcję ma się
negatywną/pozytywną pozycję theta
• Kiedy theta jest dodatnie, gamma jest
negatywne i odwrotnie
• Theta jest wielka, gdy opcja jest blisko
wygasnięcia, blisko at the money lub ma duże
volatility
RHO,PHI, LAMBDA OPCJI
Dla call :
•
Rho - zmiana procentowa
ceny opcji ze względu na
zmianę stopy % - wrażliwość
na zmiany stopy krajowej%
rho=dC/dr.
c 
c
 XeiN (d 2 )
i
Dla put :
p 
p
 XeiN (d 2 )
i
Dla call :
•
•
Phi - zmiana procentowa ceny
opcji ze względu na zmianę
zagranicznej stopy
procentowej
Lambda - zmiana procentowa
premii do zmiany procentowej
ceny
c 
c
 Sei 'N (d 2 )
i'
Dla put :
p 
p
 Sei 'N (d 2 )
i'
GREEKS
• Delta dodatnie - chcesz
wzrostu spot
• Gamma dodatnie - chcesz
ruchu spot w dowolnym
kierunku
• Theta dodatnia czas
zwieksza wartość opcji
• Vega dodatnia - chcesz
wzrostu implied volatility
• RHO,PHI dodatnie chcesz
wzrostu stóp %
• Delta ujemna - chcesz
spadku kursu bazowego
• Gamma ujemna - chcesz
stabilnego kursu
• Theta ujemna - upływ
czasu zmniejsza wartość
pozycji
• Vega ujemna chcesz
spadku volatility
• RHO,PHI ujemne chcesz
spadku stóp %
GREEKS - PODSUMOWANIE
MIERNIK
NOTACJA
DELTA

GAMMA
THETA
c

C
S


c


c
2
C
S
C
T
RHO
 c  Ci
VEGA
C
 c  
CALL
PUT

 


C
C
C


C
C
 N (d 1)


P

N (d 1)
S T
 SN (d 1)
2 T
 TE e
 iT
 iE e
N (d 2)
 S T N ( d 1)
 iT
N (d 2)
P


P


C
 iT
C
 iE e
 TE e
 
P
1
C
 
P
C
C
 iT
Żargon opcji: The Greeks

The Greeks są miarami ryzyka przyjęcia pozycji oraz pomocą w zarządzaniu portfelem
Pierwsze pochodne
Delta

Vega
Theta
dP
dP
d

dP
Rho

Drugie pochodne
dS
dP
Zmiana ceny opcji na 1% zmiany spot
Zmiana wartości opcji na 1% change w volatility
dt Zamiana wartości opcji powodowana upływem czasu
dr
Zmiana wartości opocji powodowana przez 1%
zmiany walutowej stopy %
Gamma
Vol Gamma
d Vega / d Spot
d
dV
dV
dS
Zamiana w Delta powodowana przez 1% zmiany spot
d
Zmiana Vega powodowana 1% zmiany volatility
(czasami określana mianem “convexity”)
dS
Zmiana w Vega powodowana 1% zmiany spot
20
OPCJE
• KORZYŚCI
– klient zna
maksymalny kurs
– partycypuje w
korzyściach
rynkowych
• WADY
– Klient płaci premię
OPCJE
• Strategia krótkoterminowa: zabezpieczenie delty
• Strategia średnioterminowa: wybór pomiędzy
dodatnią gammą a dodatnią deltą (nastawienie na
wahania lub ich brak)
• Strategia długoterminowa: handel vegą
(pozycjonowanie względem oczekiwanej zmienności)
• Analiza: krzywa volatility par walut, volatility w czasie
(np.. Dla miesiąca, kwartału, roku), volatility
względem delty np..ATM oraz delta-25, delta 50
OPCJE NA AKCJE warrantY
• warrant daje prawo nabywcy do zakupu (buy) lub sprzdaży (sell) określonej
ilości tytułów do aktywów po stałej cenie w danej dacie (europejska) lub w
danym czasie (amerykańska) w przyszłości
• Zwykle płaci się premię za cenę akcji w przyszłości
• Zwykle 4 rodzaje warrantów: europejskie, amerykańskie, bermudzkie,
azjatyckie
• Wypłata z europejskiego call= max[0,S-X] put=[0,X-S]
• Np. call warrant 0,06c, parytet na akcje 10 warrantów, cena spot akcji 10$, a
cena w warancie 11$. A więc opłaci się gdy cena przekroczy 11,60$ bo
opłata za 10 warrantów 10*0,06$=60c
• Wycena jak opcje czyli Black-Scholes
STRATEGIE OPCYJNE
Strategie opcyjne to równoległa sprzedaż opinii
rynkowych, dzięki czemu strona zabezpieczająca otrzymuje
quasi-subsydiowanie kosztu zabezpieczenia
STRATEGIE OPCYJNE
• Tradersi przyjmują bardzo różne strategie w
zarządzaniu swoim ryzykiem
• Generalnie dążą do minimalizacji ryzyka (też stop loss)
• Profil ryzyka zależy czy są brokerami (unikanie
otwartych pozycji), czy spread traderami (limit straty),
czy market makersami
• Ryzyko zależy też od percepcji ruchów na rynku
• Doskonały hedge to skompensowanie opcji kontr opcją.
Ta strategia wymaga jednak dużych obrotów i licznych
klientów, aby była zyskowna
• Market makers nie robią opcji za opcję, bo ta strategia
jest kosztowna i nieefektywna
STRATEGIE OPCYJNE
ELEMENTY UKŁADANKI
Waluta long
Waluta short
Long call
Short call
Long put
Short put
STRATEGIE OPCYJNE - GRUPY
•
•
•
•
Naked - zakup tylko jednej opcji
Hedge - zakup jednej np.akcji oraz jednej opcji
Spread - zakup jednej opcji oraz sprzedaż innej opcji
Combination - zakup call lub put jednej serii sprzedaż call
lub put innej serii
• Strategie pionowe (money spreads) zakup i sprzedaż opcji
o różnych cenach bazowych na ten sam termin: bull call
spread, bull put spread, bear call spread, bear put spread.
• Strategie poziome: różny czas – calendar spread
• Strategie diagonalne: rózny czas i różna kombinacja opcji
• Konwersja kupno put, sprzedaż call i kupno kontraktu
terminowego
• Ratio hedge (delta neutral)
STRATEGIE OPCYJNE
• Naked
• Hedge – pozycja w aktywie oraz opcja 4 warianty
• Spread pionowy:
–
–
–
–
•
•
•
•
vertical bull call- long call A, short call B
vertical bull put - long put A, short put B
vertical bear call - short call A long call B
vertical bear put - short put A, long put B
Horizontal spread (calender spread)
Diagonal spread (różnica ukośna)
Strip - long call, 2 long put
Strap - 2 long call, long put
PRZYKŁAD STRATEGII HEDGE
• Zabezpieczenie przed
spadkiem kursu opcją
Kurs styczeń 3,500
Transakcja gotówkowa Opcja
kurs
Styczeń 3,500
Styczeń zakup
put 3,3500 IX
Premia 200bps
Lipiec
Lipiec sprzedaż
put na wrzesień
3,350; premia
750 bps
3,000
Kurs lipiec 3000 ale premia
opcji zdrożała
Strata 0,500
Gotówkowo strata
A na cenie opcji zysk 550 bps
Zysk 550 bps
POŁĄCZENIE OPCJI Z AKTYWEM
BAZOWYM
ZYSK
LONG ASSET
EFEKT SYNTEYCZNY
SELL PUT
x
SHORT CALL
STRATA
POŁĄCZENIE OPCJI Z AKTYWEM
BAZOWYM
ZYSK
LONG CALL
X
EFEKT SYNTEYCZNY
BUY PUT
STRATA
SHORT ASSET
POŁĄCZENIE OPCJI Z AKTYWEM
BAZOWYM
ZYSK
LONG ASSET
EFEKT SYNTEYCZNY
BUY CALL
X
STRATA
LONG PUT
POŁĄCZENIE OPCJI Z AKTYWEM
BAZOWYM
ZYSK
SELL PUT
X
EFEKT SYNTEYCZNY
SELL CALL
STRATA
SHORT ASSET
SYNTETYCZNE PRODUKTY RYNKU
DEWIZOWEGO
• Synthetic long - długa pozycja forward: zakup call i
sprzedaż put, ten sam strike, expiry date,
• synthetic short - sprzedaż forward: zakup put oraz
sprzedaż call
• synthetic long call - zakup put i forwardu
• synthetic long put - zakup call i sprzedaż forward
• synthetic short call - sell put oraz sell forward
• synthetic short put - sprzedaż call zakup forward
ODWRÓCENIE POZYCJI
+
LONG PUT
=
+
LONG CALL
LONG CALL
LONG WALUTA
=
SHORT WALUTA
LONG PUT
STRATEGIE
SPREAD
SPREAD BYKA (wertykalny-CALL)
Zysk/strata
LONG CALL
SPREAD BYKA
K1
K2
S
SHORT CALL
Zakup call (droższy) dla jednej ceny i sprzedaż call dla wyższej ceny, to samo maturity
Jeżeli cena rośnie to pierwszy call zarabia, gdy cena rośnie dalej powyżej K2
to zysk jest ograniczony
Spread pionowy byka ogranicza upside dla long call i dlatego jest tańszy
Premia droższego call jest subsydiowana uzyskaną premią put
SPREAD BYKA (wertykalny-CALL)
e1
c1
k1
Zakup opcji call:
waluta
kurs waluty
cena opcji
koszt opcji
1000000 FS
1,5 PLN/Fs
0,15 groszy za opcję
150000
e2
c2
k2
Sprzedaż opcji call:
waluta
kurs waluty
cena opcji
koszt opcji
1000000
1,9 PLN/Fs
0,1 groszy za Fs
100000
Maksymalna strata:
Maksymalny zysk:
-50000 k2-k1
350000 1000000*(e1-e2)-(k1-k2)
SPREAD NIEDŹWIEDZIA (wertykalnyCALL)
LONG CALL
ZYSK
K1
K2
SPREAD NIEDŹWIEDZIA
STRATA
CALL
Zakup call dla niższej ceny i sprzedaż call dlaSHORT
wyższej
ceny, to samo maturity
Jeżeli cena spada zarabia się na short call, gdy cena spada dalej poniżej K1
to strata jest ograniczona
Spread pionowy niedźwiedzia ogranicza downside dla short call i dlatego jest tańsz
Zarabek na wyższej premii od short call i niższej od long call
SPREAD BYKA (wertykalny- PUT)
ZYSK
SHORT PUT
K1
K2
LONG PUT
STRATA
Zakup put dla niższej ceny i sprzedaż put dla wyższej ceny, to samo maturity
Jeżeli cena rośnie zarabia się na long out, gdy cena rośnie dalej powyżej K2
to zysk jest ograniczony
SPREAD NIEDŹWIEDZIA (wertykalny PUT)
ZYSK
SHORT PUT
K1
STRATA
K2
LONG PUT
CALL
Sprzedaż put dla niższej ceny i zakup put dlaSHORT
wyższej
ceny, to samo maturity
Jeżeli cena rosnie strata ograniczona, gdy cena spada dalej poniżej K1
to zysk jest ograniczony
SPREAD MOTYLA - Butterfly
ZYSK
+
+
premia
STRATA
K1
OTM
-
K2
K3
OTM
Long call K1, long call K3, short call K2 * 2,
Gra na oczekiwanej kurtozie rozkładu zwrotów
kurs
wymiany
CALENDER SPREAD (horyzontalny)
• W tym samym momencie sprzedaż opcji w
pobliżu ekspiracji i zakup opcji o późniejszej
ekspiracji, obie dla tej samej strike price
• Zakłada wykorzystanie spadku wartości
czasowych opcji o różnych terminach
wygaśnięcia
• Gra na krzywej volatility względem
wygaśnięcia
CALENDER SPREAD (horyzontalny)
ZYSK
PREMIA DŁUGIEJ
OPCJI W DNIU
WYGAŚNIĘCIA
NETTO DOCHÓD
STRATA
SHORT CALL
DIAGONAL SPREAD (wertykalnohoryzontalny)
• Jednoczesny zakup i sprzedaż opcji dla
różnych strike price oraz dla różnych
terminów
STRATEGIE KOMBINOWANE
KOMBINACJA OPCJI
• Opcje kombinowane to jednoczesny zakup
lub sprzedaż opcji call oraz put
• Zerokosztowe
• Straddle – stelaż
• Strangle – pętla
• Kondor
• Mewa
• Strips & straps
OPCJA ZEROKOSZTOWA
• Klient oczekuje zabezpiecznia opcją w
określonym przedziale
• Klient wybiera Zero Cost Collar
• Collar składa się z dwóch opcji: Buy i sell
(Buy call i sell put)
RISK REVERSAL
• (Cylinder, superforward) kombinacja dwóch opcji o niskiej
wartości delta (out-of-the-money) - kupna i sprzedaży.
• To pokazuje, jak out of the money option są kwotowane
przez dealerów. Różnice w cenach opcji PUT oraz CALL dla
np.delta 0.25.
• Zakup opcji call z delta 0.25 i sprzedaż put z delta 0.25 (lub
odwrotnie), maks. oraz minimalny strike
• Jak widać rynek oczekuje rozwoju w takim kierunku, że w
obu przypadkach jest on korzystny, niska cena lub 0, gdy
obie opcje są o tym samym koszcie,
• Popyt i podaż na rynku powodują, że czasem opcje put i
call mają różną cenę
• Risk reversal ma uzasadnienie, że jego sprzedaż wpływa na
sytuację kupujących
RISK REVERSAL -Zero Cost Collar
Short
Put
Long
Call
Strike
Strike
• premia za sprzedaż
put jest
inkorporowana do
zakupu call
• Struktura instrumentu
jest zero cost
+
Strike
Strike
Risk
Reversal
Risk Reversal
Rzeczywisty kurs
sprzedaży
4.34
EUR/PLN
4.28
4.22
4.16
4.10
4.04
3.98
3.92
3.86
3.80
3.74
3.74 3.80 3.86 3.92 3.98 4.04 4.10 4.16 4.22 4.28 4.34
Kurs spot w dniu wygaśnięcia transakcji
Bez zabezpieczenia
Forward
Risk Reversal
• Efektywny kurs sprzedaży waluty
jest wynikiem wyrównania między
bankiem a klientem różnicy kursu
ustalonego i kursu spot w dniu
realizacji
• Rekompensaty ze znakiem
ujemnym oznaczają kwoty, jakie
klient zapłaci na rzecz banku, w
przypadku, gdy w dniu realizacji
kurs spot znajdzie się na żądanym
poziomie
Risk Reversal
Finansowanie vanilla Call option poprzez vanilla Put option
Zero premium Collar
forward jest w Klient:
zero cost collar
tam gdzie strikes
EUR Call / PLN
Put i EUR Put/
PLN Call są takie Nominał:
same
Maturity:
kupuje EUR Call / PLN Put,
Strike = 5.6500
Sprzedaje EUR Put / PLN Call,
Strike = 4.8000
4.80
5.65
EUR 10m
EURPLN
12m
ATMF
Warunki wymiany:
W dniu wygaśnięcia opcji, jeżeli EURPLN
jest pomiędzy dwoma strikami klient
poprostu robi transakcję na rynku
Klient jest chroniony powyżej 5.65
Klient partycypuje w stracie poniżej 4.80
Uwagi
 Ponieważ różnica stóp % i
volatility, potencjalna partycypacja nie
jest równa ryzyku downside
 Od początku klient jest świadomy
najlepszego i najgorszego
21
PORÓWNANIE PROFILÓW
RYZYKA
Profit
Forward
Option
Collar
PLN per USD
Loss
Underlying Business
PORÓWNANIE PROFILÓW
RYZYKA
Profit
Forward
Collar
PLN per USD
Loss
Underlying Business
PORÓWNANIE PROFILÓW
RYZYKA
Profit
Forward
Collar
PLN per USD
Loss
Underlying Business
PORÓWNANIE PROFILÓW
RYZYKA
Profit
Forward
Collar
PLN per USD
Loss
Underlying Business
PORÓWNANIE PROFILÓW
RYZYKA
Profit
Forward
Collar
PLN per USD
Loss
Underlying Business
PORÓWNANIE PROFILÓW
RYZYKA
Profit
Forward
Collar
PLN per USD
Loss
Underlying Business
PORÓWNANIE PROFILÓW
RYZYKA
Profit
Forward
PLN per USD
Loss
Underlying Business
RISK REVERSAL (tzw. opcja 0
kosztowa lub collar)
+
+
premia
-
Jednoczesny zakup put I sprzedaż call po różnych strike price
Złożenie opcji out of the money buy put oraz out of the money sell call
Gra na oczekiwanej skośności rozkładu
-
kurs
wymiany
RISK REVERSAL Opcja 0-Cost, Collar
Zalety
• Klient jest zabezpieczony
przed wzrostem cen
• Klient chroniony jest w
przedziale
• Stukutra jest zero kosztowa
Wady
• Jeżeli rynek się przesunie
poza granicę strata jest
nieograniczona
LONG STRADDLE - STELAŻ
+
ZYSK
+
+
premia
STRATA
-
ATM
Long straddle (bottom)-Opcje put long&call long,
kurs
wymiany
LONG STRADDLE - STELAŻ
cena akcji opcja kupnaopcja sprzedaży
stelaz
X=30
x=30
zysk/strat
c=4
c=2
10
-4
18
14
20
-4
8
4
24
-4
4
0
28
-4
0
-4
30
-4
-2
-6
34
0
-2
-2
36
2
-2
0
40
6
-2
4
50
16
-2
14
SHORT STRADDLE - STELAŻ
+
ZYSK
SHORT PUT
+
premia
-
-
STRATA
premia
kurs
wymiany
ATM
short straddle (top)
SHORT CALL
- short put&call ten sam strike i maturity (siedzieć okrakiem)
LONG STRANGLE
- PĘTLA
+
ZYSK
+
+
kurs
wymiany
premia
STRATA
-
ATM put
ATM call
Long call+long put, ale różne strike price, to samo maturity
LONG STRANGLE - PĘTLA
Cena akcji opcja kupnaopcja sprzedazy
strangle
x=30
x=25
c=3
c=5
10
-3
10
7
17
-3
3
0
20
-3
0
-3
25
-3
-5
-8
30
-3
-5
-8
33
0
-5
-5
38
5
-5
0
40
7
-5
2
SHORT STRANGLE
- PĘTLA
+
ZYSK
+
premia
ATM call
-
ATM put
kurs
wymiany
STRATA
- call+short put, ale różne strike price, to samo maturity
Short
STRANGLE & STRADDLE volatility
Straddle
Strangle
Strike
EURPLN
Strike
1
Strike
2
EURPLN
Brak kierunku ani bullish ani bearish
Czysta gra na volatility
Brak ryzyka delta
24
CONDOR
+
ZYSK
K2
K3
+
premia
STRATA
-
K1
K4
kurs
wymiany
SEAGUL - MEWA
LONG CALL
ZYSK
SHORT PUT
SHORT CALL
K1
K2
K3
STRATA
Zamknięcie ryzyka w określonych widełkach. Składa się z 3 opcji o niskim delta
z tym, że jedna delta jest bliska 0.
•
SEAGULL - MEWA
Seagull - strategia złożona z 3 opcji
- lepsze ustawienie barier niż w Risk Reversal
- przy ekstremalnie negatywnym rozwoju kursu – brak
zabezpieczenia
- strategia dla klientów o bardzo precyzyjnym „view rynkowym”
Rzeczywisty kurs
sprzedaży
EUR/PLN
Seagull
4.34
4.28
4.22
4.16
4.10
4.04
3.98
3.92
3.86
3.80
3.74
3.74 3.80 3.86 3.92 3.98 4.04 4.10 4.16 4.22 4.28 4.34
Kurs spot w dniu wygaśnięcia transakcji
Bez zabezpieczenia
Forward
Seagull
• Efektywny kurs sprzedaży waluty jest
wynikiem wyrównania między bankiem a
klientem różnicy kursu ustalonego i
kursu spot w dniu realizacji
• Rekompensaty ze znakiem ujemnym
oznaczają kwoty, jakie klient zapłaci na
rzecz banku, w przypadku gdy w dniu
realizacji kurs spot znajdzie się na
żądanym poziomie
SEAGULL - MEWA
Kombinacja vanilla option
Zero premium Seagull
Klientt: kupuje EUR Call / PLN Put,
Strike = 5.4000
5.95
sprzedaje EUR Call / PLN Put,
Strike = 5.9500
4.80
5.40
sprzedaje EUR Put / PLN Call,
Strike = 4.8000
Nominałl:
EUR 10m
Maturity:
12m
Warunki wymiany:
W dniu, jeżeli EURPLN jest pomiędzy dwoma
strikami klient dokonuje transakcji z rynkiem
EURPLN
ATMF
Uwagi
Stosując dużą zmienność oraz
skrzywieniue klient sprzedaje upside po
rozsądnej wartości poprawiając ochronę

Klient jest chroniony ponad 5.40 ale ochrona jest
 Od początku klient jest świadomy
ograniczona do ponad 5.95
pozytywnego oraz negatywnego
Klient partycypuje poniżej 4.80
22
INVERSE SEAGULL
Vanilla option Combination
Zero premium Inverse Seagull
Klient:
kupuje EUR Call / PLN Put,
Strike = 5.6500
sprzedaje EUR Put / PLN Call,
Strike = 4.9000
4.90
5.65
kupuje EUR Put / PLN Call,
Strike = 4.5500
Nominał:
EUR 10m
Maturity:
12m
Warunki wymiany:,
w dniu, jeżeli EURPLN jest pomiędzy dwoma
strikami klient robi transakcję z rynkiem
Klient jest chroniony ponad 5.65
Klient partycypuje poniżej 4.90
Ale jest cap ponizej 4.55
4.55
EURPLN
ATMF
Uwagi
Klient ogranicza zobowiązania
przy możliwej aprecjacji PLN

 Od początku klient jest
świadomy najlepszego oraz
najgorszego scenariusza.
23
STRIPS & STRAPS
STRIPS & STRAPS
Zakup strip w pozycji długiej składa się z długiej
pozycji call oraz długiej put + dodatkowy put.
Zakup strap składa się z dwóch pozycji call oraz
zakupu jednej pozycji call
STRIP
Zysk
Strata
DWIE OPCJE PUT ORAZ JEDNA OPCJA CALL
Zakłada się znaczną zmianę ceny ale prawdopodobieństwo spadku
Jest większe niż wzrostu
STRAP
ZYSK
STRATA
DWIE OPCJE CALL ORAZ JEDNA OPCJA PUT
Zakłada się znaczną zmianę ceny ale prawdopodobieństwo wzrostu
jest większe niż spadku
OPCJE EGZOTYCZNE
Literatura
Izabela Pruchnicka-Grabias: Egzotyczne opcje finansowe.
CeDeWu.Pl, Warszawa, 2006
N.A Chriss:Black-Scholes and beyond:option pricing models
McGraw-Hill Book Co,NY 1997
D.F DeRosaOptions on foreign exchange, John Wiley&Sons, NY
2000
OPCJA EGZOTYCZNA
• W opcjach egzotycznych łamana jest co najmniej jedna
reguła z definicji opcji: cena opcji, cena realizacji opcji,
rodzaj instrumentu bazowego, ilość instrumentów
bazowych albo data wygaśnięcia opcji
• Np. Opcja europejska uzależniona od spełnienia się
dodatkowych warunków określonych przez strony
• Np. Czy cena przekroczy lub czy jest mniejsza od
ustalonej ceny strike.
– Można wyróżnić: różnicowanie kontraktów (contract
variation), opcje graniczne (path dependent options),
opcje scenariuszowe (limit dependent options), opcje
wieloczynnikowe (multi factor options)
– Opcje egzotyczne są nazywane produktami
OPCJE EGZOTYCZNE
• Zmodyfikowane prawo nabywcy do
wykonania praw wynikających z opcji, pod
warunkiem spełnienia się warunków
określonych w kontrakcie
• Dodatkowe elementy – uśrednienie, bariera,
okres etc.
• Niższa cena wynika z niższego ryzyka
• Cechą egzotycznych są wybuchające –
skokowo zmieniające się Greeks
OPCJE EGZOTYCZNE
DEFINICJA:
Opcja egzotyczna to umowa, w której wystawca
opcji daje nabywcy prawo w danym czasie
lub w kilku punktach w czasie otrzymania
wypłaty, której wysokość jest zależna od
rozwoju kursu jednego lub wielu
instrumentów finansowych
Instrumenty - underlyings: akcje, kursy walut,
indeksy, futures, commodities…
OPCJE EGZOTYCZNE
• Opcje egzotyczne – termin użyty przez Mark
Rubinstein w 1990 roku – monografia Exotic
Options
• Wcześniej – lata 60-te - na opcje egzotyczne
mówiono boutique options lub designer
options
OPCJE EGZOTYCZNE - PODZIAŁ
• I.Nelken – kryteria podziału opcji egzotycznych
–
–
–
–
–
–
Struktura funkcji wypłaty
Stopień dźwigni finansowej
Zależność wypłaty od ścieżki instrumentu
Korelacja instrumentów bazowych
Czas wyboru – czas wykonania
Inne elementy
OPCJE EGZOTYCZNE - PODZIAŁ
• Michael Onga: Kryteria: struktura wypłaty, ciągłość funkcji
dochodu z opcji, stopień uwarunkowania opcji ceną aktywu
bazowego w okresie opcji, liczba instrumentów, czas wyboru
ceny wykonania opcji, rodzaj instrumentu bazowego
– Opcje pojedyncze (singular payoff options) nieciągły dochód
– Opcje elastyczne (time dependent) możliwość wyboru momentu
realizacji
– Opcje złożone (compound) instrumentem bazowym inny kontrakt
opcyjny
– Opcje nieliniowe (nonlinear payoff)
– Opcje korelacyjne (multivariate options) – więcej niż jeden instrument
bazowy
– Opcje uwarunkowane (path dependent) uwarunkowane ścieżką ceny
instrumentu bazowego
OPCJE EGZOTYCZNE
OPCJE
EGZOTYCZNE
PATH
DEPENDENT
LIMIT
DEPENDENT
AZJATYCKA
FORWARD
START
LOOKBACK
SHOUT
KORELACYJNE
Multi factor
BARRIEROWE
CAPPED
LADDER
RATCHET
CLIQUET
PAYOFF
CONTRACT DEP
WYMIENNE
OUTPERFORMANCE
ILORAZOWE
BINARNE
SPREAD
BEST-WORST
RAINBOW
SUPERSHARES
BASKET
FLEXO
BEACH
GAP
OPTIOM
QUANTO
BINARNEDUAL STRIKE
CONTINGENT
OPCJE NA OPCJE
POWER
TIME
DEPENDANT
CHOOSER
PREFERENCE
Grupa
Path dependent
Nazwa
Rodzaj
Barrier
Partial,outside,multiple
Lookback
Partials, modified
ladder
Modefied, step-lock
OPCJE EGZOTYCZNE
Ratchet zapadkowe
Shout okrzykowe
Average azjatyckie
Capped
Caps floors
Singular paysoff
Contingent premium
Digitals binarne
Digitals barrier
Time dependant
Chooser
Forward start
Ratchet zapadkowe
Multivariate
Basket
Rainbow
Best/worst
Min or max of n-asset
Piramide, madonna, spread
Quantos
Nested zagnieżdżone
Chooser, compound, caption, floortion
leveraged
Power, curvilinear,inverse
Embeddos
Dual-index, stepped cap, range floater,
Cash or nothing, correlations
POCHODNE: STOPY
PROCENTOWE
INSTRUMENTY
Transakcje na stopach
procentowych
Oferowane transakcje
depozyty
FRA
IR Swap
Caps/floors
Financial F
strategie
Produkty
strukturalne
Depo +
RYZYKO STÓP PROCENTOWYCH
OTOCZENIE
SCENARIUSZ RYZYKO
ROZWIĄZANIE
Stagnacja
Cięcia stóp %
Inwestora
Floating debt lub cap/collar
option
Zagrożenie
polityczne
Spadek stóp
Inwestor
Floating rate debt na okres
niepokoju
Deficyt
budżetowy
Wzrost stóp % Pożyczkobiorca Stała stopa poprzez IRS,
forward
Negatywna
stopa %
Wzrost stóp % Pożyczkobiorca Stała stopa % przez IRS,
forward
RYZYKO STÓP PROCENTOWYCH
Ryzyko stóp procentowych może występować w postaci ryzyka:
• Odsetkowego: niedopasowanie strumieni odsetek według różnych stóp w jednej
walucie
Przykład: Firma finansuje się przez kredyt o odsetkach naliczanych wg zmiennej stopy,
otrzymuje natomiast strumienie wpływów wg stopy stałej
•
Odsetkowo – walutowego: niedopasowanie strumieni odsetek wg różnych stóp w
różnych walutach
Przykład: Firma finansuje się kredytem o odsetkach naliczanych wg zmiennej stopy w
EUR,
otrzymuje natomiast strumienie wpływów wg stopy stałej w PLN (lub
zmiennej w PLN)
•
Niestabilności kosztów finansowania
Rolą zarządzania ryzykiem stóp procentowych może być:
• Eliminacja niedopasowań strumieni wpływów i odpływów gotówki
•
Indentyfikacja
ryzykryzyka
Eliminacja
kwantyfikacja niedopasowań
na krzywe
(fwd vs forecast)
niestabilnych
/ wysokichPogląd
kosztów
finansowania
Dobór
Instrumentu
I
transakcja
– Najczęściej poszukiwana rola instrumentów zabezpieczających ryzyko stóp procentowych,
szczególnie w branżach o niskiej marży sprzedaży !
Droga efektywnego zarządzania ryzykiem stóp procentowych:
FORWARD RATE AGREEMENT
• FRA klient i bank umawiają się zastosować w
przyszłości określone oprocentowanie w odniesieniu
do kredytu lub depozytu (transakcja pozabilansowa)
• Krótkoterminowe zabezpieczenie przed
nieoczekiwanym wzrostem lub spadkiem stóp %.
• Jest to kontrakt nierzeczywisty i nie wymaga
zaciągania kredytu, czy składania depozytu.
• Nabywca FRA rozlicza się kwotą odsetek:
• PŁATNOŚĆ=NOMINAŁ*CZAS*RÓŻNICA STÓP %
• Rozliczenie odbywa się na początku okresu poprzez
wypłatę wartości zdyskontowanej
• Nabywca zabezpiecza sobie maksymalną stopę a
FRA
• Rozliczenie syntetycznego FRA polega na
skompensowaniu depozytu i dwóch lokat.
• Kupując FRA strona płaci stałą stopę
procentową a otrzymuje zmienną
DEPOZYT to DO t2
12%
L
LOKATA to DO t1 LOKATA t1 DO t2
12,3%
FRA 11%
Data
transakcji
S
FRA
• Mechanika zbliżona do FX-forward
– Rozliczenie gotówkowe netto
– Nabywca FRA otrzymuje „wyrównanie” jeśli stopa FRA jest niższa od stopy
referencyjnej
– Nabywca FRA płaci „wyrównanie” jeśli stopa FRA jest wyższa od stopy referencyjnej
– Stopa referencyjna – wartość stopy zmiennej (np. 6M-EURIBOR) w konkretnej dacie
6M-EURIBOR
w przyszłości
FRA
–DataPrzykład
– FRA 3/9:
transakcji
Data referencyjna
Data końca
Data startu
OKRES ZABEZPIECZONY
3 miesiące
3 miesiące
Rozliczenie
gotówkowe FRA
FRA
Cena forward instrumentu
zależy od kosztu
finansowannia
i * dni
Pspot * (1 
)  Pforward
360
Dla obligacji 0-coupon zachodzi
zależność między stopą
forward a stopą 0-coupon

1  i  * 1  i
Krzywa forward zawiera
m
0, m
m, m n
  1  i
n
0, m n

prognozę przyszłych stóp 0coupon
Wartość transakcji FRA
1
VT  ( ST  F ) * * No min al *
1  S T
m n
FRA
Koszt po¿yczek
FRA jest nieobciążoną stopą forward
oczekiwaną na dzień początku kontraktu
3x6 to 3 miesiêczny forward oczekiwany
za 3 miesiące
stopy forward zależą również od rynku spot
9X12
6X9
3X6
0
3
6
9
12
Œrednia FRA = stopa swap
FRA
•
•
•
•
•
•
Przykład: mam wziąć kredyt za rok na rok:
FRA
11%
Stopa rynkowa za rok
12%
Zysk z zabezpieczenia -1%
=======================
Efektywny koszt kredytu 11%
• Oczywiście efekt transakcji przy niższej
przyszłej stopie % może być również
negatywny dla kupującego Forward interest
FRA: przykład
UNHEDGE SHORT
ZYSK
FRA
Klient pożycza pieniądze w przyszłości
i nie chce ryzyka zmiany stopy %
Stopa %
Klient ma pozycję wyjściową krótką
i używa FRA do jej zamknięcia
POZYCJA NETTO
STRATA
KORZYŚCI Z FRA
NIE WYMAGA WYPŁAT Z GÓRY
DOSTOSOWANIE DO KLIENTA
RYZYKO KLIENTA OGRANICZONE DO RÓŻNICY
STÓP PROCENTOWYCH
FRA TO TRANSAKCJE POZA BILANSEM A/P
FRA - rozliczenie
[ L  S ] * kwota * dni / 360
1  L * dni / 360
L  stopa  rynek
S  stopaFRA
[6%  5%]*1000000*180 / 360
 4854.37 np.PLN
1  6% *180 / 360
zys
k
zysk
L-S
Profil przychodu z FRA
długa pozycja
L-S
Profil przychodu z FRA
krótka pozycja
FRA - przykład
•
•
•
•
•
•
Kredyt 100 M PLN za 3 miesiące wibor
Zabezpieczenie dziś FRA 3x9 np.15.28%
Za 3 mies. Stopa 16%
Klient uzyskuje różnicę
100 M PLN*(16%-15.28%)*180/360=360T
Przy płatności z 3 mies. Wartość
zdyskontowana
• 360T/[1+.16(180/360)]= 333,333PLN
• Ryzyko kredytowe partnerów
WYZNACZANIE FORWARD-FORWARD
dniL
1 L *
baza
baza }*
FORWAR FORWARD {
dniS dniL  dniS
1 S *
baza
L=
S=
dniL=
dniS=
baza=
Forward-forward
0,1
0,09
90
60
360
0,118226601
HEDGE DLA ROLLOVER
• Seria FRA nazywana jest strip i może być
używana dla zabezpieczenia się przed
ryzykiem stopy procentowej w kredycie
odnawialnym
• Ryzyko kredytowe przy FRA jest obustronne
ale niewielkie
FRA:FORWARD-FORWARD RATE
S DNI
L-S DNI
L - DNI
Bank zobowiązuje się do finansowania po określonej z góry stopie przez okres L-S
1  rL  (1  rS )(1  rLS )
(1  rL ) * dniL / 360
360
rLS  [ (1  ) * dniS / 360  1] * dni
L S
rS
FWD-FWD
•
•
•
•
•
Stopa 3 mies. 15% p.a.
stopa 9 mies 14% p.a.
[1+.14*270/360] -1}*360/(270-90)
[1+.15 * 90/360]
{0.065}*2*100=13%
– dokładniej (1.105/1.0375)^2=1.1343532
• w kolejnym okresie koszt finansowania może
wynieść 13%
• Reinwestowanie jest na kliencie więc nie ma
ryzyka
PRZYKŁAD - PORÓWNANIE FRA I
STOPY RYNKOWEJ
•
•
•
•
•
•
Stopa rynkowa 12 mies. 5,90625-6,03125
3 mies
5.90625
3-6 FRA 5.87
6-9 FRA 5.88
9-12 FRA 5.93
Kalkulacja
(1+(5.906258%91/360)(1+5.87%*91/360)(1+
5.88%*91/360)(1+5.93%*91/360)-1=6.1139%
6.1139%*360/365=6.0301%
INTEREST RATE FUTURES
•
•
•
•
•
•
•
•
Bony skarbowe 1 M Chicago Mercantile Ex
Obligacje 5&30lat 100T.Chicago Board
3 mies euro$ 1 M Chicago Mercantile Ex
Obligacje 5&10 lat RFN 250T$ EUREX
3 mies euroDM 1 M DEM LIFFE
Gilts 50 T Funtów LIFFE
1 mies LIBOR 3 M DEM EUREX
3 mies. Bony skarbowe PGF
INTEREST RATE FUTURES
• Transakcje w kontraktach np. 1 M eurodolar
• Dostawa Marzec, Czerwiec, Wrzesień, Grudzień
• Kwotowanie 100%-stopa % np.1*(100%-4.5%)
np.1000000*0.955=955000 p.a.(przybliżenie)
• Rozliczenie cash (vs. LIBOR)
• Tick 0.005% = 1/2 bp
• Tick value 0.005% * 1 m
• Initial margin 675$, clearing house, pozycje mark to market
• Np. Jeżeli stopa wzrośnie do 5,5% wartość spadnie do 945000
(czyli kurs 94.5)
INTEREST RATE FUTURES
• Kalkulacja ceny Eurodollar
futures
• FQ kwotowanie futures
eurodolar np. 0,9447
P  10 ,000 * [100  0,25 (100
• Ft stopa procentowa
10 ,000 (100  0,25 F )
• 0,25 = 3miesiące
•
Np. P=10tys[100-0,25(100-5,53)]=98,175
• Cena kontraktu w dniu
ekspiracji
PT  10 ,000 * [100  0,25 ST ]
 FQ )] 
FUTURES CONVEXITY ADJUSTMENT
• Stopy procentowe na kontrakty futures zmieniaja się jak w
obligacjach, czyli kontrakt traci jak stopy% rosną
• Pojawia się różnica w przypadku długich kontraktów
futures (ciągła zmiana) do zwykłych FRA (stały okres) co
implikuje wyższą stopę futures interest rate, która pokrywa
convexity adjustment:
Futures rate  forward rate  (1 / 2) 2t1t 2
FUTURES CONVEXITY ADJUSTMENT
• Przykład
• Kontrakt 10 lat eurodolar t1=10 t2=10,25
stopa 10 lat plus 3 miesiące, volatility 1%
• Stąd adjustment:
• (½)0,01^2*10*10,25=0,51%
• Czyli stopa forward 6% dla futures powinna
wynieść 6,51%
• To tylko ma sens przy bardzo długich
kontraktach
FUTURES NA TREASURY BONDS
•
•
•
•
•
•
•
Kontrakty na instrumenty > 15 lat
lub na 2,5,10 treasury notes
US, Kanada, Japonia, EU
Nominal 100000$, skok 1/32, phisical delivery
Np. kwotowanie 97 02 oznacza 97+2/32
100000(97+2/32)/100=97062,50
Ważny conversion factor CF, gdy nie można nabyć
instrumentu
• Cost=price-Futures Qoute*CF
SWAPY
I.Tymuła, Swapy finansowe, Biblioteka
menadżera i bankowca, Warszawa, 2000
A.Wolańska, Elementarne modele wyceny
swapów walutowych i procentowych, Rynek
Terminowy, 8/2/2000
SWAP
•Swap (ang. Przehandlować):
•Swap jest umową między dwiema stronami
dotyczącą wymiany strumieni płatności
A
B
230
SWAPY
• Swapy - wymiana między partnerami różnych
strumieni/aktywów w określonym czasie w przyszłości wg
określonej formuły - początek 1981 rok (swap walutowy IBM Bank Światowy) ale już pierwsze w latach 60-tych na stopy%
• a właściwie wymiana cash flow z jednego aktywu na cashflow
z drugiego
• Swap to rodzaj derywatu modyfikującego A/P
• Pierwowzorem były pożyczki back to back MN‟s
• Podrap moje plecy, a ja podrapię twoje
• cel: redukcja ryzyka stopy procentowej, obniżanie stopy
procentowej, redukcji ryzyka walutowego i stopy procentowej,
łatwiejszy dostęp do funduszy
• Reguluje International Swap Dealers Assocciation
SWAPY RODZAJE
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Interest rate swap
cross currency swap: fixed/fixed, fixed/float, float/float
basis swap np.3 m libor na 6 mies.libor
asset swap
debt swap
amortizning swap - skonsolidowanie rat amortyzacyjnych w jedną płatność
forward dated swap - ustalenie przyszłych warunków
zero-coupon swap
callable swap - możliwość odroczenia swapa
indexed swap - indeksowanie np.ceną ropy
multilegged swap
debt to equity, debt to debt, debt to money
•
forward-forward swap, swaption
SWAPY RODZAJE
• INSTRUMENT:
– PROCENTOWE
– WALUTOWE
– WALUTOWOPROCENTOWE
– TOWAROWE
– BONDS
– EQUITIES
– KREDYTOWE
– INDEKSOWE
WALUTY:
JEDNO, DWU WALUTOWE
• CZAS: KRÓTKIE DŁUGIE
• ZAMKNIĘCIE:
– W TERMINIE
– Z PRAWEM
WCZEŚNIEJSZEGO
ZAMKNIĘCIA
– Z PRAWEM
PRZEDŁUŻENIA
ZMNIENNOŚĆ KWOTY:
DOPASOWANE
AMORTYZOWANE
ZALICZKOWE
ZMIENNE
ROZWÓJ RYNKU SWAPÓW
35000
30000
25000
20000
IRS
CCS
15000
10000
1999
1997
1995
1993
1991
1989
0
1987
5000
SWAP % - INTEREST RATE SWAP
•Swap na stopy%:
•W swapie na stopy procentowe np. zmienna na stałą
(floating vs. fix)” partnerzy dokonują w określonym
czasie wymiany płatności, gdzie A płaci B stałą stopę
procentową w zamian za co otrzymuje wypłaty według
zmiennej stopy procentowej po stopach ustalonych
zgodnie z referencjami.
231
SWAP % - INTEREST RATE SWAP
• Wymiana strumieni zgodnie z wcześniej uzgodnioną
formułą
• Polega na wymianie płatności odsetkowych w
różnych walutach (często fixed-floating)
• Najczęściej również wymiana końcowych wartości
kapitału
• Cel - obniżenie kosztów finansowania, hedge
• Brak up-front fees,
• Ryzyko kredytowe ISDA
SWAP % - INTEREST RATE SWAP
PROFIL RYZYKA 5-LAT KREDYT
•
•
•
•
Wartość nominalna 100 m EUR
spłata
1X200X
odsetki
6mEuribor +1%
Wartość bieżąca
odsetki EUR 23.74
kapitał EUR 80.82 ::
razem EUR 104.56
• Ryzyko odsetki 23.% kapitał 77%
:
SWAP % - INTEREST RATE SWAP
•PRZYKŁAD:
•A i B zawierają umowę swap na stopy
procentowe w odniesieniu do kapitału EUR 100
000 000. A płaci corocznie 6% pa i otrzymuje
półrocznie libor + 0,5%. Czyli oszczędza na
liborze 0,5%
5%
A
3M Libor -50
B
232
SWAP % - INTEREST RATE SWAP
”ubezpieczenie na stopy %"
”swap stóp procentowych"
- zobowiązanie jednej ze stron
- zobowiązanie obu stron
- kupujący ma prawo, a nie obowiązek - wymiana płatności
odsetkowych
- premia płacona z góry
- bez premii
np. cap, floor
SWAP % - INTEREST RATE SWAP
KORZYŚCI KOMPARATYWNE
BASIC SWAP
PLAIN VANILLA
AAA 10.8%
libor +1/4%
10.8%
BBB 12%
libor +3/4%
10.9%
Przed. AAA
Przed.BBB
Libor+3/4
libor
10.9%+3/4%=11.65%-12%=0.35%
Libor -1/4%-0.1%=0.35%
Klient AAA osiąga korzyść z odpożyczenia po 10.9%
I otrzymuje kredyt po Libor a więc taniej niż rynek
Klient BBBdostaje kredyt wg stałej stopy 10.9%
I daje kredyt po stopie Libor
Gdy kredyt wg stałej stopy to istnieje opcja wcześniejszej spłaty, tego nie ma
SWAP % - INTEREST RATE SWAP
• Korzyść absolutna, gdy koszty innego rynku
są niższe
• Korzyść komparatywna, gdy względne koszty
są niższe
FIRMA
Fixed
Float
A
10,8%
Libor+1/4%
B
12%
Libor+3/4%
INNY PRZYKŁAD SWAP NA STOPY % -IRS
KATEGORIA
DEFINICJA
PRZYKŁAD
NOTIONAL
BAZA
KALULACJI
$ 100 M
INDEX
FLOATING
3 MIES.LIBOR
TERMIN
DLUGOŚĆ
UMOWY
3 LATA
RESET
CZĘSTOSTLIW 3 MIES
OŚĆ STOPY
SWAP RATE
STAŁA
5%
METODA
KALULACJI
KALKULACJA
DNI (A/360,)
ACTUAL/360
FIXED 5%
KLIENT
BANK
FLOAT
LIBOR +150
ROZLICZENIE KASOWE W KAŻDYM RESET
(NOMINAŁ)(LIBOR-SWAPRATE)*{DNI/360)
PRZYKŁAD: (100)*(libor-5%)(90/360)
SWAP % - INTEREST RATE SWAP
• KWOTOWANIA:
• Kwotowane często jako spready do
odpowiednich yieldów to maturity dla treasury
notes
• Np. 31/34 pbs, czyli dla YTM 6,72% koszt
wyniesie 6,72+0,31=7,03% w zamian za
otrzymanie libor lub 6,72+0,34=7,06% za
płacenie libor
• Dla partnera AA
SWAP % - INTEREST RATE SWAP
• Pozycja pozyskania stałej stopy jest jak długa
pozycja w obligacjach finansowana krótką
pozycją w obligacji o zmiennej stopie
procentowej
SWAP % - INTEREST RATE SWAP
• Mechanika zbliżona do serii FRA na wiele dni referencyjnych
– Rozliczenie gotówkowe netto
– Nabywca IRS otrzymuje „wyrównanie” jeśli stopa FRA jest niższa od stopy referencyjnej
– Nabywca IRS płaci „wyrównanie” jeśli stopa FRA jest wyższa od stopy referencyjnej
– Praktycznie – zamiana strumieni odsetkowych liczonych wg stopy zmiennej na stała
– Rozliczenie dla każdego okresu odsetkowego dłuższej transakcji (np. przez 5 lat co 6
miesięcy)
– Możliwe wersje dla nominału bez amortyzacji, z amortyzacją liniową, niestandardową
– Przykład – IRS:
EURIBOR
client pays fixed% EUR, client recieves 6M6M Euribor
6M Euribor
Klient
4.57%
Bank
Finansujący
SWAP % - INTEREST RATE SWAP
• Zamiana ze stopy zmiennej na stałą (można to
interpretować jako serię transakcji forward na
stopę%). Podstawą wyceny zmiennej nogi swapa są
stawki 0-kuponowe na LIBOR (badania empiryczne wskazują
jednak, że wyliczane przyszłe zmienne stopy z krzywej swapowej były
zawsze zawyżone)
• Kapitał nominalny nie jest wymieniany lecz stanowi
podstawę kalkulacji odsetek
• Możliwe obniżenie kosztów finansowania
• W zależności od swap curve różne rozłożenie kosztów
finansowania w czasie
• Możliwość tailor made solution
• Ze względu na ryzyko ISDA Master agreement
• Market to market valuation (credit support annex)
SWAP % - INTEREST RATE SWAP
• IRS może być traktowany jako seria FRAs
• Stała stopa procentowa jest ważona czasem
średnią FRAs
Swap rate
3 mies
czas
0
3x6
3
6x9
6
9x12
9
12
• Można swapa traktować jak zamianę dwóch
obligacji, z których jedna płaci fixed, druga float
SCHEMAT ROZLICZANIA SWAPA NA
STOPY % - IRS
BANK PłACI KLIENTOWI
WIBOR 3M
WIBOR 3M
WIBOR 3 M
WIBOR 3M
KLIENT PłACI BANKOWI
FIXED PÓŁROCZNIE
FIXED PÓŁROCZNIE
ZAMIANA ZMIENNEJ STOPY 3 M NA STAŁĄ STOPĘ PÓŁROCZNĄ 10% p.a
SWAP % - INTEREST RATE SWAP
• ZALETY SWAP:
• Zabezpieczenie przed ryzykiem stopy%
• Równomierne rozłożenie kosztów
odsetkowych
• Możliwość dopasowania swapa do cash-flow
• Wykorzystanie oczekiwanych obniżek stóp %
do redukcji kosztów finansowania
• Możliwość wyjścia z transakcji przed dniem
zapadalności
SWAP % - INTEREST RATE SWAP
• RYZYKO SWAP:
• Stopy % zmieniają się szybciej niż
oczekiwano
• Szybszy wzrost stóp obciąża tego kto płaci
zmienną stopę %
• Szybszy spadek stóp obciąża tego kto płaci
stałą stopę %
INTEREST RATE SWAP – STOPY%
•UWAGA: „Stopa % nie jest równa
stopie %“
•Przy tym samym czasie i tej samej klasie
ryzyka np. AAA na pytanie o stopę procentową
uzyska się różne odpowiedzi np. : 4%; 4,05%;
4,1%
•Z czego to wynika ?
234
INTEREST RATE SWAP – STOPY%
•Np. roczny czynnik dyskontujący
•df = 0,961025.
To odpowiada na pytanie ile np. eur należy
zapłacić za 1 eur, który otrzyma się za rok.
Czynnik dyskontujący jest jakby obligacją
zerokuponową na okres 1 roku.
235
INTEREST RATE SWAP – STOPY%
•Stopa procentowa zależy od sposobu liczenia dni (day count
fraction ) oraz od składania odsetek Compounding (liniowo,
narastająco) :
•Przy metodzie liniowej
df = 1 / ( 1 + R * dcf(6.10.XX, 6.10.XX+1) )
Metoda dni „30/360“ lub „act/365“ przy tym
dcf(6.10.XX, 6.10.XX+1) = 1.
Ale przy metodzie „act/360“
dcf(6.10.XX, 6.10.XX+1) = 365/360 = 1,01388.
•Ta sama stopa i = 4% prowadzi w zależności od metody do
różnych czynników dyskontujących:
df = 0,961538 przy „30/360“
df = 0,961025 przy „act/360“
236
INTEREST RATE SWAP – STOPY%
•W podejściu teoretycznym często stosuje się stopę
procentową wynikającą z tzw. (continuous
compounding). Wtedy czynnik dyskontujący wynika z:
df = exp( - i * dcf(6.10.XX, 6.10.XX+1) )
Przy „act/365“ oraz 1 = 4% uzyskuje się
df = 0.960789
•Można też przy danej stopie procentowej i mówić o
stopie swapowej. Z krzywej stóp swapowych można
rekurencyjnie uzyskać czynniki dyskontujące dla
przyszłych okresów. Ale wtedy trzeba mieć informacj e o
wszystkich stopach swapowych składających się na
krzywą.
237
SWAP YIELD CURVE (EUR)
%
5,25%
3,65%
0 0.25 0.5 0.75 1
A jak wygląda krzywa dla PLN?
2
3
4
5
6
7
8
9 10
SWAP CURVE vs FORWARD
LIBOR
PV(Fixed Rate)=PV(Forward LIBORs)
%
Forward Libor curve
Spot Fixed swap rate
czas
Teoretycznie swap rate jest średnią forwardów na Libors
Rynek jest obojętny czy dostanie serię odsetek zmiennych
czy stałych pod warunkiem, że ich wartość jest równa w PV
KRZYWA SWAPOWA DYNAMIKA
US YIELD CURVE DYNAMICS Dynamic Chart
Monthly Dynamics:
Month = lip-01
Sigma= 3880%
X=
0
Graph Inputs
T = Dynamic
0,00
0% Curve Dynamics
Chart ofr =US Yield
Row
388
16%
14%
12%
10%
8%
6%
4%
2%
0%
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
Yield To Maturity
Inputs
0
Outputs
Time To Maturity 0,0833333
Yield To Maturity
3,43%
5
10
15
20
25
30
Time To Maturity (Years)
0,25
3,64%
0,5
1
2
3,62% 3,84% 4,24%
3
4,60%
4
4,93%
5
7
10
15
20
25
30
5,08% #N/A 5,68% 6,03% 6,10% 6,03% 5,58%
INTEREST RATE SWAP – WARTOŚĆ
(YTM)
Wycena swapa z fixed coupon C używając YTM:
• Bierze się „Yield to Maturity‟ - the swap rate= r
• Znajduje sie present value (PV) DLA fixed rate bond,
coupon C – czyli stała noga swapa:
C
C
C
100  C
PVFixed 



2
3
(1  r ) (1  r ) (1  r ) (1  r ) 4
• Wartość swapa PV Fixed - FRN
PVSwap  PVFixed  PVFRN
INTEREST RATE SWAP – WARTOŚĆ
V W
fixed
W
float
n
W
 O *e
fixed
i
n
W

 O *e
float
i

r i 0 coupt i  K *

e
r iforward t i  K *
r n 0 coupt n

e
r forwardt n
W zasadzie obie nogi swapa powiny być równe w momencie zawierania umowy
tu szczególny przypadek obligacji oraz zobowiązania płaconego na bieżąco
Wyzwaniem jest określenie oczekiwanych przyszłych stóp procentowych,
czego można dokonać znając wartości stóp procentowych z krzywej swapowej
oraz wyliczając stawki 0-kuponowe a z nich stawki forward na przyszłe okresy
SWAP WYCENA – STAWKI 0-KUPONOWE
PVswap=PVfixed-PVfloat
Przykład 2 lata swap fixed 4,5% za libor
stopa 0-coupon na 2 lata 3,6%
4,5
100  4,5
PVfixed 

 101.71
1  3,6% (1  3,6%)^2
PVfloat  100
PVswap  101.71 100  1,71
Wartość swapa jest dodatnia, stała stopa otrzymywana
jest wyższa niż 0-coupon na ten termin
STRUKTURA TERMINOWA STÓP
PROCENTOWYCH
STRUKTURA TERMINOWA STÓP
PROCENTOWYCH
• Podstawą do dyskontowania przyszłych strumieni
finansowych są stopy spot – zerokuponowe na
odpowiednie okresy.
• Zmieniają się one w zależności od tzw. term to
maturity.
• Zwykle aby abstrahować od ryzyka kredytowego
bierze się pod uwagę stopy wolne od ryzyka – czyli
stopy wynikające z oprocentowania zobowiązań
skarbowych.
• Trzeba odróżnić krzywą stóp spot (czy też 0-coupon)
od krzywej stóp swapowych, czy krzywej stóp
forwardowych.
•
SWAP WYCENA – STAWKI 0-KUPONOWE
• Dyskontowanie cash flow stawkami
swapowymi nie dostosowanymi do terminów
dyskonta daje fałszywe wyniki (częsty błąd)
• Wyprowadzenie stawek zerokuponowych z
krzywej swapowej
• Rozdzielenie cash-flow na poszczególne
i T
CF t
przepływy


CF
e
t
PV t (1i )^ t PV t
0t
• Znalezienie wartości bieżącej przy użyciu
n
stawki 0-coupon
NPV swap  i PV i
• Dla niestandardowych terminów interpolacja
stóp
oi i
SWAP WYCENA – STAWKI 0-KUPONOWE
• Podstawa to stawki swap
• 1 roczna stopa procentowa to stawka swap,
ale i 0-coupon
• Np. dla okresu 2 lat wartość bieżąca dla swap
i 0-coupon jest taka sama
• Rekurencja
PV1 2
PV13
 100%  r
1 i
 100%  r
1 i

2
01
3
01
100%  r 2
(1  i02)^2
r

(1  i
3
02
)^2

100%  r 3
(1  i03)^3
SWAP WYCENA – STAWKI 0-KUPONOWE
•
•
•
•
A) Obligacja 4% na 1 rok
wypłata 104 za rok 104/(1+0.04)=100
a więc stawka swap = 0-coupon
B) Obligacja 2 lata, kupon 4.5% , wartość100
ROK
Platnosc stopa dysk
1
4.5 1/1.04=0.9615
2
104.5 1/(1+x)^2
=========
=========
=========
z=100-4.3269=95.6731
1/(1+x)^2=95.6731/104.5=0.9155
wartosc zdyskontowana
4.3269
z
=========
=========
100
x=4.5113= 2 lata 0-coupon
SWAP WYCENA – STAWKI 0-KUPONOWE
• C) obligacja 4 lata, kupon 6%, wartość 100
ROK
Platnosc
6
6
6
106
Stopa dyskontowa Platnosci zdyskontowane
1
1/1.04=0.9615
5.7692
2
1/1.045113^2=0.9155
5.4932
3
1/1.050341^3=0.8630
5.178
4
1/(1+x)^4=y
z
100
x=6.1274%= 4 letnia 0-coupon
z=83.5596
106:83.5596=
RÓŻNICA YIELD I 0-COUPON
• Yield to maturity jest kalkulowaną średnią
stopą przyjmującą możliwość reinwestowania
według tej samej stopy
• Stawki 0-kuponowe są poszczególną stawką
w danym punkcie czasu (bez reinwestycji), są
najwłaściwsze do dyskonta cash flow
•
SWAP WYCENA – STAWKI 0-KUPONOWE
• Stawki zerokuponowe są powyżej
swapowych przy rosnącej yield curve oraz
poniżej przy malejącej yield curve
• Stawki swap to średnia ważona przyszłych
libor
• Krzywa swap oraz zerokuponowa są od
siebie zależne
• Stawki forward to przyszłe rynkowe (implied)
stopy libor - do wyliczenia
WYLICZENIE STAWEK FORWARD
ZE STAWEK 0-KUPONOWYCH
• Znając stawki zero dla
roku i dwóch lat można
wyliczyć forward dla
roku 2
(1  i02)^2  (1  i01) * (1  i1,1)
(1  i02)^2
i1,1  (1  )  1
i01
(1  i03)^3
i1, 2  (1  )^2  1
i02
Forward rates :
fi, j 
fi, j 
rjT j  riTi
T j  Ti
ln( DFi / DFj )
T j  Ti
DFi  czynnik dyskontowy 0  coupon  e  rorTi
i02
i01
i11
STAWKI FORWARD
•
•
•
•
A) inwestycja 3 lata 0-rate 5.0341%
B) inwestycja 2 lata 0-rate 4.5113%
Forward:
[(1.050341)^3/(1.045113)^2]-1=6.0875%
Forward rates :
fi, j 
fi, j 
rjT j  riTi
T j  Ti
ln( DFi / DFj )
T j  Ti
0,050341* 3  0,045113* 2
 0,060797
3 2
e 0, 050341*T (3)
ln( 0,045113*T ( 2) )
e
 0,060797
3 2
DFi  czynnik dyskontowy0  coupon
SWAP – WYCENA
• Wycena swapa
V   ni ( f i  K )e
 riTi
i
f i stopa forward
K stopa uzgodniona w swap
CURRENCY INTEREST RATE SWAP CIRS
• To umowa miedzy stronami, które
zobowiązują się do wymiany serii płatności
odsetkowych w różnych walutach,
naliczanych od uzgodnionej kwoty nominalnej
dla całego ustalonego okresu
• Zabezpieczenie ryzyka kursu walutowego i
stopy procentowej
CURRENCY INTEREST RATE SWAP CIRS
Waluta 1
% stałe
Waluta 2
% stałe
Waluta 1
% stałe
Waluta 2
% zmienne
Waluta 1
% zmienne
Waluta 2
% stałe
Waluta 1
% zmienne
Waluta 2
% stałe
CURRENCY INTEREST RATE SWAP CIRS
WIBOR +spread
400 M PLN
PRZEDSIÊBIORSTWO
BANK
100 M USD
Stała 6% w USD
6% USD
100 M USD
Spłata nominałów na koniec okresu
CROSS CURENCY SWAP
• Wymiana przepływów walutowych opartych o różne
stopy% i w różnych walutach = IRS + swap bazowy
• Zamiana płatności walutowych odsekowych
• Stopy forward kalkulowane z założenia arbitrażu
nieubezpieczonego (mając stopy % obu rynków)
• Wartość nominałów wymienia się standardowo na
początku transakcji
• CCS to złożenie swapa bazowego i walutowego CIRCUS: Combination Interest Rate and Currency
Swap lub Currency Coupon SWAP
CROSS CURRENCY SWAP
• Kurs forward z parytetu stóp procentowych
• CCS: taka sama analiza - czyli Discounted
Cash Flow, oba NPV=0, może być in-themoney, out-of-the-money, at-the-money w
czasie trwania
• Ryzyko kredytowe - wahania kursów walut
CROSS CURRENCY SWAP
• Wymiana strumieni odsetkowych po stopie zmiennej w jednej walucie na stopę stałą
w innej.
– Rozliczenie dla każdego okresu odsetkowego dłuższej transakcji (np. przez 5 lat co 6
miesięcy)
– Klasyczny wariant: wymiana kapitału początkowa + wymiana kapitału końcowa
– Wariant najczęstszy: bez wymiany początkowej + wymiana końcowa (bullet / amortyzacja –
zależnie od kredytu)
– Przykład – Cross Currency Swap:
6M Euribor
EURIBOR
client pays fixed% PLN, client recieves 6M6M Euribor
Klient
Wymiana odsetek
Bank
Finansujący
Fix PLN %
+
initial exchange: none, final exchange: ammortized
EUR 100 000
Wymiana końcowa
EUR 100 000
Klient
PLN 400 000
Bank
Finansujący
CROSS CURRENCY SWAP
•
A cross-currency swap jest wymianą fixed / floating rate cashflows w
jednej walucie za fixed / floating rate cashflows w innej walucie
•
Kapitał wymieniany jest zwykle na początku
•
Kombinacja:
– Interest rate swaps (IRS)
– Cross-currency basis swaps (BS)
IRS
EUR Fixed
Swap House
EUR
Fixed Rate
Swap House
EUR Floating
Corporate A
US$
Floating Rate
Corporate A
=
BS
+
EUR Floating
Swap House
Corporate A
US$ Floating
CROSS CURRENCY SWAP
CROSS CURRENCY SWAP
Początkowa wymiana PLN
(ekwiwalent EUR 100 mio)
Końcowa wymiana
nominalu kredytu
(100 mm EUR
Spłata kredytu walutowego
(EUR 100 MIO)
3M EURIBOR+mar ża
100 mm EUR
Deutsche
Bank
3M EURIBOR+mar ża
100 mio EUR
Klient
Bank
3M WIBOR+marża
XXX mio PLN.
Zaciągnięcie kredytu
(EUR 100 Mio)
Końcowa wymiana
nominalu kredytu PLN
Początkowa wymiana waluty kredytu
(EUR 100 Mio)
13
CROSS CURRENCY SWAP
• KORZYŚCI:
• Eliminacja ryzyka deprecjacji
• Eliminacja ryzyka wzrostu walutowych stóp
procentowych
• Stały koszt kredytu w długim okresie
CROSS CURRENCY SWAP
• RYZYKO:
• Brak możliwości obniżenia kosztu przy
spadających stopach na rynkach
• Brak możliwości korzystania z ewentualnej
aprecjacji danej waluty
STAWKI SWAPOWE - REUTERS
KRZYWA SWAP, 0-COUPON,
FORWARD DLA PLN
ROCZNE STOPY SWAP, 0-COUPON, FORWARD
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
swap rate 0-couponIndex
0-coupon FORWARD
%
%
%
10.50
1.1050
10.50
9.70
1.0966
9.66
8.83
9.52
1.0948
9.48
9.11
9.49
1.0945
9.45
9.38
9.44
1.0940
9.40
9.19
9.34
1.0928
9.28
8.69
9.17
1.0907
9.07
7.79
9.00
1.0885
8.85
7.34
8.83
1.0863
8.63
6.87
8.65
1.0839
8.39
6.25
SWAPY DRUGIEJ GENERACJI
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
AMORTYZOWANY
ZALICZKOWY
ROLLER COASTER
FORWARD START LUB
DEFFERED
EXTENDABLE
CALLABLE
PUTABLE
CAPPED,FLOORED
COLLARED
SWAPTION
TOTAL RETURN
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Zmiany wartości w czasie - maleje
Kwota swapa rośnie w czasie
Zmienna kwota w czasie
Rozpoczęcie swapa w przyszłości lub
opóźnienie w czasie
Prolongowanie swapa w czasie
Prawo wcześniejszego wyjścia
Prawo wyjścia
Prawo limitowania stóp w swapie
odpowiednio
Opcja na swapa
Swap całkowitego dochodu zachowanie
aktywu
CAP, FLOOR, COLLAR
Opcje na stopy procentowe
OPCJE NA STOPY PROCENTOWE
•DEFINICJA:
•Muszą być dwa punkty w czasie t1 < t2. Na koniec okresu (t1,
t2 ) caplet wypłaca (czyli w t2 )
•
• Nominal*dcf( t1, t2 ) *max( RRef ( t1, t2 ) – cena bazowa, 0).
•Oznaczenia:
• RRef ( t1, t2 ) referencyjna stopa % dla okresu np. libor
• dcf( t1, t2 ) Day count fraction, np. (t2- t1)/360.
•Caplet jest opcją call na referencyjną stopę procentową:
CAP FLOOR
• Cap to OTC kontrakt, gdzie
sprzedawca godzi się płacić
kupującemu kontrakt kwotę
wynikającą z różnicy stopy
referencyjnej oraz stopy rynkowej
• Cap opcja call na stopę %
• Floor opcja put na stopę %
•
•
•
•
•
•
Składniki:
Nominalna kwota
Stopa referencyjna
Stopa procentowa wykonania
Częstość rozliczeń
Termin
CT  max(iT  ic ,0) cap
PT  max(iF  iT ,0) floor
CAP
•PRZYKŁAD:
•Kupiono ex ante Caplet na okres odsetkowy 1.7.
do 1.10 na 3 miesięczny libor ze stopą bazową
3% na nominał EUR 10.000.000.
•29.6 (tzn. na 2 dni robocze przed okresem
odsetkowym) libor był zafiksowany 3,125%. Dnia
1.10. nastąpiła wypłata
• 10.000.000 EUR * 0,125% * 92 / 360 = 3194,44
EUR
CAP
•
Mechanizm zbliżony do opcji FX-Call
–
Rozliczenie dla każdego okresu odsetkowego dłuższej transakcji (np. przez 5 lat co 6
miesięcy)
–
Zabezpieczenie przed wzrostami zmiennej stopy procentowej w długim okresie
–
Pełna możliwość korzystania ze spadków stopy zmiennej
–
Przykład – Cap na 6M-EURIBOR:
klient płaci premię upfront,
klient płaci 6M-EURIBOR, ale nie więcej niż Strike
–
Odpowiednikiem FX-Put jest Floor – instrument zabezpieczający przed spadkami stopy
referencyjnej
FLOOR
•DEFINICJA:
•Istnieją dwa punkty w czasie wyznaczające okres (t1, t2) ,
tzn. w t2 flooret wypłaca:
•
• Nominal * dcf( t1, t2 ) * max( cena bazowa - RRef ( t1, t2 ) ,
0).
•Oznaczenia:
• RRef ( t1, t2 ) stopa referencyjna w okresie np Libor,
•Floorlet jest opcją Put na referncyjna stopę%:
• dcf( t1, t2 ) część płacona za okres Day count fraction, np.
(t2- t1)/360.
•
CAP FLOOR
•DEFINICJA:
•Cap (Floor) jest serią Caplets (lub Floorlets) na
następujące po sobie okresy odsetkowe.
•ZASTOSOWANIE:
•np. Zawierając swapa, gdzie płaci się stopę
zmienną a otrzymuje stałą można przez zakup
cap z bazową ceną 3% zabezpieczyć się przed
zapłatą wyższych niż 3 % odsetek.
CAP FLOOR
•WYCENA:
•Wystarczy znaleźć formułę wyceny dla caplets i
floorlets aby poprzez ich sumowanie obliczyć cap
& floor.
•Proste podejście pokazuje Black 76.
CAP
• Każdy caplet jest
wyceniany wg modelu
Black
• Cap jest sumą capletów
c   ck
• Cena caplet
ck  [ FN (d1 )  KN (d 2 )]e  rk
K
k 1
k 
d1  ln( F / K ) /      / 2
d 2  d1   
ZWIĄZEK INSTRUMENTÓW
PIERWOTNYCH
CZAS
SWAP - SERIA TRANSAKCJI FORWARD,
FORWARD SERIA TRANSAKCJI OPCYJNYCH
CAP/FLOOR
• Sprzedający capa/floora musi wywiązać się z przyjętego na
siebie zobowiązania, czyli płaci różnicę pomiędzy poziomem
zmiennego oprocentowania referencyjnego (np. 1M WIBOR) i
przyjętym w instrumencie poziomem oprocentowania.
• Cap stworzono, by umożliwić kupującemu zabezpiecznie przed
wzrostem stóp procentowych. Jednocześnie zastosowanie tego
instrumentu umożliwia wykorzystanie sytuacji, gdy stopy
procentowe spadają.
• Analogicznym instrumentem, który z kolei zabezpiecza przed
spadkiem stóp procentowych jest floor.
• Kupujący musi z góry zapłacić pewną cenę za tego typu
zabezpieczenie.
CAP, FLOOR, COLLAR
• Caplet, floorlet jednostkowa opcja na konkretny termin
• Cap - za premię kupno zabezpieczenia przed wzrostem stóp%
ponad stopę referencyjną (chroni pożyczkobiorcę),
• floor - zabezpieczenie przed spadkiem stóp % (chroni
inwestora),
• collar kupno cap i sprzedaż floor
• Cap to seria opcji put (europejskich)- prawo dostarczenia po
określonej cenie, w praktyce wykorzystywana zawsze, gdy jest
in the money
• Floor - seria opcji call (europejskich) - prawo otrzymania po
określonej cenie
• Kompensata może być wypłacana albo na początku lub na
końcu okresu odsetkowego
COLLAR
•
Mechanizm zbliżony do transakcji FX-RiskReversal
–
Rozliczenie dla każdego okresu odsetkowego dłuższej transakcji (np. przez 5 lat co 6
miesięcy)
–
Zabezpieczenie przed wzrostami zmiennej stopy procentowej w długim okresie
–
Ograniczona możliwość korzystania ze spadków stopy zmiennej
–
Przykład – Cap na 6M-EURIBOR:
client pays NO premium upfront,
client pays 6M-EURIBOR, but
not higher then Strike Cap
and not lower then Strike Floor
OPCJE NA STOPĘ PROCENTOWĄ
CAP, FLOOR
• Elementy transakcji strike price, notional principal amount
(NPA), premia upfront (w punktach bazowych)
• Ryzyko kredytowe jest asymetryczne, w odniesieniu do klienta
banku niewielkie
WyplataCAP  max{ir  ic}K * T
WyplataFLOOR  max{if  ir}K * T
• Przykład strike cap ic= 5,75%, aktualna ir=6,5%, NPA 1M, 3 m
• np. 1000000* (6,5%-5,75%)*91/365:
(1+6,5%*91/365)=1840.04
• Trzeba doliczyć koszt opcji np.1,5% up front/3(średni okres
CAP WYCENA
C j  N *  * [ R L (T j 1 ,  )  E ]
• Cash flow z CAP
n
• Cap suma caplets
Cap(t )   Caplet j (t )
j 1
• Z formuły Black-Scholes- n
Merton
  N *  * B(t , T j ) * ( F (t , T j 1 , T j ) (d j )  E (d j   j
j 1
• Φ dystrybuanta rozkładu
F (t , T j 1 , T j )  R L (TJ 1 ,  )
normalnego
• Cj to opcja call na libor – B(t , T j )  1  F (t1, T , T )
j 1
j
R
 F (t , T j 1 , T j ) 
• B(t,T) stopa dyskontowa
  0.5 2j (T j 1  t )
ln 
E


d

• dj z wzoru
j
 j T j 1  t
• σ zmienność stopy F(t,T1,T)
T j 1  t
CAP PRZYKŁAD
•
Przykład wyceny cap
•
•
•
•
•
•
Cap na 1 mln
Cap rate 5%
Volatility 20%
Stopa na rynku 5,5%
Dyskonto
Zmienność na ½ roku
cap
cap rate
volatility
okres
forward rate
Pvfactor
volatility
d1
d2
N(d1)
N(d2)
1000000
0,05
0,2
184
0,055
0,947181
0,141814
0,742987
0,601174
0,7713
0,6012
cap=
cap na 184
0,011709
0,005984
1/(1+0,55*(365/360))
*SQRT(t)
INTEREST RATE CALL
PROFIT
Long call
4%
Net position
UNHEDGE - SHORT EUROIBOR
LOSS
STRATA MA CAP - NIE ZAPŁACI WIĘCEJ NIŻ 4%
INTEREST RATE COLLAR
LONG CAP
4%
4.25%
3.75%
NET POSITION CAP
SHORT FLOOR
UNHEDGE
CAP FLOOR CENA
Cena capa zależy od:
• im dłuższy okres ważności instrumenty tym cena wyższa
• im wyższa oczekiwana zmienność stóp procentowych
(volatility) tym cena wyższa
• im wyższy poziom stóp procentowych przyjętych jako
poziom zabezpieczenia tym cena niższa
Cena floora zależy od :
• im dłuższy okres ważności instrumenty tym cena wyższa
• im wyższa oczekiwana zmienność stóp procentowych
(volatility) tym cena wyższa
• im niższy poziom stóp procentowych przyjętych jako
poziom zabezpieczenia tym cena niższa
PORÓWNANIE KOSZTÓW
POŻYCZEK
Efektywny
koszt
po¿yczki
Bez hedgu
%
Cap
7%
Koszt np.2%
5%
Interest rate swap
5%
Cap strike price
%
Bez hedgu - pełne ryzyko
swap - fix dla stopy
opcja cap - korzyść przy niskich stopach
CAP, FLOOR, COLLAR
• Skala korzyści zależy od: steep yield
environment lub flat yield envinronment
Min(wibor6;15%)
FIRMA
BANK
WIBOR6-50BP
Max[(floor%-6wibor);0]
BANK
FIRMA
premia
CAP, FLOOR
Opcje na stopę procentową - cap & floor
Stopa
procentowa
Stopa procentowa p³acona przez posiadacza opcj i CAP
Stawka WIBOR
Stawka
Cap
czas
Stopa
procentowa
Stopa procentowa otrzymywana przez posiadacza opcji FLOOR
Stawka WIBOR
Stawka
Floor
czas
14
COLLAR
Opcje na stopę procentową - collar
Stopa
procentowa
Stopa placona przez posiadacza COLLAR
Stawka WIBOR
Cap
Collar
Floor
Time
14
CAP, FLOOR, KOSZTY
• Premia jest płatna up-front, a więc trzeba
policzyć roczny koszt premii
• Np. 5 lat cap, strike 7%, premia 1,79% od
kwoty (notional)
• Trzeba uwzględnić wartość pieniądza w
czasie - premia płatna up-front
CAP A PRICING
• Cap vs Caplets - seria call opcji europejskich
z tym samym strike na LIBOR
• Cap zależy od yield curve (jak kształtują się
FRA)
• Koszty cap są wysokie, dlatego strategie risk reversal - collar - redukcja premii (buy
cap sell floor np. 5 lat collar z cap 7%, floor
5%, premia 1.79 - 0.45 = netto 1.34%
• lub participating option
FLOOR WYCENA
•
•
•
•
•
•
F  N *  * [ E  R (T ,  )]
Cash flow z floor
Floor suma floorlet Floor(t )   Floorlet (t )
Black Scholes Merton  N * * B(t, T ) * ( F (t, T , T )(d )  E(d
Stopa call R na libor F (t, T , T )  R (T ,  )
1
B
(
t
,
T
)

Dyskonto
1  F (t , T , T )
 F (t , T , T ) 
dj wg wzoru, σ
  0.5 (T  t )
ln 
E

d  
zmienność
 T t
L

j 1
j
n
j
j 1
n
j 1
j
j 1
j 1
L
j
J 1
j
j
j 1
j 1
j
j
2
j
j
j
j 1
j 1
j
j
  j T j 1  t
INNE INSTRUMENTY HYBRYDY
SWAPY & ETC
SWAPTIONS
• Nabywca ma prawo ale nie obowiązek uzyskać
stałą cenę na swap na dany dzień lub w
określonym czasie w przyszłości
• Jest to opcja na kontrakt w postaci swapa (prewyspecyfikowanego) (od 1 roku do >30lat)
• Rozliczenie gotówką, jako różnica między
zdyskontowaną wartością strike price a bieżącą
wartością swapa na dzień rozliczenia swaption
• Stopa % - Strike, ekspiracja, premia,
• Może być europejska, bermudzka, amerykańska
SWAPTIONS
•DEFINICJA:
•Swaption jest opcją na swap na stopy
procentowe. Nabywca swaption ma prawo
wejść w transakcję swap, której warunki
zostały wcześniej ustalone w umowie
swapowej. W zależności czy płaci stałą stopę,
czy uzyskuje stopę stałą rozróżnia się między
Payer- oraz Receiver- Swaption.