1 Semestr. - Instytut Matematyczny UWr

Program Wykładu z MATEMATYKI
dla I roku Chemii Biologicznej i Środowiska
Uniwersytetu Wrocławskiego.
Prowadzący: dr hab. Janusz Wysoczański
Instytut Matematyczny Uniwersytetu Wrocławskiego.
1
1.1
Semestr.
Liczby rzeczywiste.
Własności liczb rzeczywistych, rozwinięcia nieskończone, liczby wymierne i niewymierne - dowodzenie niewymierności. Działania i porównywanie liczb rzeczywistych. Kres górny i dolny, aksjomat
ciągłości. Własności modułu i części całkowitej. Interpretacja geometryczna na osi liczbowej. Gęstość liczb wymiernych.
1.2
Liczby zespolone.
Określenie i własności liczb zespolonych. Interpretacja geometryczna, moduł i argumenty oraz postać
trygonometryczna liczby zespolonej. Sprzężenie zespolone, odwracalność liczb zespolonych. Mnożenie liczb zespolonych w postaci algebraicznej i trygonometrycznej oraz wzory de Moivre’a. Definicja
pierwiastka zespolonego i porównanie z pierwiastkiem rzeczywistym. Wyznaczanie wzorami wszystkich pierwiastków zespolonych danego stopnia z danej liczby zespolonej. Zasadnicze twierdzenie algebry (Gaussa) i przykłady rozkładania wielomianów na czynniki liniowe. Konsekwencje twierdzenia
Gaussa dla wielomianów rzeczywistych.
1.3
Macierze i wyznaczniki.
Określenie macierzy kwadratowych, dodawanie macierzy i mnożenie przez liczby. Transpozycja i
sprzężenie hermitowskie. Mnożenie macierzy i jego własności. Definicja wyznacznika macierzy i
sposoby jego obliczania, metoda Laplace’a rozwinięcia względem wiersza lub kolumny, dopełnienie
algebraiczne wyrazu macierzy. Przekształcenia elementarne wyznaczników. Odwracalność macierzy,
macierz dołączona, wyznaczanie macierzy odwrotnej metodą Gaussa.
1.4
Przestrzenie liniowe i odwzorowania liniowe.
Definicja przestrzeni liniowej i przykłady. Liniowa niezależność wektorów, baza i wymiar przestrzeni
liniowej. Podprzestrzenie liniowe. Odwzorowania liniowe, macierze odwzorowań, składanie i odwracalność odwzorowań liniowych. Wartości własne i wektory własne odwzorowań lniowych, wielomian
charakterystyczny macierzy odwzorowania liniowego.
1.5
Rozwiązywanie równań liniowych.
Rozwiązywanie układów równań liniowych. Związki z macierzami i wyznacznikami. Macierz układu
równań liniowych i macierz rozszerzona układu. Twierdzenie Kroneckera-Capelli’ego i jego zastosowania do wyznaczania rozwiązań zależnych od parametrów. Metoda eliminacji Gaussa rozwiązywania
układu równań liniowych.
1
1.6
Ciągi.
Określenie, przykłady, działania na ciągach. Granice ciągów - definicje i kryteria zbieżności. Twierdzenie o trzech ciągach. Twierdzenie o istnieniu granicy ciągu monotonicznego i ograniczonego i jego
związek pojęciem kresu. Metody obliczania granic. Ciągi rekurencyjne i sposoby badania ich
zbieżności. Definicja liczby e.
1.7
Funkcje i ich własności.
Określenie funkcji, dziedzina, sposoby zapisywania. Globalne własności funkcji: różnowartościowość,
surjektywność, monotoniczność, ograniczoność, odwracalność. Ciągłość funkcji w punkcie i ciągłość
globalna. Własności funkcji ciągłych określonych na odcinku domkniętym: tw. Weierstrassa o przyjmowaniu wartości ekstremalnych, tw. Cauchy-Darboux o przyjmowaniu wartości pomiędzy danymi
dwoma. Zastosowania tw. Cauchy-Darboux do przybliżonego rozwiązywania równań funkcyjnych.
1.8
Pochodna funkcji.
Określenie pochodnej fnkcji w punkcie i jej interpretacja geometryczna. Określenie pochodnej globalnej (różniczkowalność) funkcji i sposoby jej obliczania. Twierdzenia Rolle’a i Lagrange’a o wartości
średniej i ich zastosowania do badania monotniczności i wyznaczania wartości ekstremalnych. Sporządzanie wykresów funkcji.
1.9
Całki nieoznaczone.
Określenie pierwotnej funkcji i przykłady pierwotnych. Definicja całki nieoznaczonej i zależmości
pomiędzy pierwotnymi tej samej funkcji. Metody wyznaczania całki nieoznaczonej (szukanie pierwotnej): całkowanie przez części oraz przykłady całkowania przez podstawienie. Analogie ze wzorami
na pochodną funkcji złożonej i pochodną iloczynu funkcji.
1.10
Szeregi liczbowe.
Definicja szeregu liczbowego, definicja zbieżności związki z metodami sumowania nieskończonego.
Rodzaje rozbieżności szeregów. Kryteria zbieżności szeregów o wyrazach dodatnich: porównawcze,
Cauchy, d’Alemberta. Szeregi naprzemienne i kryterium Leibniza. Przedstawienie liczby e w postaci
szergu liczbowego. Zbieżność absolutna szeregów. Tożsamość Abela i kryterium Dirichleta.
2
2.1
Semestr.
Całki oznaczone.
Określenie całki oznaczonej i idea konstrukcji całki Riemanna dla funkcji ciągłej. Interpretacja
geomentryczna całki z funkcji dodatniej - obliczanie pól. Własności całki oznaczonej i podstawowe
twierdzenia rachunku całkowego. Definicja logarytmu naturalnego jako całki oznaczonej. Metody
obliczania całki oznaczonej: wzory na całkowanie przez podstawienie i całkowanie przez części.
2.2
Całki oznaczone - zastosowania.
Wyprowadzanie różnych wzorów sumacyjnych przy pomocy całek oznaczonych oraz wzór Wallisa.
Zastosowanie całki oznaczonej do obliczania objętości brył obrotowych, ich pól powierzchni bocznej
oraz długości krzywych.
2
2.3
Pochodne wyższych rzędów i tw. Taylora.
Określenie pochodnych wyższych rzędów, sposoby ich obliczania i przykłady. Wzory na obliczanie
pochodnej dowolnego rzędu - w szczególności w zadanym punkcie - dla niektórych funkcji. Wzór
Taylora (Maclaurina) i jego związek z obliczaniem przybliżonych wartości funkcji. Metody szacowania
reszt w postaci Lagrange’a i Cauchy’ego i zbieżność szregu Taylora.
2.4
Szeregi potęgowe.
Definicja szeregu potęgowego, promień zbieżności i przedział zbieżności (wzór Hadamarda). Mnożenie, różniczkowanie i całkowanie szeregów potęgowych i wyprowadzenie wzorów na szeregi potęgowe
różnych funkcji. Szeregi dwumianowe. Zastosowania szeregów potęgowych do przybliżonego obliczania wartości funkcji.
2.5
Funkcje tworzące.
Określenie funkcji tworzącej ciągu liczbowego i przykłady. Zastosowania funkcji tworzących do wyznaczania wzorem ciągów rekurencyjnych, w szczególności ciągu Fibonacci’ego i ciągu Catalana.
2.6
Funkcje dwóch zmiennych.
Przykłady określenia funkcji dwóch zmiennych, wyznaczanie dziedziny, poziomice i konstrukcja szkicu
wykresu. Granica i ciągłość funkcji dwóch zmiennych w punkcie, metody obliczania granic. Składanie
funkcji dwóch zmiennych. Pochodna kierunkowa i pochodne cząstkowe pierwszego rzędu. Gradient
i jego interpretacja geometryczna. Wektory styczne do wykresu funkcji. Obliczanie pochodnych
cząstkowych funkcji złożonych. Różniczka zupełna i jej zastosowania do obliczeń przybliżonych.
2.7
Badanie funkcji dwóch zmiennych.
Pochodne cząstkowe rzędu 2, warunek równości pochodnych mieszanych. Pojęcie różniczkowalności
funkcji dwóch zmiennych i warunek różniczkowalności. Określenie punktów krytycznych wykresu
funkcji, ekstremów lokalnych oraz punktów siodłowych. Wyznaczanie ekstremów lokalnych i punktów
siodłowych za pomocą pochodnych rzędu 2 – przykłady badania funkcji dwóch zmiennych.
2.8
Całki wielokrotne.
Określenie całki Riemanna funkcji dwóch i trzech zmiennych. Sposoby przekształacani całki wielokrotnej w całkę iterowaną. Zamianna zmiennych kartezjańskich na biegunowe (i sferyczne) w całce
wielokrotnej. Wzór Greena i obliczanie objętości brył wyznaczonych przez wykresy funkcji. Związki
z różniczką zupełną.
2.9
Równania różniczkowe.
Określenie równania różniczkowego zwyczajnego, rozwiązania i krzywe całkowe (całka ogólna). Twierdzenie o istnieniu i jedyności krzywych całkowych. Metody rozwiązywwania równań różniczkowych
zwyczajnych: metoda rozdzielonych zmiennych, równania jednorodne względem zmiennych. Równania liniowe jednorodne i niejednorodne - metoda uzmienniania stałej. Zastosowanie różniczki zupełnej i twierdzenia o funkcji uwikłanej. Zastosowanie metody czynnika całkującego i sprowadzanie
do różniczki zupełnej.
3