METODA MONTE CARLO
advertisement
METODA MONTE CARLO Numeryczne obliczanie całki oznaczonej Spis treści • • • • • • Rys historyczny Metoda Igły Buffona Objaśnienie metody MC Algorytm metody Monte Wady i zalety MC Prezentacja zastosowania Rys historyczny • G. Buffon - 1777r. Prawdopodobnie jednym z najwcześniejszych udokumentowanym użycie próbkowania losowego do obliczenia wielkośći nielosowej była „metoda igły”, która polegała na rzuceniu igły na poziomą płaszczyznę pokrytą równoległymi prostymi. • M. Laplace – 1886r. – wyznaczenie wartości liczby przy pomocy metody Buffona. • Lord Kelvin – 1901r. – obliczanie pewnych całek w kinetycznej teorii gazów przy użyciu próbkowania losowego. Rys historyczny cd. W. S. Gosset – 1908r. – podobne losowanie pomogło mu w odkryciu rozkładu współczynnika korelacji oraz potwierdzeniu rozkładu t-Studenta. • E. Fermi – ok.1930r. – eksperymenty losowania numerycznego dotyczące dyfuzji i transportu neutronów w reaktorach jądrowych (skonstruował FERMIAC – mechaniczne urządzenie losujące). • •J. von Neumann, S. Ulam, N. Metropolis, R. Feynman i in. –ok. 1940r. – pierwsze na dużą skalę rachunki oparte o użycie liczb losowych; dotyczyły rozpraszania i absorpcji neutronów w ramach projektu ,,Manhattan”. Nazwa ,,Monte Carlo” została wymyślona jako kryptonim dla tego typu rachunków i odpowiednich metod matematycznych. • Metoda igły Buffona W statystyce matematycznej, Igła Buffona jest jednym z najpopularniejszych problemów prawdopodobieństwa geometrycznego. Problem został sformułowany w 1733 przez Georges'aLouisa Leclerca, hrabiego Buffon, a w 1777 podał on jego rozwiązanie . Opisany w problemie eksperyment jest statystyczną symulacją pozwalającą oszacować liczbę π. Otrzymana metoda estymacji liczby π należy do klasy metod Monte Carlo. Metoda igły Buffon cd. • Igłę o długości l rzucamy losowo na poziomą płaszczyznę pokrytą równoległymi liniami prostymi o odstępie L (L ≥ l). Jeżeli rzucona igła przetnie linię, to liczymy ,,trafienie”, w przeciwnym wypadku liczymy ,,chybienie”. Przez zliczanie trafień i chybień wyznaczyć wartość liczby π. n 2l 2 Nl P N P N N L nL Obliczanie całki za pomocą metody MC Niech X1,X2, . . .Xn będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie jednostajnym na przedziale [a,b] oraz niech f będzie funkcja rzeczywista taka, ze Ef(X1) istnieje i jest skończona. Przy powyższych założeniach f(X1), f(X2), . . . f(Xn) jest także ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie, przy czym istnieje wartość oczekiwana i jest skończona b 1 Ef ( X 1 ) f ( x)dx ba a Z Mocnego Prawa Wielkich Liczb Kołmogorowa mamy: n b 1 z pr.1 1 f (Xk ) Ef ( X 1 ) f ( x)dx n k 1 n ba a Algorytm obliczania przybliżonej wartości całki oznaczonej Możemy zatem do obliczania przybliżonej wartości całki oznaczonej zastosować następujący b algorytm: f ( x)dx a I losujemy niezależnie liczby u1, u2, . . . , un z rozkładu jednostajnego U[0, 1]; II przekształcamy xk a (b a)uk dla k = 1, 2,...,n otrzymując w ten sposób próbkę z rozkładu U(a,b); III jako przybliżoną wartość całki przyjmujemy b a ba n f ( x)dx f (Xk ) n k 1 Wady i zalety metody MC • Zalety możliwość obliczenia złożonych całek, gdy bardziej niż precyzja liczy się szybkość rosnąca moc obliczeniowa komputerów prosta forma zastąpienia rozwiązań analitycznych • Wady eksperyment dla skończonej liczby prób wyniki zależą od generatora liczb pseudolosowych Autorzy • • • • • • Piotr Szczepański Piotr Sobczak Radosław Misiuk Michał Cieślak Piotr Lemański Wojciech Fabiańczuk
