MATEMATYKA DYSKRETNA -WMat ZADANIA Z OBU KOLOKWIÓW
advertisement
MATEMATYKA DYSKRETNA -WMat ZADANIA Z OBU KOLOKWIÓW
1. Podaj liczbę wszystkich rozmieszczeń 9 kul w 6 urnach,
a) jeśli kule i urny są rozróżnialne.
b) jeśli urny są rozróżnialne, a kule nie.
2. W pewnej grupie 22-osobowej każdy zna angielski, włoski lub litewski, przy czym 15 zna
angielski, 11 włoski, a 14 litewski. Wszystkie 3 języki znają 4 osoby, a 9 osób zna zarazem
angielski i litewski, 6 osób litewski i włoski. Ile osób zna jednocześnie angielski i włoski? Ile
osób zna dokładnie 2 z tych języków?
3. Ile jest liczb sześciocyfrowych, w których a) kolejne cyfry maleją; b) kolejne cyfry tworzą
ciąg nierosnący; c) kolejne cyfry tworzą ciąg niemalejący?
4. Ile liczb pięciocyfrowych można ułożyć z cyfr liczby 78 436 834?
5. Ile jest wszystkich permutacji π zbioru 7- elementowego {1, 2, ..., 7}, które pozostawiają dokładnie 2 elementy na swoim miejscu?
6. Rozłóż następującą permutację π na cykle, znajdź jej znak oraz π 2 :
π=
123456789
362175498
!
.
7. Pokaż, że dla dowolnych n + 1 różnych dodatnich liczb całkowitych mniejszych bądź równych
2n istnieją dwie, które sumują się do 2n + 1.
8. Podaj kombinatoryczne i algebraiczne uzasadnienie tożsamości
!
!
2n
n
=2
+ n2 .
2
2
9. Ile jest takich rozmieszczeń 6 różnych kul w 6 różnych urnach, w których co najwyżej 2 urny
pozostają puste?
10. Ile jest permutacji zbioru pięcioelementowego rozkładających się na trzy cykle rozłączne?
11. Badania wykazały, że w pewnej grupie złożonej z 20 osób 15 zna angielski, 13 niemiecki, a
9–francuski. Ponadto, że 10 osób zna angielski i zarazem niemiecki, 5 angielski i francuski, 3
niemiecki i francuski, a 2 osoby wszystkie te trzy języki. Czy te dane mogą być prawdziwe?
12. Rozważmy następujący ciąg an zadany rekurencyjnie: a0 = 2, a1 = 5 oraz an+2 = 5an+1 −6an .
Znajdź jawną postać ciągu an za pomocą równania charakterystycznego.
13. Za pomocą funkcji tworzącej znajdź jawną postać ciągu: a0 = 1 oraz an+1 = 12 an + (−2)n .
14. Ile jest permutacji zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, w których pierwsza liczba jest większa
od 2, a ostatnia jest mniejsza od 9?
15. Niech bn oznacza ilość ciągów długości n utworzonych z liczb 0,1 i 2, w których występuje
nieparzysta liczba zer. Uzasadnij, że ciąg bn spełnia następującą rekurencję: b1 = 1, bn+1 =
bn + 3 n .
16. Student na przygotowanie się do egzaminu miał 37 dni i potrzebował 60 godzin nauki. Codziennie uczył się co najmniej 1 godzinę (i zawsze wielokrotność pełnej godziny). Udowodnij,
że były takie kolejne dni, w których uczył sie łącznie dokładnie 13 godzin.
17. Udowodnij,
że liczby Stirlinga drugiego
rodzaju
spełniają następujące równości: S(n, n−1) =
n
n
, dla n ­ 2 oraz S(n, n − 2) = 3 + 3 n4 dla n ­ 3.
2
18. Prostokąt wymiaru n×2 pokrywamy klockami domino. Mamy pomarańczowe klocki wymiaru
2 × 1 oraz niebieskie wymiaru 2 × 2. Ile różnych prostokątów możemy otrzymać, jeśli ważny
jest tylko końcowy efekt kolorystyczny? Podaj zależność rekurencyjną.
